الخاصية التبادلية

الخاصية التبادلية

يكتب	ملكية
مجال	الجبر
إفادة	تكون العملية الثنائية عملية تبديلية إذا كان تغيير ترتيب المتغيرات لا يؤدي إلى تغيير النتيجة.
بيان رمزي	${\displaystyle x*y=y*x\quad \لكل x,y\في S.}$

في الرياضيات ، تكون العملية الثنائية عملية تبادلية إذا لم يؤد تغيير ترتيب المتغيرات إلى تغيير النتيجة. إنها خاصية أساسية للعديد من العمليات الثنائية، وتعتمد عليها العديد من البراهين الرياضية . ربما تكون الأكثر شيوعًا كخاصية حسابية، على سبيل المثال "3 + 4 = 4 + 3" أو "2 × 5 = 5 × 2" ، ويمكن أيضًا استخدام الخاصية في إعدادات أكثر تقدمًا. الاسم ضروري لأن هناك عمليات، مثل القسمة والطرح ، لا تحتوي على هذه الخاصية (على سبيل المثال، "3 − 5 ≠ 5 − 3" )؛ مثل هذه العمليات ليست تبادلية، وبالتالي يشار إليها باسم العمليات غير التبادلية . كانت فكرة أن العمليات البسيطة، مثل ضرب وجمع الأرقام، تبادلية مفترضة ضمناً لسنوات عديدة. وبالتالي، لم يتم تسمية هذه الخاصية حتى القرن التاسع عشر، عندما بدأت الرياضيات تصبح رسمية. ^{[1] [2]} توجد خاصية مماثلة للعلاقات الثنائية ؛ يقال أن العلاقة الثنائية متماثلة إذا كانت العلاقة تنطبق بغض النظر عن ترتيب متغيراتها؛ على سبيل المثال، تكون المساواة متماثلة حيث يكون كائنان رياضيان متساويان متساويان بغض النظر عن ترتيبهما. ^[3]

تُسمى العملية الثنائية على المجموعة S عملية تبديلية إذا ^{[4] [5]} بمعنى آخر، تكون العملية تبديلية إذا تم تبديل كل عنصرين. تُسمى العملية التي لا تلبي الخاصية المذكورة أعلاه عملية غير تبديلية . ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle x*y=y*x\qquad {\mbox{لكل}}x,y\في S.}$$

يقال أن x يتبادل مع y أو أن x و y يتبادلان تحت if أي أن زوجًا محددًا من العناصر قد يتبادل حتى لو كانت العملية غير تبديلية (بشكل صارم). ${\displaystyle *}$$${\displaystyle x*y=y*x.}$$

• الجمع والضرب عمليتان تبادليتان في أغلب أنظمة الأعداد ، وخاصة بين الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والأعداد النسبية والأعداد الحقيقية والأعداد المركبة . وينطبق هذا أيضًا على كل المجالات .
• الجمع عملية تبديلية في كل فضاء متجه وفي كل جبر .
• الاتحاد والتقاطع هي عمليات تبديلية على المجموعات .
• " و " و" أو " هي عمليات منطقية تبديلية .

القسمة غير تبادلية، لأن . ${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$

الطرح ليس عملية تبديلية، لأن . ومع ذلك، يتم تصنيفه بشكل أكثر دقة على أنه عملية مضادة للتبديل ، لأن . ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$${\displaystyle 0-1=-(1-0)}$

الرفع إلى الأس غير تبادلي، لأن . هذه الخاصية تؤدي إلى عمليتين "عكسيتين" مختلفتين للرفع إلى الأس (أي عملية الجذر n وعملية اللوغاريتم )، في حين أن الضرب له عملية عكسية واحدة فقط. ^[6]${\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}$

بعض الدوال الحقيقة غير تبادلية، حيث تختلف جداول الحقيقة للدوال عندما يغير المرء ترتيب المتغيرات. على سبيل المثال، جداول الحقيقة لـ (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) و (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) هي

