متعدد الأوجه منتظم

طوّر لودفيج شلافلي في القرن التاسع عشر تمثيلاً رمزياً موجزاً للمضلعات المنتظمة، وأصبح شكلٌ مُعدّلٌ قليلاً منه معياراً. ^{[ 2 ]} ويُمكن شرح هذا الترميز على أفضل وجه بإضافة بُعد واحد في كل مرة. ^{[ 3 ]}

• مضلع منتظم محدب له${\displaystyle n}$يُشار إلى الجوانب بـ${\displaystyle \{n\}}$إذن، المثلث متساوي الأضلاع هو${\displaystyle \{3\}}$المربع هو${\displaystyle \{4\}}$وهكذا دواليك، إلى أجل غير مسمى. ^{[ 3 ]} منتظم${\displaystyle n}$مضلع نجمي ذو ستة أضلاع يلتف${\displaystyle m}$يتم الإشارة إلى عدد المرات حول مركزها بالقيمة الكسرية { n / m }، حيث n و m أوليان فيما بينهما ، لذا فإن النجمة الخماسية المنتظمة هي {5/2}.
• متعدد السطوح منتظم ذو أوجه${\displaystyle \{n\}}$مع${\displaystyle p}$يُرمز إلى الوجوه التي تلتقي حول رأس ما بـ${\displaystyle \{n,p\}}$المجسمات التسعة المنتظمة هي المجسمات الأفلاطونية الخمسة - رباعي الأوجه${\displaystyle \{3,3\}}$ثماني الأوجه${\displaystyle \{3,4\}}$مكعب${\displaystyle \{4,3\}}$مجسم ذو عشرين وجهاً${\displaystyle \{3,5\}}$، مجسم ذو اثني عشر وجهاً${\displaystyle \{5,3\}}$— ^{[ 4 ]} والمجسمات النجمية الأربعة — المجسم العشري الوجوه العظيم${\textstyle \left\{3,5/2\right\}}$، مجسم نجمي كبير ذو اثني عشر وجهاً${\textstyle \left\{5/2,3\right\}}$، مجسم ذو اثني عشر وجهاً عظيماً${\textstyle \left\{5,5/2\right\}}$، مجسم صغير ذو اثني عشر وجهاً نجمي الشكل${\textstyle \left\{5/2,5\right\}}$[ ^{5 ]} يمكن استخدام هذه الصيغة في التبليط المنتظم، كما هو الحال في ^{التبليط} المثلثي${\displaystyle \{3,6\}}$، تبليط سداسي${\displaystyle \{6,3\}}$والبلاط المربع${\displaystyle \{4,4\}}$.${\displaystyle \{p\}}$هو شكل رأس المجسم متعدد السطوح.
• يُرمز إلى متعدد السطوح المنتظم رباعي الأبعاد الذي يحتوي على الخلايا { n , p } مع q خلايا متصلة حول حافة ما بالرمز { n , p , q }. شكل رأس متعدد السطوح رباعي الأبعاد هو a { p , q }.
• يُرمز إلى متعدد الوجوه المنتظم ذو 5 أضلاع بالرمز { n , p , q , r }، وهكذا.

المجسم الثنائي لمتعدد السطوح المنتظم هو أيضًا متعدد سطوح منتظم. رمز شلافلي للمجسم الثنائي هو ببساطة الرمز الأصلي مكتوبًا بالعكس: {3، 3} ثنائي ذاتي، {3، 4} ثنائي لـ {4، 3}، {4، 3، 3} لـ {3، 3، 4} وهكذا.

الشكل الرأسي لمتعدد السطوح المنتظم هو الشكل الثنائي لوجه متعدد السطوح الثنائي . على سبيل المثال، الشكل الرأسي لـ {3، 3، 4} هو {3، 4}، وشكله الثنائي هو {4، 3} - وهي خلية من {4، 3، 3}.

المضلعات المتقاطعة والمضلعات المتقاطعة في أي بُعد تكون مزدوجة مع بعضها البعض.

إذا كان رمز شلافلي متناظرًا (أي يُقرأ بنفس الطريقة من الأمام والخلف)، فإن متعدد السطوح يكون ثنائيًا ذاتيًا. متعددات السطوح المنتظمة الثنائية ذاتيًا هي:

• جميع المضلعات المنتظمة - {أ}.
• جميع الأشكال البسيطة المنتظمة من الرتبة n - {3،3،...،3}.
• الخلية العادية المكونة من 24 خلية - {3،4،3} - في 4  أبعاد.
• الخلية العظيمة المكونة من 120 خلية - {5,5/2,5} - والخلية النجمية العظيمة المكونة من 120 خلية - {5/2,5,5/2} - في 4  أبعاد.
• جميع خلايا النحل المكعبة الفائقة المنتظمة ذات الأبعاد n - {4,3,...,3,4}. يمكن التعامل معها على أنها متعددات وجوه لانهائية .
• التبليط الزائدي وخلايا النحل (التبليط {p,p} حيث p>4 في بعدين؛ {4,4,4} ، {5,3,5} ، {3,5,3} ، {6,3,6} ، و {3,6,3} في ثلاثة أبعاد؛ {5,3,3,5} في أربعة أبعاد؛ و {3,3,4,3,3} في خمسة أبعاد).

