كايلي تتحول

في الرياضيات ، يُعرف تحويل كايلي ، نسبةً إلى آرثر كايلي ، بأنه أيٌّ من مجموعة من العناصر المترابطة. وكما وصفه كايلي (1846) ، فإن تحويل كايلي هو تحويل بين المصفوفات المتناظرة المائلة والمصفوفات المتعامدة الخاصة . ويُستخدم هذا التحويل في التحليل الحقيقي ، والتحليل المركب ، والتحليل الرباعي . وفي نظرية فضاءات هيلبرت ، يُعد تحويل كايلي تحويلاً بين المؤثرات الخطية ( نيكولسكي 1988 ) .

يمكن تطبيق تحويل كايلي ببساطة على خط الإسقاط الحقيقي . يقوم هذا التحويل بتبديل عناصر المجموعة {1، 0، -1، ∞} بالتسلسل. على سبيل المثال، يُسقط الأعداد الحقيقية الموجبة على الفترة [-1، 1]. بالتالي، يُستخدم تحويل كايلي لتكييف كثيرات حدود ليجندر لاستخدامها مع الدوال على الأعداد الحقيقية الموجبة، بما في ذلك دوال ليجندر الكسرية .

باعتبارها تحويلاً متجانساً حقيقياً ، تُوصف النقاط بإحداثيات إسقاطية ، ويكون التحويل هو

${\displaystyle [y,\ 1]=\left[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1\right]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.}$

في النصف العلوي من المستوى المركب ، يكون تحويل كايلي كما يلي: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle f(z)={\frac {zi}{z+i}}.}$

منذ${\displaystyle \{\infty ,1,-1\}}$يتم تعيينها إلى${\displaystyle \{1,-i,i\}}$وتقوم تحويلات موبيوس بتبديل الدوائر المعممة في المستوى المركب .${\displaystyle f}$يرسم خط الأعداد الحقيقية على دائرة الوحدة . علاوة على ذلك، بما أن${\displaystyle f}$هو تماثل شكلي و${\displaystyle i}$يتم ضبطه على الصفر بواسطة${\displaystyle f}$، يتم تعيين النصف العلوي من المستوى إلى القرص الواحد .

فيما يتعلق بنماذج الهندسة الزائدية ، فإن تحويل كايلي هذا يربط نموذج نصف المستوى بوانكاريه بنموذج قرص بوانكاريه .

في الهندسة الكهربائية، تم استخدام تحويل كايلي لرسم خريطة نصف مستوى المفاعلة إلى مخطط سميث المستخدم لمطابقة معاوقة خطوط النقل.

في الفضاء الرباعي الأبعاد للأكواترنيونات${\displaystyle a+b{\vec {i}}+c{\vec {j}}+d{\vec {k}}}$، الفيرسور

${\displaystyle u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta }$شكّل وحدة الكرة ثلاثية الأبعاد .

بما أن الأعداد الرباعية غير تبادلية، فإن عناصر خطها الإسقاطي لها إحداثيات متجانسة مكتوبة${\displaystyle U[a,b]}$للدلالة على أن العامل المتجانس يُضرب من اليسار. تحويل الكواترنيون هو

${\displaystyle f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[qu,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(qu),\ 1].}$

تُعدّ التحويلات المتجانسة الحقيقية والمعقدة الموصوفة أعلاه أمثلة على التحويل المتجانس الرباعي حيث${\displaystyle \theta }$يساوي صفرًا أو${\displaystyle \pi /2}$على التوالي. من الواضح أن التحويل يأخذ${\displaystyle u\to 0\to -1}$ويأخذ${\displaystyle -u\to \infty \to 1}$.

تقييم هذا التجانس عند${\displaystyle q=1}$يرسم المتجه${\displaystyle u}$في محورها:

${\displaystyle f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.}$

لكن${\displaystyle |1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{and}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .}$

هكذا${\displaystyle f(u,1)=-r{\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.}$

في هذا الشكل، تم وصف تحويل كايلي بأنه تمثيل منطقي للدوران: ليكن${\displaystyle t=\tan \phi /2}$في متطابقة الأعداد المركبة ^{[ 3 ]}

${\displaystyle e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}}$

حيث يمثل الجانب الأيمن تحويل${\displaystyle ti}$ويمثل الجانب الأيسر دوران المستوى بزاوية سالبة${\displaystyle \phi }$الراديان.

من بين المصفوفات المربعة n × n على الأعداد الحقيقية ، مع I مصفوفة الوحدة ، دع A تكون أي مصفوفة متماثلة معكوسة (بحيث A ^T = − A ). 

