مثلث متساوي الأضلاع

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 63 صور
الموسوعة الحرة

المثلث متساوي الأضلاع هو مثلث تتساوى فيه جميع أضلاعه الثلاثة في الطول، وجميع زواياه الثلاث متساوية. وبسبب هذه الخصائص، يُعدّ المثلث متساوي الأضلاع مضلعًا منتظمًا ، ويُعرف أحيانًا بالمثلث المنتظم . وهو حالة خاصة من المثلث متساوي الساقين وفقًا للتعريف الحديث، مما يمنحه خصائص مميزة إضافية.

يُمكن إيجاد المثلث متساوي الأضلاع في العديد من أشكال التبليط ، وفي المجسمات متعددة الأوجه مثل دلتاهيدرون والمنشور المضاد . ويظهر في الحياة الواقعية في الثقافة الشعبية، والهندسة المعمارية، ودراسة الكيمياء الفراغية، حيث يُشبه الشكل الجزيئي المعروف باسم الهندسة الجزيئية المثلثية المستوية .

التعريفات والخصائص

يُقال إن المثلث متساوي الأضلاع إذا وفقط إذا كان له ثلاثة أضلاع متساوية وثلاث زوايا داخلية متساوية ؛ قياس كل زاوية منها 60 درجة. [ 1 ] يُعد المثلث متساوي الأضلاع حالة خاصة من المثلث متساوي الساقين في التعريف الحديث، الذي ينص على أن المثلث متساوي الساقين يُعرَّف على الأقل بأنه له ضلعان متساويان. [ 2 ] بناءً على التعريف الحديث، ينتج عن ذلك مثلث متساوي الأضلاع يمكن اعتبار أحد أضلاعه الثلاثة قاعدته. [ 3 ] بالتالي، ولأن محيط المثلث متساوي الساقين يساوي مجموع طولي ضلعيه وقاعدته، فإن المثلث متساوي الأضلاع يُصاغ على أنه ثلاثة أضعاف طول ضلعه.ص=3ℓ{\displaystyle p=3\ell }[ 4 ] [ 5 ] وبسبب هذه الخصائص، تُعتبر المثلثات متساوية الأضلاع مضلعات منتظمة . جميع خطوط الضلع في المثلث متساوي الأضلاع متساوية في الطول، مما ينتج عنه تساوي طول المتوسط ​​ومنصف الزاوية ، مع اعتبار هذين الخطين ارتفاعًا للمثلث بناءً على اختيار القاعدة. [ 1 ] يُرمز للمثلث متساوي الأضلاع بالرمز التالي :{3}{\displaystyle \{3\}}باستخدام تدوين شلافلي . [ 6 ]

ملكيات

منطقة

المثلث القائم الزاوية الذي يبلغ طول وتره1{\displaystyle 1}يبلغ ارتفاعه3/2{\displaystyle {\sqrt {3}}/2}، جيب الزاوية 60 درجة.

مساحة المثلث متساوي الأضلاع الذي طول ضلعهℓ{\displaystyle \ell }يكون تي=34ℓ2.{\displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}\ell ^{2}.} يمكن اشتقاق الصيغة من صيغة المثلث متساوي الساقين باستخدام نظرية فيثاغورس : الارتفاعح{\displaystyle h}طول المثلث يساوي الجذر التربيعي للفرق بين مربعي طول أحد أضلاعه ونصف طول قاعدته . [ 4 ] وبما أن القاعدة والساقين متساويتان، فإن الارتفاع يساوي: [ 7 ]ح=ℓ2-ℓ24=32ℓ.{\displaystyle h={\sqrt {\ell ^{2}-{\frac {\ell ^{2}}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ell .} بشكل عام، مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته في ارتفاعه. ويمكن الحصول على صيغة مساحة المثلث متساوي الأضلاع بالتعويض بصيغة الارتفاع. [ 7 ]

تنص إحدى صيغ متباينة المحيط المتساوي للمثلثات على أن المثلث ذو المساحة الأكبر بين جميع المثلثات ذات المحيط المحدد يكون متساوي الأضلاع. أي، بالنسبة للمحيطص{\displaystyle p}والمنطقةتي{\displaystyle T}، وينطبق هذا التساوي على المثلث متساوي الأضلاع: [ 8 ]ص2=123تي.{\displaystyle p^{2}=12{\sqrt {3}}T.}

