التحليل الوظيفي

التحليل الوظيفي هو فرع من التحليل الرياضي ، والذي يتكون جوهره من دراسة فضاءات المتجهات المزودة بنوع ما من البنية المرتبطة بالحدود (على سبيل المثال، حاصل الضرب الداخلي ، أو القاعدة ، أو الطوبولوجيا ) والدوال الخطية المحددة على هذه الفضاءات والتي تحترم هذه الهياكل بشكل مناسب. تكمن الجذور التاريخية للتحليل الوظيفي في دراسة فضاءات الدوال وصياغة خصائص تحويلات الدوال مثل تحويل فورييه كتحويلات تحدد، على سبيل المثال، المشغلات المستمرة أو الوحدوية بين فضاءات الدوال. اتضح أن وجهة النظر هذه مفيدة بشكل خاص لدراسة المعادلات التفاضلية والتكاملية .

يعود استخدام كلمة وظيفية كاسم إلى حساب المتغيرات ، مما يعني دالة تكون حجتها دالة . تم استخدام المصطلح لأول مرة في كتاب هادامارد عام 1910 حول هذا الموضوع. ومع ذلك، تم تقديم المفهوم العام للدالة سابقًا في عام 1887 من قبل عالم الرياضيات والفيزياء الإيطالي فيتو فولتيرا . [1] [2] استمرت نظرية الدوال غير الخطية من قبل طلاب هادامارد، ولا سيما فريشيت وليفي . ^أسس^{هادامارد} أيضًا المدرسة الحديثة للتحليل الوظيفي الخطي التي طورها ريسز ومجموعة علماء الرياضيات البولنديين حول ستيفان باناخ .

في النصوص التمهيدية الحديثة حول التحليل الوظيفي، يُنظر إلى الموضوع على أنه دراسة للمساحات المتجهة المزودة بطوبولوجيا، وخاصة المساحات ذات الأبعاد اللانهائية . [3] [4] وعلى النقيض من ذلك، يتعامل الجبر الخطي في الغالب مع المساحات ذات الأبعاد المحدودة، ولا يستخدم الطوبولوجيا. جزء مهم من التحليل الوظيفي هو توسيع نظريات القياس والتكامل والاحتمالية إلى ^{المساحات}^ذات الأبعاد اللانهائية ، والمعروفة أيضًا باسم التحليل ذي الأبعاد اللانهائية .

فضاءات المتجهات المعيارية

إن الفئة الأساسية والأولى تاريخيًا من المساحات التي تمت دراستها في التحليل الوظيفي هي مساحات المتجهات المعيارية الكاملة على الأعداد الحقيقية أو المركبة . تسمى هذه المساحات مساحات باناخ . ومن الأمثلة المهمة على ذلك مساحة هيلبرت ، حيث تنشأ القاعدة من حاصل ضرب داخلي. هذه المساحات ذات أهمية أساسية في العديد من المجالات، بما في ذلك الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم ، والتعلم الآلي ، والمعادلات التفاضلية الجزئية ، وتحليل فورييه .

بشكل عام، يتضمن التحليل الوظيفي دراسة مساحات فريشيت ومساحات المتجهات الطوبولوجية الأخرى التي لا تتمتع بمعيار.

من أهم موضوعات الدراسة في التحليل الوظيفي هي العوامل الخطية المستمرة المحددة في فضاءات باناخ وهيلبرت. وهذا يؤدي بطبيعة الحال إلى تعريف جبر C* وجبر العوامل الأخرى .

فضاءات هيلبرت

يمكن تصنيف فضاءات هيلبرت بشكل كامل: يوجد فضاء هيلبرت فريد يصل إلى التماثل لكل عدد أساسي للأساس المتعامد . ^[5] تُفهم فضاءات هيلبرت ذات الأبعاد المحدودة بشكل كامل في الجبر الخطي ، ومساحات هيلبرت المنفصلة ذات الأبعاد اللانهائية متماثلة مع . ونظرًا لأهمية قابلية الانفصال للتطبيقات، فإن التحليل الوظيفي لمساحات هيلبرت يتعامل في الغالب مع هذه المساحة. إحدى المشكلات المفتوحة في التحليل الوظيفي هي إثبات أن كل عامل خطي محدود في فضاء هيلبرت له فضاء فرعي ثابت مناسب. وقد تم بالفعل إثبات العديد من الحالات الخاصة لمشكلة الفضاء الفرعي الثابت هذه . $\ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,$

فضاءات باناخ

إن فضاءات باناخ العامة أكثر تعقيدًا من فضاءات هيلبرت، ولا يمكن تصنيفها بهذه الطريقة البسيطة. وعلى وجه الخصوص، تفتقر العديد من فضاءات باناخ إلى مفهوم مماثل للأساس المتعامد .

