قرص الوحدة

في الرياضيات ، القرص المفتوح (أو القرص ) حول النقطة P (حيث P هي نقطة معينة في المستوى )، هو مجموعة النقاط التي تكون المسافة بينها وبين P أقل من 1:

${\displaystyle D_{1}(P)=\{Q:\vert PQ\vert <1\}.\,}$

القرص المغلق الذي يحيط بالنقطة P هو مجموعة النقاط التي تكون المسافة بينها وبين النقطة P أقل من أو تساوي واحدًا:

${\displaystyle {\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|PQ|\leq 1\}.\,}$

تُعد أقراص الوحدة حالات خاصة من الأقراص وكرات الوحدة ؛ وعلى هذا النحو، فإنها تحتوي على الجزء الداخلي من دائرة الوحدة ، وفي حالة قرص الوحدة المغلق، تحتوي على دائرة الوحدة نفسها.

بدون مزيد من التحديدات، يُستخدم مصطلح قرص الوحدة للإشارة إلى قرص الوحدة المفتوح حول الأصل .${\displaystyle D_{1}(0)}$بالنسبة للمقياس الإقليدي القياسي ، يُمثل القرص المفتوح ذو الوحدة الجزء الداخلي لدائرة نصف قطرها 1، مركزها نقطة الأصل. ويمكن تعريف هذه المجموعة بأنها مجموعة جميع الأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة الأقل من واحد. وعند النظر إليه كمجموعة جزئية من المستوى المركب ( C )، يُشار غالبًا إلى القرص المفتوح ذي الوحدة بـ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C}$ :|z|<1\}} . على عكس مجموعة الدائرة المشابهة لها في الترميز${\displaystyle \mathbb {T} }$، القرص الوحدوي (المفتوح) ليس مجموعة ضربية .

الوظيفة

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}}$

يُعدّ مثالًا على دالة تحليلية حقيقية وتقابلية من القرص المفتوح ذي الوحدة إلى المستوى؛ ودالتها العكسية تحليلية أيضًا. وباعتباره متعدد شعب تحليلي ثنائي الأبعاد حقيقي، فإن القرص المفتوح ذي الوحدة متماثل مع المستوى بأكمله. وعلى وجه الخصوص، فإن القرص المفتوح ذي الوحدة متماثل شكليًا مع المستوى بأكمله.

مع ذلك، لا يوجد تطبيق تقابلي متطابق بين القرص المفتوح ذي الوحدة والمستوى. وباعتباره سطح ريمان ، فإن القرص المفتوح ذي الوحدة يختلف عن المستوى المركب .

توجد خرائط تقابلية متطابقة بين القرص المفتوح ذي الوحدة ونصف المستوى العلوي المفتوح . لذا، عند اعتباره سطح ريمان، يكون القرص المفتوح ذو الوحدة متماثلاً (ثنائي الشكل، أو "مكافئاً توافقياً") مع نصف المستوى العلوي، وغالباً ما يُستخدم المصطلحان بشكل متبادل.

وبشكل أكثر عمومية، تنص نظرية ريمان للتحويل على أن كل مجموعة فرعية مفتوحة متصلة ببساطة من المستوى المركب والتي تختلف عن المستوى المركب نفسه تقبل تحويلًا توافقيًا وتقابليًا إلى القرص المفتوح ذي الوحدة.

يُعد تحويل موبيوس أحد التحويلات التطابقية التقابلية من القرص المفتوح ذي الوحدة إلى النصف العلوي المفتوح من المستوى.

${\displaystyle g(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}}$ وهو عكس تحويل كايلي .

هندسيًا، يمكن تخيل المحور الحقيقي منحنيًا ومنكمشًا بحيث يصبح النصف العلوي من المستوى هو باطن القرص، ويشكل المحور الحقيقي محيط القرص، باستثناء نقطة واحدة في الأعلى، تُسمى "نقطة اللانهاية". كما يمكن إنشاء تحويل متطابق تقابلي من قرص الوحدة المفتوح إلى النصف العلوي المفتوح من المستوى كتركيب لإسقاطين مجسمين : أولًا، يُسقط قرص الوحدة مجسميًا لأعلى على نصف الكرة العلوي للوحدة، مع اعتبار "القطب الجنوبي" للكرة مركزًا للإسقاط، ثم يُسقط هذا النصف الكرة جانبيًا على نصف مستوى رأسي يلامس الكرة، مع اعتبار النقطة المقابلة لنقطة التماس على نصف الكرة مركزًا للإسقاط.

لا يمكن استبدال قرص الوحدة ونصف المستوى العلوي كمجالات لفضاءات هاردي . ويعود هذا الاختلاف إلى أن دائرة الوحدة لها قياس ليبيغ محدود (أحادي البعد)، بينما لا يمتلك خط الأعداد الحقيقية هذا القياس.

يشكل القرص المفتوح ذو الوحدة مجموعة النقاط لنموذج قرص بوانكاريه للمستوى الزائدي. وتشكل الأقواس الدائرية العمودية على دائرة الوحدة "الخطوط" في هذا النموذج. دائرة الوحدة هي المقياس المطلق لكايلي الذي يحدد مقياسًا على القرص باستخدام النسبة التبادلية على غرار مقياس كايلي-كلاين . في لغة الهندسة التفاضلية، تمثل الأقواس الدائرية العمودية على دائرة الوحدة خطوطًا جيوديسية تُظهر أقصر مسافة بين النقاط في النموذج. يتضمن النموذج حركات تُعبر عنها المجموعة الوحدوية الخاصة SU(1,1) . يمكن تحويل نموذج القرص إلى نموذج نصف مستوى بوانكاريه بواسطة التحويل g المذكور أعلاه.

يُعد كل من قرص بوانكاريه ونصف مستوى بوانكاريه نماذج مطابقة للمستوى الزائدي، وهذا يعني أن الزوايا بين المنحنيات المتقاطعة محفوظة عن طريق حركات مجموعات التساوي في القياس الخاصة بها.

يُبنى نموذج آخر للفضاء الزائدي على قرص الوحدة المفتوح: نموذج بلترامي-كلاين . وهو ليس متطابقًا ، ولكنه يتميز بأن الخطوط الجيوديسية فيه عبارة عن خطوط مستقيمة.

كما يتم النظر في الأقراص الوحدوية بالنسبة إلى مقاييس أخرى . على سبيل المثال، مع مقياس سيارة الأجرة ومقياس تشيبيشيف ، تبدو الأقراص مثل المربعات (على الرغم من أن الطوبولوجيا الأساسية هي نفسها الطوبولوجيا الإقليدية).

مساحة قرص الوحدة الإقليدي هي π ومحيطه 2π. في المقابل، يبلغ محيط قرص الوحدة في هندسة سيارة الأجرة (مقارنةً بمقياس سيارة الأجرة) 8. في عام 1932، أثبت ستانيسواف غولاب أنه في المقاييس الناشئة عن معيار ، يمكن أن يأخذ محيط قرص الوحدة أي قيمة بين 6 و8، وأن هذه القيم القصوى تُحصل عليها فقط إذا كان قرص الوحدة سداسيًا منتظمًا أو متوازي أضلاع ، على التوالي.

• رسم بياني لوحدة القرص
• كرة الوحدة
• نظرية دي برانج

• S. Golab، "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski"، Trav. دي لاكاد. مناجم كراكوفي 6 (1932)، 179.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "القرص الواحد" . عالم الرياضيات .
• حول محيط ومساحة القرص الواحد ، بقلم جيه سي ألفاريز بافيا وإيه سي طومسون