التناظر

عرض متحرك للتناظرات الستة لمثلث متساوي الأضلاع. ثلاث دورات (إحداها بزاوية 0° أو 360°) وثلاث انعكاسات. هذه هي المجموعة D₃
رسم توضيحي للتماثلات الستة لمثلث متساوي الأضلاع، مع الحفاظ على تماثله

يتمتع المثلث متساوي الأضلاع بتناظر مجموعة ثنائية السطوحد3{\displaystyle \mathrm {D} _{3}}من الرتبة السادسة : تسمح هذه المجموعة بالحفاظ على مظهرها من خلال ستة تحويلات ، ثلاثة منها انعكاسات لخط يمر عبر رأس إلى منتصف حافة عن طريق قلبه، وثلاثة دورانات حول مركزه بمقدار ثلث دورة كاملة (0°، 120°، 240°). [ 9 ]

الدائرة الداخلية والدائرة الخارجية

الدائرة الداخلية للمثلث متساوي الأضلاع هي دائرة تقع داخل هذا المثلث، حيث تكون مماسة لأحد أضلاعه. ويُحسب نصف قطر الدائرة الداخلية بصيغة: المسافة بين مركز الدائرة (أي مركز المثلث متساوي الأضلاع) وأي ضلع متوسط ​​في المثلث متساوي الأضلاع.ر=3ℓ/6{\displaystyle r={\sqrt {3}}\ell /6}الدائرة المحيطة بمثلث متساوي الأضلاع هي دائرة تُحيط بالمثلث المتساوي الأضلاع، وتكون مماسة لجميع رؤوسه الثلاثة. نصف قطر الدائرة المحيطة هو المسافة من مركز ثقل المثلث المتساوي الأضلاع إلى أي رأس من رؤوسه.R=ℓ/3{\displaystyle R=\ell /{\sqrt {3}}}[ 10 ]​

تنص إحدى نظريات أويلر على أن المسافةت{\displaystyle t}تُصاغ العلاقة بين مركز الدائرة المحيطة ومركز الدائرة الداخلية على النحو التالي:ت2=R(R-2ر){\displaystyle t^{2}=R(R-2r)}وكنتيجة طبيعية لذلك، فإن المثلث متساوي الأضلاع له أصغر نسبة بين نصف قطر الدائرة المحيطة بهR{\displaystyle R}إلى نصف القطر الداخلير{\displaystyle r}لأي مثلث. أي: [ 11 ]R≥2ر.{\displaystyle R\geq 2r.}

الرسوم التوضيحية لنظرية بومبيو وفان شوتن

تنص نظرية بومبيو على أنه إذاP{\displaystyle P}هي نقطة عشوائية في مستوى مثلث متساوي الأضلاعأبج{\displaystyle ABC}ولكن ليس على دائرته المحيطة ، إذن يوجد مثلث بأضلاع طولهاPأ{\displaystyle PA}،Pب{\displaystyle PB}، وPج{\displaystyle PC}. إنه،Pأ{\displaystyle PA}،Pب{\displaystyle PB}، وPج{\displaystyle PC}تحقق متباينة المثلث التي تنص على أن مجموع أي اثنين منها أكبر من الثالث.P{\displaystyle P}إذا كان المثلث يقع على الدائرة المحيطة، فإن مجموع المثلثين الأصغر يساوي المثلث الأطول، ويتحول المثلث إلى خط مستقيم، وتُعرف هذه الحالة باسم نظرية فان شوتين . [ 12 ]

التطبيقات

استخدام المثلث متساوي الأضلاع كعلامة توقف
رف مثلث الشكل

ظهرت المثلثات متساوية الأضلاع بكثرة في المنشآت البشرية وفي الثقافة الشعبية. في الهندسة المعمارية، يمكن رؤية مثال على ذلك في المقطع العرضي لقوس البوابة ، [ 13 ] وسطح بيضة فيغريفيل ، [ 14 ] ومخطط كاتدرائية سانت إيفو ألا سابينزا . [ 15 ] كما تظهر في علمي نيكاراغوا والفلبين . [ 16 ] [ 17 ] وهي شكلٌ شائع في العديد من إشارات المرور ، بما في ذلك إشارة التوقف . [ 18 ] وتُستخدم في إطار حامل الكرات في رياضة البلياردو . [ 19 ]