أمثلة على فضاءات باناخ هي فضاءات - لأي عدد حقيقي . إذا أعطيت أيضًا قياسًا على المجموعة ، فإن ، يُشار إليها أحيانًا أيضًا أو ، لها متجهات فئات تكافؤ الدوال القابلة للقياس التي تكون قيمتها المطلقة أس - لها تكامل منتهٍ؛ أي الدوال التي يكون لها $L^{p}$ $p\geq 1$ $\mu$ $X$ $L^{p}(X)$ $L^{p}(X,\mu )$ $L^{p}(\mu )$ $[\,f\,]$ $p$ $f$ $\int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<\infty .$

إذا كان مقياس العد ، فيمكن استبدال التكامل بمجموع. أي أننا نحتاج إلى $\mu$ $\sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p$

ثم لا يكون من الضروري التعامل مع فئات التكافؤ، ويتم الإشارة إلى الفضاء ، مكتوبًا بشكل أكثر بساطة في الحالة عندما يكون مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة . $\ell ^{p}(X)$ $\ell ^{p}$ $X$

في فضاءات باناخ، يشتمل جزء كبير من الدراسة على الفضاء المزدوج : فضاء جميع الخرائط الخطية المستمرة من الفضاء إلى مجاله الأساسي، ما يسمى بالوظائف. يمكن تحديد فضاء باناخ بشكل قانوني بمساحة فرعية من ثنائيته، والتي هي ثنائية فضاءها المزدوج. الخريطة المقابلة هي قياس متساوي القياس ولكنها ليست كذلك بشكل عام. لا يلزم أن يكون فضاء باناخ العام وثنائيته متماثلين متساوي القياس بأي شكل من الأشكال، على عكس الوضع ذي الأبعاد المحدودة. يتم شرح هذا في مقال الفضاء المزدوج.

كما يمكن توسيع مفهوم المشتق ليشمل الدوال التعسفية بين فضاءات باناخ. انظر على سبيل المثال مقالة مشتقات فريشيت .

التحليل الوظيفي الخطي

^[6]

النتائج الرئيسية والأساسية

هناك أربع نظريات رئيسية يطلق عليها أحيانًا اسم الركائز الأربع للتحليل الوظيفي:

نظرية هان-باناخ
نظرية رسم الخرائط المفتوحة
نظرية الرسم البياني المغلق
مبدأ الحدود المنتظمة ، المعروف أيضًا باسم نظرية باناخ-شتاينهاوس .

تتضمن النتائج المهمة للتحليل الوظيفي ما يلي:

مبدأ الحدود الموحدة

مبدأ الحدود المنتظمة أو نظرية باناخ-شتاينهاوس هي إحدى النتائج الأساسية في التحليل الوظيفي. جنبًا إلى جنب مع نظرية هان-باناخ ونظرية التعيين المفتوح ، تعتبر هذه النظرية واحدة من أحجار الزاوية في هذا المجال. في شكلها الأساسي، تؤكد هذه النظرية أنه بالنسبة لعائلة من المشغلات الخطية المستمرة (وبالتالي المشغلات المحدودة) التي يكون مجالها فضاء باناخ ، فإن الحدود النقطية تعادل الحدود المنتظمة في معيار المشغل.

نُشرت هذه النظرية لأول مرة في عام 1927 بواسطة ستيفان باناخ وهوجو شتاينهاوس، ولكن تم إثباتها أيضًا بشكل مستقل بواسطة هانز هان .

