التحليل الرباعي

في الرياضيات ، يُعرف التحليل الرباعي بدراسة الدوال التي يكون مجالها أو مداها رباعيات . ويمكن تسمية هذه الدوال بدوال متغير رباعي، تمامًا كما تُسمى دوال المتغير الحقيقي أو المتغير المركب .

كما هو الحال في التحليل المركب والتحليل الحقيقي ، من الممكن دراسة مفاهيم التحليلية ، والشكلية ، والتوافقية ، والتطابقية في سياق الأعداد الرباعية. وعلى عكس الأعداد المركبة ، ومثل الأعداد الحقيقية ، فإن هذه المفاهيم الأربعة لا تتطابق.

تُعد إسقاطات الكواترنيون على الجزء القياسي أو على الجزء المتجهي، بالإضافة إلى وظائف المعيار والمتجه ، أمثلة أساسية لفهم بنية الكواترنيون.

ومن الأمثلة المهمة على دالة لمتغير رباعي الأبعاد ما يلي:

${\displaystyle f_{1}(q)=uqu^{-1}}$

والذي يقوم بتدوير الجزء المتجهي من q بمقدار ضعف الزاوية التي يمثلها المتجه u .

المعكوس الضربي للرباعي${\displaystyle f_{2}(q)=q^{-1}}$وهي وظيفة أساسية أخرى، ولكن كما هو الحال مع أنظمة الأرقام الأخرى،${\displaystyle f_{2}(0)}$ويتم استبعاد المشاكل ذات الصلة بشكل عام بسبب طبيعة القسمة على الصفر .

تأخذ التحويلات الأفينية للأعداد الرباعية الشكل التالي

${\displaystyle f_{3}(q)=aq+b,\quad a,b,q\in \mathbb {H} .}$

يمكن تمثيل التحويلات الكسرية الخطية للأعداد الرباعية بواسطة عناصر حلقة المصفوفة${\displaystyle M_{2}(\mathbb {H} )}$العمل على الخط الإسقاطي فوق${\displaystyle \mathbb {H} }$على سبيل المثال، عمليات الربط${\displaystyle q\mapsto uqv,}$أين${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$تُستخدم المتجهات الثابتة لإنتاج حركات الفضاء الإهليلجي .

تختلف نظرية المتغيرات الرباعية عن نظرية المتغيرات المركبة في بعض الجوانب. على سبيل المثال: يُعدّ تحويل المرافق المركب للمستوى المركب أداةً أساسية، ولكنه يتطلب إدخال عملية غير حسابية وغير تحليلية . في الواقع، يُغيّر المرافق اتجاه الأشكال المستوية، وهو أمر لا تُغيّره الدوال الحسابية.

على عكس المرافق المعقد ، يمكن التعبير عن مرافق الكواترنيون حسابيًا، كما يلي:${\displaystyle f_{4}(q)=-{\tfrac {1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)}$

يمكن إثبات هذه المعادلة، بدءًا من الأساس {1، i، j، k}:

${\displaystyle f_{4}(1)=-{\tfrac {1}{2}}(1-1-1-1)=1,\quad f_{4}(i)=-{\tfrac {1}{2}}(i-i+i+i)=-i,\quad f_{4}(j)=-j,\quad f_{4}(k)=-k}$.

وبالتالي، بما أن${\displaystyle f_{4}}$خطي ،​

${\displaystyle f_{4}(q)=f_{4}(w+xi+yj+zk)=wf_{4}(1)+xf_{4}(i)+yf_{4}(j)+zf_{4}(k)=w-xi-yj-zk=q^{*}.}$

لقد شجع نجاح التحليل المركب في توفير مجموعة غنية من الدوال التحليلية الشاملة للعمل العلمي بعض الباحثين على بذل جهود لتوسيع النظرية المستوية، القائمة على الأعداد المركبة، لتشمل دراسة الفضاء الرباعي باستخدام دوال لمتغير رباعي. ^{[ 1 ]} وقد لُخِّصت هذه الجهود في كتاب ديفورز (1973) . ^{[ أ ]}

رغم ذلك${\displaystyle \mathbb {H} }$يظهر على شكل اتحاد لمستويات معقدة ، وتوضح القضية التالية أن توسيع الدوال المعقدة يتطلب عناية خاصة:

يترك${\displaystyle f_{5}(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$أن تكون دالة لمتغير مركب،${\displaystyle z=x+iy}$افترض أيضاً أن${\displaystyle u}$هي دالة زوجية لـ${\displaystyle y}$وذلك${\displaystyle v}$هي دالة فردية لـ${\displaystyle y}$. ثم${\displaystyle f_{5}(q)=u(x,y)+rv(x,y)}$هو امتداد لـ${\displaystyle f_{5}}$إلى متغير رباعي${\displaystyle q=x+yr}$أين${\displaystyle r^{2}=-1}$و${\displaystyle r\in \mathbb {H} }$ثم دع${\displaystyle r^{*}}$يمثل المرافق لـ${\displaystyle r}$، لهذا السبب${\displaystyle q=x-yr^{*}}$امتداد إلى${\displaystyle \mathbb {H} }$سيكتمل الأمر عندما يتبين أن${\displaystyle f_{5}(q)=f_{5}(x-yr^{*})}$في الواقع، بحسب الفرضية

${\displaystyle u(x,y)=u(x,-y),\quad v(x,y)=-v(x,-y)\quad }$يحصل المرء

${\displaystyle f_{5}(x-yr^{*})=u(x,-y)+r^{*}v(x,-y)=u(x,y)+rv(x,y)=f_{5}(q).}$

فيما يلي، تُستخدم النقطتان الرأسيتان والأقواس المربعة للدلالة على المتجهات المتجانسة .

يُعدّ الدوران حول المحور r تطبيقًا كلاسيكيًا للأكواترنيونات في رسم الخرائط المكانية . ^{[ 2 ]} ويُعبّر عن الدوران بدلالة التماثل الهندسي كما يلي:

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}=[qu:u]\thicksim [u^{-1}qu:1],}$

أين${\displaystyle u=\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta }$هو متجه متجه . إذا كان p * = −p ، فإن الإزاحة${\displaystyle q\mapsto q+p}$يُعبَّر عنه بـ

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}1&0\\p&1\end{pmatrix}}=[q+p:1].}$

يُعطى الدوران والانتقال xr على طول محور الدوران بالعلاقة التالية

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\uxr&u\end{pmatrix}}=[qu+uxr:u]\thicksim [u^{-1}qu+xr:1].}$

يُطلق على هذا النوع من التحويل اسم الإزاحة اللولبية . في علم الحركة الكلاسيكي ، تنص نظرية تشالس على أنه يمكن تمثيل أي حركة لجسم صلب على شكل إزاحة لولبية. وكما أن تمثيل التناظر الإقليدي المستوي كدوران هو مسألة حسابية للأعداد المركبة، فإن نظرية تشالس، والمحور اللولبي المطلوب، هما مسألة حسابية للأعداد الرباعية مع التحويلات المتجانسة: ليكن s متجهًا يمينيًا، أو الجذر التربيعي لسالب واحد، عموديًا على r ، حيث t = rs .

لنفترض المحور المار بالنقطة s والموازي للنقطة r . يُعبَّر عن الدوران حوله ^{[ 3 ]} بواسطة تركيب التجانس.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\-s&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\s&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\z&u\end{pmatrix}},}$

أين${\displaystyle z=us-su=\sin \theta (rs-sr)=2t\sin \theta .}$

الآن في المستوى ( s,t ) يرسم المعامل θ دائرة${\displaystyle u^{-1}z=u^{-1}(2t\sin \theta )=2\sin \theta (t\cos \theta -s\sin \theta )}$في نصف المستوى${\displaystyle \lbrace wt+xs:x>0\rbrace .}$

أي نقطة p في هذا النصف المستوي تقع على شعاع من نقطة الأصل يمر عبر الدائرة${\displaystyle \lbrace u^{-1}z:0<\theta <\pi \rbrace }$ويمكن كتابتها${\displaystyle p=au^{-1}z,\ \ a>0.}$

إذن، أعلى = سمت ، مع${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\az&u\end{pmatrix}}}$باعتبارها التجانس الذي يعبر عن اقتران الدوران بالانتقال ص.