من 1-simplex إلى 4-simplex

قطعة مستقيمة

مثلث

رباعي الأوجه

بنتاشورون

المِجْمِسْبِلْس هو تعميم لمفهوم المثلث أو رباعي الأوجه ليشمل أبعادًا عشوائية . سُمّي المِجْمِسْبِلْس بهذا الاسم لأنه يُمثّل أبسط مُجَسْتٍ مُمكن في أي بُعد مُعطى. على سبيل المثال، ^{[ 6 ]}

• مجسم بسيط ذو بُعد صفري : نقطة
• المجسم البسيط أحادي البعد : قطعة مستقيمة ، يتم الحصول عليها عن طريق توصيل نقطة أخرى على مسافة
• المجسم البسيط ثنائي الأبعاد هو مثلث ، يتم الحصول عليه عن طريق توصيل نقطتين بنقطة أخرى.
• المجسم البسيط ثلاثي الأبعاد هو رباعي الأوجه ، يتم الحصول عليه عن طريق توصيل ثلاث نقاط بنقطة أخرى، و
• المجسم البسيط رباعي الأبعاد هو مجسم مكون من 5 خلايا .

تتكرر هذه العملية باستخدام نقاط جديدة لتشكيل أشكال بسيطة ذات أبعاد أعلى.

من مكعبين إلى أربعة مكعبات

مربع

مكعب

تيسيراكت

هذه هي متعددات الوجوه القياسية أو المكعبات الفائقة . أسماؤها، مرتبة حسب الأبعاد: ^{[ 7 ]}

0. نقطة

1. قطعة مستقيمة

2. مربع (رباعي منتظم)

3. مكعب (سداسي الأوجه منتظم)

4. المكعب الرباعي (أوكتاكرون منتظم) أو مكعب رباعي

5. بينتراكت (ديكاتيرون عادي) أو 5 مكعب

... المكعب ذو البعد n له 2 ^{^n} رأس.

يمكن تصور عملية إنشاء كل مكعب فائق على رسم بياني: ابدأ بنقطة A. مدّ خطًا إلى النقطة B على مسافة r ، ثم صِل الخطين لتشكيل قطعة مستقيمة. مدّ خطًا ثانيًا بطول r ، متعامدًا على AB ، من B إلى C ، وبالمثل من A إلى D ، لتشكيل مربع ABCD . مدّ خطوطًا بطول r من كل زاوية، متعامدة على كل من AB و BC (أي لأعلى). حدد النقاط الجديدة E و F و G و H لتشكيل المكعب ABCDEFGH . تُكرر هذه العملية باستخدام خطوط جديدة لتشكيل مكعبات فائقة ذات أبعاد أعلى.

2-orthoplex إلى 4-orthoplex.

مربع

المجسم الثماني

16 خلية

هذه هي متعددات الوجوه المتقاطعة أو متعددات الوجوه المتعامدة . أسماؤها، حسب ترتيب الأبعاد: ^{[ 8 ]}

0. نقطة

1. قطعة مستقيمة

2. مربع (رباعي منتظم)

3. ثماني السطوح المنتظم

4. هيكساديكاشورون منتظم ( 16 خلية ) أو 4-أورثوبليكس

5. ثلاثي الأضلاع المنتظم ( خماسي الأضلاع ) أو 5-أورثوبلكس

... يحتوي المضلع المتعامد من الرتبة n على 2n رأسًا.

يمكن تصور عملية تكوين كل مجسم متعامد على رسم بياني: ابدأ بنقطة O. مدّ خطًا في اتجاهين متعاكسين إلى النقطتين A و B على بُعد r من O ، وبمسافة 2r بينهما. ارسم خط COD بطول 2r ، مركزه O وعمودي على AB . صل طرفي الخط لتشكيل مربع ACBD . ارسم خط EOF بنفس الطول ومركزه O، وعمودي على AB و CD (أي لأعلى ولأسفل). صل طرفي الخط لتشكيل ثماني السطوح منتظم . تُكرر هذه العملية باستخدام خطوط جديدة لتكوين مجسمات متعامدة ذات أبعاد أعلى.

يمكن تصنيف المضلعات المنتظمة حسب زمر التماثل الخاصة بها . هذه الزمر هي زمر كوكسيتر منتهية ، ولكن ليس كل زمرة كوكسيتر منتهية يمكن تمثيلها كزمرة تماثل لمضلع منتظم. المضلعات المنتظمة في تقابل مع زمر كوكسيتر ذات مخطط كوكسيتر-دينكين خطي (بدون نقطة تفرع) وترقيم متزايد للعقد. عكس الترقيم يعطي المضلع الثنائي .

وبالتالي فإن تصنيف مجموعات كوكسيتر المنتهية، والذي يعود إلى كوكسيتر (1935) ، يستلزم تصنيف متعددات الوجوه المنتظمة: ^{[ 9 ]}

• يكتب${\displaystyle A_{n}}$، المجموعة المتناظرة، تعطي الشكل البسيط المنتظم ،
• يكتب${\displaystyle B_{n}}$، يعطي متعدد السطوح القياسي ومتعدد السطوح المتقاطع (يمكن التمييز بينهما من خلال زيادة ترقيم عقد مخطط كوكسيتر-دينكين)،
• أنواع استثنائية${\displaystyle I_{2}(n)}$أعطِ المضلعات المنتظمة (مع${\displaystyle n=3,4,...}$)
• نوع استثنائي${\displaystyle H_{3}}$يُعطي الشكل الاثني عشري المنتظم والشكل العشري (مرة أخرى، يسمح الترقيم بتمييزهما)،
• نوع استثنائي${\displaystyle H_{4}}$يعطي الخلية ذات 120 خلية والخلية ذات 600 خلية ،
• نوع استثنائي${\displaystyle F_{4}}$يعطي الخلية المكونة من 24 خلية ، وهي خلية مزدوجة ذاتيًا.