مبرهنة (مبدأ الحدود المنتظمة) - ليكن فضاء باناخ وليكن فضاء متجه معياري . افترض أن مجموعة من العوامل الخطية المستمرة من إلى . إذا كان لكل واحد ، فإن $X$ $Y$ $F$ $X$ $Y$ $x$ $X$ $\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y$ $\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)$

نظرية الطيف

هناك العديد من النظريات المعروفة باسم النظرية الطيفية ، ولكن هناك نظرية واحدة على وجه الخصوص لها العديد من التطبيقات في التحليل الوظيفي.

نظرية الطيف ^[7] - ليكن عامل مرافق ذاتي محدود على فضاء هيلبرت . ثم هناك فضاء قياس ودالة قابلة للقياس محدودة أساسًا ذات قيمة حقيقية على وعامل موحد بحيث يكون T هو عامل الضرب : و . $A$ $H$ $(X,\Sigma ,\mu )$ $f$ $X$ $U:H\to L_{\mu }^{2}(X)$ $U^{*}TU=A$ $[T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).$ $\|T\|=\|f\|_{\infty }$

هذه هي بداية منطقة بحث واسعة النطاق في التحليل الوظيفي تسمى نظرية المشغل ؛ انظر أيضًا القياس الطيفي .

هناك أيضًا نظرية طيفية مماثلة للمشغلات الطبيعية المحدودة في فضاءات هيلبرت. والفرق الوحيد في الاستنتاج هو أنه قد يكون الآن ذو قيمة معقدة. $f$

نظرية هان-باناخ

تُعد نظرية هان-باناخ أداة أساسية في التحليل الوظيفي. فهي تسمح بتوسيع الدوال الخطية المحدودة المحددة في فضاء فرعي من فضاء متجه إلى الفضاء بأكمله، كما تُظهِر أيضًا أن هناك "عددًا كافيًا" من الدوال الخطية المستمرة المحددة في كل فضاء متجه معياري لجعل دراسة الفضاء المزدوج "مثيرة للاهتمام".

نظرية هان-باناخ: ^[8] — إذا كانت دالة فرعية خطية ، وكانت دالة خطية على فضاء فرعي خطي يهيمن عليه on ؛ أي أنه يوجد امتداد خطي لـ إلى الفضاء بأكمله الذي يهيمن عليه on ؛ أي أنه توجد دالة خطية بحيث $p:V\to \mathbb {R}$ $\varphi :U\to \mathbb {R}$ $U\subseteq V$ $p$ $U$ $\varphi(x)\leq p(x)\qquad \لكل x\in U$ $\psi :V\to \mathbb {R}$ $\varphi$ $V$ $p$ $V$ $\psi$ ${\begin{aligned}\psi (x)&=\varphi (x)&\forall x\in U,\\\psi (x)&\leq p(x)&\forall x\in V.\end{aligned}}$

نظرية رسم الخرائط المفتوحة

نظرية رسم الخرائط المفتوحة ، والمعروفة أيضًا باسم نظرية باناخ-شودر (التي سميت على اسم ستيفان باناخ وجوليوس شودر )، هي نتيجة أساسية تنص على أنه إذا كان المؤثر الخطي المستمر بين فضاءات باناخ متجاوزًا ، فإنه يكون خريطة مفتوحة . وبشكل أكثر دقة، ^[8]

مبرهنة رسم الخرائط المفتوحة — إذا كان و فضاءات باناخ و عامل خطي مستمر متعامد، فإن تكون رسمًا مفتوحًا (أي إذا كانت مجموعة مفتوحة في ، فإن تكون مفتوحة في ). $X$ $Y$ $A:X\to Y$ $A$ $U$ $X$ $A(U)$ $Y$

يستخدم الإثبات نظرية فئة باير ، واكتمال كليهما و ضروري للنظرية. لم تعد عبارة النظرية صحيحة إذا افترضنا أن أيًا من المساحتين مجرد مساحة معيارية ، ولكنها صحيحة إذا تم اعتبار و مساحتي فريشيه . $X$ $Y$ $X$ $Y$

نظرية الرسم البياني المغلق

نظرية الرسم البياني المغلق — إذا كانت فضاء طوبولوجي و فضاء هاوسدورف مضغوط ، فإن الرسم البياني للخريطة الخطية من إلى يكون مغلقًا إذا وفقط إذا كان متصلًا . ^[9] $X$ $Y$ $T$ $X$ $Y$ $T$