أ	ب	أ ⇒ ب	ب ⇒ أ
ف	ف	ت	ت
ف	ت	ت	ف
ت	ف	ف	ت
ت	ت	ت	ت

إن تركيب الدوال الخطية من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الحقيقية يكون دائمًا غير تبادلي تقريبًا. على سبيل المثال، دع و . ثم و ينطبق هذا أيضًا بشكل عام على التحويلات الخطية والتآلفية من فضاء متجه إلى نفسه (انظر أدناه لتمثيل المصفوفة). ${\displaystyle f(x)=2x+1}$${\displaystyle g(x)=3x+7}$$${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}$$$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}$$

إن عملية ضرب المصفوفات المربعة في مصفوفات مربعة تكون دائمًا غير تبديلية، على سبيل المثال: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$$

إن حاصل الضرب المتجهي (أو حاصل الضرب الاتجاهي ) لمتجهين في ثلاثة أبعاد هو حاصل عكسي للتبديل ؛ أي أن b × a = −( a × b ).

تعود سجلات الاستخدام الضمني لخاصية التبديل إلى العصور القديمة. استخدم المصريون خاصية التبديل في الضرب لتبسيط حاصل الضرب . ^{[7] [8] ومن المعروف أن} إقليدس افترض خاصية التبديل في الضرب في كتابه العناصر . ^[9] نشأت الاستخدامات الرسمية لخاصية التبديل في أواخر القرن الثامن عشر وأوائل القرن التاسع عشر، عندما بدأ علماء الرياضيات في العمل على نظرية الوظائف. اليوم، تعد خاصية التبديل خاصية معروفة وأساسية تستخدم في معظم فروع الرياضيات.

كان أول استخدام مسجل لمصطلح تبديلي في مذكرات فرانسوا سيرفوا في عام 1814، ^{[1] [10]} والذي استخدم كلمة تبديلية عند وصف الدوال التي لها ما يسمى الآن بالخاصية التبديلية. التبديلي هو الشكل المؤنث للصفة الفرنسية commutatif ، والتي اشتُقت من الاسم الفرنسي commutation والفعل الفرنسي commuter ، والذي يعني "التبادل" أو "التبديل"، وهو قريب من التبديل . ثم ظهر المصطلح في اللغة الإنجليزية في عام 1838. ^[2] في مقال دنكان جريجوري بعنوان "حول الطبيعة الحقيقية للجبر الرمزي" المنشور في عام 1840 في معاملات الجمعية الملكية في إدنبرة . ^[11]

Transformation rules
Propositional calculus
Rules of inference
Implication introduction / elimination (modus ponens) Biconditional introduction / elimination Conjunction introduction / elimination Disjunction introduction / elimination Disjunctive / hypothetical syllogism Constructive / destructive dilemma Absorption / modus tollens / modus ponendo tollens Negation introduction
Rules of replacement
Associativity Commutativity Distributivity Double negation De Morgan's laws Transposition Material implication Exportation Tautology
Predicate logic
Rules of inference
Universal generalization / instantiation Existential generalization / instantiation

في المنطق القياسي الوظيفي للحقيقة، يشير التبديل ^{[12] [13]} أو التبديل ^[14] إلى قاعدتين صالحتين للاستبدال . تسمح القواعد بنقل المتغيرات القياسية داخل التعبيرات المنطقية في البراهين المنطقية . القواعد هي: وحيث " " هو رمز ميتالوجي يمثل "يمكن استبداله في برهان بـ". $${\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}$$$${\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}$$${\displaystyle \Leftrightarrow }$

القدرة على التبديل هي خاصية لبعض الروابط المنطقية لمنطق الحقيقة الوظيفية . توضح المعادلات المنطقية التالية أن القدرة على التبديل هي خاصية لروابط معينة. فيما يلي تكرارات حقيقية وظيفية .