يمكن فهم التناظر بين متعددات الوجوه المنتظمة ومجموعات كوكسيتر ذات مخطط كوكسيتر-دينكين الخطي على النحو التالي. لنفترض متعدد وجوه منتظم${\displaystyle P}$من الأبعاد${\displaystyle n}$وخذ تقسيمها المركزي . المجال الأساسي لتأثير مجموعة التماثل على${\displaystyle P}$يُعطى بواسطة أي سيمبلكس${\displaystyle \Delta }$في التقسيم المركزي. المبسط${\displaystyle \Delta }$لديه${\displaystyle n+1}$الرؤوس التي يمكن ترقيمها من 0 إلى${\displaystyle n}$بقياس أبعاد الوجه المقابل لـ${\displaystyle P}$(الوجه الذي يمثل مركز ثقله). مجموعة التناظر لـ${\displaystyle P}$يتم توليدها بواسطة${\displaystyle n}$انعكاسات حول المستويات الفائقة لـ${\displaystyle \Delta }$يحتوي على رقم الرأس${\displaystyle n}$(منذ مركز ثقل متعدد السطوح بأكمله)${\displaystyle P}$يتم تثبيتها بواسطة أي قياس متساوي القياس). هذه${\displaystyle n}$يمكن ترقيم المستويات الفائقة حسب رأس${\displaystyle \Delta }$لا تحتوي على بعضها. الأمر المتبقي للتحقق هو أن أي مستويين فائقين بأرقام متجاورة لا يمكن أن يكونا متعامدين، بينما المستويات الفائقة ذات الأرقام غير المتجاورة تكون متعامدة. يمكن القيام بذلك باستخدام الاستقراء (لأن جميع أوجه${\displaystyle P}$وهي أيضًا متعددات وجوه منتظمة). لذلك، فإن مخطط كوكسيتر-دينكين لمجموعة التناظر لـ${\displaystyle P}$لديه${\displaystyle n}$الرؤوس مرقمة من 0 إلى${\displaystyle n-1}$بحيث تكون الأرقام المتجاورة مرتبطة بحافة واحدة على الأقل، والأرقام غير المتجاورة غير مرتبطة.

أقدم دراسة رياضية باقية للمضلعات المنتظمة والمجسمات متعددة الأوجه تعود إلى علماء الرياضيات اليونانيين القدماء . كانت المجسمات الأفلاطونية الخمسة معروفة لديهم. عرف فيثاغورس ثلاثة منها على الأقل، ووصف ثييتيتوس (حوالي 417 ق.م. - 369 ق.م.) المجسمات الخمسة جميعها. ^{[ 10 ]} لاحقًا، كتب إقليدس دراسة منهجية في الرياضيات، ونشرها تحت عنوان "الأصول" ، والتي أسس فيها نظرية منطقية للهندسة ونظرية الأعداد . واختتم عمله بوصف رياضي للمجسمات الأفلاطونية الخمسة المحصورة داخل كرة، وقارن نسب أطوال أضلاعها بنصف قطر الكرة. ^{[ 11 ]}

ظل فهم المجسمات ثابتًا لعدة قرون بعد إقليدس. ويمكن وصف التاريخ اللاحق للمضلعات المنتظمة بتوسع تدريجي للمفهوم الأساسي، مما سمح بدراسة المزيد من الأشكال ضمنها. وكان توماس برادوردين (برادووردينوس) أول من سجل دراسة جادة للمضلعات النجمية . ظهرت العديد من المجسمات النجمية في فن عصر النهضة، ولكن لم يدرك يوهانس كيبلر انتظام هذين المجسمين إلا بعد دراسته للمجسم النجمي الصغير ذي الاثني عشر وجهًا والمجسم النجمي الكبير ذي الاثني عشر وجهًا في عام 1619. ^{[ 12 ]} اكتشف لويس بوينسو المجسم الكبير ذي الاثني عشر وجهًا والمجسم الكبير ذي العشرين وجهًا في عام 1809، وأثبت أوغسطين كوشي اكتمال القائمة في عام 1812. ^{[ 13 ]} تُعرف هذه المجسمات مجتمعة باسم مجسمات كيبلر-بوينسو .

لم يتم فحص وتوصيف متعددات الوجوه المنتظمة في الأبعاد العليا إلا في القرن التاسع عشر على يد عالم الرياضيات السويسري لودفيج شلافلي . نُشرت جهوده كاملةً لأول مرة في كتاب شلافلي (1901) ، بعد ست سنوات من وفاته، على الرغم من أن أجزاءً منها نُشرت في كتابي شلافلي (1855) وشلافلي ( 1858) . [ ^{14 ] بين} عامي 1880 و1900، أعاد اكتشاف نتائج شلافلي بشكل مستقل تسعة علماء رياضيات آخرين على الأقل. ^{[ 15 ]} أطلق شلافلي على هذا الشكل اسم "polyscheme" (أو "polyschema" بالإنجليزية). ^{[ 16 ]} صاغ مصطلح "متعدد الأوجه" راينهولد هوب ، أحد مكتشفي شلافلي، عام 1882، واستخدمته أليسيا بول ستوت لأول مرة في اللغة الإنجليزية بعد نحو عشرين عامًا. كما استُخدم مصطلح "متعددات السطوح" في أدبيات سابقة. ^{[ 17 ]}