إذن فإن I  + A قابلة للعكس ، وتحويل كايلي 

${\displaystyle Q=(IA)(I+A)^{-1}\,\!}$

ينتج مصفوفة متعامدة ، Q (بحيث Q ^T Q  = I ). عملية ضرب المصفوفات في تعريف Q أعلاه تبديلية، لذا يمكن تعريف Q بشكل بديل على النحو التالي:${\displaystyle Q=(I+A)^{-1}(IA)}$في الواقع، يجب أن يكون للمصفوفة Q محدد +1، لذا فهي متعامدة خاصة.

وبالعكس، ليكن Q أي مصفوفة متعامدة لا تحتوي على القيمة الذاتية -1 ؛ عندئذٍ

${\displaystyle A=(IQ)(I+Q)^{-1}\,\!}$

هي مصفوفة متناظرة معكوسة. (انظر أيضًا: الانعكاس ). يستبعد الشرط على Q تلقائيًا المصفوفات ذات المحدد -1، ولكنه يستبعد أيضًا بعض المصفوفات المتعامدة الخاصة.

ومع ذلك، يمكن كتابة أي مصفوفة دوران (متعامدة خاصة) Q على النحو التالي

${\displaystyle Q={\bigl (}(IA)(I+A)^{-1}{\bigr )}^{2}}$

بالنسبة لمصفوفة A متناظرة معكوسة ؛ وبشكل أعم، يمكن كتابة أي مصفوفة متعامدة Q على النحو التالي:

${\displaystyle Q=E(IA)(I+A)^{-1}}$

لبعض المصفوفات المتناظرة المائلة A وبعض المصفوفات القطرية E التي تحتوي على ±1 كعناصر. ^{[ 4 ]}

كما لوحظ شكل مختلف قليلاً، ^{[ 5 ] [ 6 ]} يتطلب عمليات ربط مختلفة في كل اتجاه،

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=(IA)^{-1}(I+A),\\[5mu]A&=(QI)(Q+I)^{-1}.\end{aligned}}}$

يمكن أيضًا كتابة عمليات الربط مع عكس ترتيب العوامل؛ ^{[ 7 ] [ 8 ]} ومع ذلك، فإن A دائمًا ما يتبادل مع (μ I  ± A ) ⁻¹ ، لذا فإن إعادة الترتيب لا تؤثر على التعريف. 

يُعدّ فضاء هيلبرت نسخةً لا نهائية الأبعاد من فضاء الضرب الداخلي ، ولا يمكن حينها الحديث عن المصفوفات . مع ذلك، فإن المصفوفات ليست سوى تمثيلات للمؤثرات الخطية ، ويمكن استخدامها. لذا، بتعميم كلٍّ من تحويل المصفوفات وتحويل المستوى المركب، يمكن تعريف تحويل كايلي للمؤثرات. ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}U&{}=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\\A&{}=\mathbf {i} (I+U)(I-U)^{-1}\end{aligned}}}$

هنا ، مجال U ، dom U ، هو ( A + iI ) dom A. انظر عامل الترافق الذاتي لمزيد من التفاصيل.   

• التحويل الثنائي الخطي
• امتدادات المؤثرات المتناظرة

• ستيرلينغ ك. بربريان (1974) محاضرات في التحليل الوظيفي ونظرية المؤثرات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات #15، الصفحات 278، 281، دار نشر سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 978-0-387-90081-0
• كايلي ، آرثر (1846)، “Sur quelques propriétés des déterminants gauches” ، Journal für die reine und angewandte Mathematik ، 32 (2): 119– 123، دوى : 10.1515 / crll.1846.32.119 ، ISSN 0075-4102 أُعيد طبعه كالمادة 52 (الصفحات  332-336) في كتاب كايلي، آرثر (1889)، الأوراق الرياضية المجمعة لآرثر كايلي ، المجلد الأول (1841-1853)، مطبعة جامعة كامبريدج ، الصفحات 332-336  
• لوكيناث ديبناث وبيوتر ميكوسينسكي (1990) مقدمة في فضاءات هيلبرت مع تطبيقات ، صفحة 213، دار النشر الأكاديمية ISBN 0-12-208435-7
• جيلبرت هيلمبرغ (1969) ، مقدمة في نظرية الأطياف في فضاء هيلبرت ، صفحة 288، § 38: تحويل كايلي، الرياضيات التطبيقية والميكانيكا #6، نورث هولاند
• نيكولسكي ، نيكولاي كابيتونوفيتش (1988)، “تحويل كايلي” ، في ميشيل هازوينكل (محرر)، موسوعة الرياضيات ، المجلد.  2، كلوير، ص.  80، دوى : 10.1007/978-94-009-6000-8 ، ISBN 978-94-009-6002-2; ترجم من الروسية فينوغرادوف، إيفان ماتفييفيتش ، أد. (1977)، Matematicheskaya Entsiklopediya ، موسكو: Sovetskaya Entsiklopediya
• هنري ريكاردو (2010) مقدمة حديثة في الجبر الخطي ، صفحة 504، دار نشر CRC، رقم ISBN 978-1-4398-0040-9.
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .