عد

العدّ هو عملية تحديد عدد عناصر مجموعة منتهية من الأشياء؛ أي تحديد حجم المجموعة. تتألف الطريقة التقليدية للعدّ من زيادة عداد (ذهني أو لفظي) بمقدار وحدة واحدة لكل عنصر من عناصر المجموعة، بترتيب معين، مع وضع علامة (أو إزاحة) على تلك العناصر لتجنب زيارة العنصر نفسه أكثر من مرة، حتى لا يتبقى أي عناصر غير مُعلّمة؛ فإذا تم ضبط العداد على واحد بعد العنصر الأول، فإن القيمة بعد زيارة العنصر الأخير تُعطي العدد المطلوب من العناصر. يشير مصطلح التعداد إلى تحديد عناصر مجموعة منتهية (توافقية) أو مجموعة غير منتهية بشكل فريد عن طريق تعيين رقم لكل عنصر.

يتضمن العد أحيانًا أرقامًا أخرى غير الواحد؛ على سبيل المثال، عند عد النقود، أو عد الباقي، أو "العد بالاثنينات" (2، 4، 6، 8، 10، 12،  ...)، أو "العد بالخمسات" (5، 10، 15، 20، 25،  ...).

تشير الأدلة الأثرية إلى أن البشر كانوا يستخدمون العدّ منذ 50,000  عام على الأقل. ^{[ 1 ]} استخدمت الحضارات القديمة العدّ بشكل أساسي لتسجيل البيانات الاجتماعية والاقتصادية، مثل عدد أفراد المجموعة، والحيوانات التي يتم اصطيادها، والممتلكات، والديون (أي المحاسبة ). كما عُثر على عظام محفورة في كهوف الحدود بجنوب إفريقيا، مما قد يشير إلى أن مفهوم العدّ كان معروفًا لدى البشر منذ 44,000 قبل الميلاد. ^{[ 2 ]} أدى تطور العدّ إلى تطور الرموز الرياضية ، والأنظمة العددية ، والكتابة .

يتضمن العد اللفظي نطق أرقام متسلسلة بصوت عالٍ أو ذهنيًا لتتبع التقدم. ويُستخدم عادةً نظام العد  العشري : "1، 2، 3، 4"، وهكذا. يُستخدم العد اللفظي غالبًا للأشياء الموجودة حاليًا بدلًا من عد الأشياء بمرور الوقت، لأنه بعد أي انقطاع، يجب استئناف العد من حيث توقف، وهو رقم يجب تسجيله أو تذكره.

يمكن إنجاز عملية عدّ مجموعة صغيرة من الأشياء، خاصةً على مدى فترة زمنية، بكفاءة باستخدام علامات العدّ : حيث يتم وضع علامة لكل عدد ثم عدّ جميع العلامات عند الانتهاء من عملية العدّ. العدّ هو نظام عدّ أساسه  1 .

يُعدّ عدّ الأصابع طريقةً سهلةً وشائعةً للأعداد الصغيرة. يستخدم الأطفال أصابعهم للعدّ لتسهيل عملية العدّ وإجراء العمليات الحسابية البسيطة. كانت طرق عدّ الأصابع القديمة تعتمد على الأصابع الأربعة والعظام الثلاثة في كل إصبع ( السلاميات ) للعدّ حتى اثني عشر. ^{[ 3 ]} كما تُستخدم أنظمة أخرى تعتمد على إيماءات اليد، مثل النظام الصيني الذي يسمح بالعدّ حتى عشرة باستخدام إيماءات يد واحدة فقط. وباستخدام نظام العد الثنائي للأصابع، يُمكن العدّ حتى 10²³ = ^2¹⁰ - 1 .

يمكن أيضاً استخدام أجهزة مختلفة لتسهيل عملية العد، مثل عدادات العد والعدادات اليدوية .

العد الشامل والعد الحصري طريقتان مختلفتان للعد. في العد الشامل، تُحسب الوحدات بدءًا من نقطة البداية وانتهاءً بنقطة النهاية. أما في العد الحصري، فتُحسب الوحدات في نهاية كل فترة، وبالتالي تُستثنى نقطة البداية. ينتج عن ذلك عدد أكبر بواحد دائمًا عند استخدام العد الشامل، مقارنةً بالعد الحصري، لنفس المجموعة. يبدو أن إضافة الصفر إلى خط الأعداد قد حلت هذه المشكلة؛ ومع ذلك، لا يزال العد الشامل مفيدًا في بعض الحالات.

راجع أيضًا خطأ عمود السياج ، وهو نوع من أخطاء الخطأ بمقدار واحد .