يُعد كتاب كوكسيتر (1973) على الأرجح أكثر الدراسات المطبوعة شمولاً حتى الآن حول نتائج شلافلي وما شابهها. أظهر شلافلي وجود ستة متعددات وجوه محدبة منتظمة في أربعة أبعاد . يمكن اعتبار خمسة منها مماثلة للأجسام الأفلاطونية: المجسم الرباعي البسيط (أو الخماسي) بالنسبة للهرم الرباعي ، والمكعب الفائق الرباعي (أو الثماني خلايا أو التيسيراكت ) بالنسبة للمكعب ، والمجسم الرباعي المتعامد (أو السداسي عشري الخلايا أو ذو الست عشرة خلية ) بالنسبة للثماني السطوح ، والمجسم ذو المئة وعشرين خلية بالنسبة للاثني عشري السطوح ، والمجسم ذو الستمائة خلية بالنسبة للعشريني السطوح . أما الشكل السادس، وهو الشكل المكون من 24 خلية ، فيمكن اعتباره شكلاً انتقالياً بين المكعب الفائق ذي 4 خلايا والشكل المكون من 16 خلية، على غرار الطريقة التي يكون بها المكعب الثماني السطوح والمكعب المعيني ذو الاثني عشر سطوح شكلين انتقاليين بين المكعب والثماني السطوح.

ومن الأمور الجديرة بالاهتمام أيضاً المجسمات النجمية المنتظمة رباعية الأبعاد ، التي اكتشفها جزئياً شلافلي. وبحلول نهاية القرن التاسع عشر، كان علماء الرياضيات مثل آرثر كايلي ولودفيج شلافلي قد طوروا نظرية المجسمات المنتظمة في أربعة أبعاد وما فوق، مثل المكعب الفائق والخلايا الأربع والعشرين .

يصعب (وإن لم يكن مستحيلاً) تصور الأشكال الرباعية الأبعاد من خلال عملية التناظر البُعدي ، لأنها تحتفظ بالتناظر المألوف لنظائرها ذات الأبعاد الأقل. يتكون المكعب الفائق من 8 خلايا مكعبة. ويتألف من مكعبين في مستويين فائقين متوازيين، تتصل رؤوسهما المتناظرة ببعضها بحيث تكون الحواف الثمانية المتقاطعة متساوية في الطول ومتعامدة على الحواف الاثني عشر الموجودة على كل مكعب. تتصل الأوجه المتناظرة للمكعبين لتشكيل الأوجه المكعبة الستة المتبقية للمكعب الفائق. يمكن اشتقاق الشكل الرباعي ذي الـ 24 خلية من المكعب الفائق عن طريق وصل الرؤوس الثمانية لكل وجه من أوجهه المكعبة برأس إضافي لتشكيل النظير رباعي الأبعاد للهرم. يمكن تصور كلا الشكلين، بالإضافة إلى أشكال رباعية الأبعاد أخرى، وتصويرهما مباشرةً باستخدام الصور المجسمة رباعية الأبعاد. ^{[ 18 ]}

أما الأشكال متعددة السطوح المنتظمة المجردة الحديثة ، مثل الشكل ذي 57 خلية أو الشكل ذي 11 خلية ، فهي أكثر صعوبة في التخيل . مع ذلك، من وجهة نظر رياضية، تمتلك هذه الأشكال نفس الصفات الجمالية التي تتمتع بها نظيراتها ثنائية وثلاثية الأبعاد الأكثر شيوعًا.

في خمسة أبعاد أو أكثر، توجد ثلاثة أشكال متعددة الوجوه منتظمة محدودة، وهي التي تُقابل رباعي الأوجه والمكعب وثماني الأوجه: وهي الأشكال البسيطة المنتظمة ، وأشكال القياس، وأشكال التقاطع . يمكن الاطلاع على وصف هذه الأشكال في قائمة الأشكال متعددة الوجوه المنتظمة .

في بداية القرن العشرين، كان تعريف متعدد السطوح المنتظم كما يلي.

• المضلع المنتظم هو مضلع تكون جميع أضلاعه متساوية وجميع زواياه متساوية.
• المجسم المنتظم هو مجسم تكون جميع وجوهه عبارة عن مضلعات منتظمة متطابقة، وتكون جميع أشكال رؤوسه متطابقة ومنتظمة.
• وهكذا، فإن متعدد السطوح المنتظم ذو البعد n هو متعدد السطوح ذو البعد n الذي تكون جميع وجوهه ذات البعد ( n - 1) منتظمة ومتطابقة، وتكون جميع أشكال رؤوسه منتظمة ومتطابقة.

هذا تعريف "تكراري". فهو يُعرّف انتظام الأشكال ذات الأبعاد الأعلى بدلالة الأشكال المنتظمة ذات الأبعاد الأدنى. يوجد تعريف مكافئ (غير تكراري)، ينص على أن متعدد السطوح يكون منتظمًا إذا كان يتمتع بدرجة كافية من التناظر.

• يكون متعدد السطوح ذو البعد n منتظمًا إذا كان من الممكن تعيين أي مجموعة تتكون من رأس وحافة تحتوي عليه ووجه ثنائي الأبعاد يحتوي على الحافة، وهكذا حتى n − 1 أبعاد، إلى أي مجموعة أخرى من هذا القبيل عن طريق تناظر متعدد السطوح.