يوضح الرسم البياني الثلاثي لمخطط قابلية الاشتعال أي مخاليط من غاز الميثان وغاز الأكسجين وغاز النيتروجين الخامل تحترق

يستخدم المخطط الثلاثي المثلث متساوي الأضلاع لتمثيل نسب المتغيرات الثلاثة بيانياً كمواقع في مثلث متساوي الأضلاع، وله تطبيقات في الكيمياء الفيزيائية ، وعلم الصخور ، وعلم المعادن ، وعلم الفلزات ، وغيرها من العلوم الفيزيائية، لعرض تركيب الأنظمة المكونة من ثلاثة أنواع. يُعرف هذا المخطط بأسماء مختلفة، مثل مخطط دي فينيتي في النمذجة الرياضية لعلم الوراثة السكانية [ 20 ] ، ومخطط سيمبلكس في نظرية الألعاب والتحسين المحدب .

تُستخدم المثلثات متساوية الأضلاع في دراسة العلوم. ففي دراسة الكيمياء الفراغية ، يمكن وصفها بأنها الهندسة الجزيئية التي تربط فيها ذرة واحدة في المركز ثلاث ذرات أخرى في مستوى واحد، وتُعرف بالهندسة الجزيئية المثلثية المستوية . [ 21 ] وفي تخطيط كهربية القلب ، يُطلق عليها اسم مثلث أينتهوفن ، نسبةً إلى الطبيب وعالم النفس الهولندي ويليم أينتهوفن ، وذلك من خلال تشكيل مثلث مقلوب وهمي بين الذراعين والساق، ويكون الصدر مركزه. [ 22 ] وفي مسألة طومسون ، المتعلقة بتكوين الطاقة الأدنى لـن{\displaystyle n}الجسيمات المشحونة على كرة، وبالنسبة لمسألة تامس المتمثلة في بناء رمز كروي يزيد من أصغر مسافة بين النقاط، فإن أفضل حل معروف لـن=3{\displaystyle n=3}يضع هذا التكوين النقاط عند رؤوس مثلث متساوي الأضلاع، مرسوم داخل الكرة . وقد ثبت أن هذا التكوين هو الأمثل لمسألة تامس، ولكن الحل الدقيق لهذه الحالة من مسألة طومسون غير معروف. [ 23 ]

الإنشاءات

مقتطف من مذكرات السيدات لعام 1826 [ 24 ]

يترك△أبجي{\displaystyle \triangle ABG}،△بحج{\displaystyle \triangle BHC}، و△أجك{\displaystyle \triangle ACK}لتكن بعض المثلثات متساوية الأضلاع المبنية على أضلاع مثلث عشوائيأبج{\displaystyle ABC}إما جميعها للخارج أو للداخل، مراكز المثلثات الثلاثة متساوية الأضلاعد{\displaystyle D}،هـ{\displaystyle E}، وF{\displaystyle F}تشكل هذه النقاط، على التوالي، مثلثًا متساوي الأضلاع△دهـF{\displaystyle \triangle DEF}ينسب العديد من علماء الرياضيات هذه النتيجة إلى الإمبراطور الفرنسي نابليون بونابرت ، ولذا سُميت بنظرية نابليون ، على الرغم من عدم وجود أي صلة بين نابليون وهذه الأعمال الرياضية. [ 24 ] إلى جانب مسألة إنشاء دائرة ومركزها باستخدام الفرجار ، اكتشف عالم الهندسة والرياضيات الإيطالي لورينزو ماسكيروني هاتين النظريتين ، تاركًا للإمبراطور نسبهما لنفسه. [ 25 ] وقد نُشرت مذكرات السيدات عام 1825، والتي تضمنت برهانًا على نظرية نابليون. [ 24 ]

بوصلة

تبدأ أولى القضايا في كتاب الأصول لإقليدس برسم دائرة بنصف قطر معين، ثم وضع رأس الفرجار على الدائرة، ورسم دائرة أخرى بنفس نصف القطر؛ تتقاطع الدائرتان في نقطتين. ويمكن إنشاء مثلث متساوي الأضلاع بتوصيل مركزي الدائرتين بإحدى نقاط التقاطع. [ 26 ]

