سيمبلكس

من اليسار إلى اليمين: نقطة (مُعَلَّمة بـ 0)، خط (مُعَلَّم بـ 1)، مثلث (مُعَلَّم بـ 2)، وهرم رباعي الأوجه (مُعَلَّم بـ 3). — الأشكال البسيطة الأربعة التي يمكن تمثيلها بالكامل في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

في الهندسة ، يُعدّ المُجَسَّم البسيط (جمعه: مُجَسَّمات بسيطة ) تعميمًا لمفهوم المثلث أو رباعي الأوجه إلى أبعاد عشوائية . سُمّي المُجَسَّم البسيط بهذا الاسم لأنه يُمثّل أبسط شكل متعدد الأوجه ممكن في أي بُعد مُعطى. على سبيل المثال،

المجسم البسيط ذو البعد الصفري هو نقطة ،
المجسم البسيط أحادي البعد هو قطعة مستقيمة ،
المجسم البسيط ثنائي الأبعاد هو مثلث ،
المجسم البسيط ثلاثي الأبعاد هو رباعي الأوجه ، و
المجسم البسيط رباعي الأبعاد هو مجسم مكون من 5 خلايا .

على وجه التحديد، فإنّ $k$ -simplex هو متعدد السطوح ذو $k$ بُعد ، وهو الغلاف المحدب لرؤوسه $k$ $+ 1.$ وبشكل أكثر رسمية، لنفترض أن النقاط $k$ $+ 1$ $u_{0},\dots ,u_{k}$ مستقلة خطيًا ، مما يعني أن المتجهات $k$ $u_{1}-u_{0},\dots ,u_{k}-u_{0}$ إذا كانت مستقلة خطيًا ، فإن المجسم البسيط المحدد بها هو مجموعة النقاط. $C=\left\{\theta _{0}u_{0}+\dots +\theta _{k}u_{k}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=1{\mbox{ و }}\theta _{i}\geq 0{\mbox{ لـ }}i=0,\dots ,k\right\}.$

المجسم البسيط المنتظم ^{[ 1 ]} هو مجسم بسيط يكون أيضًا متعدد السطوح منتظمًا . يمكن إنشاء مجسم بسيط منتظم من الرتبة $k من مجسم بسيط منتظم من الرتبة$ $(k -1)$ عن طريق توصيل رأس جديد بجميع الرؤوس الأصلية بطول الحافة المشتركة.

المعقد القياسي أو معقد الاحتمالات ^{[ 2 ]} هو معقد ذو أبعاد $k$ ، رؤوسه هي متجهات الوحدة القياسية $k + 1$ في $\mathbf {R} ^{k+1}$ أو بعبارة أخرى، $\left\{{\vec {x}}\in \mathbf {R} ^{k+1}:x_{0}+\dots +x_{k}=1,x_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\dots ,k\right\}.$

في علم الطوبولوجيا والتوافقية ، من الشائع "لصق" الأشكال البسيطة معًا لتشكيل مركب بسيط .

لا ينبغي الخلط بين المعقد الهندسي البسيط والمعقد البسيط مع المعقد البسيط المجرد ، حيث يكون المعقد البسيط ببساطة مجموعة منتهية والمعقد عبارة عن عائلة من هذه المجموعات المغلقة تحت أخذ المجموعات الجزئية.

تاريخ

كان مفهوم المُجَسَّم معروفًا لدى ويليام كينغدون كليفورد ، الذي استخدم مصطلح "الحبس الأولي" لوصف هذه الأشكال عام 1866 أثناء حله لمسألة في الاحتمالات الهندسية. ^{[ 3 ]} وأطلق عليها هنري بوانكاريه ، في كتاباته عن الطوبولوجيا الجبرية عام 1900، اسم "الرباعيات المعممة". وفي عام 1902، وصف بيتر هندريك شوت المفهوم أولًا بالصيغة اللاتينية المُفضَّلة simplicissimum ("الأبسط")، ثم بالصفة اللاتينية نفسها في صيغتها العادية simplex ("بسيط"). ^{[ 4 ]}

تُعدّ عائلة المجسمات البسيطة المنتظمة أولى ثلاث عائلات من متعددات الوجوه المنتظمة ، وقد أطلق عليها دونالد كوكسيتر الرمز $α n$ ، أما العائلتان الأخريان فهما عائلة متعددات الوجوه المتقاطعة ، والتي تحمل الرمز $β n$ ، والمكعبات الفائقة ، والتي تحمل الرمز $γ n$ . وهناك عائلة رابعة، وهي تجزئة الفضاء $ذي$ الأبعاد n بواسطة عدد لا نهائي من المكعبات الفائقة ، وقد أطلق عليها الرمز $δ n$ . ^{[ 5 ]}

عناصر

يُطلق على الغلاف المحدب لأي مجموعة جزئية غير فارغة من النقاط $n$ $+ 1$ التي تُعرّف مُعقّدًا من الرتبة $n$ اسم وجه المُعقّد. الوجوه هي مُعقّدات بحد ذاتها. على وجه الخصوص، فإن الغلاف المحدب لمجموعة جزئية حجمها $m$ $+ 1$ (من النقاط $n$ $+ 1$ المُعرّفة) هو مُعقّد من الرتبة $m$ ، ويُطلق عليه وجه من الرتبة $m$ للمُعقّد من الرتبة $n$ . تُسمى الوجوه الصفرية (أي النقاط المُعرّفة نفسها كمجموعات حجمها 1) بالرؤوس (المفرد: رأس)، وتُسمى الوجوه الواحدة بالحواف ، وتُسمى الوجوه ( $n$ $- 1 )$ بالأوجه ، والوجه الوحيد من الرتبة $n$ هو المُعقّد من الرتبة $n$ بأكمله. بشكل عام، عدد الوجوه من الرتبة $m$ يساوي معامل ذات الحدين ${\tbinom {n+1}{m+1}}$ ^{[ 6 ]} بالتالي ، يمكن إيجاد عدد $m$ من أوجه مُركّب $n -simplex في العمود ($ $m + 1$ ) من الصف ( $n + 1$ ) لمثلث باسكال . يُعتبر المُركّب $A$ وجهًا مُشاركًا للمُركّب $B$ إذا كان $B$ وجهًا من أوجه $A. قد يختلف معنى$ الوجه والوجه الفرعي عند وصف أنواع المُركّبات في مُركّب مُركّب .

يمكن حساب متجه f الموسع لمركب $n- simplex باستخدام$ $(1, 1) n + 1$ ، كما هو الحال مع معاملات جداءات كثيرات الحدود . على سبيل المثال، مركب 7-simplex هو ( 1 , 1 ) ⁸ = ( 1 , 2, 1 ) ⁴ = ( 1 , 4, 6, 4, 1 ) ² = ( 1 , 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 ).

عدد الأوجه (الحواف) 1 للمركب $n$ -simplex هو رقم المثلث $n$ ، وعدد الأوجه 2 للمركب $n$ -simplex هو رقم رباعي الأوجه $($ $n$ $-1)$ ، وعدد الأوجه 3 للمركب $n$ -simplex هو رقم الخلية 5 $($ $n$ $-2)$ ، وهكذا.