تبادلية العطف

${\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}$

تبديلية الانفصال

${\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}$

تبديلية التضمين (وتسمى أيضًا قانون التبديل)

${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\leftrightarrow {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$

تبديلية التكافؤ (وتسمى أيضًا قانون التكافؤ التبادلي الكامل)

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}$

في نظرية المجموعات والمجموعات ، تُسمى العديد من البنى الجبرية تبديلية عندما تلبي بعض المتغيرات الخاصية التبديلية. في الفروع العليا من الرياضيات، مثل التحليل والجبر الخطي ، غالبًا ما تُستخدم خاصية تبديل العمليات المعروفة (مثل الجمع والضرب على الأعداد الحقيقية والمركبة) (أو تُفترض ضمناً) في البراهين. ^{[15] [16] [17]}

• المجموعة شبه التبادلية هي مجموعة تتمتع بعملية إجمالية وترابطية وتبديلية.
• إذا كانت العملية تحتوي أيضًا على عنصر هوية ، فلدينا أحادي تبديلي
• المجموعة الإبيلية ، أو المجموعة التبادلية هي مجموعة تكون عملية مجموعتها تبادلية. ^[16]
• الحلقة التبادلية هي حلقة يكون فيها الضرب تبادليًا. (الجمع في الحلقة يكون تبادليًا دائمًا.) ^[18]
• في المجال، يكون كل من الجمع والضرب تبادليين. ^[19]

ترتبط الخاصية الترابطية ارتباطًا وثيقًا بالخاصية التبديلية. تنص الخاصية الترابطية للتعبير الذي يحتوي على حدوثين أو أكثر لنفس العامل على أن ترتيب العمليات التي يتم إجراؤها لا يؤثر على النتيجة النهائية، طالما لم يتغير ترتيب المصطلحات. وعلى النقيض من ذلك، تنص الخاصية التبديلية على أن ترتيب المصطلحات لا يؤثر على النتيجة النهائية.

معظم العمليات التبادلية التي نواجهها في الممارسة هي أيضًا تجميعية. ومع ذلك، فإن التبديلية لا تعني التجميعية. والمثال المضاد هو الدالة التي تكون تبديلية بوضوح (لا يؤثر تبادل x و y على النتيجة)، لكنها ليست تجميعية (لأن، على سبيل المثال، ولكن ). يمكن العثور على المزيد من هذه الأمثلة في الصهارة غير التجميعية التبديلية . وعلاوة على ذلك، فإن التجميعية لا تعني التبديلية أيضًا - على سبيل المثال، يكون ضرب الرباعيات أو المصفوفات تجميعيًا دائمًا ولكن ليس دائمًا تبديليًا. $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}},}$$${\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}$${\displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}$

يمكن ربط بعض أشكال التناظر بشكل مباشر بالتبديل. فعندما تُكتب عملية تبديلية كدالة ثنائية ، فإن هذه الدالة تسمى دالة متماثلة ، ويكون رسمها البياني في الفضاء ثلاثي الأبعاد متماثلًا عبر المستوى . على سبيل المثال، إذا تم تعريف الدالة f على أنها ، فإنها تكون دالة متماثلة. ${\displaystyle z=f(x,y),}$${\displaystyle y=x}$${\displaystyle f(x,y)=x+y}$${\displaystyle f}$

بالنسبة للعلاقات، فإن العلاقة المتماثلة تشبه العملية التبادلية، حيث إذا كانت العلاقة R متماثلة، فإن . ${\displaystyle aRb\Leftrightarrow bRa}$

في ميكانيكا الكم كما صاغها شرودنغر ، يتم تمثيل المتغيرات الفيزيائية بواسطة مشغلات خطية مثل (أي الضرب في )، و . لا يتبادل هذان المشغلان كما يمكن رؤيته من خلال النظر في تأثير تركيباتهما و ( وتسمى أيضًا حاصل ضرب المشغلين) على دالة موجية أحادية البعد : ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle x{\frac {d}{dx}}}$${\textstyle {\frac {d}{dx}}x}$ ${\displaystyle \psi (x)}$$${\displaystyle x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi =x\cdot \psi '\ \neq \ \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x\cdot \psi \right)}$$

وفقًا لمبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ ، إذا لم يتبادل العاملان اللذان يمثلان زوجًا من المتغيرات، فإن هذا الزوج من المتغيرات يكملان بعضهما البعض ، مما يعني أنه لا يمكن قياسهما أو معرفتهما بدقة في نفس الوقت. على سبيل المثال، يتم تمثيل الموضع والزخم الخطي في الاتجاه - لجسيم بواسطة العاملين و ، على التوالي (حيث هو ثابت بلانك المختزل ). هذا هو نفس المثال باستثناء الثابت ، لذا مرة أخرى لا يتبادل العاملان والمعنى الفيزيائي هو أن الموضع والزخم الخطي في اتجاه معين متكاملان. ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle -i\hbar }$

