الدالة الخطية

في الرياضيات ، يشير مصطلح الدالة الخطية إلى مفهومين متميزين ولكنهما مرتبطان: ^{[ 1 ]}

• في حساب التفاضل والتكامل والمجالات ذات الصلة، الدالة الخطية هي دالة يكون تمثيلها البياني خطًا مستقيمًا ، أي دالة كثيرة الحدود من الدرجة صفر (كثير حدود ثابت) أو من الدرجة واحد (كثير حدود خطي). ^{[ 2 ]} ولتمييز هذه الدالة الخطية عن المفهوم الآخر، يُستخدم مصطلح الدالة الأفينية غالبًا. ^{[ 3 ]}
• في الجبر الخطي والتحليل الرياضي ^{[ 4 ]} والتحليل الوظيفي ، الدالة الخطية هي نوع من الدوال بين الفضاءات المتجهة . ^{[ 5 ]}

في حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية والمجالات ذات الصلة، الدالة الخطية هي متعددة حدود من الدرجة الأولى أو أقل، بما في ذلك متعددة الحدود الصفرية . (الأخيرة هي متعددة حدود بدون حدود، ولا تعتبر من الدرجة الصفرية).

عندما تكون الدالة ذات متغير واحد فقط ، فإنها تكون على الشكل التالي:

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

حيث a و b ثابتان ، غالباً ما يكونان عددين حقيقيين . يُرسم بيان هذه الدالة لمتغير واحد على شكل خط غير رأسي. يُشار إلى a عادةً باسم ميل الخط، وإلى b باسم نقطة تقاطعه مع المحور الرأسي.

إذا كانت قيمة a > 0 فإن الميل يكون موجبًا ويميل الرسم البياني لأعلى.

إذا كانت قيمة a < 0 فإن الميل يكون سالبًا وينحدر الرسم البياني إلى الأسفل.

لوظيفة${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}$لأي عدد محدود من المتغيرات، تكون الصيغة العامة هي

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}$

والرسم البياني عبارة عن مستوى فائق ذي بُعد k .

تُعتبر الدالة الثابتة خطية في هذا السياق أيضاً، لأنها متعددة حدود من الدرجة الصفرية أو متعددة الحدود الصفرية. ويكون تمثيلها البياني، عندما يكون هناك متغير واحد فقط، خطاً أفقياً.

في هذا السياق، يمكن الإشارة إلى الدالة التي تُعدّ أيضًا تطبيقًا خطيًا (وهو المعنى الآخر للدوال الخطية، انظر أدناه) باسم الدالة الخطية المتجانسة أو الصيغة الخطية . وفي سياق الجبر الخطي، تُعرف الدوال متعددة الحدود من الدرجة 0 أو 1 باسم التطبيقات الأفينية ذات القيم العددية .

في الجبر الخطي، الدالة الخطية هي تطبيق${\displaystyle f}$من فضاء متجهي${\displaystyle \mathbf {V} }$إلى فضاء متجهي${\displaystyle \mathbf {W} }$(ليس بالضرورة أن يكون الفضاءان مختلفين.) على نفس الحقل K بحيث

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}$

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}$

هنا ، يرمز a إلى ثابت ينتمي إلى حقل الأعداد القياسية K ( على سبيل المثال، الأعداد الحقيقية )، و x و y عنصران من${\displaystyle \mathbf {V} }$، والذي قد يكون هو K نفسه. حتى لو كان الرمز نفسه${\displaystyle +}$تُستخدم عملية الجمع بين x و y (التي تنتمي إلى${\displaystyle \mathbf {V} }$) ليس بالضرورة أن يكون هو نفسه عملية الجمع بين${\displaystyle f\left(\mathbf {x} \right)}$و${\displaystyle f\left(\mathbf {y} \right)}$(ينتمي إلى)${\displaystyle \mathbf {W} }$).

وبعبارة أخرى، تحافظ الدالة الخطية على جمع المتجهات وضرب الكميات القياسية .

يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "الدالة الخطية" فقط للخرائط الخطية التي تأخذ قيمًا في الحقل القياسي؛ ^{[ 6 ]} وتسمى هذه بشكل أكثر شيوعًا الأشكال الخطية .

تُعتبر "الدوال الخطية" في حساب التفاضل والتكامل "تحويلات خطية" عندما (وفقط عندما) تكون f (0, ..., 0) = 0 ، أو بصورة مكافئة، عندما يكون الثابت b مساويًا للصفر في كثيرة الحدود من الدرجة الأولى المذكورة أعلاه. هندسيًا، يجب أن يمر منحنى الدالة بنقطة الأصل.

• وظيفة متجانسة
• نظام غير خطي
• دالة خطية متعددة القطع
• التقريب الخطي
• الاستيفاء الخطي
• خريطة خطية غير متصلة
• المربعات الصغرى الخطية

• إزريل مويسيفيتش غيلفاند (1961)، محاضرات في الجبر الخطي ، دار إنترساينس للنشر، نيويورك. أعيد طبعه بواسطة دوفر، 1989. ISBN 0-486-66082-6
• شورز، توماس س. (2007). الجبر الخطي التطبيقي وتحليل المصفوفات . نصوص جامعية في الرياضيات . سبرينغر. ISBN 978-0-387-33195-9.
• ستيوارت، جيمس (2012). حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة (  الطبعة السابعة). بروكس/كول. ISBN 978-0-538-49790-9.
• ليونيد ن. فاسيرستين (2006)، "البرمجة الخطية"، في ليزلي هوغبن (محرر)، دليل الجبر الخطي ، الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها، تشابمان آند هول/سي آر سي، الفصل 50. ISBN 1-584-88510-6