مواضيع أخرى

أساسيات اعتبارات الرياضيات

معظم المساحات التي يتم النظر فيها في التحليل الوظيفي لها أبعاد لا نهائية. قد يتطلب إظهار وجود أساس فضاء متجه لمثل هذه المساحات مبرهنة زورن . ومع ذلك، فإن مفهومًا مختلفًا إلى حد ما، وهو أساس شودر ، يكون عادةً أكثر صلة بالتحليل الوظيفي. تتطلب العديد من النظريات مبرهنة هان-باناخ ، والتي يتم إثباتها عادةً باستخدام بديهية الاختيار ، على الرغم من أن مبرهنة الأعداد الأولية المثالية البوليانية الأضعف تمامًا تكفي. تتطلب مبرهنة فئة باير ، اللازمة لإثبات العديد من النظريات المهمة، أيضًا شكلًا من أشكال بديهية الاختيار.

وجهات نظر

يتضمن التحليل الوظيفي الاتجاهات التالية:

التحليل المجرد . نهج للتحليل يعتمد على المجموعات الطوبولوجية ، والحلقات الطوبولوجية ، ومساحات المتجهات الطوبولوجية .
تتضمن هندسة فضاءات باناخ العديد من المواضيع. أحدها هو النهج التوافقي المرتبط بجان بورجان ؛ والآخر هو توصيف فضاءات باناخ التي تنطبق عليها أشكال مختلفة من قانون الأعداد الكبيرة .
الهندسة غير التبادلية . تم تطويرها بواسطة ألان كونيس ، بناءً جزئيًا على مفاهيم سابقة، مثلنهج جورج ماكي لنظرية الإرجوديك .
الارتباط بميكانيكا الكم . إما أن يتم تعريفه بشكل ضيق كما هو الحال في الفيزياء الرياضية ، أو يتم تفسيره على نطاق واسع من قبل، على سبيل المثال، إسرائيل جيلفاند ، ليشمل معظم أنواع نظرية التمثيل .

انظر أيضا

مراجع

^ Lawvere, F. William. "Volterra's functions and covariant cohesion of space" (PDF) . acsu.buffalo.edu . Proceedings of the May 1997 Meeting in Perugia. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2003-04-07 . تم الاسترجاع في 2018-06-12 .
^ سارايفا ، لويس (أكتوبر 2004). تاريخ العلوم الرياضية. العلمية العالمية. ص. 195. دوى :10.1142/5685. رقم ISBN 978-93-86279-16-3.
^ باورز، آدم؛ كالتون، نايجل جيه. (2014). دورة تمهيدية في التحليل الوظيفي . سبرينغر . ص 1.
^ كاديتس ، فلاديمير (2018). دورة في التحليل الوظيفي ونظرية القياس [ КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ]. سبرينغر . ص السادس عشر.
^ ريسز ، فريجيس (1990). التحليل الوظيفي. Béla Szőkefalvi-Nagy، Leo F. Boron (طبعة دوفر). نيويورك: منشورات دوفر. ص 195-199. رقم ISBN 0-486-66289-6. OCLC 21228994.
^ Rynne, Bryan; Youngson, Martin A. (29 December 2007). Linear Functional Analysis. Springer . تم الاسترجاع في 30 ديسمبر 2023 .
^ هال، بريان سي. (2013-06-19). نظرية الكم للرياضيين. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا . ص. 147. رقم ISBN 978-1-4614-7116-5.
^ ab Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5.
^ مونكريس، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا. برنتيس هول، إنكوربوريتد. ص. 171. ISBN 978-0-13-181629-9.