يُستخدم العدّ الشامل عادةً عند التعامل مع الوقت في التقاويم الرومانية واللغات الرومانسية . ^{[ 4 ]} في التقويم الروماني القديم ، يُشير مصطلح " النونيس " (بمعنى "تسعة") إلى اليوم الذي يسبق " الإدس " بثمانية أيام ؛ وبشكل عام، تُحدد التواريخ على أنها أيام مُحتسبة شاملة حتى اليوم التالي المُسمى. ^{[ 4 ]}

في التقويم الليتورجي المسيحي ، يُصادف يوم كوينكواجيسيما (بمعنى 50)  اليوم التاسع والأربعين قبل أحد عيد الفصح. عند العدّ "شاملاً"، يكون يوم الأحد (يوم البداية) هو اليوم الأول ، وبالتالي يكون يوم الأحد التالي هو اليوم الثامن . على سبيل المثال، العبارة الفرنسية لكلمة " أسبوعين " هي كوينزين (15  يومًا)، وتوجد كلمات مشابهة في اليونانية (δεκα πενθήμερο ، deka penthí mero ) ، والإسبانية (quincena )، والبرتغالية (quinzena ) .

على النقيض من ذلك، فإن كلمة "fortnight" الإنجليزية نفسها مشتقة من "أربعة عشر ليلة"، كما هو الحال مع كلمة " sennight " القديمة المشتقة من "سبع ليالٍ"؛ فالكلمات الإنجليزية ليست أمثلة على العد الشامل. في لغات العد الحصري مثل الإنجليزية، عند حساب ثمانية أيام "بدءًا من الأحد"، يكون يوم الاثنين هو اليوم الأول ، والثلاثاء هو اليوم الثاني ، ويكون يوم الاثنين التالي هو اليوم الثامن . لسنوات عديدة، كان من الممارسات الشائعة في القانون الإنجليزي أن تعني عبارة "من تاريخ" "بدءًا من اليوم التالي لذلك التاريخ": وقد تم التخلي عن هذه الممارسة الآن بسبب ارتفاع خطر سوء الفهم. ^{[ 5 ]}

يُستخدم نظام عد مماثل في حساب الأعمار في شرق آسيا ، حيث يُعتبر المولود الجديد عمره سنة واحدة عند الولادة.

تستخدم المصطلحات الموسيقية أيضًا العد الشامل للفواصل بين نغمات السلم الموسيقي القياسي: الصعود نغمة واحدة هو فاصل ثانٍ، والصعود نغمتين هو فاصل ثالث، وما إلى ذلك، والصعود سبع نغمات هو أوكتاف .

يُعدّ تعلّم العدّ خطوةً تعليميةً ونمائيةً هامةً في معظم ثقافات العالم. فهو يُمثّل الخطوة الأولى للطفل في عالم الرياضيات، ويُشكّل المفهوم الأساسي لهذا العلم. مع ذلك، لا تُمارس بعض الثقافات في منطقة الأمازون والمناطق النائية الأسترالية العدّ، ^{[ 6 ] [ 7 ]} ولا تحتوي لغاتها على كلماتٍ تُعبّر عن الأعداد.

يمتلك العديد من الأطفال في عمر السنتين فقط مهارةً في ترديد قائمة العد (أي قول "واحد، اثنان، ثلاثة،  ..."). كما يمكنهم الإجابة عن أسئلة الترتيب للأعداد الصغيرة، مثل "ما الذي يأتي بعد ثلاثة ؟". بل قد يتقنون الإشارة إلى كل عنصر في مجموعة وترديد الكلمات تباعًا. يدفع هذا العديد من الآباء والمعلمين إلى استنتاج أن الطفل يعرف كيفية استخدام العد لتحديد حجم المجموعة. ^{[ 8 ]} تشير الأبحاث إلى أن الطفل يحتاج إلى حوالي عام بعد تعلم هذه المهارات ليفهم معناها وسبب القيام بهذه العمليات. ^{[ 9 ] [ 10 ]} في هذه الأثناء، يتعلم الأطفال تسمية الأعداد الأصلية التي يمكنهم تمييزها بسرعة .

في الرياضيات، يكمن جوهر عدّ مجموعة ما وإيجاد النتيجة n في إثبات وجود تناظر أحادي (أو تقابل) بين المجموعة المدروسة ومجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة {1، 2،  ...، n }. ومن الحقائق الأساسية، التي يمكن إثباتها بالاستقراء الرياضي ، أنه لا يوجد تقابل بين {1، 2،  ...، n } و{1، 2،  ...، m } إلا إذا كان n = m ؛ هذه الحقيقة (إلى جانب حقيقة إمكانية تركيب تقابلين للحصول على تقابل آخر) تضمن أن عدّ المجموعة نفسها بطرق مختلفة لا يمكن أن ينتج عنه أعداد مختلفة (إلا في حالة الخطأ). هذه هي النظرية الرياضية الأساسية التي تُعطي العدّ غايته؛ فمهما كانت طريقة عدّ مجموعة (منتهية)، تبقى النتيجة واحدة. في سياق أوسع، تعد النظرية مثالاً على نظرية في المجال الرياضي للتوافقية (المنتهية) - ومن ثم يُشار أحيانًا إلى التوافقية (المنتهية) باسم "رياضيات العد".

