الحساب الابتدائي

الحساب الابتدائي هو فرع من فروع الرياضيات يشمل الجمع والطرح والضرب والقسمة . ونظرًا لانخفاض مستوى التجريد فيه ، وتعدد تطبيقاته، وكونه أساسًا لجميع فروع الرياضيات، فإن الحساب الابتدائي هو عادةً أول فرع من فروع الرياضيات يُدرَّس في المدارس . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

في أنظمة العد ، تُستخدم الأرقام كرموز لتمثيل قيمة الأعداد. ومن أمثلة أنظمة العد نظام العد الهندي العربي (من 0 إلى 9)، وهو نظام يستخدم الترقيم العشري الموضعي . ^{[ 3 ]} ومن أنظمة العد الأخرى نظام كاكتوفيك (المستخدم بكثرة في لغات الإسكيمو-أليوت في ألاسكا وكندا وغرينلاند )، وهو نظام ترقيم عشري موضعي . [ ^{4 ] وبغض} النظر عن نظام العد المستخدم، فإن نتائج العمليات الحسابية لا تتأثر.

في الحساب الابتدائي، العدد التالي لعدد طبيعي (بما في ذلك الصفر) هو العدد الطبيعي التالي له، وهو ناتج إضافة واحد إلى ذلك العدد. أما العدد السابق لعدد طبيعي (باستثناء الصفر) فهو العدد الطبيعي السابق له، وهو ناتج طرح واحد من ذلك العدد. على سبيل المثال، العدد التالي للصفر هو واحد، والعدد السابق لأحد عشر هو عشرة.${\displaystyle 0+1=1}$و${\displaystyle 11-1=10}$لكل عدد طبيعي عدد لاحق، ولكل عدد طبيعي باستثناء الصفر عدد سابق. ^{[ 5 ]}

للأعداد الطبيعية ترتيب كلي . إذا كان أحد الأعداد أكبر من (${\displaystyle >}$إذا كان هناك رقم آخر، فإن الرقم الأخير يكون أقل من (${\displaystyle <}$) الأول. على سبيل المثال، ثلاثة أقل من ثمانية (${\displaystyle 3<8}$وبالتالي فإن ثمانية أكبر من ثلاثة (${\displaystyle 8>3}$). كما أن الأعداد الطبيعية مرتبة ترتيباً جيداً ، مما يعني أن أي مجموعة جزئية من الأعداد الطبيعية تحتوي على أصغر عنصر .

يُخصّص العدّ عددًا طبيعيًا لكل عنصر في المجموعة ، بدءًا من 1 للعنصر الأول، ويزداد بمقدار 1 لكل عنصر لاحق. عدد العناصر في المجموعة هو العدّ، ويُعرف أيضًا باسم عدد عناصر المجموعة.

يمكن أن يكون العد أيضًا عملية حصر ، وهي عملية رسم علامة لكل عنصر في مجموعة.

الجمع هو عملية حسابية تجمع عددين أو أكثر (يُطلق عليهما المُضاف أو المُجمّع) لإنتاج عدد مُركّب (يُطلق عليه المجموع). يُعبّر عن جمع عددين بعلامة الجمع (+).${\displaystyle +}$[ ^{6 ]} يتم تنفيذه وفقًا لهذه القواعد ^:

• لا يؤثر ترتيب جمع الأعداد على الناتج. تُعرف هذه الخاصية بخاصية التبادل في الجمع. ينتج عن (أ + ب) و(ب + أ) نفس الناتج. ^{[ 7 ] [ 8 ]}
• مجموع عددين فريد؛ لا يوجد سوى إجابة صحيحة واحدة للمجموع. ^{[ 8 ]}

عندما ينتج عن مجموع رقمين عدد مكون من رقمين، يُشار إلى رقم العشرات باسم "رقم الحمل". [ ^{9 ] في} الحساب الابتدائي، يتعلم الطلاب عادةً جمع الأعداد الصحيحة ، وقد يتعلمون أيضًا مواضيع مثل الأعداد السالبة والكسور .

تُقيّم عملية الطرح الفرق بين عددين، حيث يكون المطروح منه هو العدد الذي يُطرح منه، والمطروح منه هو العدد الذي يُطرح منه. ويتم تمثيلها باستخدام علامة الطرح (-).${\displaystyle -}$تُستخدم علامة الطرح أيضًا لتدوين الأعداد السالبة. ^{[ 10 ]}

عملية الطرح ليست تبادلية، مما يعني أن ترتيب الأرقام يمكن أن يغير القيمة النهائية؛${\displaystyle 3-5}$ليس هو نفسه${\displaystyle 5-3}$في الحساب الابتدائي، يكون المطروح منه دائمًا أكبر من المطروح منه لإنتاج نتيجة موجبة.

كما يستخدم الطرح للفصل والدمج (على سبيل المثال، إيجاد حجم مجموعة فرعية من مجموعة معينة) وإيجاد الكميات في سياقات أخرى.

توجد عدة طرق لإجراء عملية الطرح. تعتمد الطريقة الرياضية التقليدية على استخدام أساليب مناسبة للحساب اليدوي. ^{[ 11 ]} أما الرياضيات الإصلاحية، فتتميز عمومًا بعدم تفضيل أي تقنية محددة، بل بتوجيه الطلاب لابتكار طرقهم الخاصة في الحساب.