فعلى سبيل المثال، المكعب منتظم لأنه إذا اخترنا رأسًا من رؤوسه، وأحد أضلاعه الثلاثة، وأحد وجهيه اللذين يحتويان على ذلك الضلع، فإن هذه الثلاثية، المعروفة باسم " الراية " (رأس، ضلع، وجه)، يمكن ربطها بأي راية أخرى مماثلة من خلال تناظر مناسب للمكعب. وهكذا يمكننا تعريف متعدد السطوح المنتظم بإيجاز شديد:

• المضلع المنتظم هو المضلع الذي تكون مجموعة التناظر الخاصة به متعدية على أعلامه.

شهد القرن العشرون تطورات هامة. فقد عُممت مجموعات التناظر للمضلعات المنتظمة الكلاسيكية لتُعرف الآن باسم مجموعات كوكسيتر . وتشمل مجموعات كوكسيتر أيضًا مجموعات التناظر للفسيفساء المنتظمة للفضاء أو المستوى. فعلى سبيل المثال، تُعد مجموعة التناظر لرقعة شطرنج لانهائية هي مجموعة كوكسيتر [4،4].

في النصف الأول من القرن العشرين، اكتشف كوكسيتر وبيتري ثلاثة أشكال لانهائية: {4، 6}، {6، 4}، و{6، 6}. أطلقوا عليها اسم المجسمات المائلة المنتظمة، لأنها بدت وكأنها تُحقق تعريف المجسم المنتظم - فجميع رؤوسها وحوافها ووجوهها متماثلة، وجميع زواياها متساوية، ولا تحتوي على حواف حرة. تُسمى هذه الأشكال اليوم بالمجسمات اللانهائية أو المجسمات اللانهائية. ويمكن اعتبار التبليطات المنتظمة للمستوى {4، 4} ، {3، 6} ، و {6، 3} مجسمات لانهائية أيضًا.

في ستينيات القرن العشرين، وجّه برانكو غرونباوم نداءً إلى مجتمع الهندسة للنظر في أنواع أكثر تجريدًا من متعددات الوجوه المنتظمة، أطلق عليها اسم " متعددات الوجوه ". طوّر غرونباوم نظرية متعددة الوجوه، عارضًا أمثلة على أشكال جديدة أطلق عليها اسم " متعددات الوجوه المنتظمة اللانهائية" ، أي متعددات الوجوه المنتظمة ذات عدد لا نهائي من الأوجه. يُعدّ الشكل المتعرج مثالًا بسيطًا على متعدد الوجوه اللانهائية المائلة. يبدو أنه يُحقق تعريف المضلع المنتظم - فجميع أضلاعه متساوية الطول، وجميع زواياه متساوية، ولا توجد له أطراف غير مكتملة (لأنه لا يمكن الوصول إليها أبدًا). ​​والأهم من ذلك، ربما، أن هناك تناظرات في الشكل المتعرج تُمكن من ربط أي زوج من رأس وضلع متصل به بأي رأس وضلع آخر. ومنذ ذلك الحين، استمر اكتشاف متعددات وجوه منتظمة لانهائية أخرى، بالإضافة إلى متعددات وجوه لانهائية أكثر تعقيدًا.

العدد المركب هو عدد يتكون من عدد حقيقي وعدد تخيلي${\displaystyle i^{2}=-1}$، الجذر التربيعي لسالب واحد. فضاء هيلبرت المركب له إحداثيات x و y و z، إلخ، كأعداد مركبة. هذا يُضاعف عدد الأبعاد فعليًا. يُسمى متعدد السطوح المُنشأ في مثل هذا الفضاء الوحدوي متعدد السطوح المركب . ^{[ 19 ]}

اكتشف غرونباوم أيضًا المجسم ذو الـ 11 خلية ، وهو جسم رباعي الأبعاد متناظر ذاتيًا، لا تُشكل أوجهه مجسمات عشرينية الوجوه، بل هي "أنصاف عشرينية الوجوه" - أي أنها الشكل الذي نحصل عليه إذا اعتبرنا الأوجه المتقابلة للمجسم العشريني الوجوه وجهًا واحدًا . ^{[ 20 ]} يحتوي نصف العشريني الوجوه على 10 أوجه مثلثية فقط، و6 رؤوس، على عكس العشريني الوجوه، الذي يحتوي على 20 وجهًا مثلثيًا و12 رأسًا.

قد يكون فهم هذا المفهوم أسهل للقارئ عند النظر إلى العلاقة بين المكعب ونصف المكعب. للمكعب العادي ثماني زوايا، يمكن ترقيمها من A إلى H، حيث A مقابل H، وB مقابل G، وهكذا. في نصف المكعب، تُعامل A وH كزاوية واحدة، وكذلك B وG، وهكذا. يصبح الضلع AB هو نفسه الضلع GH، ويصبح الوجه ABEF هو نفسه الوجه CDGH. الشكل الجديد له ثلاثة أوجه فقط، وستة أضلاع، وأربع زوايا.

لا يمكن تشكيل الخلية ذات الـ 11 خلية بهندسة منتظمة في الفضاء الفائق المسطح (الإقليدي)، ولكن فقط في الفضاء الفائق المنحني بشكل إيجابي (الإهليلجي).