إنشاء مثلث متساوي الأضلاع باستخدام الفرجار والمسطرة

يمكن إنشاء مضلع منتظم باستخدام الفرجار والمسطرة إذا وفقط إذا كانت العوامل الأولية الفردية لعدد أضلاعه أعدادًا أولية مختلفة من أعداد فيرما . هناك خمسة أعداد أولية معروفة من أعداد فيرما: 3، 5، 17، 257، 65537. [ 27 ] وبالمثل، ابدأ بأي قطعة مستقيمة كضلع ؛ ضع رأس الفرجار على أحد طرفي القطعة المستقيمة، ثم ارسم قوسًا من تلك النقطة إلى الطرف الآخر من القطعة المستقيمة؛ كرر ذلك مع الضلع الآخر من القطعة المستقيمة، بحيث تصل نقطة تقاطع القوسين مع كل طرف من طرفي القطعة المستقيمة.

تطرح مسألة التعبئة هدفًا لـن{\displaystyle n}تُعرف الحلول المثلى لترتيب الدوائر في أصغر مثلث متساوي الأضلاع ممكن .ن<13{\displaystyle n<13}تحويل الدوائر إلى مثلث متساوي الأضلاع، والحلول المثلى المفترضة لـ13≤ن<28{\displaystyle 13\leq n<28}[ 28 ]​

برهان مرئي لنظرية فيفياني

تنص نظرية مورلي لتثليث الزوايا على أنه في أي مثلث، تشكل نقاط التقاطع الثلاث لمثلثات الزوايا المتجاورة مثلثًا متساوي الأضلاع.

تنص نظرية فيفياني على أنه، لأي نقطة داخليةP{\displaystyle P}في مثلث متساوي الأضلاع بأبعادد{\displaystyle d}،هـ{\displaystyle e}، وو{\displaystyle f}من الجوانب والارتفاعح{\displaystyle h}،د+هـ+و=ح،{\displaystyle d+e+f=h,}بغض النظر عن موقعP{\displaystyle P}[ 29 ]​

قد يكون للمثلث متساوي الأضلاع أضلاع صحيحة وثلاث زوايا نسبية مقاسة بالدرجات، [ 30 ] وهو المثلث الوحيد الحاد الزوايا المشابه لمثلثه القائم (برؤوس تقع عند قواعد الارتفاعات ) ، [ 31 ] والمثلث الوحيد الذي يكون قطعه الناقص الداخلي دائرة (وتحديدًا الدائرة الداخلية). المثلث ذو المساحة الأكبر بين جميع المثلثات المرسومة داخل دائرة معينة هو مثلث متساوي الأضلاع، والمثلث ذو المساحة الأصغر بين جميع المثلثات المحيطة بدائرة معينة هو أيضًا مثلث متساوي الأضلاع. [ 32 ] وهو المضلع المنتظم الوحيد، إلى جانب المربع، الذي يمكن رسمه داخل أي مضلع منتظم آخر.

بافتراض نقطةP{\displaystyle P}في داخل مثلث متساوي الأضلاع، تكون نسبة مجموع المسافات بين رؤوسه ومجموع المسافات بين أضلاعه أكبر من أو تساوي 2، ويتحقق التساوي عندماP{\displaystyle P}هي مركز المثلث. لا توجد في أي مثلث آخر نقطة تكون عندها هذه النسبة صغيرة جدًا مثل 2. [ 33 ] هذه هي متباينة إردوش-مورديل ؛ وهناك صيغة أقوى منها هي متباينة بارو ، التي تستبدل المسافات العمودية على الأضلاع بالمسافات منP{\displaystyle P}إلى النقاط التي تكون عندها منصفات الزوايا∠أPب{\displaystyle \angle APB}،∠بPج{\displaystyle \angle BPC}، و∠جPأ{\displaystyle \angle CPA}عبور الجانبين (أ{\displaystyle A}،ب{\displaystyle B}، وج{\displaystyle C}(حيث تمثل الرؤوس). هناك العديد من متباينات المثلث الأخرى التي تتحقق فيها المساواة إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الأضلاع.