عناصر $n -Simplex$ ^{[ 7 ]}
$Δ n$	اسم	شلافلي كوكسيتر	0- الوجوه (الرؤوس)	1- الأوجه (الحواف)	2- وجوه (وجوه)	3- وجوه (خلايا)	4- وجوه	5- وجوه	6- وجوه	7- وجوه	8- وجوه	9- وجوه	10- وجوه	المجموع = 2 ^{ن + 1} − 1
Δ ⁰	0-simplex ( نقطة )	( )	1											1
Δ ¹	1- قطعة مستقيمة بسيطة	{ } = ( ) ∨ ( ) = 2⋅( )	2	1										3
Δ ²	2-simplex ( مثلث )	{3} = 3⋅( )	3	3	1									7
Δ ³	ثلاثي بسيط ( هرم رباعي الأوجه )	{3,3} = 4⋅( )	4	6	4	1								15
Δ ⁴	4-simplex ( 5-cell )	{3 ³ } = 5⋅( )	5	10	10	5	1							31
Δ ⁵	5-simplex	{3 ⁴ } = 6⋅( )	6	15	20	15	6	1						63
Δ ⁶	6-simplex	{3 ⁵ } = 7⋅( )	7	21	35	35	21	7	1					127
Δ ⁷	7-simplex	{3 ⁶ } = 8⋅( )	8	28	56	70	56	28	8	1				255
Δ ⁸	8-simplex	{3 ⁷ } = 9⋅( )	9	36	84	126	126	84	36	9	1			511
Δ ⁹	9-simplex	{3 ⁸ } = 10⋅( )	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1		1023
Δ ¹⁰	10-simplex	{3 ⁹ } = 11⋅( )	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1	2047

المُجَسَّم ذو الـ $n$ بُعد هو مُجَسَّم ذو أقل عدد من الرؤوس ويتطلب $n$ بُعدًا. لنفترض أن القطعة المستقيمة AB شكلٌ في فضاء أحادي البُعد (الفضاء أحادي البُعد هو الخط الذي تقع عليه القطعة). يُمكن وضع نقطة جديدة $C$ خارج هذا الخط. الشكل الجديد، المثلث ABC ، يتطلب بُعدين؛ إذ لا يُمكن وضعه في الفضاء الأصلي أحادي البُعد. يُسمى هذا المثلث بالمُجَسَّم ثنائي البُعد، وهو شكل بسيط يتطلب بُعدين. لنفترض أن المثلث ABC شكلٌ في فضاء ثنائي البُعد (المستوى الذي يقع فيه المثلث). يُمكن وضع نقطة جديدة $D$ خارج هذا المستوى. الشكل الجديد، رباعي الأوجه ABCD ، يتطلب ثلاثة أبعاد؛ إذ لا يُمكن وضعه في الفضاء الأصلي ثنائي البُعد. يُسمى هذا رباعي الأوجه بالمُجَسَّم ثلاثي البُعد، وهو شكل بسيط يتطلب ثلاثة أبعاد. لنفترض أن رباعي الأوجه ABCD شكلٌ في فضاء ثلاثي الأبعاد (الفضاء ثلاثي الأبعاد الذي يقع فيه رباعي الأوجه). يمكن وضع نقطة جديدة $E$ في مكان ما خارج الفضاء ثلاثي الأبعاد. يتطلب الشكل الجديد ABCDE ، المسمى بالخلية الخماسية، أربعة أبعاد ويُسمى الشكل الرباعي البسيط؛ ولا يمكن وضعه في الفضاء ثلاثي الأبعاد الأصلي. (كما يصعب تصوره). يمكن تعميم هذه الفكرة، أي إضافة نقطة جديدة واحدة خارج الفضاء المشغول حاليًا، مما يتطلب الانتقال إلى البعد الأعلى التالي لاستيعاب الشكل الجديد. يمكن أيضًا عكس هذه الفكرة: القطعة المستقيمة التي بدأنا بها هي شكل بسيط يتطلب فضاءً أحادي البعد لاستيعابه؛ القطعة المستقيمة هي الشكل الأحادي البسيط. تشكلت القطعة المستقيمة نفسها بالبدء بنقطة واحدة في فضاء صفري الأبعاد (هذه النقطة الأولية هي الشكل الصفري البسيط) وإضافة نقطة ثانية، مما استلزم الانتقال إلى فضاء أحادي البعد.

بصورة أدق، يمكن إنشاء مُركّب $(n + 1)$ -بسيط كوصل (∨ عامل) لمُركّب $n-$ بسيط ونقطة، $( )$ . ويمكن إنشاء مُركّب $($ $m$ $+$ $n$ $+ 1)$ -بسيط كوصل لمُركّب $m-$ بسيط ومُركّب $n-$ بسيط. يكون المُركّبان مُتعامدين تمامًا على بعضهما، مع إزاحة في اتجاه مُتعامد مع كليهما. المُركّب 1-بسيط هو وصل نقطتين: $( ) \lor ( ) = 2 \cdot ( )$ . المُركّب 2-بسيط العام (مثلث مختلف الأضلاع) هو وصل ثلاث نقاط: $( ) \lor ( ) \lor ( )$ . المثلث متساوي الساقين هو وصل مُركّب 1-بسيط ونقطة: ${ } \lor ( )$ . المثلث متساوي الأضلاع هو 3 ⋅ ( ) أو {3}. المضلع الثلاثي العام هو وصل أربع نقاط: $( ) \lor ( ) \lor ( ) \lor ( )$ . ويمكن التعبير عن المضلع الثلاثي ذي التناظر المرآوي بوصل ضلع ونقطتين: ${ } \lor ( ) \lor ( )$ . ويمكن التعبير عن المضلع الثلاثي ذي التناظر المثلثي بوصل مثلث متساوي الأضلاع ونقطة واحدة: $3.( )\lor( )$ أو ${3}\lor( )$ . أما رباعي الأوجه المنتظم فهو $4 \cdot ( )$ أو {3,3} وهكذا.

في بعض الاصطلاحات، ^{[ 8 ]} تُعرَّف المجموعة الفارغة بأنها مُجَسَّم (−1)-بسيط. ويظل تعريف المُجَسَّم أعلاه صحيحًا إذا كان $n = -1$ . هذا الاصطلاح أكثر شيوعًا في تطبيقات الطوبولوجيا الجبرية (مثل التماثل البسيط ) منه في دراسة متعددات الوجوه.

الرسوم البيانية المتناظرة للعناصر البسيطة المنتظمة

تُظهر هذه المضلعات بيتري (الإسقاطات المتعامدة المائلة) جميع رؤوس المجسم البسيط المنتظم على دائرة ، وجميع أزواج الرؤوس المتصلة بالحواف.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20

إرسال واستقبال أحادي قياسي

المجموعة البسيطة القياسية من الرتبة $n$ (أو المجموعة البسيطة الوحدوية من الرتبة $n$ ) هي مجموعة جزئية من $R n +1$ معطاة بالصيغة التالية:

\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\text{ و }}t_{i}\geq 0{\text{ لـ }}i=0,\ldots ,n\right\}

.

يقع المجسم البسيط $Δ n$ في المستوى الفائق الأفيني الذي تم الحصول عليه عن طريق إزالة القيد $t i \geq 0$ في التعريف أعلاه.

الرؤوس $n + 1$ للمركب البسيط القياسي $n$ هي النقاط $e i \in R n +1$ ، حيث

e 0 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 1 = (0, 1, 0, ..., 0),

⋮

e n = (0, 0, 0, ..., 1)

.

يُعدّ المجسم البسيط القياسي مثالاً على متعدد السطوح 0/1 ، حيث تكون جميع الإحداثيات إما 0 أو 1. ويمكن اعتباره أيضًا أحد أوجه متعدد السطوح المنتظم $(n + 1)$ .

توجد خريطة أساسية من المُعقَّد القياسي ذي البُعد $n$ $إلى$ مُعقَّد عشوائي ذي البُعد $n$ برؤوس ( $v0,$ ..., $vn$ ) مُعطاة بواسطة

(t_{0},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}t_{i}v_{i}

تُسمى المعاملات $tᵢ$ بالإحداثيات الباريسنترية لنقطة في المُعقَّد $n-$ البسيط. يُطلق على هذا المُعقَّد العام غالبًا اسم المُعقَّد $n-$ البسيط الأفيني ، للتأكيد على أن التحويل الكنسي هو $تحويل$ أفيني . ويُطلق عليه أحيانًا اسم المُعقَّد $n-$ البسيط الأفيني المُوجَّه ، للتأكيد على أن التحويل الكنسي قد يحافظ على التوجيه أو يعكسه.

وبشكل أعم، هناك خريطة أساسية من المعيار $(n-1)$ -simplex (مع $n$ رأس) على أي متعدد السطوح مع $n$ رأس، معطى بنفس المعادلة (مع تعديل الفهرسة):

(t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}

تُعرف هذه باسم الإحداثيات الباريسنترية المعممة ، وهي تعبر عن كل متعدد السطوح كصورة لبسيط : $\Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.$

دالة شائعة الاستخدام من $R n$ إلى داخل المعيار $(n-1)$ -simplex هي دالة softmax ، أو دالة أسية معيارية؛ وهذا يعمم الدالة اللوجستية القياسية .