منذ زمن هاميلتون، أُدرك أن اشتراط استقلال المشتقة عن المسار الذي يتبعه التفاضل نحو الصفر هو شرط مقيد للغاية: فهو يستبعد حتى${\displaystyle \ f(q)=q^{2}\ }$من التفاضل. لذلك، فإن المشتقة المعتمدة على الاتجاه ضرورية لدوال متغير رباعي. ^{[ 4 ] [ 5 ]} بالنظر إلى زيادة دالة متعددة الحدود ذات وسيط رباعي، يتضح أن الزيادة هي دالة خطية لزيادة الوسيط. ومن هذا، يمكن صياغة التعريف التالي:

دالة متصلة ${\displaystyle \ f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} \ }$ يُطلق عليها اسم قابلة للتفاضل على المجموعة${\displaystyle \ U\subset \mathbb {H} \ ,}$إذا كان ذلك في كل نقطة${\displaystyle \ x\in U\ ,}$زيادة في الدالة${\displaystyle \ f\ }$بما يتوافق مع زيادة رباعية${\displaystyle \ h\ }$يمكن تمثيل حجتها على النحو التالي:

${\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h+o(h)}$

أين

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

هي خريطة خطية لجبر الكواترنيون${\displaystyle \ \mathbb {H} \ ,}$و ${\displaystyle \ o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} \ }$ يمثل بعض الخرائط المتصلة بحيث

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {\ \left|\ o(a)\ \right|\ }{\left|\ a\ \right|}}=0\ ,}$

والترميز${\displaystyle \ \circ h\ }$يدل على ...

الخريطة الخطية ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}}$ يُطلق عليه اسم مشتق الخريطة${\displaystyle \ f~.}$

بالنسبة للأعداد الرباعية، يمكن التعبير عن المشتقة على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}=\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\otimes {\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}}$

وبالتالي، فإن تفاضل الخريطة${\displaystyle \ f\ }$يمكن التعبير عنها على النحو التالي، مع وضع أقواس على كلا الجانبين.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=\left(\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\otimes {\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}\right)\circ \operatorname {d} x=\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\left(\operatorname {d} x\right){\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}}$

سيعتمد عدد الحدود في المجموع على الدالة${\displaystyle \ f~.}$التعبيرات ${\displaystyle ~~{\frac {\operatorname {d} _{sp}\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}~~{\mathsf {\ for\ }}~~p=0,1~~}$تُسمى هذه المكونات بمكونات المشتقة.

يُعرَّف مشتق الدالة الرباعية بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h=\lim _{t\to 0}\left(\ {\frac {\ f(x+t\ h)-f(x)\ }{t}}\ \right)}$

حيث المتغير${\displaystyle \ t\ }$هو كمية قياسية حقيقية.

وبالتالي، تتحقق المعادلات التالية:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)+g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)\ g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)\ g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}\circ h=\left({\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)\ g(x)+f(x)\left({\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(a\ f(x)\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=a\ {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\ b}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(a\ f(x)\ b\right)}{\operatorname {d} x}}\circ h=a\left({\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)b}$

بالنسبة للوظيفة${\displaystyle \ f(x)=a\ x\ b\ ,}$أين${\displaystyle \ a\ }$و${\displaystyle \ b\ }$إذا كانت الأعداد الرباعية ثابتة، فإن المشتقة هي

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(a\ x\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=a\otimes b}$

${\displaystyle \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} \left(a\ x\ b\right)}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=a\ \left(\operatorname {d} x\right)\ b}$

وبالتالي فإن المكونات هي:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{10}\left(a\ x\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=a}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{11}\left(a\ x\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=b}$

وبالمثل، بالنسبة للدالة${\displaystyle \ f(x)=x^{2}\ ,}$المشتق هو

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x^{2}}{\operatorname {d} x}}=x\otimes 1+1\otimes x}$

${\displaystyle \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} x^{2}}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=x\ \operatorname {d} x+(\operatorname {d} x)\ x}$

والمكونات هي:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{10}x^{2}}{\operatorname {d} x}}=x}$		${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{11}x^{2}}{\operatorname {d} x}}=1}$
${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{20}x^{2}}{\operatorname {d} x}}=1}$		${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{21}x^{2}}{\operatorname {d} x}}=x}$

وأخيراً، بالنسبة للوظيفة ${\displaystyle \ f(x)=x^{-1}\ ,}$ المشتق هو

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x^{-1}}{\operatorname {d} x}}=-x^{-1}\otimes x^{-1}}$

${\displaystyle \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} x^{-1}}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=-x^{-1}(\operatorname {d} x)\ x^{-1}}$

والمكونات هي:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{10}x^{-1}}{\operatorname {d} x}}=-x^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{11}x^{-1}}{\operatorname {d} x}}=x^{-1}}$

• كايلي تتحول
• مشعب رباعي