تسلسل بادوفان

متتالية بادوفان واللولب المثلثي متساوي الأضلاع

سلسلة بادوفانP(ن){\displaystyle P(n)}هي متتالية من الأعداد الصحيحة ذات القيم الأولية المعطاةP(1)=P(2)=P(3)=1{\displaystyle P(1)=P(2)=P(3)=1}وعلاقة التكرار [ 34 ]P(ن)=P(ن-2)+P(ن-3).{\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3).} ينتج عن علاقة التكرار الناتجة سلسلة تتكون من الأرقام القليلة الأولى:

1، 1، 1، 2، 2، 3، 4، 5، 7، 9، 12، 16، 21، 28، 37، 49، 65، 86، 114، 151، 200، 265، ... (التسلسل A000931 في OEIS )

سُميت متتالية بادوفان نسبةً إلى ريتشارد بادوفان ، الذي نسب اكتشافها إلى المهندس المعماري الهولندي هانز فان دير لان في مقالته عام 1994. [ 35 ] هندسيًا، يمكن وصف المتتالية بأنها تبليط مثلثات متساوية الأضلاع بناءً على طول ضلعها بالتتابع، مما يُشكل شكلًا حلزونيًا. والنتيجة مماثلة لمتتالية فيبوناتشي 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، ... مع تبليط المربعات. [ 36 ]

الأشكال الكسورية، والمضلعات، وغيرها من الأشكال

تملأ بلاطة المثلثات متساوية الأضلاع المستوى
مثلث سيربينسكي
يُعدّ المجسم الثماني المنتظم مجسمًا دلتاهيدرو، كما أنه ينتمي إلى عائلة الموشورات المضادة.

ومن الجدير بالذكر أن المثلث متساوي الأضلاع يُغطي المستوى الإقليدي بستة مثلثات تلتقي عند رأس واحد؛ والشكل الثنائي لهذا التبليط هو التبليط السداسي . يُعد كل من التبليط السداسي المقطوع ، والتبليط المعيني الثلاثي السداسي ، والتبليط الثلاثي السداسي ، والتبليط المربع المقطوع ، والتبليط السداسي المقطوع ، تبليطات شبه منتظمة مُنشأة من مثلثات متساوية الأضلاع. [ 37 ] وتشمل الأشكال ثنائية الأبعاد الأخرى المُنشأة من مثلثات متساوية الأضلاع مثلث سيربينسكي ( شكل كسري مُنشأ من مثلث متساوي الأضلاع عن طريق تقسيمه بشكل متكرر إلى مثلثات متساوية الأضلاع أصغر) ومثلث رولو ( مثلث منحني ذو عرض ثابت ، مُنشأ من مثلث متساوي الأضلاع عن طريق تقريب كل ضلع من أضلاعه). [ 12 ]

قد تُشكّل المثلثات متساوية الأضلاع أيضًا مجسمًا متعدد السطوح في ثلاثة أبعاد. يُطلق على المجسم متعدد السطوح الذي تتكون جميع وجوهه من مثلثات متساوية الأضلاع اسم دلتاهيدرون . هناك ثمانية دلتاهيدرات محدبة تمامًا : ثلاثة من المجسمات الأفلاطونية الخمسة ( الهرم الرباعي المنتظم ، والهرم الثماني المنتظم ، والهرم العشري المنتظم ) وخمسة من مجسمات جونسون البالغ عددها 92 مجسمًا ( الهرم الثنائي المثلثي ، والهرم الثنائي الخماسي ، والشكل ثنائي الإسفين المقطوع ، والمنشور الثلاثي المعزز ، والهرم الثنائي المربع المستطيل ). [ 38 ] وبشكل عام، تحتوي جميع مجسمات جونسون على مثلثات متساوية الأضلاع بين وجوهها، على الرغم من أن معظمها يحتوي أيضًا على مضلعات منتظمة أخرى . [ 39 ] تُعدّ الموشورات المضادة عائلة من المجسمات متعددة السطوح التي تتضمن شريطًا من المثلثات المتناوبة. عندما يكون الموشور المضاد منتظمًا ، تكون قواعده منتظمة وجميع وجوهه المثلثية متساوية الأضلاع. [ 40 ]