أمثلة

Δ ⁰ هي النقطة $1$ في $R 1$ .
Δ ¹ هو القطعة المستقيمة التي تصل بين $(1، 0)$ و $(0، 1)$ في $R 2$ .
Δ ² هو المثلث متساوي الأضلاع ذو الرؤوس $(1، 0، 0)$ ، $(0، 1، 0)$ و $(0، 0، 1)$ في $R 3$ .
Δ ³ هو رباعي الأوجه المنتظم ذو الرؤوس $(1، 0، 0، 0)$ ، $(0، 1، 0، 0)$ ، $(0، 0، 1، 0)$ و $(0، 0، 0، 1)$ في $R 4$ .
Δ ⁴ هو الشكل المنتظم ذو 5 خلايا برؤوس $(1، 0، 0، 0، 0)$ ، $(0، 1، 0، 0، 0)$ ، $(0، 0، 1، 0، 0)$ ، $(0، 0، 0، 1، 0)$ و $(0، 0، 0، 0، 1)$ في $R 5$ .

زيادة الإحداثيات

يُعطى نظام إحداثيات بديل بأخذ المجموع غير المحدد :

{\begin{aligned}s_{0}&=0\\s_{1}&=s_{0}+t_{0}=t_{0}\\s_{2}&=s_{1}+t_{1}=t_{0}+t_{1}\\s_{3}&=s_{2}+t_{2}=t_{0}+t_{1}+t_{2}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=s_{n-1}+t_{n-1}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n-1}\\s_{n+1}&=s_{n}+t_{n}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}=1\end{aligned}}

وهذا ينتج عنه العرض البديل حسب الترتيب، أي على شكل مجموعات $n$ غير متناقصة بين 0 و 1:

\Delta _{*}^{n}=\left\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in \mathbf {R} ^{n}\mid 0=s_{0}\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \dots \leq s_{n}\leq s_{n+1}=1\right\}.

هندسياً، هذه مجموعة فرعية ذات أبعاد $n$ من $\mathbf {R} ^{n}$ (البعد الأقصى، البعد المشترك 0) بدلاً من $\mathbf {R} ^{n+1}$ (البعد المشترك 1). الأوجه، التي تتوافق على المجسم البسيط القياسي مع تلاشي أحد الإحداثيات، $t_{i}=0,$ هنا، تتوافق الإحداثيات المتتالية مع تساويها، $s_{i}=s_{i+1},$ بينما يتوافق الجزء الداخلي مع ازدياد حدة التفاوتات (التسلسلات المتزايدة).

يتمثل أحد الفروق الرئيسية بين هذه العروض في السلوك عند تبديل الإحداثيات؛ إذ يُثبَّت المُعقَّد القياسي بتبديل الإحداثيات، بينما لا يُبقي تبديل عناصر "المُعقَّد المُرتب" عليه ثابتًا، لأن تبديل تسلسل مُرتب يجعله غير مُرتب عمومًا. في الواقع، يُعد المُعقَّد المُرتب مجالًا أساسيًا (مغلقًا) لتأثير المجموعة المتناظرة على المكعب ذي البعد $n$ ، مما يعني أن مدار المُعقَّد المُرتب تحت تأثير $n$ ! عنصرًا من المجموعة المتناظرة يقسم المكعب ذي البعد $n$ إلى $n!$ معظمها أشكال بسيطة منفصلة (منفصلة باستثناء الحدود)، مما يدل على أن حجم هذا الشكل البسيط هو $1/ n!.$ بدلاً من ذلك، يمكن حساب الحجم عن طريق التكامل المتكرر، حيث تكون دوال التكامل المتتالية هي 1، $x$ $،$ x² $/ 2 ،$ x³ $/ 3!،$ ... ، $xⁿ / n!.$

ومن الخصائص الأخرى لهذا العرض أنه يستخدم الترتيب وليس الجمع، وبالتالي يمكن تعريفه في أي بُعد على أي مجموعة مرتبة، وعلى سبيل المثال يمكن استخدامه لتعريف مُركب بسيط لا نهائي الأبعاد دون مشاكل تقارب المجاميع.

الإسقاط على السطح البسيط القياسي

يُعدّ الإسقاط على المُعقّد القياسي ذا أهمية خاصة في التطبيقات العددية لنظرية الاحتمالات . معطى ⁠ $p$ ، ربما بإحداثيات سالبة أو أكبر من 1 ، أقرب نقطة $t$ إحداثيات على السطح البسيط

t_{i}=\max\{p_{i}+\Delta \,,0\},

أين $\Delta$ يتم اختيارها بحيث ${\textstyle \sum _{i}\max\{p_{i}+\Delta \,,0\}=1.}$

$\Delta$ يمكن حسابها بسهولة من خلال فرز إحداثيات ⁠ $p$ [ ⁹^] يعتمد أسلوب الفرز^على $O(n\log n)$ يمكن تحسين التعقيد إلى $O($ $n$ $)$ باستخدام خوارزميات إيجاد الوسيط . ^[¹⁰^] إن الإسقاط على المُعَجَّل البسيط يُشابه حسابيًا الإسقاط على $\ell _{1}$ الكرة. انظر أيضًا البرمجة العددية الصحيحة .

زاوية المكعب

وأخيرًا، يتمثل أحد البدائل البسيطة في استبدال عبارة "المجموع يساوي 1" بعبارة "المجموع يساوي 1 على الأكثر"؛ وهذا يزيد البعد بمقدار 1، لذا لتبسيط الترميز، تتغير الفهرسة:

\Delta _{c}^{n}=\left\{(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n}t_{i}\leq 1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.

ينتج عن هذا مُجسمٌ بسيطٌ من الرتبة $n$ كزاويةٍ من المكعب ذي الرتبة $n$ ، وهو مُجسمٌ بسيطٌ متعامدٌ قياسي. هذا هو المُجسم البسيط المُستخدم في طريقة المُجسم البسيط ، والتي ترتكز على نقطة الأصل، وتُمثل محليًا رأسًا على مُضلعٍ ذي $n$ وجهًا.

إحداثيات ديكارتية لمركب بسيط منتظم ذي $n$ بُعد في R ⁿ

إحدى طرق كتابة مُعقَّد منتظم من الرتبة $n$ في الفضاء الإقليدي ذي $البعد n$ هي اختيار نقطتين لتكونا الرأسين الأولين، ثم اختيار نقطة ثالثة لتكوين مثلث متساوي الأضلاع، ثم اختيار نقطة رابعة لتكوين رباعي أوجه منتظم، وهكذا. تتطلب كل خطوة استيفاء معادلات تضمن أن كل رأس مُختار حديثًا، بالإضافة إلى الرؤوس المختارة سابقًا، يُشكِّل مُعقَّدًا منتظمًا. توجد عدة مجموعات من المعادلات التي يمكن كتابتها واستخدامها لهذا الغرض. تشمل هذه المعادلات تساوي جميع المسافات بين الرؤوس؛ وتساوي جميع المسافات من الرؤوس إلى مركز المُعقَّد؛ وحقيقة أن الزاوية المحصورة بين أي رأسين مُختارين سابقًا عند الرأس الجديد هي $\pi /3$ وحقيقة أن الزاوية المحصورة بين أي رأسين من رؤوس المجسم البسيط والمارة بمركزه هي $\arccos(-1/n)$ .

من الممكن أيضًا كتابة مُعقَّد منتظم من $الرتبة n$ مباشرةً في $الفضاء$ $Rⁿ ،$ والذي يمكن بعد ذلك نقله وتدويره وتغيير حجمه حسب الرغبة. إحدى طرق القيام بذلك هي كما يلي: لنرمز إلى متجهات الأساس في $Rⁿ$ بالرموز $e₁$ إلى $eₙ$ . نبدأ بالمُعقَّد القياسي من الرتبة $(n -1)،$ $وهو$ $الغلاف$ المحدب لمتجهات الأساس. بإضافة رأس إضافي، تُصبح هذه المتجهات وجهًا لمُعقَّد منتظم من الرتبة $n$ . يجب أن يقع الرأس الإضافي على الخط العمودي على مركز ثقل المُعقَّد القياسي، لذا يكون على الصورة $(α / n₁, ..., α / nₙ)$ لعدد حقيقي $α$ . بما أن مربع المسافة بين متجهي أساس يساوي 2، فلكي يُشكِّل الرأس الإضافي مُعقَّدًا منتظمًا من الرتبة $n$ ، يجب أن يكون مربع المسافة بينه وبين أيٍّ من متجهات الأساس يساوي 2 أيضًا. ينتج عن ذلك معادلة تربيعية لـ $α$ . يُبيِّن حل هذه المعادلة وجود خيارين للرأس الإضافي:

{\frac {1}{n}}\left(1\pm {\sqrt {n+1}}\right)\cdot (1,\dots ,1).

أي من هذين الخيارين، بالإضافة إلى متجهات الأساس القياسية، ينتج عنه شكل بسيط منتظم من الرتبة $n$ .

المجسم المنتظم ذو البعد $n$ المذكور أعلاه ليس متمركزًا عند نقطة الأصل. يمكن نقله إلى نقطة الأصل بطرح متوسط أطوال أضلاعه. وبإعادة تحجيمه، يمكن جعل طول ضلعه وحدة واحدة. ينتج عن ذلك المجسم الذي رؤوسه هي:

{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{i}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}}}{\bigg (}1\pm {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}{\bigg )}\cdot (1,\dots ,1),

ل $1\leq i\leq n$ ، و

\pm {\frac {1}{\sqrt {2(n+1)}}}\cdot (1,\dots ,1).

لاحظ أن هناك مجموعتين من الرؤوس موصوفتين هنا. تستخدم إحدى المجموعتين $+$ في كل عملية حسابية. المجموعة الأخرى تستخدم $-$ في كل عملية حسابية.

هذا المجسم البسيط محصور داخل كرة فائقة نصف قطرها ${\sqrt {n/(2(n+1))}}$ .

ينتج عن إعادة التحجيم المختلفة مُجسم بسيط مُحاط بكرة فائقة الوحدة. عند القيام بذلك، تكون رؤوسه

{\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot \mathbf {e} _{i}-n^{-3/2}({\sqrt {n+1}}\pm 1)\cdot (1,\dots ,1),

أين $1\leq i\leq n$ ، و

\pm n^{-1/2}\cdot (1,\dots ,1).

طول ضلع هذا المجسم البسيط هو ${\textstyle {\sqrt {2(n+1)/n}}}$ .

إحدى الطرق المتناظرة للغاية لإنشاء مُركّب $n-$ مُنتظم هي استخدام تمثيل للمجموعة الدورية $Z<sub> n +1</sub>$ بواسطة مصفوفات متعامدة . هذه المصفوفة المتعامدة $Q من الرتبة$ $n \times n،$ حيث $Q$ $<sub>n$ $+1</sub>$ $=$ $I$ هي مصفوفة الوحدة ، ولكن لا توجد قوة أدنى لـ $Q$ هي مصفوفة الوحدة. بتطبيق قوى هذه المصفوفة على متجه مناسب $v،$ نحصل على رؤوس مُركّب $n-$ مُنتظم . لتنفيذ ذلك، نلاحظ أولًا أنه لأي مصفوفة متعامدة $Q$ ، يوجد أساس يمكن اختياره بحيث تكون $Q$ مصفوفة قطرية كتلية.

Q=\operatorname {diag} (Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{k}),

حيث تكون كل $مصفوفة$ $Qᵢ$ متعامدة، إما من الرتبة $2\times2$ أو $1\times1$ . ولكي تكون رتبة $Qᵢ هي$ $n +1$ ، يجب أن تكون رتبة جميع هذه المصفوفات قابلة للقسمة على $n +1$ . لذلك، فإن كل $مصفوفة$ $Qᵢ$ إما أن تكون مصفوفة $1\times1$ عنصرها الوحيد هو $1$ ، أو $-1$ إذا كان $n$ فرديًا ؛ أو أنها مصفوفة $2\times2$ من الشكل التالي:

{\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&-\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\\\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\end{pmatrix}},

$حيث يمثل$ كل $ωᵢ$ عددًا صحيحًا بين الصفر و $n$ شاملًا. الشرط الكافي لكون مدار نقطة ما عبارة عن مُجَسَّم منتظم هو أن تُشكِّل المصفوفات $Qᵢ$ $أساسًا$ للتمثيلات الحقيقية غير القابلة للاختزال وغير التافهة لـ $Zₙ₊₁$ $، وألا$ يكون المتجه الذي يتم تدويره مستقرًا بواسطة أي منها.

من الناحية العملية، بالنسبة لـ $n$ ، هذا يعني أن كل مصفوفة $Q$ $i$ هي $2 \times 2$ ، وهناك تساوي بين المجموعات

\{\omega _{1},n+1-\omega _{1},\dots ,\omega _{n/2},n+1-\omega _{n/2}\}=\{1,\dots ,n\},

ولكل $Q i$ ، فإن عناصر المصفوفة $v$ التي تؤثر عليها $Q i$ لا تساوي صفرًا. على سبيل المثال، عندما $n = 4$ ، فإن إحدى المصفوفات الممكنة هي

{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)&-\sin(2\pi /5)&0&0\\\sin(2\pi /5)&\cos(2\pi /5)&0&0\\0&0&\cos(4\pi /5)&-\sin(4\pi /5)\\0&0&\sin(4\pi /5)&\cos(4\pi /5)\end{pmatrix}}.

بتطبيق هذا على المتجه $(1، 0، 1، 0)$ ينتج عنه المجسم البسيط الذي رؤوسه هي

{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\\\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\\\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\\\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\\\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\end{pmatrix}},

كل منها يبعد مسافة √5 عن البقية. عندما يكون $n$ فرديًا، يعني الشرط أن أحد الكتل القطرية فقط هو $1 \times 1$ ، ويساوي $-1$ ، ويؤثر على عنصر غير صفري في $v$ ؛ بينما الكتل القطرية المتبقية، ولتكن $Q1 ، ...، Q (n - 1) / 2$ ، هي $2 \times 2$ ، وهناك تساوي بين المجموعات.

\left\{\omega _{1},-\omega _{1},\dots ,\omega _{(n-1)/2},-\omega _{(n-1)/2}\right\}=\left\{1,\dots ,(n-1)/2,(n+3)/2,\dots ,n\right\},

ويؤثر كل قسم قطري على زوج من عناصر المصفوفة $v$ التي لا تساوي صفرًا. لذا، على سبيل المثال، عندما $n = 3$ ، يمكن أن تكون المصفوفة

{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.

بالنسبة للمتجه $(1، 0، 1/ \sqrt2) ،$ فإن الشكل البسيط الناتج له رؤوس

{\begin{pmatrix}1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},

كل منها يبعد مسافة 2 عن الأخرى.

الخصائص الهندسية

مقدار

حجم مُجسم $بسيط$ من الرتبة $n$ في فضاء ذي $n$ بُعد برؤوس $($ $v₀$ $,$ ... $,$ $vₙ$ $)$ هو

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&&v_{2}-v_{0}&&\cdots &&v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right|

حيث يمثل كل عمود من أعمدة المحدد ذي الأبعاد n $\times$ $n متجهًا يشير$ من الرأس $v₀$ إلى رأس آخر $vₖ$ $.$ ^[¹¹^] وتُعد هذه الصيغة مفيدة بشكل خاص عندما $v_{0}$ هو الأصل.

التعبير

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\det \left[{\begin{pmatrix}v_{1}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\v_{2}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\\vdots \\v_{n}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&v_{2}-v_{0}&\cdots &v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right]^{1/2}

تستخدم هذه الطريقة محدد غرام وتعمل حتى عندما تكون رؤوس المجسم البسيط ذي البعد $n$ في فضاء إقليدي بأكثر من $n$ بُعد، على سبيل المثال، مثلث في $\mathbf {R} ^{3}$ .

طريقة أكثر تناظرًا لحساب حجم $n$ -simplex في $\mathbf {R} ^{n}$ هو ^{[ 12 ]}

\mathrm {Volume} ={1 \over n!}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{0}&v_{1}&\cdots &v_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|,

ويمكن توسيع هذا ليشمل $n + 1$ رأسًا في $\mathbf {R} ^{m}$ بالنسبة لـ $m > n$ ، كما هو الحال $1/ n!$ مضروبًا في الجذر التربيعي للفرق بين محددين غرام .

هناك طريقة شائعة أخرى لحساب حجم المجسم البسيط وهي باستخدام محدد كايلي-مينجر ، والذي يعمل حتى عندما تكون رؤوس المجسم البسيط ذي البعد n في فضاء إقليدي بأكثر من n بُعد. ^{[ 13 ]}

بدون $1/ n!،$ تصبح الصيغة هي صيغة حجم متوازي السطوح ذي البعد $n$ . ويمكن فهم ذلك على النحو التالي: لنفترض أن $P$ هو متوازي سطوح ذي البعد $n$ مبني على أساس $(v_{0},e_{1},\ldots ,e_{n})$ ل $\mathbf {R} ^{n}$ . بالنظر إلى التبديل $\sigma$ ل $\{1,2,\ldots ,n\}$ ، استدعاء قائمة الرؤوس $v_{0},\ v_{1},\ldots ,v_{n}$ مسار $n$ إذا

v_{1}=v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{2}=v_{1}+e_{\sigma (2)},\ldots ,v_{n}=v_{n-1}+e_{\sigma (n)}

(إذن هناك $n! مسارًا$ $من n$ و $v_{n}$ (لا يعتمد على التبديل). العبارات التالية صحيحة:

إذا كان $P$ هو المكعب الفائق ذو البعد $n$ ، فإن اتحاد المجسمات البسيطة ذات البعد $n،$ المُشكَّلة بواسطة الغلاف المحدب لكل مسار ذي البعد $n،$ هو $P$ ، وهذه المجسمات البسيطة متطابقة ولا تتداخل مثنى مثنى. ^{[ 14 ]} وعلى وجه الخصوص، فإن حجم هذا المجسم البسيط هو

{\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {1}{n!}}.

إذا كان $P$ متوازي أضلاع عام، فإن نفس الادعاءات تبقى صحيحة باستثناء أنه لم يعد صحيحًا، في بُعد أكبر من 2، أن تكون المُجَسَّمات مُتطابقة مثنى مثنى؛ ومع ذلك تظل أحجامها متساوية، لأن متوازي الأضلاع من الرتبة $n$ هو صورة المكعب الفائق من الرتبة $n$ بواسطة التشاكل الخطي الذي يُرسل الأساس القانوني لـ $\mathbf {R} ^{n}$ ل $e_{1},\ldots ,e_{n}$ وكما سبق، فإن هذا يعني أن حجم المجسم البسيط القادم من مسار ذي $n$ طول هو:

{\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {\det(e_{1},\ldots ,e_{n})}{n!}}.

على العكس من ذلك، بالنظر إلى مُركّب بسيط من الرتبة $n$ $(v_{0},\ v_{1},\ v_{2},\ldots v_{n})$ ل $\mathbf {R} ^{n}$ ، يمكن افتراض أن المتجهات $e_{1}=v_{1}-v_{0},\ e_{2}=v_{2}-v_{1},\ldots e_{n}=v_{n}-v_{n-1}$ تشكل أساسًا لـ $\mathbf {R} ^{n}$ بالنظر إلى متوازي السطوح المُنشأ من $v_{0}$ و $e_{1},\ldots ,e_{n}$ يتضح أن الصيغة السابقة صالحة لكل شكل بسيط.

وأخيرًا، يتم الحصول على الصيغة الواردة في بداية هذا القسم من خلال ملاحظة أن

\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots ,v_{n}-v_{0})=\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{1},\ldots ,v_{n}-v_{n-1}).

من هذه الصيغة، يتبين مباشرة أن الحجم تحت سطح مجسم بسيط من الرتبة $n$ (أي بين نقطة الأصل والمجسم البسيط في $R n +1$ ) هو

{1 \over (n+1)!}

حجم مُجسم بسيط منتظم من الرتبة $n$ ذو طول ضلع يساوي الوحدة

{\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}

كما يتضح من ضرب الصيغة السابقة في $x n +1$ ، للحصول على الحجم تحت المجسم ذي $n-$ simplex كدالة لمسافة رأسه $x$ من نقطة الأصل، ثم اشتقاقها بالنسبة إلى $x$ ، عند $x=1/{\sqrt {2}}$ (حيث يكون طول ضلع $n$ -simplex هو 1)، والتطبيع حسب الطول $dx/{\sqrt {n+1}}$ من الزيادة، $(dx/(n+1),\ldots ,dx/(n+1))$ ، على طول المتجه العمودي.

الزوايا ثنائية السطوح للمركب البسيط المنتظم من الرتبة n

أي وجهين من أوجه $(n -1)$ البعد لمجسم بسيط منتظم ذي $n$ بُعد هما في حد ذاتهما مجسمات بسيطة منتظمة ذات $(n -1)$ بُعد ، ولهما نفس الزاوية ثنائية السطوح cos $- 1 (1/ n)$ . ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

ويمكن ملاحظة ذلك من خلال ملاحظة أن مركز المجسم البسيط القياسي هو ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ ، ومراكز أوجهها هي تباديل إحداثية لـ ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ ثم، بالتناظر، يكون المتجه الذي يشير من ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ ل ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ يكون عموديًا على الأوجه. لذا فإن المتجهات العمودية على الأوجه هي تباديل لـ $(-n,1,\dots ,1)$ ومنها يتم حساب الزوايا ثنائية السطوح.

الوصلات البسيطة ذات "الزاوية المتعامدة"

تعني "الزاوية المتعامدة" هنا وجود رأس تكون جميع حوافه المتجاورة متعامدة مثنى مثنى. ويترتب على ذلك مباشرةً أن جميع الأوجه المتجاورة متعامدة مثنى مثنى. تُعدّ هذه الأشكال البسيطة تعميمًا للمثلثات القائمة، ولها صيغةٌ ذات بُعد $n$ من نظرية فيثاغورس : مجموع مربعات أحجام الأوجه المجاورة للزاوية المتعامدة $(n - 1)$ يساوي مربع حجم الوجه المقابل للزاوية المتعامدة $(n - 1) (n - 1) .$

\sum _{k=1}^{n}|A_{k}|^{2}=|A_{0}|^{2}

أين $A_{1}\ldots A_{n}$ هل الأوجه متعامدة مع بعضها البعض ولكنها ليست متعامدة مع $A_{0}$ وهو الوجه المقابل للزاوية المتعامدة. ^{[ 17 ]}

بالنسبة للمركب البسيط الثنائي، فإن النظرية هي نظرية فيثاغورس للمثلثات ذات الزاوية القائمة، وبالنسبة للمركب البسيط الثلاثي، فهي نظرية دي غوا للهرم الرباعي ذي الزاوية المتعامدة.

العلاقة بالمكعب الفائق ذي البعد ( ن + ١)

مخطط هاس لشبكة أوجه مُجسم بسيط من الرتبة $n$ متماثل مع مخطط حواف المكعب الفائق من الرتبة $(n + 1) ، حيث تُطابق رؤوس المكعب الفائق كل عنصر من عناصر المُجسم البسيط من الرتبة$ $n$ ، بما في ذلك المُجسم البسيط بأكمله والمضلع الصفري كنقطتين طرفيتين للشبكة (مُطابقتين لرأسين متقابلين على المكعب الفائق). يمكن استخدام هذه الحقيقة لحصر شبكة أوجه المُجسم البسيط بكفاءة، نظرًا لأن خوارزميات حصر شبكة الأوجه الأكثر عمومية تتطلب موارد حسابية أكبر.

يُعدّ الشكل البسيط من الرتبة $n$ أيضًا شكل رأس المكعب الفائق من الرتبة $(n + 1)$ . وهو أيضًا وجه من أوجه الشكل المتعامد من الرتبة $(n + 1)$ .

الطوبولوجيا

من الناحية الطوبولوجية ، فإنّ $n-$ simplex مكافئ لـ $n$ -ball . كل $n-$ simplex هو متعدد الشعب ذو $n-$ الأبعاد وله زوايا .

احتمال

في نظرية الاحتمالات، تُشكّل نقاط المُعقّد القياسي ذي البُعد $n$ في فضاء $(n + 1)$ فضاء التوزيعات الاحتمالية الممكنة على مجموعة منتهية تتألف من $n + 1$ نتيجة مُحتملة. ويكون التناظر كما يلي: لكل توزيع مُوصوف على أنه مجموعة مُرتبة من الاحتمالات $(n + 1)$ مجموعها يساوي (بالضرورة) 1، نُخصّص نقطة المُعقّد التي تُطابق إحداثياتها المركزية تلك الاحتمالات. أي أن الرأس $k$ من المُعقّد يُخصّص له الاحتمال $k$ من المجموعة $(n + 1)$ كمعامل مركزي له. هذا التناظر هو تماثل خطي.

هندسة أيتشيسون

هندسة أيتشينسون هي طريقة طبيعية لإنشاء فضاء الضرب الداخلي من المجسم البسيط القياسي $\Delta ^{D-1}$ . يحدد هذا التعريف العمليات التالية على الأشكال البسيطة والأعداد الحقيقية:

الاضطراب (الإضافة)

x\oplus y=\left[{\frac {x_{1}y_{1}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},{\frac {x_{2}y_{2}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},\dots ,{\frac {x_{D}y_{D}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}}\right]\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}

الأسس (الضرب القياسي)

\alpha \odot x=\left[{\frac {x_{1}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},{\frac {x_{2}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},\ldots ,{\frac {x_{D}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}}\right]\qquad \forall x\in \Delta ^{D-1},\;\alpha \in \mathbb {R}

المنتج الداخلي

\langle x,y\rangle ={\frac {1}{2D}}\sum _{i=1}^{D}\sum _{j=1}^{D}\log {\frac {x_{i}}{x_{j}}}\log {\frac {y_{i}}{y_{j}}}\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}

المركبات

بما أن جميع الأشكال البسيطة ذاتية التناظر، فإنها تستطيع أن تشكل سلسلة من المركبات؛

يشكل المثلثان شكلاً سداسياً {6/2}.
يشكل اثنان من رباعيات الأوجه مركبًا من اثنين من رباعيات الأوجه أو نجمة ثمانية الأضلاع .
تشكل خليتان خماسيتان مركباً من خليتين خماسيتين في أربعة أبعاد.

الطوبولوجيا الجبرية

في الطوبولوجيا الجبرية ، تُستخدم المُجَسَّمات البسيطة كعناصر بناء لتكوين فئة مثيرة للاهتمام من الفضاءات الطوبولوجية تُسمى المُعَقَّدات المُجَسَّمة . تُبنى هذه الفضاءات من مُجَسَّمات بسيطة مُرتبطة معًا بطريقة توافقية . تُستخدم المُعَقَّدات المُجَسَّمة لتعريف نوع معين من التماثل يُسمى التماثل المُجَسَّم .

تُسمى مجموعة منتهية من $k$ -simplexes المضمنة في مجموعة جزئية مفتوحة من $Rⁿ$ سلسلة $k-$ أفينية . لا يشترط أن تكون السيمبلكسات في السلسلة فريدة؛ فقد تظهر بتكرار . بدلاً من استخدام ترميز المجموعات القياسي للدلالة على السلسلة الأفينية، يُستخدم عادةً علامة الجمع (+) للفصل بين كل عنصر في المجموعة. إذا كانت بعض السيمبلكسات ذات اتجاه معاكس $،$ تُسبق بعلامة الطرح (-). إذا ظهرت بعض السيمبلكسات في المجموعة أكثر من مرة، تُسبق بعدد صحيح. بالتالي، تأخذ السلسلة الأفينية الشكل الرمزي لمجموع بمعاملات صحيحة.

لاحظ أن كل وجه من أوجه مُركّب $n$ -simplex هو مُركّب affine $(n -1)$ -simplex، وبالتالي فإن حدود مُركّب $n$ -simplex هي سلسلة affine $(n -1)$ -chain. لذا، إذا رمزنا لمُركّب affine واحد مُوجّه إيجابيًا بـ

\sigma =[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}]

مع $v_{j}$ إذا رمزنا للرؤوس، فإن الحدود $\partial \sigma$ سلسلة $σ$

\partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}].

ويترتب على هذا التعبير، وخطية عامل الحدود، أن حدود حدود المجسم البسيط تساوي صفرًا:

\partial ^{2}\sigma =\partial \left(\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}]\right)=0.

وبالمثل، فإن حدود حدود السلسلة تساوي صفرًا: $\partial ^{2}\rho =0$ .

وبشكل أعم، يمكن تضمين المعقد البسيط (والسلسلة) في متعدد الشعب عن طريق خريطة سلسة وقابلة للتفاضل $f:\mathbf {R} ^{n}\to M$ في هذه الحالة، يتبادل كل من اصطلاح الجمع المستخدم للدلالة على المجموعة، وعملية الحدود، مع التضمين . أي،

f\left(\sum \nolimits _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum \nolimits _{i}a_{i}f(\sigma _{i})

حيث $a_{i}$ تمثل هذه الأعداد الصحيحة الاتجاه والتعدد. بالنسبة لمؤثر الحدود $\partial$ ، لدى المرء:

\partial f(\rho )=f(\partial \rho )

حيث $ρ$ عبارة عن سلسلة. تتبادل عملية الحدود مع عملية التعيين لأن السلسلة في النهاية تُعرَّف على أنها مجموعة وأكثر من ذلك بقليل، وتتبادل عملية المجموعة دائمًا مع عملية التعيين (بحسب تعريف التعيين).

خريطة متصلة $f:\sigma \to X$ يُشار عادةً إلى تحويل إلى فضاء طوبولوجي $X باسم$ $n$ -simplex مفرد . (يُطلق على التطبيق عمومًا اسم "مفرد" إذا لم يكن لديه خاصية مرغوبة مثل الاستمرارية، وفي هذه الحالة، يُقصد بالمصطلح الإشارة إلى حقيقة أن التطبيق المستمر ليس بالضرورة أن يكون تضمينًا.) ^{[ 18 ]}

الهندسة الجبرية

بما أن الهندسة الجبرية الكلاسيكية تسمح بالحديث عن المعادلات متعددة الحدود ولكن ليس عن المتباينات، فإنّ المعقد الجبري القياسي من الرتبة n يُعرَّف عادةً بأنه مجموعة جزئية من الفضاء الأفيني ذي البعد $(n + 1)$ ، حيث يكون مجموع جميع الإحداثيات مساويًا لـ 1 (وبالتالي يتم استبعاد جزء المتباينة). الوصف الجبري لهذه المجموعة هو $\Delta ^{n}:=\left\{x\in \mathbb {A} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\},$ وهو ما يعادل الوصف النظري للمخطط $\Delta _{n}(R)=\operatorname {Spec} (R[\Delta ^{n}])$ مع $R[\Delta ^{n}]:=R[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]\left/\left(1-\sum x_{i}\right)\right.$ حلقة الدوال المنتظمة على المعقد الجبري $n$ -simplex (لأي حلقة) $R$ ).

باستخدام نفس التعريفات المستخدمة في المجسم البسيط الكلاسيكي ذي البعد $n$ ، تتجمع المجسمات البسيطة ذات البعد $n$ للأبعاد المختلفة $n في$ جسم بسيط واحد ، بينما الحلقات $R[\Delta ^{n}]$ تتجمع في كائن واحد متماثل $R[\Delta ^{\bullet }]$ (في فئة المخططات أو الحلقات، لأن خرائط الوجه والانحلال كلها متعددة الحدود).

تُستخدم المبسطات الجبرية $n في$ نظرية K العليا وفي تعريف مجموعات تشاو العليا .