بعد بضع سنوات من اكتشاف غرونباوم للخلية ذات الـ 11 خلية ، اكتشف إتش إس إم كوكسيتر بشكل مستقل الشكل نفسه. وكان قد اكتشف سابقًا متعدد الوجوه المماثل، وهو متعدد الخلايا ذو الـ 57 خلية . ^{[ 21 ]}

بحلول عام ١٩٩٤، كان غرونباوم ينظر إلى متعددات الوجوه بشكل تجريدي كمجموعات تركيبية من النقاط أو الرؤوس، ولم يكن مهتمًا بما إذا كانت الوجوه مستوية أم لا. ومع صقله هو وغيره لهذه الأفكار، أصبحت هذه المجموعات تُسمى متعددات الوجوه المجردة . يُعرَّف متعدد الوجوه المجرد بأنه مجموعة مرتبة جزئيًا (مجموعة جزئية مرتبة)، عناصرها هي وجوه متعدد الوجوه (الرؤوس، والحواف، والوجوه، إلخ) مرتبة حسب الاحتواء . تُفرض قيود معينة على المجموعة تُشابه الخصائص التي تتمتع بها متعددات الوجوه المنتظمة الكلاسيكية (بما في ذلك المجسمات الأفلاطونية). ومع ذلك، فإن هذه القيود مرنة بما يكفي بحيث تُعتبر التبليطات المنتظمة، وأنصاف المكعبات، وحتى الأشكال الغريبة مثل مجسم الخلايا الإحدى عشرة، أمثلة على متعددات الوجوه المنتظمة.

يُفهم المضلع الهندسي على أنه تجسيد للمضلع المجرد، بحيث توجد علاقة تناظرية بين العناصر المجردة والوجوه المقابلة لها في التجسيد الهندسي. وبالتالي، يمكن وصف أي مضلع هندسي بواسطة المجموعة الجزئية المرتبة المجردة المناسبة، مع العلم أنه ليس لكل المضلعات المجردة تجسيدات هندسية صحيحة.

وقد تم تطوير هذه النظرية منذ ذلك الحين، بشكل كبير من قبل ماكمولين وشولتي (2002) ، ولكن باحثين آخرين قدموا مساهمات أيضاً. ^{[ 22 ]}

الطريقة التقليدية لرسم مضلع منتظم، أو أي شكل هندسي آخر على المستوى، هي باستخدام الفرجار والمسطرة . رسم بعض المضلعات المنتظمة بهذه الطريقة بسيط للغاية (أسهلها ربما المثلث متساوي الأضلاع)، وبعضها أكثر تعقيدًا، وبعضها الآخر مستحيل ("غير قابل للرسم"). أبسط المضلعات المنتظمة التي يستحيل رسمها هي المضلعات ذات n ضلعًا، حيث n تساوي 7، 9، 11، 13، 14، 18، 19، 21، ...

لا تشير قابلية التنفيذ بهذا المعنى إلا إلى الإنشاءات المثالية باستخدام الأدوات المثالية. بالطبع، يمكن إنشاء نماذج تقريبية دقيقة إلى حد معقول باستخدام مجموعة متنوعة من الطرق؛ في حين أن الإنشاءات الممكنة نظريًا قد تكون غير عملية.

قدّم كتاب "الأصول" لإقليدس ما يُشبه إنشاءات هندسية باستخدام المسطرة والفرجار للأجسام الأفلاطونية الخمسة. ^{[ 23 ]} ومع ذلك، فإن السؤال العملي البحت حول كيفية رسم خط مستقيم في الفضاء، حتى باستخدام المسطرة، قد يدفع المرء إلى التساؤل عن المعنى الدقيق لـ"إنشاء" متعدد السطوح المنتظم. (ويمكن طرح السؤال نفسه حول المضلعات، بالطبع).

تحمل الكلمة الإنجليزية "construct" دلالة البناء المنهجي للشيء المُنشأ. وأكثر الطرق شيوعًا لبناء متعدد السطوح المنتظم هي عبر الشبكة القابلة للطي . وللحصول على شبكة قابلة للطي لمتعدد السطوح، يُؤخذ سطح متعدد السطوح ويُقص على طول عدد كافٍ من الحواف بحيث يُمكن فرد السطح. وهذا يُعطي مخططًا لشبكة متعدد السطوح بعد فرده. ولأن المجسمات الأفلاطونية لا تحتوي إلا على مثلثات ومربعات وخماسيات كوجوه، وكلها قابلة للرسم باستخدام المسطرة والفرجار، توجد طرق لرسم هذه الشبكات القابلة للطي باستخدام المسطرة والفرجار. وينطبق الأمر نفسه على متعددات السطوح النجمية، مع الحرص هنا على رسم الشبكة للسطح الخارجي المرئي فقط.

إذا رُسم هذا النموذج على ورق مقوى، أو مادة قابلة للطي مماثلة (مثل الصفيحة المعدنية)، فيمكن قصه، وطيه على طول الحواف غير المقصوصة، وربطه على طول الحواف المقصوصة المناسبة، لتشكيل المجسم متعدد الأوجه الذي صُمم النموذج لأجله. قد يكون للمجسم متعدد الأوجه الواحد العديد من النماذج القابلة للطي. على سبيل المثال، يوجد 11 نموذجًا للمكعب، وأكثر من 900000 نموذج للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا. ^{[ 24 ]}

تتيح العديد من ألعاب الأطفال، الموجهة عادةً للمراهقين أو ما قبل المراهقة، تجربة الأشكال الهندسية المنتظمة. على سبيل المثال، توفر شركة كليكو مجموعات من المثلثات والمربعات والخماسيات والسداسيات البلاستيكية التي يمكن وصلها ببعضها البعض بطرق عديدة. قد يعيد الطفل الذي يلعب بمثل هذه اللعبة اكتشاف المجسمات الأفلاطونية (أو المجسمات الأرخميدية )، خاصةً إذا تلقى بعض التوجيه من شخص بالغ مطلع.