قراءة إضافية

Aliprantis, CD, Border, KC: Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , 3rd ed., Springer 2007, ISBN 978-3-540-32696-0 . متاح على الإنترنت doi :10.1007/3-540-29587-9 (بالاشتراك)
باخمان، جي، ناريسي، إل: التحليل الوظيفي ، أكاديميك بريس، 1966. (إعادة طبع منشورات دوفر)
Banach S. Theory of Linear Operations Archived 2021-10-28 at the Wayback Machine . المجلد 38، مكتبة شمال هولندا للرياضيات، 1987، ISBN 0-444-70184-2
Brezis، H. : تحليل Fonctionnelle ، دونود ISBN 978-2-10-004314-9 أو ISBN 978-2-10-049336-4
كونواي، ج. ب .: دورة في التحليل الوظيفي ، الطبعة الثانية، سبرينغر فيرلاغ، 1994، ISBN 0-387-97245-5
Dunford, N. و Schwartz, JT : Linear Operators, General Theory, John Wiley & Sons ، و3 مجلدات أخرى، تتضمن مخططات توضيحية
إدواردز، ر. إ.: التحليل الوظيفي، النظرية والتطبيقات ، هولد، رينهارت ووينستون، 1965.
إيدلمان، يولي، فيتالي ميلمان، وأنتونيس تسولوميتس: التحليل الوظيفي: مقدمة ، الجمعية الرياضية الأمريكية، 2004.
فريدمان، أ. : أسس التحليل الحديث ، منشورات دوفر، طبعة الغلاف الورقي، 21 يوليو 2010
جايلز، جيه آر: مقدمة لتحليل المساحات الخطية المعيارية ، مطبعة جامعة كامبريدج، 2000
هيرش ف.، لاكومب ج. - "عناصر التحليل الوظيفي"، سبرينغر 1999.
هوتسون، ف.، بيم، جيه إس، كلاود إم جيه: تطبيقات التحليل الوظيفي ونظرية المشغل ، الطبعة الثانية، إلسيفير ساينس، 2005، رقم ISBN 0-444-51790-1
كانتوروفيتش، س.، مقدمة إلى التحليل الحديث ، مطبعة جامعة أكسفورد، 2003، الطبعة الثانية 2006.
كولموغوروف، إيه إن وفومين ، إس في : عناصر نظرية الوظائف والتحليل الوظيفي ، منشورات دوفر، 1999
كريسيج، إي . : التحليل الوظيفي التمهيدي مع التطبيقات ، وايلي، 1989.
لاكس، ب. : التحليل الوظيفي ، وايلي-إنترسايس، 2002، ISBN 0-471-55604-1
ليبيديف، إل بي وفوروفيتش، الثاني: التحليل الوظيفي في الميكانيكا ، سبرينغر فيرلاغ، 2002
ميشيل، أنتوني ن. وتشارلز ج. هيرجيت: الجبر التطبيقي والتحليل الوظيفي ، دوفر، 1993.
بيتش، ألبريشت: تاريخ مساحات باناخ والمشغلين الخطيين ، Birkhäuser Boston Inc.، 2007، ISBN 978-0-8176-4367-6
ريد، م . ، سيمون، ب. : "التحليل الوظيفي"، مطبعة الأكاديمية 1980.
ريز، ف. وس.-ناجي، ب.: التحليل الوظيفي ، منشورات دوفر، 1990
رودين، دبليو . : التحليل الوظيفي ، ماكجرو هيل ساينس، 1991
ساكس، كارين: التحليل الوظيفي الأولي ، سبرينغر، 2001
شيشتر، م.: مبادئ التحليل الوظيفي ، AMS، الطبعة الثانية، 2001
شيلوف، جورجي إي: التحليل الوظيفي الأولي ، دوفر، 1996.
سوبوليف، إس إل : تطبيقات التحليل الوظيفي في الفيزياء الرياضية ، AMS، 1963
فوجت، د.، ميس، ر.: مقدمة في التحليل الوظيفي ، مطبعة جامعة أكسفورد، 1997.
يوسيدا، ك. : التحليل الوظيفي ، دار نشر سبرينغر، الطبعة السادسة، 1980

روابط خارجية

"التحليل الوظيفي"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS ، 2001 [1994]
مواضيع في التحليل الحقيقي والوظيفي بقلم جيرالد تيشل ، جامعة فيينا.
محاضرات حول التحليل الوظيفي بقلم يفجيني فيلينسكي، جامعة نيويورك.
فيديوهات محاضرات عن التحليل الوظيفي بواسطة جريج مورو أرشيف 2017-04-01 على موقع واي باك مشين من جامعة كولورادو كولورادو سبرينجز

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[1] Lawvere, F. William. "Volterra's functions and covariant cohesion of space" (PDF) . acsu.buffalo.edu . Proceedings of the May 1997 Meeting in Perugia. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2003-04-07 . تم الاسترجاع في 2018-06-12 .