التطبيقات

في الإحصاء ، تعتبر الأشكال البسيطة فضاءات عينة للبيانات التركيبية وتستخدم أيضًا في رسم الكميات التي مجموعها يساوي 1، مثل نسب المجموعات الفرعية، كما هو الحال في الرسم البياني الثلاثي .
في نظرية الاحتمالات ، يُستخدم فضاء سيمبلكس غالبًا لتمثيل فضاء التوزيعات الاحتمالية. على سبيل المثال، يُعرَّف توزيع ديريشليه على سيمبلكس.
في الإحصاء الصناعي ، تظهر المجسمات البسيطة في صياغة المشكلة وفي الحل الخوارزمي. عند تصميم الخبز، يجب على المنتج مزج الخميرة والدقيق والماء والسكر، إلخ. في مثل هذه الخلطات ، لا يهم سوى النسب النسبية للمكونات: للحصول على خليط خبز مثالي، إذا تضاعف الدقيق، فيجب مضاعفة الخميرة. غالبًا ما تُصاغ مشكلة الخلط هذه بقيود معيارية، بحيث يكون مجموع المكونات غير السالبة واحدًا، وفي هذه الحالة تشكل المنطقة الممكنة مجسمًا بسيطًا. يمكن تقدير جودة خلطات الخبز باستخدام منهجية سطح الاستجابة ، ثم يمكن حساب القيمة القصوى المحلية باستخدام طريقة برمجة غير خطية ، مثل البرمجة التربيعية المتسلسلة . ^{[ 19 ]}
في بحوث العمليات ، يمكن حل مشاكل البرمجة الخطية بواسطة خوارزمية سيمبلكس لجورج دانتزيج .
في نظرية الألعاب ، يمكن تمثيل الاستراتيجيات كنقاط داخل مُجَسَّم بسيط. هذا التمثيل يُبسط تحليل الاستراتيجيات المختلطة.
في التصميم الهندسي ورسومات الحاسوب ، تقوم العديد من الطرق أولاً بإجراء عمليات تثليث بسيطة للمجال ثم تقوم بتركيب كثيرات الحدود الاستيفائية لكل بسيط. ^[²⁰^]
في الكيمياء ، يمكن تشبيه هيدريدات معظم عناصر المجموعة p بمجسم بسيط إذا تم توصيل كل ذرة على حدة. لا يتفاعل النيون مع الهيدروجين، ولذلك فهو عبارة عن نقطة . يرتبط الفلور بذرة هيدروجين واحدة مكونًا قطعة مستقيمة. يرتبط الأكسجين بذرتي هيدروجين بشكل منحني يشبه المثلث. يتفاعل النيتروجين مكونًا رباعي الأوجه . أما الكربون ، فيشكل بنية تشبه مخطط شليغل للخلية الخماسية. يستمر هذا النمط بالنسبة للنظائر الأثقل لكل عنصر، وكذلك عند استبدال ذرة الهيدروجين بذرة هالوجين .
في بعض مناهج الجاذبية الكمومية ، مثل حساب ريجي والتثليثات الديناميكية السببية ، يتم استخدام المبسطات كعناصر بناء لتقسيمات الزمكان؛ أي لبناء مشعبات مبسطة .

ملحوظات

↑ إلت، إي إل (2006) [1912]. "رابعًا. متعدد السطوح شبه المنتظم خماسي الأبعاد". متعددات السطوح شبه المنتظمة للفضاءات الفائقة . سايمون وشوستر. ISBN 978-1-4181-7968-7.
↑ بويد وفاندنبيرغ 2004
↑ كليفورد، دبليو كيه (1866). "المسألة 1878 (مقترحة ومحلولة من قبل المقترح)". في ميلر، دبليو جيه سي (محرر). مسائل رياضية مع حلولها من مجلة تايمز التعليمية المجلد السادس. لندن: سي إف هودجسون وأولاده. الصفحات 83-87 . تاريخ الاسترجاع: 4 مارس 2026 .
↑ ميلر، جيف، "سيمبلكس" ، أقدم الاستخدامات المعروفة لبعض مصطلحات الرياضيات ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 يناير 2018
↑ Coxeter 1973 ، ص 120-124 ، §7.2.
↑ كوكسيتر 1973 ، ص 120.
↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A135278 (مثلث باسكال بعد إزالة ضلعه الأيسر)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
↑ كوزلوف، ديمتري، الطوبولوجيا الجبرية التوافقية ، 2008، سبرينغر-فيرلاغ (سلسلة: الخوارزميات والحساب في الرياضيات)
^ يونمي تشين. شياو جينغ يي (2011). “الإسقاط على Simplex”. أرخايف : 1101.6081 [ math.OC ].
↑ ماكيولان، ن.؛ دي باولا، ج. ج. (1989). "خوارزمية خطية لإيجاد الوسيط لإسقاط متجه على مُعَجِّل بسيط ذي n". رسائل بحوث العمليات . 8 (4): 219. doi : 10.1016/0167-6377(89)90064-3 .
↑ يمكن إيجاد اشتقاق لصيغة مشابهة جدًا في: Stein, P. (1966). "ملاحظة حول حجم المجسم البسيط". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 73 (3): 299–301 . doi : 10.2307/2315353 . JSTOR 2315353 .
↑ شتاين، ب. (1966). "ملاحظة حول حجم المجسم البسيط" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 73 (3): 299-301 . doi : 10.2307/2315353 . ISSN 0002-9890 .
^ كولينز ، كارين د. “محدد كايلي مينجر” . عالم الرياضيات .
↑ كل $مسار n$ يتوافق مع تبديل $\scriptstyle \sigma$ هي صورة المسار $n$ $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{1},\ v_{0}+e_{1}+e_{2},\ldots v_{0}+e_{1}+\cdots +e_{n}$ بواسطة التماثل الأفيني الذي يرسل $\scriptstyle v_{0}$ ل $\scriptstyle v_{0}$ ، والذي يتطابق جزؤه الخطي $\scriptstyle e_{i}$ ل $\scriptstyle e_{\sigma (i)}$ لكل $i$ . بالتالي، كل مسارين من الرتبة $n$ متساويان في القياس، وكذلك أغلفةهما المحدبة؛ وهذا يفسر تطابق المُجَسَّمات. ولإثبات الادعاءات الأخرى، يكفي أن نلاحظ أن باطن المُجَسَّم المُحدَّد بواسطة المسار ذي الرتبة $n$ $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{0}+e_{\sigma (1)}+e_{\sigma (2)}\ldots v_{0}+e_{\sigma (1)}+\cdots +e_{\sigma (n)}$ هي مجموعة النقاط $\scriptstyle v_{0}+(x_{1}+\cdots +x_{n})e_{\sigma (1)}+\cdots +(x_{n-1}+x_{n})e_{\sigma (n-1)}+x_{n}e_{\sigma (n)}$ ، مع $\scriptstyle 0<x_{i}<1$ و $\scriptstyle x_{1}+\cdots +x_{n}<1.$ وبالتالي، فإن مكونات هذه النقاط بالنسبة لكل أساس مُبدَّل مُناظر مُرتب ترتيبًا تنازليًا صارمًا. وهذا يُفسر سبب عدم تداخل المُجسمات البسيطة. كما أن حقيقة أن اتحاد المُجسمات البسيطة هو مكعب الوحدة الفائق ذي البعد $n$ يتبع أيضًا، وذلك باستبدال المُتباينات الصارمة أعلاه بـ " $\scriptstyle \leq$ ". تنطبق نفس الحجج أيضًا على متوازي السطوح العام، باستثناء التماثل بين الأشكال البسيطة.
↑ باركس، هارولد ر .؛ ويلز، دين س. (أكتوبر 2002). "حساب أولي للزاوية ثنائية السطوح للمُجَسَّم المنتظم من الرتبة $n$ ". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 109 (8): 756-758 . doi : 10.2307/3072403 . JSTOR 3072403 .
↑ ويلز، هارولد ر.؛ باركس، دين س. (يونيو 2009). الروابط بين توافقية التباديل والخوارزميات والهندسة (أطروحة دكتوراه). جامعة ولاية أوريغون. hdl : 1957/11929 .
↑ دونشيان، ب.س.؛ كوكسيتر، هـ.س.م . (يوليو 1935). "1142. امتداد متعدد الأبعاد لنظرية فيثاغورس". المجلة الرياضية . 19 (234): 206. doi : 10.2307/3605876 . JSTOR 3605876. S2CID 125391795 .
↑ لي، جون م. (2006). مقدمة في المشعبات الطوبولوجية . سبرينغر. ص 292-293 . ISBN 978-0-387-22727-6.
↑ كورنيل، جون (2002). تجارب على المخاليط: التصاميم والنماذج وتحليل بيانات المخاليط ( الطبعة الثالثة). وايلي. ISBN 0-471-07916-2.
↑ فوندران، غاري ل. (أبريل 1998). "تقنيات الاستيفاء الشعاعي والرباعي الأوجه المُقَصَّر" (ملف PDF) . تقرير فني من HP . HPL-98-95: 1-32 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 7 يونيو 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 نوفمبر 2009 .