نظرياً، يمكن استخدام أي مادة تقريباً لبناء المجسمات متعددة الأوجه المنتظمة. ^{[ 25 ]} يمكن نحتها من الخشب، أو تشكيلها من الأسلاك، أو صناعتها من الزجاج الملون. الخيال هو الحد.

في الأبعاد الأعلى، يصعب تحديد المقصود بـ"بناء" الأجسام. فمن الواضح أنه في كون ثلاثي الأبعاد، يستحيل بناء نموذج مادي لجسم ذي أربعة أبعاد أو أكثر. وهناك عدة مناهج تُتبع عادةً للتغلب على هذه المسألة.

يستخدم النهج الأول، المناسب للأبعاد الأربعة، التصوير المجسم رباعي الأبعاد. ^{[ 18 ]} يتم تمثيل العمق في البعد الثالث بالإزاحة النسبية الأفقية، والعمق في البعد الرابع بالإزاحة النسبية الرأسية بين الصورتين اليمنى واليسرى للتصوير المجسم.

يتمثل النهج الثاني في تضمين الأجسام ذات الأبعاد الأعلى في الفضاء ثلاثي الأبعاد، باستخدام أساليب مماثلة لطرق رسم الأجسام ثلاثية الأبعاد على المستوى. على سبيل المثال، توجد مكافئات في الأبعاد الأعلى للشبكات القابلة للطي المذكورة في القسم السابق. ^{[ 26 ]} يمكن للمرء أن يتخيل بناء نموذج لهذه الشبكة القابلة للطي، كما لو كان يرسم شبكة متعددة السطوح قابلة للطي على ورقة. مع الأسف، لا يمكننا أبدًا طي البنية ثلاثية الأبعاد اللازمة للحصول على متعدد السطوح رباعي الأبعاد بسبب قيود الكون المادي. هناك طريقة أخرى "لرسم" الأشكال ذات الأبعاد الأعلى في ثلاثة أبعاد وهي عبر نوع من الإسقاط، على سبيل المثال، نظير الإسقاط المتعامد أو المنظوري . يحتوي كتاب كوكسيتر الشهير عن متعددات السطوح ( كوكسيتر 1973 ) على بعض الأمثلة على هذه الإسقاطات المتعامدة. ^{[ 27 ]} تجدر الإشارة إلى أن غمر متعددات السطوح رباعية الأبعاد مباشرة في بعدين أمر مربك للغاية. أما النماذج ثلاثية الأبعاد للإسقاطات فهي أسهل في الفهم. وتوجد هذه النماذج أحيانًا في متاحف العلوم أو أقسام الرياضيات في الجامعات (مثل قسم الرياضيات في الجامعة الحرة في بروكسل ).

يتقاطع متعدد السطوح المنتظم رباعي الأبعاد (أو أعلى) مع مستوى فائق ثلاثي الأبعاد، مُشكِّلاً متعدد السطوح (ليس بالضرورة منتظمًا). عند تحريك المستوى الفائق عبر الشكل، يمكن دمج الشرائح ثلاثية الأبعاد، وتحريكها لتكوين ما يشبه كائنًا رباعي الأبعاد، حيث يُمثّل البُعد الرابع الزمن. بهذه الطريقة، يُمكننا رؤية (إن لم يكن فهمًا كاملاً) البنية رباعية الأبعاد الكاملة لمتعددات السطوح المنتظمة رباعية الأبعاد، من خلال هذه المقاطع العرضية. يُشابه هذا الطريقة التي يُعيد بها التصوير المقطعي المحوسب تجميع الصور ثنائية الأبعاد لتكوين تمثيل ثلاثي الأبعاد للأعضاء التي يتم فحصها. الوضع الأمثل هو استخدام صورة ثلاثية الأبعاد متحركة ؛ ومع ذلك، حتى الرسوم المتحركة البسيطة، مثل تلك المعروضة، تُعطي فكرة محدودة عن بنية متعدد السطوح.

هناك طريقة أخرى يستطيع من خلالها المشاهد ثلاثي الأبعاد فهم بنية متعدد السطوح رباعي الأبعاد، وهي "الانغماس" فيه، ربما عبر تقنية الواقع الافتراضي . لفهم كيفية عمل ذلك، يمكن للمشاهد أن يتخيل ما سيراه لو امتلأ الفضاء بمكعبات. سيكون المشاهد داخل أحد هذه المكعبات، وسيتمكن من رؤية مكعبات على يساره ويمينه، وفوقه وتحته، وأمامه وخلفه. إذا استطاع المرء التنقل في هذه الاتجاهات، فسيتمكن من استكشاف مصفوفة المكعبات، وفهم بنيتها الهندسية. إن مصفوفة لا نهائية من المكعبات ليست متعدد سطوح محدودًا؛ بل هي تبليط للفضاء ثلاثي الأبعاد ( الإقليدي ). مع ذلك، يمكن اعتبار متعدد السطوح رباعي الأبعاد تبليطًا لفضاء ثلاثي الأبعاد غير إقليدي ، أي تبليطًا لسطح كرة رباعية الأبعاد ( تبليط كروي رباعي الأبعاد ).