تُدرّس المدارس الأمريكية طريقة الطرح باستخدام الاستلاف. ^{[ 12 ]} مسألة طرح مثل${\displaystyle 86-39}$يُحلّ هذا السؤال عن طريق استلاف 10 من خانة العشرات وإضافتها إلى خانة الآحاد لتسهيل عملية الطرح. طرح 9 من 6 يتطلب استلاف 10 من خانة العشرات، مما يجعل المسألة على النحو التالي:${\displaystyle 70+16-39}$ويتم الإشارة إلى ذلك عن طريق شطب الرقم 8، وكتابة الرقم 7 فوقه، وكتابة الرقم 1 فوق الرقم 6. وتسمى هذه العلامات "العكازات"، والتي اخترعها ويليام أ. براونيل ، الذي استخدمها في دراسة أجريت في نوفمبر 1937. ^{[ 13 ]}

تُدرَّس الطريقة النمساوية، المعروفة أيضًا بطريقة الجمع، في بعض الدول الأوروبية . وعلى عكس الطريقة السابقة، لا تُستخدم فيها الاستلافات، مع وجود بعض التسهيلات التي تختلف باختلاف الدول. ^{[ 14 ] [ 15 ]} تتضمن طريقة الجمع زيادة المطروح، مما يحوّل المسألة السابقة إلى${\displaystyle (80+16)-(39+10)}$يتم وضع علامة صغيرة برقم 1 أسفل رقم المطروح للتذكير.

الضرب عملية حسابية تتضمن جمعًا متكررًا. عند ضرب عددين، تكون النتيجة حاصل ضربهما. يُطلق على العددين المضروبين اسم المضروب فيهما أو المضروب فيهما أو العوامل. يمكن التعبير عن الضرب بالصيغ التالية: "خمسة في ثلاثة يساوي خمسة عشر"، أو "خمسة في ثلاثة يساوي خمسة عشر"، أو "خمسة عشر هو حاصل ضرب خمسة في ثلاثة".

تُستخدم علامة الضرب (×)، أو النجمة (*)، أو الأقواس ()، أو النقطة (⋅) لتمثيل عملية الضرب. ويمكن كتابة العبارة "خمسة مضروبة في ثلاثة تساوي خمسة عشر" على النحو التالي:${\displaystyle 5\times 3=15}$", "${\displaystyle 5\ast 3=15}$", "${\displaystyle (5)(3)=15}$"، أو "${\displaystyle 5\cdot 3=15}$".

في الحساب الابتدائي، تحقق عملية الضرب الخصائص التالية ^{[ أ ]} :

• خاصية التبديل . تغيير ترتيب العناصر في عملية الضرب لا يغير النتيجة:${\displaystyle a\times b=b\times a}$.
• خاصية التجميع . إن إعادة ترتيب الأقواس في حاصل الضرب لا يغير النتيجة:${\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}$.
• خاصية التوزيع . الضرب يتوزع على الجمع:${\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}$.
• العنصر المحايد . أي عدد مضروب في 1 يساوي نفسه:${\displaystyle a\times 1=a}$.
• الصفر . أي عدد مضروب في صفر يساوي صفرًا:${\displaystyle a\times 0=0}$.

في خوارزمية الضرب، يُشار إلى رقم "العشرات" في ناتج ضرب زوج من الأرقام باسم "رقم الحمل".

القسمة هي عملية حسابية، وهي عكس عملية الضرب ، بشرط أن${\displaystyle c\times b=a}$.

يمكن كتابة القسمة على النحو التالي:${\displaystyle a\div b}$،${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$أو a ⁄ b . يمكن قراءة هذا لفظيًا على أنه " a مقسومًا على b " أو " a على b ".

في بعض الثقافات غير الناطقة باللغة الإنجليزية ، تُكتب عبارة " a مقسومة على b " على النحو التالي: a : b . في الاستخدام الإنجليزي، تقتصر النقطتان الرأسيتان على مفهوم النسب (" a is to b "). 

في معادلة${\displaystyle a\div b=c}$يمثل a المقسوم، و b المقسوم عليه، و c ناتج القسمة. ويُعتبر القسمة على صفر مستحيلة في المستوى الحسابي الابتدائي.

يمكن قسمة عددين على الورق باستخدام القسمة المطولة . ويمكن استخدام نسخة مختصرة من القسمة المطولة، وهي القسمة القصيرة ، للمقسوم عليه الأصغر حجماً.

تتضمن طريقة أقل منهجية مفهوم التجزئة ، والذي يتضمن طرح المزيد من المضاعفات من الباقي الجزئي في كل مرحلة.

  الناتج   (المقسوم عليه) المقسوم

0 3 4 8|272 ٠ ( ٨ × ٠ = ٠) ٢ ٧ ( ٢ - ٠ = ٢ ) ٢٤ ( ٨ × ٣ = ٢٤) ٣ ٢ (٢٧ - ٢٤ = ٣ ) ٣٢ ( ٨ × ٤ = ٣٢) 0 (32 - 32 = 0)

يُدرَّس الحساب الابتدائي عادةً في المرحلتين الابتدائية والثانوية، ويخضع لمعايير التعليم المحلية. وقد دار نقاش حول محتوى وأساليب تدريس الحساب الابتدائي في الولايات المتحدة وكندا. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

• مهارات الحساب المبكرة
• الرياضيات الابتدائية
• التجزئة (التقسيم)
• علامات الجمع والطرح
• بديهيات بيانو
• القسمة على صفر
• عدد حقيقي
• العدد التخيلي
• جملة عددية