[2] سارايفا ، لويس (أكتوبر 2004). تاريخ العلوم الرياضية. العلمية العالمية. ص. 195. دوى :10.1142/5685. رقم ISBN 978-93-86279-16-3.

[3] باورز، آدم؛ كالتون، نايجل جيه. (2014). دورة تمهيدية في التحليل الوظيفي . سبرينغر . ص 1.

[4] كاديتس ، فلاديمير (2018). دورة في التحليل الوظيفي ونظرية القياس [ КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ]. سبرينغر . ص السادس عشر.

[5] ريسز ، فريجيس (1990). التحليل الوظيفي. Béla Szőkefalvi-Nagy، Leo F. Boron (طبعة دوفر). نيويورك: منشورات دوفر. ص 195-199. رقم ISBN 0-486-66289-6. OCLC 21228994.

[6] Rynne, Bryan; Youngson, Martin A. (29 December 2007). Linear Functional Analysis. Springer . تم الاسترجاع في 30 ديسمبر 2023 .

[7] هال، بريان سي. (2013-06-19). نظرية الكم للرياضيين. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا . ص. 147. رقم ISBN 978-1-4614-7116-5.

[rudin-8] Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5.

[9] مونكريس، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا. برنتيس هول، إنكوربوريتد. ص. 171. ISBN 978-0-13-181629-9.

ف ت هـ المواضيع الرئيسية في التحليل الرياضي
حساب التفاضل والتكامل : التكامل التمايز المعادلات التفاضلية عادي جزئي عشوائي النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل حساب المتغيرات حساب المتجهات حساب الموتر حساب المصفوفات قوائم التكاملات جدول المشتقات
تحليل حقيقي تحليل معقد تحليل معقد للغاية ( تحليل رباعي ) التحليل الوظيفي تحليل فورييه التحليل الطيفي لأقل المربعات التحليل التوافقي تحليل P-adic ( أرقام P-adic ) نظرية القياس نظرية التمثيل الوظائف وظيفة مستمرة وظائف خاصة حد مسلسل اللانهاية
بوابة الرياضيات

ف ت هـ مجالات الرياضيات الرئيسية
تاريخ الخط الزمني مستقبل القوائم المصطلحات
الأسس	نظرية الفئات نظرية المعلومات المنطق الرياضي فلسفة الرياضيات نظرية المجموعات نظرية النوع
الجبر	خلاصة تبديلي ابتدائي نظرية المجموعة خطي متعدد الخطوط عالمي متماثل
تحليل	حساب التفاضل والتكامل تحليل حقيقي تحليل معقد تحليل معقد للغاية المعادلات التفاضلية التحليل الوظيفي التحليل التوافقي نظرية القياس
منفصلة	التركيبات نظرية الرسم البياني نظرية النظام
الهندسة	جبري تحليلي الحساب التفاضلي منفصلة إقليدي محدود
نظرية الأعداد	الحساب نظرية الأعداد الجبرية نظرية الأعداد التحليلية هندسة ديوفانتين
الطوبولوجيا	عام جبري التفاضلي هندسي نظرية التماثل
مُطبَّق	الرياضيات الهندسية علم الأحياء الرياضي الكيمياء الرياضية الاقتصاد الرياضي التمويل الرياضي الفيزياء الرياضية علم النفس الرياضي علم الاجتماع الرياضي الإحصاء الرياضي احتمال إحصائيات علم النظم نظرية التحكم نظرية اللعبة بحوث العمليات
حسابي	علوم الحاسوب نظرية الحساب نظرية التعقيد الحسابي التحليل العددي تحسين الجبر الحاسوبي
مواضيع ذات صلة	علماء الرياضيات القوائم الرياضيات غير الرسمية أفلام عن علماء الرياضيات الرياضيات الترفيهية الرياضيات والفن تعليم الرياضيات
بوابة الرياضيات فئة الموارد المشتركة مشروع ويكي

قواعد بيانات التحكم بالصلاحيات
دولي	سريع
وطني	ألمانيا الولايات المتحدة فرنسا بيانات المكتبة الوطنية الفرنسية اليابان الجمهورية التشيكية إسبانيا إسرائيل