محليًا، يبدو هذا الفضاء مألوفًا لنا، ولذلك، من حيث المبدأ، يمكن برمجة نظام الواقع الافتراضي لاستكشاف هذه "التبليطات"، أي متعددات الوجوه المنتظمة رباعية الأبعاد. يحتوي قسم الرياضيات في جامعة إلينوي في أوربانا-شامبين على عدد من الصور لما يمكن رؤيته عند تضمينه في تبليط فضاء زائدي ذي اثني عشر وجهًا . يشكل هذا التبليط مثالًا على متعدد وجوه منتظم تجريدي لانهائي.

عادةً، بالنسبة للمضلعات المنتظمة المجردة، يعتبر عالم الرياضيات أن المضلع "مُنشأ" إذا كانت بنية زمرة التناظر الخاصة به معروفة. ويعود ذلك إلى نظرية مهمة في دراسة المضلعات المنتظمة المجردة، تُوفر تقنية تسمح بإنشاء المضلع المنتظم المجرد من زمرة التناظر الخاصة به بطريقة قياسية ومباشرة.

• أرتمان، بينو (2012) [1999]. إقليدس: نشأة الرياضيات . نيويورك: دار نشر سبرينغر . ISBN 978-1-4612-1412-0.
• بارنز، جون (2012). جواهر الهندسة (  الطبعة الثانية). سبرينغر. doi : 10.1007/978-3-642-30964-9 . ISBN 978-3-642-30964-9.
• كوشي، أوغسطين لويس (1813). "Recherches sur les polyèdres". مجلة المدرسة البوليتكنيكية . 9 : 68 - 86.
• كوكسيتر، إتش إس إم (1935). "التعداد الكامل للمجموعات المنتهية من الشكل${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}$". J. London Math. Soc . 10 (1): 21– 25. doi : 10.1112/jlms/s1-10.37.21 .
• — (1973) [1948]. متعددات الوجوه المنتظمة (  الطبعة الثالثة). دوفر. ISBN 0-486-61480-8.
• — (1974). متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 052120125X.
• — (1991). متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-39490-1.
• كوكسيتر، إتش إس إم ؛ دو فال، بي؛ فلاثر، إتش تي؛ بيتري، جيه إف (1999). المجسمات العشرية الوجوه التسعة والخمسون (  الطبعة الثالثة). تاركوين.
• كرومويل، بيتر ر. (1999). متعددات السطوح . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-66405-9.
• إقليدس (1956). العناصر . ترجمة هيث، مطبعة جامعة كامبريدج.
• جرونباوم، ب. (1976). انتظام الرسوم البيانية والمجمعات والتصاميم . مشاكل Combinatoires وThéorie des Graphes، الندوة الدولية CNRS، أورساي. المجلد.  260. ص 191 – 197. 
• غرونباوم، ب. (1993). "مجسمات متعددة الأوجه ذات وجوه مجوفة". في: بيستريتشكي، ت.؛ وآخرون  (محررون). متعددات الأوجه: مجردة، محدبة، وحسابية . العلوم الرياضية والفيزيائية، معهد الدراسات المتقدمة التابع لحلف الناتو. المجلد  440. كلوير أكاديميك. الصفحات 43-70 . ISBN  0792330161.
• هول، تي. بروكتور (1893). "إسقاط الأشكال الرباعية على سطح ثلاثي الأبعاد". المجلة الأمريكية للرياضيات . 15 (2): 179-189 . doi : 10.2307/2369565 . JSTOR 2369565 . 
• لويد، ديفيد ر. (2014). "ما هو عمر المجسمات الأفلاطونية؟" . في: بيتيتشي، ميرسيا (محرر). أفضل الكتابات في الرياضيات 2013. مطبعة جامعة برينستون . ص 149-162 . JSTOR j.ctt4cgb74.19 .  
• مكمولين، ب .؛ شولت، س. (2002). المجسمات المنتظمة المجردة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-81496-6.
• سانفورد، ف. (1930). تاريخ موجز للرياضيات . مطبعة ريفرسايد.
• شلافلي، إل. (1855). "تقليل التكامل المتعدد الذي يستوعب قوس الدائرة وهواء المثلث الكروي كأجزاء معينة". مجلة الرياضيات . 20 : 359 - 394.
• شلافلي، ل. (1860). "حول التكامل المتعدد ∫^ n dxdy... dz، الذي تكون حدوده p_1= a_1x+ b_1y+…+ h_1z> 0، p_2> 0،...، p_n> 0، و x^ 2+ y^ 2+…+ z^ 2< 1" . المجلة الفصلية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 3 : 54-68 ، 97-108 .
• شلافلي، إل. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft . 38 : 1 – 237.
• سميث، جيه في (1982). علم البلورات الهندسي والبنيوي (  الطبعة الثانية). وايلي. ISBN 0471861685.
• فان دير وايردن، بي إل (1954). صحوة العلم . ترجمه دريسدن، أرنولد. بي نوردهوف.
• والتر، ستويرر؛ ديلودي، صوفيا (2009). علم البلورات شبه الدورية: المفاهيم والأساليب والبنى . سلسلة سبرينغر في علوم المواد. المجلد  126. doi : 10.1007/978-3-642-01899-2 . ISBN 978-3-642-01898-5.
• دي إم واي سومرفيل (2020) [1930]. "X. متعددات الوجوه المنتظمة" . مقدمة في هندسة الأبعاد n . كوريير دوفر. ص 159-192 . ISBN  978-0-486-84248-6.