كتعميم، ينتمي المثلث متساوي الأضلاع إلى العائلة اللانهائية منن{\displaystyle n}- المعقدات البسيطة ، معن=2{\displaystyle n=2}[ 41 ]​

انظر أيضاً

مراجع

ملحوظات

  1. 1 2 أوين، فيليكس وديردري (2010) ، ص. 36، 39.
  2. ↑ ستال (2003) ، ص 37 . 
  3. ↑ لاردنر (1840) ، ص 46.
  4. 1 2 هاريس وستوكر (1998) ، ص 78 . 
  5. ↑ سيرين (2004) ، انظر النظرية 1.
  6. ↑ كوكسيتر (1948) ، ص 2.
  7. 1 2 McMullin & Parkinson (1936) ، ص. 96 . 
  8. ↑ شاكريان (1979) .
  9. ↑ كارستنسن، فاين وروزنبرجر (2011) ، ص 156 . 
  10. ↑ ريتش (1963) ، ص 133 . 
  11. ↑ Svrtan & Veljan (2012) .
  12. 1 2 السينا ونيلسن (2010) ، ص. 102 – 103 . 
  13. ^ بيلكونن وألبريشت (2006) ، ص. 160 . 
  14. ^ السينا ونيلسن (2015) ، ص. 22 . 
  15. ↑ وانغ وهان (2019) .
  16. ^ وايت وكالديرون (2008) ، ص. 3 . 
  17. ↑ غييرمو (2012) ، ص 161 . 
  18. ↑ رايلي، كوكران وبالارد (1982) .
  19. ↑ ليدر (2010) ، ص 136 . 
  20. ↑ إينيشن وباتشلت (1975) .
  21. ↑ Petrucci, Harwood & Herring (2002) , ص. 413–414، انظر الجدول 11.1.
  22. ↑ كونوفير (2003) ، ص 4 . 
  23. ↑ وايت (1952) .
  24. 1 2 3 غرونباوم (2012) .
  25. ↑ إيفز (2001) ، ص 19.
  26. ↑ كرومويل (1997) ، ص 62 . 
  27. ^ كريزيك، لوكا وسومر (2001) ، ص. 1-2 . 
  28. ^ ميليسن وشور (1995) .
  29. ^ بوسامينتير وسالكيند (1996) .
  30. ↑ كونواي وجاي (1996) ، ص 201، 228 – 229.
  31. ↑ بانكوف وغارفانكل (1973) ، ص 19.
  32. ↑ دوري (1965) ، ص 379 – 380.
  33. ↑ لي (2001) .
  34. ↑ يلماز وبوزكورت (2012) .
  35. ↑ بادوفان (1994) .
  36. ↑ ناو وناو (2025) .
  37. ↑ غرونباوم وشيبارد (1977) .
  38. ↑ تريج (1978) .
  39. ↑ بيرمان (1971) .
  40. ^ هورياما وآخرون. (2015) ، ص. 124 . 
  41. ↑ كوكسيتر (1948) ، ص 120 – 121.

المراجع

  • v
  • ت
  • هـ
المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلةأن​ب نI 2 ( p ) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
مضلع منتظممثلثمربعبي-جونمسدسالبنتاغون
متعدد السطوح منتظمرباعي الأوجهثماني الأوجه • مكعبمكعب ديميكيوبالمجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بوليكلورون موحدبنتاشورون16 خلية • تيسيراكتديميتسيراكت24 خلية120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم5-simplex5-أورثوبليكس • 5-كيوب5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم6-simplex6-أورثوبليكس • 6-كيوب6-نصف مكعب1 22 • 2 21
متعدد الوجوه منتظم ذو 7 أوجه7-simplex7-أورثوبليكس • 7-كيوب7-نصف مكعب1 32 • 2 31 • 3 21
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه8-simplex8-أورثوبليكس • 8-كيوب8-نصف مكعب1 42 • 2 41 • 4 21
متعدد الوجوه موحد ذو 9 أوجه9-simplex9-أورثوبليكس • 9-كيوب9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء10-simplex10-أورثوبلكس • 10-كيوب10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع nn - سيمبلكسن - أورثوبليكس • ن - كيوبن - نصف مكعب1 k2 • 2 k1 • k 21متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه