دائرة

دائرة
دائرة   محيط ج   القطر د   نصف القطر ر   المركز أو الأصل O
يكتب	مقطع مخروطي
مجموعة التماثل	أو(2)
منطقة	πR2​
محيط	ج = 2πR

الدائرة هي شكل يتكون من جميع النقاط في المستوى التي تقع على مسافة معينة من نقطة معينة، وهي المركز . تسمى المسافة بين أي نقطة من الدائرة والمركز بنصف القطر . يسمى طول القطعة المستقيمة التي تربط بين نقطتين على الدائرة وتمر عبر المركز بالقطر . تحدد الدائرة منطقة من المستوى تسمى القرص .

كانت الدائرة معروفة منذ ما قبل بداية التاريخ المسجل. والدوائر الطبيعية شائعة، مثل القمر المكتمل أو شريحة الفاكهة المستديرة. والدائرة هي الأساس للعجلة ، والتي، مع الاختراعات ذات الصلة مثل التروس ، تجعل الكثير من الآلات الحديثة ممكنة. وفي الرياضيات، ساعدت دراسة الدائرة في إلهام تطوير الهندسة وعلم الفلك وحساب التفاضل والتكامل .

• الحلقة : جسم حلقي الشكل، وهي المنطقة التي تحدها دائرتان متحدة المركز .
• القوس : أي جزء متصل من الدائرة. إن تحديد نقطتي نهاية القوس ومركزه يسمح بتكوين قوسين معًا يشكلان دائرة كاملة.
• المركز : النقطة التي تقع على مسافة متساوية من جميع النقاط على الدائرة.
• الوتر : قطعة مستقيمة تقع نهايتها على الدائرة، وبالتالي تقسم الدائرة إلى قطعتين.
• المحيط : طول دائرة واحدة على طول الدائرة، أو المسافة حول الدائرة.
• القطر : قطعة مستقيمة تقع نهايتاها على الدائرة وتمر عبر المركز؛ أو طول قطعة مستقيمة كهذه. وهي أكبر مسافة بين أي نقطتين على الدائرة. وهي حالة خاصة من الوتر، أي أطول وتر في دائرة معينة، وطوله ضعف طول نصف القطر.
• القرص : المنطقة من المستوى التي تحدها دائرة. وفي الاستخدام الرياضي الصارم، تكون الدائرة هي حدود القرص فقط، بينما في الاستخدام اليومي قد يشير مصطلح "دائرة" أيضًا إلى قرص.
• العدسة : المنطقة المشتركة بين (تقاطع) قرصين متداخلين.
• نصف القطر : قطعة مستقيمة تصل مركز الدائرة بأي نقطة مفردة على الدائرة نفسها؛ أو طول هذه القطعة المستقيمة، وهو نصف (طول) القطر. وعادةً ما يُشار إلى نصف القطر ويُشترط أن يكون عددًا موجبًا. والدائرة ذات نصف القطر هي حالة منحلة تتكون من نقطة مفردة.${\displaystyle r}$${\displaystyle r=0}$
• القطاع : منطقة محدودة بنصف قطرين متساويين في الطول، ولهما مركز مشترك وأحد القوسين المحتملين، ويتم تحديدهما من خلال هذا المركز ونقاط النهاية لنصف القطرين.
• القطعة : منطقة يحدها وتر وقوس يربط بين طرفي الوتر. يفرض طول الوتر حدًا أدنى لقطر الأقواس المحتملة. في بعض الأحيان، يُستخدم مصطلح القطعة فقط للمناطق التي لا تحتوي على مركز الدائرة التي ينتمي إليها قوسها.
• القاطع : وتر ممتد، خط مستقيم مستوٍ، يتقاطع مع الدائرة في نقطتين.
• نصف الدائرة : أحد القوسين المحتملين اللذين يتم تحديدهما بواسطة نقاط نهاية القطر، مع اعتبار نقطة منتصفه مركزًا. وفي الاستخدام الشائع غير التقني، قد يعني ذلك الجزء الداخلي من المنطقة ثنائية الأبعاد التي يحدها قطر وأحد أقواسه، وهو ما يسمى تقنيًا بنصف القرص. ونصف القرص هو حالة خاصة من القطعة، أي أكبر قطعة.
• المماس : هو خط مستقيم مستوٍ له نقطة واحدة مشتركة مع الدائرة ("يلمس الدائرة عند هذه النقطة").

يمكن اعتبار جميع المناطق المحددة مفتوحة ، أي لا تحتوي على حدودها، أو مغلقة ، أي لا تحتوي على حدودها الخاصة.

اشتُقت كلمة دائرة من الكلمة اليونانية κίρκος/κύκλος ( kirkos/kuklos )، وهي في حد ذاتها مشتقة من الكلمة اليونانية الهوميرية κρίκος ( krikos )، والتي تعني "طوق" أو " حلقة ". ^[1] ترتبط أصول كلمتي السيرك والدائرة ارتباطًا وثيقًا.

صنع الناس في عصور ما قبل التاريخ دوائر حجرية ودوائر خشبية ، والعناصر الدائرية شائعة في النقوش الصخرية ورسوم الكهوف . ^[2] تشمل القطع الأثرية ما قبل التاريخ على شكل قرص قرص سماء نبرا وأقراص اليشم المسماة بي .

تعطي بردية ريند المصرية ، التي يرجع تاريخها إلى عام 1700 قبل الميلاد، طريقة لإيجاد مساحة الدائرة. وتتوافق النتيجة مع ⁠256/81( 3.16049 ...) كقيمة تقريبية لـ π . ^[3]

يتناول الكتاب الثالث من كتاب العناصر لإقليدس خصائص الدوائر. تعريف إقليدس للدائرة هو:

الدائرة هي شكل مستوٍ يحده خط منحني واحد، بحيث تكون جميع الخطوط المستقيمة المرسومة من نقطة معينة داخلها إلى الخط المحيط متساوية. ويسمى الخط المحيط بالدائرة محيطها والنقطة مركزها.

—  إقليدس ، الكتاب الأول ، العناصر ^{[4] : 4}

في الرسالة السابعة لأفلاطون يوجد تعريف وشرح مفصل للدائرة. يشرح أفلاطون الدائرة الكاملة، وكيف تختلف عن أي رسم أو كلمات أو تعريف أو شرح. كان العلم المبكر ، وخاصة الهندسة وعلم التنجيم وعلم الفلك ، مرتبطًا بالإلهي بالنسبة لمعظم العلماء في العصور الوسطى ، وكان الكثيرون يعتقدون أن هناك شيئًا "إلهيًا" أو "كاملًا" جوهريًا يمكن العثور عليه في الدوائر. ^{[5] [6]}

في عام 1880 م، أثبت فرديناند فون ليندمان أن π متسامي ، مما يثبت أن مشكلة تربيع الدائرة التي استمرت لآلاف السنين لا يمكن حلها باستخدام المسطرة والبوصلة. ^[7]

مع ظهور الفن التجريدي في أوائل القرن العشرين، أصبحت الأجسام الهندسية موضوعًا فنيًا في حد ذاتها. غالبًا ما استخدم فاسيلي كاندنسكي الدوائر كعنصر من عناصر مؤلفاته. ^{[8] [9]}

منذ أقدم الحضارات المعروفة - مثل الآشوريين والمصريين القدماء، وتلك الموجودة في وادي السند وعلى طول النهر الأصفر في الصين، والحضارات الغربية في اليونان القديمة وروما خلال العصور القديمة الكلاسيكية - تم استخدام الدائرة بشكل مباشر أو غير مباشر في الفنون البصرية لنقل رسالة الفنان والتعبير عن أفكار معينة. ومع ذلك، كان للاختلافات في النظرة العالمية (المعتقدات والثقافة) تأثير كبير على تصورات الفنانين. بينما أكد البعض على محيط الدائرة لإظهار تجلياتهم الديمقراطية، ركز آخرون على مركزها ليرمزوا إلى مفهوم الوحدة الكونية. في العقائد الصوفية، ترمز الدائرة بشكل أساسي إلى الطبيعة اللانهائية والدورية للوجود، ولكن في التقاليد الدينية تمثل الأجرام السماوية والأرواح الإلهية.

تشير الدائرة إلى العديد من المفاهيم المقدسة والروحية، بما في ذلك الوحدة، واللانهاية، والكمال، والكون، والألوهية، والتوازن، والاستقرار، والكمال، وغيرها. وقد تم نقل مثل هذه المفاهيم في الثقافات في جميع أنحاء العالم من خلال استخدام الرموز، على سبيل المثال، البوصلة، والهالة، ومثانة السمكة ومشتقاتها (السمكة، والعين، والهالة، والماندورلا، وما إلى ذلك)، والأوروبوروس، وعجلة دارما ، وقوس قزح، والماندالات، ونوافذ الورد وما إلى ذلك. ^[10] الدوائر السحرية هي جزء من بعض تقاليد الباطنية الغربية .

نسبة محيط الدائرة إلى قطرها هي π (باي)، وهو ثابت غير نسبي يساوي تقريبًا 3.141592654. نسبة محيط الدائرة إلى نصف قطرها هي 2 π . ^[أ] وبالتالي فإن المحيط C مرتبط بنصف القطر r والقطر d بالمعادلة التالية: $${\displaystyle C=2\pi r=\pi d.}$$

كما أثبت أرخميدس في كتابه قياس الدائرة ، فإن المساحة المحيطة بالدائرة تساوي مساحة مثلث قاعدته تساوي طول محيط الدائرة وارتفاعه يساوي نصف قطر الدائرة، ^[11] وهو ما يساوي π مضروبًا في نصف القطر تربيع: $${\displaystyle \mathrm {المنطقة} =\pi r^{2}.}$$

وبالمثل، يتم الإشارة إلى القطر بـ d ، أي ما يقرب من 79% من المربع المحيط (الذي يبلغ طول ضلعه d ). $${\displaystyle \mathrm {المساحة} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0.7854d^{2},}$$

الدائرة هي المنحنى المستوي الذي يحيط بالمساحة القصوى لطول قوس معين. وهذا يربط الدائرة بمشكلة في حساب التغيرات، ألا وهي المتباينة المتساوية المحيط .

إذا كانت دائرة نصف قطرها r ومركزها رأس الزاوية ، وتلك الزاوية تقطع قوس الدائرة بطول قوس s ، فإن القياس الرادياني 𝜃 للزاوية هو نسبة طول القوس إلى نصف القطر: $${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}.}$$

يقال أن القوس الدائري يحيط بالزاوية المعروفة بالزاوية المركزية في مركز الدائرة. الزاوية التي تحيط بها دائرة كاملة في مركزها هي زاوية كاملة ، والتي يبلغ قياسها 2 π راديان، أو 360 درجة ، أو دورة واحدة .

باستخدام الراديان، تكون صيغة طول القوس s لقوس دائري نصف قطره r ويحده زاوية مركزية قياسها 𝜃 هي $${\displaystyle s=\theta r,}$$

وصيغة المساحة A لقطاع دائري نصف قطره r وزاويته المركزية قياسها 𝜃 هي $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\theta r^{2}.}$$

في الحالة الخاصة 𝜃 = 2 π ، تعطي هذه الصيغ محيط الدائرة الكاملة ومساحة القرص الكامل، على التوالي.

في نظام إحداثيات ديكارتية x – y ، الدائرة ذات إحداثيات المركز ( a , b ) ونصف القطر r هي مجموعة جميع النقاط ( x , y ) بحيث $${\displaystyle (xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}.}$$

تتبع هذه المعادلة ، المعروفة بمعادلة الدائرة ، نظرية فيثاغورس المطبقة على أي نقطة على الدائرة: كما هو موضح في الرسم البياني المجاور، فإن نصف القطر هو وتر مثلث قائم الزاوية يكون طول أضلاعه الأخرى | x − a | و | y − b |. إذا كان مركز الدائرة هو الأصل (0، 0)، فإن المعادلة تبسط إلى $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$$

يمكن كتابة المعادلة في شكل معلمات باستخدام الدوال المثلثية الجيب وجيب التمام حيث t هو متغير معلمات في النطاق من 0 إلى 2 π ، ويتم تفسيره هندسيًا على أنه الزاوية التي يصنعها الشعاع من ( أ ،  ب ) إلى ( س ،  ص ) مع المحور السيني الموجب  . $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r\,\cos t,\\y&=b+r\,\sin t,\end{aligned}}}$$

المعلمة البديلة للدائرة هي $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\y&=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}$$

في هذه المعلمة، يمكن تفسير نسبة t إلى r هندسيًا على أنها الإسقاط المجسم للخط الذي يمر عبر المركز الموازي لمحور x  (انظر استبدال نصف الزاوية المماس ). ومع ذلك، فإن هذه المعلمة تعمل فقط إذا تم جعل t يتراوح ليس فقط عبر جميع الأعداد الحقيقية ولكن أيضًا إلى نقطة في اللانهاية؛ وإلا، فسيتم حذف أقصى نقطة إلى اليسار من الدائرة.

يمكن الحصول على معادلة الدائرة المحددة بثلاث نقاط ليست على خط مستقيم عن طريق تحويل شكل معادلة الدائرة المكونة من ثلاث نقاط : ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$$${\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

في الإحداثيات المتجانسة ، يكون لكل مقطع مخروطي معادلة دائرة الشكل $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.}$$

يمكن إثبات أن المقطع المخروطي هو دائرة بالضبط عندما يحتوي (عند امتداده إلى المستوى الإسقاطي المركب ) على النقطتين I (1: i : 0) و J (1: − i : 0). تسمى هذه النقاط النقاط الدائرية عند اللانهاية .

في الإحداثيات القطبية ، معادلة الدائرة هي $${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2},}$$

حيث a هو نصف قطر الدائرة، وهما الإحداثيات القطبية لنقطة عامة على الدائرة، وهما الإحداثيات القطبية لمركز الدائرة (أي أن r ₀ هي المسافة من الأصل إلى مركز الدائرة، و φ هي الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور x الموجب  إلى الخط الذي يربط الأصل بمركز الدائرة). بالنسبة للدائرة التي مركزها الأصل، أي r ₀ = 0 ، فإن هذا يُختزل إلى r = a . عندما يكون r ₀ = a ، أو عندما يقع الأصل على الدائرة، تصبح المعادلة ${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle (r_{0},\phi )}$$${\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).}$$

في الحالة العامة، يمكن حل المعادلة لـ r ، مما يعطي بدون علامة ±، وفي بعض الحالات تصف المعادلة نصف دائرة فقط. $${\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}.}$$

في المستوى المركب ، الدائرة التي مركزها c ونصف قطرها r لها المعادلة $${\displaystyle |z-c|=r.}$$

في الشكل البارامترى، يمكن كتابة هذا على النحو التالي $${\displaystyle z=re^{it}+c.}$$

المعادلة المعممة قليلا $${\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}$$

بالنسبة لـ p و q الحقيقيين و g المركب ، يُطلق عليها أحيانًا اسم الدائرة المعممة . تصبح هذه المعادلة أعلاه لدائرة ذات ، حيث أن . ليست كل الدوائر المعممة هي دوائر في الواقع: الدائرة المعممة هي إما دائرة (حقيقية) أو خط . ${\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}}$${\displaystyle |z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}}$

الخط المماس الذي يمر عبر النقطة P على الدائرة يكون عموديًا على القطر المار عبر P. إذا كان P = ( x ₁ , y ₁ ) وكان للدائرة مركز ( a , b ) ونصف قطر r ، فإن الخط المماس يكون عموديًا على الخط من ( a , b ) إلى ( x ₁ , y ₁ )، لذا يكون له الشكل ( x ₁ − a ) x + ( y ₁ – b ) y = c . يحدد التقييم عند ( x ₁ , y ₁ ) قيمة c ، والنتيجة هي أن معادلة المماس هي أو $${\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}$$$${\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.}$$

إذا كان y ₁ ≠ b ، فإن ميل هذا الخط هو $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}$$

يمكن أيضًا العثور على هذا باستخدام التمايز الضمني .

عندما يكون مركز الدائرة عند نقطة الأصل فإن معادلة الخط المماس تصبح وميله يكون $${\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},}$$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}$$

• الدائرة هي الشكل الذي له أكبر مساحة لطول محيط معين (انظر المتباينة المتساوية المحيط ).
• الدائرة هي شكل متماثل للغاية: كل خط يمر عبر المركز يشكل خط تماثل انعكاسي ، ولها تماثل دوراني حول المركز لكل زاوية. مجموعة تماثلها هي المجموعة المتعامدة O(2, R ) . مجموعة الدورانات وحدها هي مجموعة الدائرة T.
• جميع الدوائر متشابهة . ^[12]
  • محيط الدائرة ونصف قطرها متناسبان .
  • المساحة المحيطة ومربع نصف قطرها متناسبان .
  • ثوابت التناسب هي 2π و π على التوالي.
• الدائرة التي مركزها الأصل ونصف قطرها 1 تسمى دائرة الوحدة .
  • إذا فكرنا في ذلك باعتباره دائرة كبيرة من الكرة الوحدوية ، فإنها تصبح الدائرة الريمانية .
• من خلال أي ثلاث نقاط، ليست كلها على نفس الخط، توجد دائرة فريدة. في الإحداثيات الديكارتية، من الممكن إعطاء صيغ صريحة لإحداثيات مركز الدائرة ونصف القطر من حيث إحداثيات النقاط الثلاث المعطاة. انظر الدائرة المحيطة .

• تكون الأوتار متساوية البعد عن مركز الدائرة إذا وفقط إذا كانت متساوية في الطول.
• يمر المنصف العمودي للوتر عبر مركز الدائرة؛ والعبارات المكافئة الناتجة عن تفرد المنصف العمودي هي:
  • الخط العمودي من مركز الدائرة يقسم الوتر.
  • القطعة المستقيمة التي تمر عبر المركز وتقسم الوتر تكون عمودية على الوتر.
• إذا كانت الزاوية المركزية والزاوية المحيطية في الدائرة محصورة بين نفس الوتر وعلى نفس جانب الوتر، فإن الزاوية المركزية تكون ضعف الزاوية المحيطية.
• إذا كانت زاويتان محصورتين على نفس الوتر وعلى نفس جانب الوتر، فإنهما تكونان متساويتين.
• إذا كانت هناك زاويتان محصورتان على نفس الوتر وعلى جانبين متقابلين من الوتر، فإنهما تكونان متكاملتين .
  • بالنسبة للشكل الرباعي الدائري ، الزاوية الخارجية تساوي الزاوية الداخلية المقابلة.
• الزاوية المحيطية التي يحدها قطر هي زاوية قائمة (انظر نظرية طاليس ).
• القطر هو أطول وتر في الدائرة.
  • من بين جميع الدوائر التي تحتوي على وتر AB مشترك، فإن الدائرة ذات نصف القطر الأصغري هي الدائرة التي لها قطر AB.
• إذا كان تقاطع أي وترين يقسم أحد الوترين إلى الطولين a و b ويقسم الوتر الآخر إلى الطولين c و d ، فإن ab = cd .
• إذا كان تقاطع أي وترين متعامدين يقسم أحد الوترين إلى طولين أ و ب ويقسم الوتر الآخر إلى طولين ج و د ، فإن أ ² + ب ² + ج ² + د ² يساوي مربع القطر. ^[13]
• مجموع مربع طول أي وترين متقاطعين بزاوية قائمة عند نقطة معينة يساوي مجموع مربع طول أي وترين متعامدين آخرين متقاطعين عند نفس النقطة ويعطى بالمعادلة 8 r ² − 4 p ² ، حيث r هو نصف قطر الدائرة، و p هي المسافة من نقطة المركز إلى نقطة التقاطع. ^[14]
• المسافة من نقطة على الدائرة إلى وتر معين مضروبًا في قطر الدائرة تساوي حاصل ضرب المسافات من النقطة إلى طرفي الوتر. ^{[15] : ص 71}

• الخط المرسوم عموديًا على نصف القطر عبر نقطة نهاية نصف القطر الواقع على الدائرة هو مماس للدائرة.
• الخط المرسوم عموديا على المماس يمر عبر نقطة تماس الدائرة ويمر عبر مركز الدائرة.
• يمكن دائمًا رسم مماسين لدائرة من أي نقطة خارج الدائرة، ويكون هذان المماسان متساويين في الطول.
• إذا تقاطع مماس عند A ومماس عند B عند النقطة الخارجية P ، فعند الإشارة إلى المركز بـ O ، تكون الزاويتان ∠ BOA و∠ BPA متكاملتين.
• إذا كان AD مماسًا للدائرة عند A وإذا كان AQ وترًا للدائرة، فإن ∠ DAQ = ⁠1/2⁠ قوس( AQ ) .

• تنص نظرية الوتر على أنه إذا تقاطع وترين، CD و EB ، في A ، فإن AC × AD = AB × AE .
• إذا قطع قاطعان، AE و AD ، الدائرة أيضًا عند B و C على التوالي، فإن AC × AD = AB × AE (نتيجة لنظرية الوتر).
• يمكن اعتبار المماس حالة حدية لقاطع طرفيه متطابقان. إذا التقى مماس من نقطة خارجية A بالدائرة عند F والتقى قاطع من النقطة الخارجية A بالدائرة عند C و D على التوالي، فإن AF ² = AC × AD (نظرية المماس والقاطع).
• الزاوية بين الوتر والظل في إحدى نهايتيه تساوي نصف الزاوية الواقعة في مركز الدائرة، على الجانب المقابل للوتر (زاوية الظل للوتر).
• إذا كانت الزاوية التي يحددها الوتر في المركز 90 درجة ، فإن ℓ = r √2 ، حيث ℓ هو طول الوتر، و r هو نصف قطر الدائرة.
• إذا تم رسم قاطعين في الدائرة كما هو موضح على اليمين، فإن قياس الزاوية A يساوي نصف الفرق بين قياس القوسين المحيطين ( و ). أي ، حيث O هو مركز الدائرة (نظرية القاطع-القاطع).${\displaystyle {\overset {\frown }{DE}}}$${\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}$${\displaystyle 2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}}$

الزاوية المحيطية (الأمثلة هي الزاويتان الزرقاء والخضراء في الشكل) تساوي بالضبط نصف الزاوية المركزية المقابلة (الحمراء). وبالتالي، فإن جميع الزوايا المحيطية التي تقسم القوس نفسه (الوردي) متساوية. والزوايا المحيطية على القوس (البني) متكاملة. وعلى وجه الخصوص، فإن كل زاوية محيطية تقسم قطرًا هي زاوية قائمة (نظرًا لأن الزاوية المركزية تساوي 180 درجة).

السهم (المعروف أيضًا باسم الخط المستقيم ) هو قطعة مستقيمة مرسومة بشكل عمودي على الوتر، بين منتصف هذا الوتر وقوس الدائرة.

بالنظر إلى طول الوتر y وطول السهم x ، يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب نصف قطر الدائرة الفريدة التي ستلائم الخطين: $${\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}$$

دليل آخر على هذه النتيجة، والذي يعتمد فقط على خاصيتي الوتر المذكورتين أعلاه، هو كما يلي. إذا كان لدينا وتر بطول y وسهم بطول x ، ولأن السهم يتقاطع مع نقطة منتصف الوتر، فإننا نعلم أنه جزء من قطر الدائرة. ولأن القطر ضعف نصف القطر، فإن الجزء "المفقود" من القطر يكون طوله ( 2 r − x ). وباستخدام حقيقة أن جزءًا واحدًا من وتر واحد مضروبًا في الجزء الآخر يساوي نفس حاصل الضرب على طول وتر يتقاطع مع الوتر الأول، نجد أن ( 2 r − x ) x = ( y / 2) ^2. وبحل المعادلة لإيجاد قيمة r ، نجد النتيجة المطلوبة.

هناك العديد من هياكل البوصلة والمسطرة التي تؤدي إلى الدوائر.

الطريقة الأبسط والأكثر أساسية هي بناء مركز الدائرة ونقطة على الدائرة. ضع الساق الثابتة للبوصلة على نقطة المركز والساق المتحركة على نقطة الدائرة وقم بتدوير البوصلة.

• قم بإنشاء نقطة المنتصف M للقطر.
• قم بإنشاء دائرة مركزها M تمر عبر إحدى نهايتي القطر (ستمر أيضًا عبر النقطة النهائية الأخرى).

• قم بتسمية النقاط P و Q و R
• أنشئ المنصف العمودي للقطعة المستقيمة PQ .
• أنشئ منصفًا عموديًا للقطعة المستقيمة PR .
• حدد نقطة تقاطع هذين المستقيمين المنصفين العموديين M. (يلتقيان لأن النقطتين ليستا على خط واحد ).
• قم بإنشاء دائرة مركزها M تمر عبر إحدى النقاط P أو Q أو R (ستمر أيضًا عبر النقطتين الأخريين).

أظهر أبولونيوس البيرجي أن الدائرة يمكن تعريفها أيضًا على أنها مجموعة النقاط في المستوى التي لها نسبة ثابتة (بخلاف 1) من المسافات إلى بؤرتين ثابتتين، أ وب . ^{[16] [17]} (مجموعة النقاط حيث تكون المسافات متساوية هي المنصف العمودي للقطعة AB ، وهو خط مستقيم). ويقال أحيانًا أن الدائرة مرسومة حول نقطتين.

الدليل مقسم إلى جزأين. أولاً، يجب إثبات أنه، مع وجود بؤرتين A و B ونسبة مسافتين، فإن أي نقطة P تحقق نسبة المسافتين يجب أن تقع على دائرة معينة. دع C تكون نقطة أخرى تحقق النسبة أيضًا وتقع على القطعة المستقيمة AB . وفقًا لنظرية منصف الزاوية، فإن القطعة المستقيمة PC ستنصف الزاوية الداخلية APB ، لأن القطعتين متشابهتان: $${\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.}$$

على نحو مماثل، ينصف الخط المستقيم PD الذي يمر بنقطة D على AB الممتدة الزاوية الخارجية المقابلة BPQ حيث Q على AP الممتدة. ونظرًا لأن مجموع الزاويتين الداخلية والخارجية يساوي 180 درجة، فإن الزاوية CPD تساوي 90 درجة بالضبط؛ أي زاوية قائمة. وتشكل مجموعة النقاط P حيث تكون الزاوية CPD زاوية قائمة دائرة، حيث يكون CD قطرها.

ثانيًا، انظر ^{[18] : 15} للحصول على دليل على أن كل نقطة على الدائرة المشار إليها تلبي النسبة المعطاة.

تتضمن إحدى الخصائص الوثيقة الصلة بالدوائر هندسة النسبة المتقاطعة للنقاط في المستوى المركب. إذا كانت A و B و C كما هو موضح أعلاه، فإن دائرة أبولونيوس لهذه النقاط الثلاث هي مجموعة النقاط P حيث تكون القيمة المطلقة للنسبة المتقاطعة مساوية لواحد: $${\displaystyle {\bigl |}[A,B;C,P]{\bigr |}=1.}$$

وبعبارة أخرى، تكون P نقطة على دائرة أبولونيوس إذا وفقط إذا كانت النسبة المتقاطعة [ A , B ; C , P ] على الدائرة الوحدوية في المستوى المركب.

إذا كانت C هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة AB ، فإن مجموعة النقاط P التي تحقق شرط أبولونيوس ليست دائرة، بل هي خط مستقيم. $${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$

وبالتالي، إذا كانت النقاط A و B و C محددة بنقاط مميزة في المستوى، فإن موضع النقاط P الذي يلبي المعادلة أعلاه يسمى "دائرة معممة". وقد تكون دائرة حقيقية أو خطًا مستقيمًا. وبهذا المعنى، يكون الخط المستقيم دائرة معممة بنصف قطر لا نهائي.

في كل مثلث يمكن رسم دائرة فريدة تسمى الدائرة الداخلية بحيث تكون مماسة لكل من أضلاع المثلث الثلاثة. ^[19]

يمكن تحديد دائرة فريدة حول كل مثلث، تسمى الدائرة المحيطة، بحيث تمر عبر كل من رؤوس المثلث الثلاثة . ^[20]

المضلع المماسي ، مثل الشكل الرباعي المماسي ، هو أي مضلع محدب يمكن أن ترسم بداخله دائرة مماسة لكل جانب من جوانب المضلع. ^[21] كل مضلع منتظم وكل مثلث هو مضلع مماسي.

المضلع الدائري هو أي مضلع محدب يمكن أن يحيط به دائرة ، ويمر عبر كل رأس. ومن الأمثلة المدروسة جيدًا الشكل الرباعي الدائري. كل مضلع منتظم وكل مثلث هو مضلع دائري. المضلع الدائري والمماس يسمى مضلع ثنائي المركز .

المنحنى الدائري هو منحنى محصور في دائرة معينة عن طريق تتبع نقطة ثابتة على دائرة أصغر تتدحرج داخل الدائرة المعطاة وتكون مماسة لها.

يمكن النظر إلى الدائرة باعتبارها حالة محدودة للعديد من الأشكال الأخرى:

• تتكون سلسلة المضلعات المنتظمة التي يبلغ عدد أضلاعها n من دائرة، حيث تقترب n من اللانهاية. وقد طبق أرخميدس هذه الحقيقة لتقريب π .
• الشكل البيضاوي الديكارتي هو مجموعة من النقاط حيث يكون المجموع المرجح للمسافات من أي من نقاطه إلى نقطتين ثابتتين (بؤرتين) ثابتًا. القطع الناقص هو الحالة التي تكون فيها الأوزان متساوية. الدائرة هي شكل بيضاوي ذو مركزية صفرية، مما يعني أن البؤرتين تتطابقان مع بعضهما البعض كمركز للدائرة. الدائرة هي أيضًا حالة خاصة مختلفة من الشكل البيضاوي الديكارتي حيث يكون أحد الأوزان صفرًا.
• القطع الناقص الفائق له معادلة من شكل a و b و n الموجبة . الدائرة الفائقة لها b = a . الدائرة هي الحالة الخاصة للدائرة الفائقة حيث n = 2 .${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1}$
• بيضاوي كاسيني هو مجموعة من النقاط حيث يكون حاصل ضرب المسافة من أي من نقاطه إلى نقطتين ثابتتين ثابتًا. عندما تتطابق النقطتان الثابتتان، ينتج عن ذلك دائرة.
• المنحنى ذو العرض الثابت هو شكل يكون عرضه، الذي يُعرَّف بأنه المسافة العمودية بين خطين متوازيين متميزين يتقاطع كل منهما مع حدوده في نقطة واحدة، هو نفسه بغض النظر عن اتجاه هذين الخطين المتوازيين. والدائرة هي أبسط مثال على هذا النوع من الأشكال.

لنفترض وجود مجموعة محدودة من النقاط في المستوى. يكون موضع النقاط بحيث يكون مجموع مربعي المسافات إلى النقاط المعطاة ثابتًا هو الدائرة، التي يكون مركزها عند مركز ثقل النقاط المعطاة. ^[22] يمكن الحصول على تعميم للقوى الأعلى للمسافات إذا تم أخذ رؤوس المضلع المنتظم تحت النقاط . ^[23] يكون موضع النقاط بحيث يكون مجموع القوة - للمسافات إلى رؤوس المضلع المنتظم المعطى بنصف قطر محيطي ثابتًا هو الدائرة، إذا كان مركزها عند مركز ثقل . ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle 2m}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m},\quad {\text{ where }}~m=1,2,\dots ,n-1;}$$${\displaystyle P_{n}}$

في حالة المثلث المتساوي الأضلاع ، تكون مواضع المجاميع الثابتة للقوى الثانية والرابعة عبارة عن دوائر، أما في حالة المربع، تكون مواضع المجاميع الثابتة للقوى الثانية والرابعة والسادسة عبارة عن دوائر. أما في حالة الخماسي المنتظم، فيتم جمع المجموع الثابت للقوى الثامنة للمسافات وهكذا.

تربيع الدائرة هي المشكلة التي اقترحها علماء الهندسة القدماء ، وهي إنشاء مربع بنفس مساحة دائرة معينة باستخدام عدد محدود فقط من الخطوات باستخدام الفرجار والمسطرة .

في عام 1882، ثبت أن هذه المهمة مستحيلة، نتيجة لنظرية ليندمان-فايرشتراس ، التي تثبت أن باي ( π ) هو عدد متسامي ، وليس عددًا غير نسبي جبري ؛ أي أنه ليس جذرًا لأي كثيرة حدود ذات معاملات نسبية . وعلى الرغم من استحالة ذلك، لا يزال هذا الموضوع يثير اهتمام عشاق الرياضيات الزائفة .

عند تعريف الدائرة على أنها مجموعة من النقاط التي تبعد مسافة ثابتة عن نقطة ما، يمكن اعتبار الأشكال المختلفة دوائر وفقًا لتعريفات مختلفة للمسافة. في p -norm ، يتم تحديد المسافة بواسطة في الهندسة الإقليدية، p = 2، مما يعطي الشكل المألوف $${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$$${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{2}}}.}$$

في هندسة سيارات الأجرة ، p = 1. دوائر سيارات الأجرة هي مربعات ذات أضلاع موجهة بزاوية 45 درجة بالنسبة لمحور الإحداثيات. وبينما يكون لكل ضلع طول باستخدام المقياس الإقليدي ، حيث r هو نصف قطر الدائرة، فإن طولها في هندسة سيارات الأجرة هو 2 r . وبالتالي، فإن محيط الدائرة هو 8 r . وبالتالي، فإن قيمة النظير الهندسي لـ هي 4 في هذه الهندسة. صيغة الدائرة الوحدوية في هندسة سيارات الأجرة هي في الإحداثيات الديكارتية وفي الإحداثيات القطبية. ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle |x|+|y|=1}$$${\displaystyle r={\frac {1}{\left|\sin \theta \right|+\left|\cos \theta \right|}}}$$

الدائرة التي يبلغ نصف قطرها 1 (باستخدام هذه المسافة) هي حي فون نيومان لمركزها.

الدائرة التي يبلغ نصف قطرها r لمسافة تشيبيشيف ( L _∞ متري ) على المستوى هي أيضًا مربع بطول ضلع 2 r موازٍ لمحاور الإحداثيات، لذا يمكن اعتبار مسافة تشيبيشيف المستوية مكافئة عن طريق الدوران والتدرج إلى مسافة سيارة الأجرة المستوية. ومع ذلك، فإن هذا التكافؤ بين L ₁ و L _∞ متري لا ينطبق على أبعاد أعلى.

الدائرة هي كرة أحادية البعد (الكرة 1).

في الطوبولوجيا ، لا تقتصر الدائرة على المفهوم الهندسي، بل على كل أشكالها المتجانسة . تكون الدائرتان الطوبولوجيتان متكافئتين إذا كان من الممكن تحويل إحداهما إلى الأخرى من خلال تشوه R ³ على نفسها (المعروف باسم النظير المحيط ). ^[24]

• كرة أفينية
• أبيروجون
• تركيب الدائرة
• مسافة
• مشكلة دائرة جاوس
• الانعكاس في الدائرة
• تقاطع الخط والدائرة
• قائمة مواضيع الدائرة
• جسم كروي
• ثلاث نقاط تحدد الدائرة
• ترجمة المحاور

• بيدوي، دان (1988). الهندسة: دورة شاملة . دوفر. ISBN 9780486658124.

• "الدائرة". موسوعة الرياضيات . EMS Press . 2001 [1994].
• دائرة في PlanetMath .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الدائرة". MathWorld .
• "تطبيقات Java التفاعلية". لخصائص الدوائر والإنشاءات الأولية التي تتضمنها
• "معادلة الدائرة ذات الشكل القياسي التفاعلية". انقر واسحب النقاط لرؤية معادلة الشكل القياسي أثناء العمل
• "مضغ الدوائر". قطع العقدة .