• الخاصية المضادة للتبديل
• المُركز والمُعاير (يُسمى أيضًا المُبدل)
• مخطط تبديلي
• تبديلي (علم وظائف الأعصاب)
• المبدل
• قانون متوازي الأضلاع
• إحصاءات الجسيمات (للتبادلية في الفيزياء )
• دليل على أن بديهيات بيانو تشير إلى خاصية التبديل في جمع الأعداد الطبيعية
• خاصية شبه تبادلية
• تتبع أحادي
• احتمالية التنقل

• أكسلر، شيلدون (1997). الجبر الخطي المنجز بشكل صحيح، الطبعة الثانية . سبرينغر. رقم ISBN 0-387-98258-2.

  نظرية الجبر المجرد. تتناول التبادلية في هذا السياق. تستخدم الخاصية في جميع أنحاء الكتاب.

• كوبي، إيرفينج م.؛ كوهين، كارل (2005). مقدمة في المنطق (الطبعة الثانية عشرة). برنتيس هول. رقم ISBN 9780131898349.
• جاليان، جوزيف (2006). الجبر التجريدي المعاصر (الطبعة السادسة). هوتون ميفلين. رقم ISBN 0-618-51471-6.

  نظرية الجبر الخطي. يشرح التبادلية في الفصل الأول ويستخدمها في جميع أنحاء الكتاب.

• جودمان، فريدريك (2003). الجبر: المجرد والملموس، التأكيد على التناظر (الطبعة الثانية). برنتيس هول. رقم ISBN 0-13-067342-0.

  نظرية الجبر المجرد. تستخدم خاصية التبادلية في جميع أنحاء الكتاب.

• هيرلي، باتريك جيه؛ واتسون، لوري (2016). مقدمة موجزة للمنطق (الطبعة الثانية عشرة). سينغاج ليرنينج. رقم ISBN 978-1-337-51478-1.

• لومبكين، ب. (1997). "الإرث الرياضي لمصر القديمة – رد على روبرت بالتر" (PDF) (مخطوطة غير منشورة). مؤرشف من الأصل (PDF) في 13 يوليو 2007.

  مقالة تصف القدرة الرياضية للحضارات القديمة.

• جاي، روبنز ر .؛ شوت، تشارلز سي دي (1987). بردية ريند الرياضية: نص مصري قديم . المتحف البريطاني. رقم ISBN 0-7141-0944-4.

  ترجمة وتفسير بردية ريند الرياضية .

• "التبديلية"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• كرون، آرون، Commutative at PlanetMath .، تم الوصول إليه في 8 أغسطس 2007.

  تعريف التبادلية وأمثلة على العمليات التبادلية

• وايسستين، إريك دبليو. “التنقل”. عالم الرياضيات .تم الوصول إليه في 8 أغسطس 2007.

  شرح مصطلح التنقل

• "يارك".أمثلة على العمليات غير التبادلية في PlanetMath .، تم الوصول إليه في 8 أغسطس 2007

  أمثلة لإثبات بعض العمليات غير التبديلية

• O'Conner, JJ; Robertson, EF "History of real numbers". MacTutor . تم الاسترجاع في 8 أغسطس 2007 .

  مقالة تشرح تاريخ الأعداد الحقيقية

• كابيون، خوليو؛ ميلر، جيف. "أقدم الاستخدامات المعروفة للمصطلحات الرياضية" . تم الاسترجاع في 22 نوفمبر 2008 .

  صفحة تغطي أقدم استخدامات المصطلحات الرياضية

• O'Conner, JJ; Robertson, EF "biography of François Servois". MacTutor . مؤرشف من الأصل في 2 سبتمبر 2009 . تم الاسترجاع في 8 أغسطس 2007 .

  سيرة فرانسوا سيرفوا، أول من استخدم المصطلح