لا تسمح العديد من المجموعات التي تظهر في الرياضيات بإقامة تقابل مع المجموعة {1، 2،  ...، n } لأي عدد طبيعي n ؛ وتُسمى هذه المجموعات بالمجموعات اللانهائية ، بينما تُسمى المجموعات التي يوجد لها مثل هذا التقابل (لبعض قيم n ) بالمجموعات المنتهية . لا يمكن عدّ المجموعات اللانهائية بالمعنى المعتاد؛ فمن ناحية، فإن النظريات الرياضية التي تقوم عليها هذه النظريات في المجموعات المنتهية لا تنطبق على المجموعات اللانهائية. علاوة على ذلك، فإن التعريفات المختلفة للمفاهيم التي تُصاغ بها هذه النظريات، وإن كانت متكافئة في المجموعات المنتهية، إلا أنها غير متكافئة في سياق المجموعات اللانهائية.

يمكن توسيع مفهوم العد ليشمل المجموعات بمعنى إثبات وجود تقابل مع مجموعة معروفة جيدًا. على سبيل المثال، إذا أمكن إيجاد تقابل بين مجموعة ما ومجموعة الأعداد الطبيعية، فإنها تُسمى "مجموعة لا نهائية قابلة للعد ". يختلف هذا النوع من العد اختلافًا جوهريًا عن عد المجموعات المنتهية، إذ إن إضافة عناصر جديدة إلى مجموعة ما لا يزيد بالضرورة من حجمها، لأن إمكانية وجود تقابل مع المجموعة الأصلية غير مستبعدة. على سبيل المثال، يمكن إيجاد تقابل بين مجموعة جميع الأعداد الصحيحة (بما في ذلك الأعداد السالبة) ومجموعة الأعداد الطبيعية، وحتى المجموعات التي تبدو أكبر بكثير، مثل مجموعة جميع المتتاليات المنتهية من الأعداد النسبية، تظل (فقط) مجموعة لا نهائية قابلة للعد. مع ذلك، توجد مجموعات، مثل مجموعة الأعداد الحقيقية ، يمكن إثبات أنها "أكبر من أن تقبل تقابلًا مع الأعداد الطبيعية"، وتُسمى هذه المجموعات "مجموعات غير قابلة للعد ". تُسمى المجموعات التي يوجد بينها تقابل ثنائي بأنها ذات عدد عناصر متساوٍ ، وبمعنى أعم، يُمكن اعتبار عدّ مجموعة ما بمثابة تحديد عدد عناصرها. وبعيدًا عن أعداد العناصر التي تُحددها كل مجموعة من الأعداد الطبيعية، يوجد تسلسل هرمي لانهائي من أعداد عناصر لانهائية، مع أن عددًا قليلًا جدًا من هذه الأعداد يظهر في الرياضيات العادية (أي خارج نظرية المجموعات التي تدرس صراحةً أعداد العناصر الممكنة).

للعدّ، وخاصةً للمجموعات المنتهية، تطبيقاتٌ عديدة في الرياضيات. أحد المبادئ المهمة هو أنه إذا كانت مجموعتان X و Y تحتويان على نفس العدد المنتهي من العناصر، وكانت الدالة f : X → Y أحادية ، فإنها تكون أيضًا شاملة ، والعكس صحيح. وهناك حقيقةٌ ذات صلة تُعرف بمبدأ خانة الحمام ، الذي ينص على أنه إذا كانت مجموعتان X و Y تحتويان على عددين منتهيين من العناصر n و m حيث n > m ، فإن أي دالة f : X → Y ليست أحادية (أي يوجد عنصران مختلفان من X تُشير إليهما f بنفس العنصر من Y ). وينتج هذا من المبدأ السابق، لأنه إذا كانت f أحادية، فإن تقييدها على مجموعة جزئية صارمة S من X تحتوي على m عنصرًا سيكون كذلك، وهذا التقييد سيكون شاملًا، مما يُناقض حقيقة أنه بالنسبة لـ x في X خارج S ، لا يمكن أن تكون f ( x ) صورةً للتقييد. ويمكن لحجج العدّ المماثلة أن تُثبت وجود بعض الكائنات دون تقديم مثالٍ صريح. في حالة المجموعات اللانهائية، يمكن تطبيق ذلك حتى في المواقف التي يستحيل فيها تقديم مثال.

يتعامل مجال التعداد التوافقي مع حساب عدد عناصر المجموعات المنتهية، دون عدها فعليًا؛ وهذا الأخير عادة ما يكون مستحيلاً لأنه يتم النظر في عائلات لا نهائية من المجموعات المنتهية في وقت واحد، مثل مجموعة تباديل {1، 2،  ...، n } لأي عدد طبيعي n .