مراجع

رودين، والتر (1976). مبادئ التحليل الرياضي ( الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. ISBN 0-07-054235-X.(انظر الفصل 10 للاطلاع على مراجعة بسيطة للخصائص الطوبولوجية.)
تانينباوم، أندرو س. (2003). "الفقرة 2.5.3". شبكات الحاسوب ( الطبعة الرابعة). برنتيس هول. ISBN 0-13-066102-3.
ديفروي، لوك (1986). توليد المتغيرات العشوائية غير المنتظمة . سبرينغر. ISBN 0-387-96305-7تمت أرشفة النسخة الأصلية بتاريخ 2009-05-05.
كوكسيتر، إتش إس إم (1973). متعددات الوجوه المنتظمة ( الطبعة الثالثة). دوفر. رقم ISBN 0-486-61480-8.
- الصفحات ١٢٠-١٢١، الفقرة ٧.٢. انظر الرسم التوضيحي ٧-٢ أ
- ص 296، الجدول الأول (ثالثاً): متعددات الوجوه المنتظمة، ثلاثة متعددات وجوه منتظمة في $n$ أبعاد ( $n \geq 5$ )
وايسشتاين، إريك دبليو. "سيمبلكس" . عالم الرياضيات .
بويد، ستيفن ؛ فاندنبيرغ، ليفين (2004). التحسين المحدب . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-39400-1.بصيغة PDF

v ت هـ المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلة	$أن $	$ب ن$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
مضلع منتظم	مثلث	مربع	بي-جون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح منتظم	رباعي الأوجه	ثماني الأوجه • مكعب	مكعب ديميكيوب		المجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بوليكلورون موحد	بنتاشورون	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم	5-simplex	5-أورثوبليكس • 5-كيوب	5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم	6-simplex	6-أورثوبليكس • 6-كيوب	6-نصف مكعب	1 ₂₂ • 2 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 7 أوجه	7-simplex	7-أورثوبليكس • 7-كيوب	7-نصف مكعب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه	8-simplex	8-أورثوبليكس • 8-كيوب	8-نصف مكعب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد الوجوه موحد ذو 9 أوجه	9-simplex	9-أورثوبليكس • 9-كيوب	9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء	10-simplex	10-أورثوبلكس • 10-كيوب	10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع n	n - سيمبلكس	ن - أورثوبليكس • ن - كيوب	ن - نصف مكعب	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه

[1] إلت، إي إل (2006) [1912]. "رابعًا. متعدد السطوح شبه المنتظم خماسي الأبعاد". متعددات السطوح شبه المنتظمة للفضاءات الفائقة . سايمون وشوستر. ISBN 978-1-4181-7968-7.

[Boyd-2] بويد وفاندنبيرغ 2004

[3] كليفورد، دبليو كيه (1866). "المسألة 1878 (مقترحة ومحلولة من قبل المقترح)". في ميلر، دبليو جيه سي (محرر). مسائل رياضية مع حلولها من مجلة تايمز التعليمية المجلد السادس. لندن: سي إف هودجسون وأولاده. الصفحات 83-87 . تاريخ الاسترجاع: 4 مارس 2026 .

[4] ميلر، جيف، "سيمبلكس" ، أقدم الاستخدامات المعروفة لبعض مصطلحات الرياضيات ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 يناير 2018

[FOOTNOTECoxeter1973120–124§7.2-5] Coxeter 1973 ، ص 120-124 ، §7.2.

[FOOTNOTECoxeter1973120-6] كوكسيتر 1973 ، ص 120.

[7] سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A135278 (مثلث باسكال بعد إزالة ضلعه الأيسر)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.

[8] كوزلوف، ديمتري، الطوبولوجيا الجبرية التوافقية ، 2008، سبرينغر-فيرلاغ (سلسلة: الخوارزميات والحساب في الرياضيات)

[9] يونمي تشين. شياو جينغ يي (2011). “الإسقاط على Simplex”. أرخايف : 1101.6081 [ math.OC ].

[10] ماكيولان، ن.؛ دي باولا، ج. ج. (1989). "خوارزمية خطية لإيجاد الوسيط لإسقاط متجه على مُعَجِّل بسيط ذي n". رسائل بحوث العمليات . 8 (4): 219. doi : 10.1016/0167-6377(89)90064-3 .

[11] يمكن إيجاد اشتقاق لصيغة مشابهة جدًا في: Stein, P. (1966). "ملاحظة حول حجم المجسم البسيط". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 73 (3): 299–301 . doi : 10.2307/2315353 . JSTOR 2315353 .

[12] شتاين، ب. (1966). "ملاحظة حول حجم المجسم البسيط" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 73 (3): 299-301 . doi : 10.2307/2315353 . ISSN 0002-9890 .

[13] كولينز ، كارين د. “محدد كايلي مينجر” . عالم الرياضيات .

[14] كل $مسار n$ يتوافق مع تبديل $\scriptstyle \sigma$ هي صورة المسار $n$ $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{1},\ v_{0}+e_{1}+e_{2},\ldots v_{0}+e_{1}+\cdots +e_{n}$ بواسطة التماثل الأفيني الذي يرسل $\scriptstyle v_{0}$ ل $\scriptstyle v_{0}$ ، والذي يتطابق جزؤه الخطي $\scriptstyle e_{i}$ ل $\scriptstyle e_{\sigma (i)}$ لكل $i$ . بالتالي، كل مسارين من الرتبة $n$ متساويان في القياس، وكذلك أغلفةهما المحدبة؛ وهذا يفسر تطابق المُجَسَّمات. ولإثبات الادعاءات الأخرى، يكفي أن نلاحظ أن باطن المُجَسَّم المُحدَّد بواسطة المسار ذي الرتبة $n$ $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{0}+e_{\sigma (1)}+e_{\sigma (2)}\ldots v_{0}+e_{\sigma (1)}+\cdots +e_{\sigma (n)}$ هي مجموعة النقاط $\scriptstyle v_{0}+(x_{1}+\cdots +x_{n})e_{\sigma (1)}+\cdots +(x_{n-1}+x_{n})e_{\sigma (n-1)}+x_{n}e_{\sigma (n)}$ ، مع $\scriptstyle 0<x_{i}<1$ و $\scriptstyle x_{1}+\cdots +x_{n}<1.$ وبالتالي، فإن مكونات هذه النقاط بالنسبة لكل أساس مُبدَّل مُناظر مُرتب ترتيبًا تنازليًا صارمًا. وهذا يُفسر سبب عدم تداخل المُجسمات البسيطة. كما أن حقيقة أن اتحاد المُجسمات البسيطة هو مكعب الوحدة الفائق ذي البعد $n$ يتبع أيضًا، وذلك باستبدال المُتباينات الصارمة أعلاه بـ " $\scriptstyle \leq$ ". تنطبق نفس الحجج أيضًا على متوازي السطوح العام، باستثناء التماثل بين الأشكال البسيطة.

[15] باركس، هارولد ر .؛ ويلز، دين س. (أكتوبر 2002). "حساب أولي للزاوية ثنائية السطوح للمُجَسَّم المنتظم من الرتبة $n$ ". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 109 (8): 756-758 . doi : 10.2307/3072403 . JSTOR 3072403 .

[16] ويلز، هارولد ر.؛ باركس، دين س. (يونيو 2009). الروابط بين توافقية التباديل والخوارزميات والهندسة (أطروحة دكتوراه). جامعة ولاية أوريغون. hdl : 1957/11929 .

[17] دونشيان، ب.س.؛ كوكسيتر، هـ.س.م . (يوليو 1935). "1142. امتداد متعدد الأبعاد لنظرية فيثاغورس". المجلة الرياضية . 19 (234): 206. doi : 10.2307/3605876 . JSTOR 3605876. S2CID 125391795 .

[18] لي، جون م. (2006). مقدمة في المشعبات الطوبولوجية . سبرينغر. ص 292-293 . ISBN 978-0-387-22727-6.

[19] كورنيل، جون (2002). تجارب على المخاليط: التصاميم والنماذج وتحليل بيانات المخاليط ( الطبعة الثالثة). وايلي. ISBN 0-471-07916-2.

[20] فوندران، غاري ل. (أبريل 1998). "تقنيات الاستيفاء الشعاعي والرباعي الأوجه المُقَصَّر" (ملف PDF) . تقرير فني من HP . HPL-98-95: 1-32 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 7 يونيو 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 نوفمبر 2009 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

9

[

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