5 مكعبات

خماسي المكعبات (بنت)
يكتب	متعدد الوجوه الخماسي المنتظم
رمز شلافلي	{4,3,3,3}
مخطط كوكسيتر
أربعة أوجه	10	المكعبات الرباعية
الخلايا	40	مكعبات
وجوه	80	مربعات
الحواف	80
الرؤوس	32
شكل الرأس	5 خلايا
مجموعة كوكسيتر	ب 5 ، [4،3 3 ]، رقم الطلب 3840
مزدوج	5-أورثوبلكس
نقطة الأساس	(1,1,1,1,1,1)
نصف القطر المحيطي	جذر(5)/2 = 1.118034
ملكيات	محدب ، متساوي الأضلاع، منتظم ، متعدد الأضلاع هانر

في الهندسة الخماسية الأبعاد ، المكعب الخماسي (أو المكعب الخماسي ) هو مكعب فائق خماسي الأبعاد يحتوي على 32 رأسًا و80 حافة و80 وجهًا مربعًا و40 خلية مكعبة و10 وجوه رباعية الأبعاد .

يتم تمثيلها بواسطة رمز شلافلي {4,3,3,3} أو {4,3 ³ }، والتي تم إنشاؤها على شكل 3 مكعبات رباعية الأبعاد، {4,3,3}، حول كل نتوء مكعب .

هو جزء من عائلة المكعبات الفائقة اللانهائية . ثنائي المكعب الخماسي هو 5-أورثوبليكس ، من عائلة الأورثوبليكس اللانهائية .

يؤدي تطبيق عملية التناوب ، وحذف الرؤوس المتناوبة للمكعب الخماسي، إلى إنشاء متعدد الوجوه الخماسي المنتظم الآخر ، والذي يسمى المكعب الخماسي النصفي ، وهو أيضًا جزء من عائلة لانهائية تسمى المكعبات الفائقة النصفية .

يمكن اعتبار المكعب الخماسي بمثابة قرص عسل رباعي الأبعاد من الرتبة الثالثة على كرة رباعية الأبعاد . وهو مرتبط بقرص العسل رباعي الأبعاد الإقليدي (من الرتبة الرابعة) وقرص العسل الزائدي شبه المضغوط من الرتبة الخامسة .

تمثل مصفوفة التكوين هذه المكعب الخماسي. تتوافق الصفوف والأعمدة مع الرؤوس والحواف والوجوه والخلايا والوجوه الرباعية. تشير الأرقام القطرية إلى عدد مرات ظهور كل عنصر في المكعب الخماسي بأكمله. وتشير الأرقام غير القطرية إلى عدد مرات ظهور عنصر العمود في عنصر الصف أو عنده. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}32&5&10&10&5\\2&80&4&6&4\\4&4&80&3&3\\8&12&6&40&2\\16&32&24&8&10\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

الإحداثيات الديكارتية لرؤوس مكعب خماسي الأبعاد مركزه نقطة الأصل وطول ضلعه 2 هي

(±1,±1,±1,±1,±1),

بينما يتكون الجزء الداخلي لهذا المكعب ذي الخمسة أبعاد من جميع النقاط ( x0، _x1 ، _x2 ، _x3 ، x4 ₎ مع −1 < xi _{< 1} لجميع i .

إسقاطات مستوى كوكسيتر n -cube في مجموعات B _k Coxeter تسقط في رسوم بيانية k-cube، مع تداخل رؤوس قوة اثنين في الرسوم البيانية الإسقاطية.

الإسقاطات المتعامدة

طائرة كوكسيتر	ب 5	ب 4 / د 5	ب 3 / د 4 / أ 2
الرسم البياني
التناظر ثنائي السطوح	[10]	[8]	[6]
طائرة كوكسيتر	آخر	ب 2	أ 3
الرسم البياني
التناظر ثنائي السطوح	[2]	[4]	[4]

المزيد من الإسقاطات المتعامدة

اتجاه انحراف الهيكل السلكي

طائرة كوكسيتر من طراز B5

الرسم البياني

رسم بياني للرؤوس والحواف.

إسقاطات المنظور

إسقاط منظور ثلاثي الأبعاد إلى ثنائي الأبعاد للإسقاط المجسم رباعي الأبعاد إلى ثلاثي الأبعاد لمخطط شليغل خماسي الأبعاد إلى رباعي الأبعاد.

شبكة

شبكة رباعية الأبعاد للمكعب الخماسي، تم إسقاط المنظور إلى ثلاثي الأبعاد.

يمكن إسقاط المكعب الخماسي إلى ثلاثة أبعاد باستخدام غلاف مُعَينيّ عشروني الوجوه . يحتوي على 22 رأسًا خارجيًا و10 رؤوس داخلية. تتميز الرؤوس الداخلية العشرة بغلاف محدب لمنشور خماسي مضاد . تُسقط الحواف الثمانون إلى 40 حافة خارجية و40 حافة داخلية. تُسقط المكعبات الأربعون إلى مُعَينيّات ذهبية يمكن استخدامها لتقسيم المُعَينيّ العشروني الوجوه. متجهات الإسقاط هي u = {1, φ, 0, -1, φ}، v = {φ, 0, 1, φ, 0}، w = {0, 1, φ, 0, -1}، حيث φ هي النسبة الذهبية .${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$.

مجسم عشريني الوجوه المعيني		5 مكعبات
وجهة نظر	متعامد

من الممكن أيضًا إسقاط الأجسام الخماسية في الفضاء ثلاثي الأبعاد، على غرار إسقاط مكعب في الفضاء ثنائي الأبعاد.

إسقاط ثلاثي الأبعاد لمجسم خماسي الأضلاع يخضع لدوران بسيط حول المستوى المتعامد W1-W2

إسقاط منظور ثلاثي الأبعاد لمكعب خماسي يدور دورة مزدوجة حول المستويين المتعامدين X-W1 و Z-W2

يتمتع المكعب الخماسي بتناظر مجموعة كوكسيتر B ₅ ، وهو بنية مجردة.${\displaystyle C_{2}\wr S_{5}}$، من الرتبة 3840، تحتوي على 25 مستوى انعكاس فائق. يتطابق رمز شلافلي للمكعب الخماسي، {4،3،3،3}، مع تناظر تدوين كوكسيتر [4،3،3،3].

الموشورات

جميع المكعبات الفائقة لها أشكال تناظر دنيا تُبنى على هيئة موشورات. للمكعب الخماسي سبعة أشكال موشورية، بدءًا من أدنى شكل متعامد خماسي ، {  } ⁵ ، وصولًا إلى الأعلى، حيث تُقيد الحواف المتعامدة لتكون متساوية الطول. عدد رؤوس الموشور يساوي حاصل ضرب رؤوس العناصر. يمكن تقسيم حواف الموشور إلى حاصل ضرب عدد حواف كل عنصر في عدد رؤوس جميع العناصر الأخرى.

وصف	رمز شلافلي	مخطط كوكسيتر-دينكين	الرؤوس	الحواف	تناظر تدوين كوكسيتر	طلب
5 مكعبات	{4,3,3,3}		32	80	[4,3,3,3]	3840
منشور رباعي الأجزاء	{4,3,3}×{  }		16 × 2 = 32	64 + 16 = 80	[4,3,3,2]	768
مكعب - منشور مزدوج مربع	{4,3}×{4}		8 × 4 = 32	48 + 32 = 80	[4,3,2,4]	384
منشور مزدوج مكعب -مستطيل	{4,3}×{  } 2		8 × 2 2 = 32	48 + 2 × 16 = 80	[4,3,2,2]	192
منشور ثنائي مربع-مربع	{4} 2 ×{  }		4 2 × 2 = 32	2 × 32 + 16 = 80	[4,2,4,2]	128
منشور مزدوج مربع -مستطيل الشكل	{4}×{  } 3		4 × 2 ÷ 3 = 32	32 + 3 × 16 = 80	[4,2,2,2]	64
5- أورثوتوب	{  } 5		2 5 = 32	5 × 16 = 80	[2,2,2,2]	32

المكعب ذو الخمسة أبعاد هو الخامس في سلسلة من المكعبات الفائقة :

إسقاطات بيتري المضلعة المتعامدة

قطعة مستقيمة	مربع	مكعب	مكعب رباعي	5 مكعبات	6 مكعبات	مكعب 7	8 مكعبات	مكعب 9	مكعب ذو 10 خانات

يمكن تحقيق متعدد السطوح المائل المنتظم { 4,5| 4} داخل المكعب الخماسي، مع 32 رأسًا و80 حافة و40 وجهًا مربعًا، وتصبح الوجوه المربعة الـ 40 الأخرى للمكعب الخماسي ثقوبًا مربعة .

هذا متعدد الوجوه هو واحد من 31 متعدد وجوه منتظم من النوع 5 تم توليدها من المكعب المنتظم من النوع 5 أو متعدد الوجوه المتعامد من النوع 5 .

متعددات الوجوه B5
β 5	t 1 β 5	t 2 γ 5	t 1 γ 5	γ 5	t 0,1 β 5	t 0,2 β 5	t 1,2 β 5
t 0,3 β 5	t 1,3 γ 5	t 1,2 γ 5	t 0,4 γ 5	t 0,3 γ ​​5	t 0,2 γ 5	t 0,1 γ 5	t 0,1,2 β 5
t 0,1,3 β 5	t 0,2,3 β 5	t 1,2,3 γ 5	t 0,1,4 β 5	t 0,2,4 γ 5	t 0,2,3 γ 5	t 0,1,4 γ 5	t 0,1,3 γ 5
t 0,1,2 γ 5	t 0,1,2,3 β 5	t 0,1,2,4 β 5	t 0,1,3,4 γ 5	t 0,1,2,4 γ 5	t 0,1,2,3 γ 5	t 0,1,2,3,4 γ 5

• HSM Coxeter :
  • إتش إس إم كوكسيتر، متعددات الوجوه المنتظمة ، 1973، الطبعة الثالثة، دوفر، نيويورك، الصفحات 294-295، الجدول الأول (iii): متعددات الوجوه المنتظمة، ثلاثة متعددات وجوه منتظمة في n بُعد ( n ≥ 5)، ISBN 0-486-61480-8
  • كوكسيتر، إتش إس إم (1991) [1974]. متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-39490-2.
  • كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيتش فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، wiley.com ، ISBN 978-0-471-01003-6
    • (الورقة 22) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407، MR 2,10]
    • (الورقة 23) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II ، [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• نورمان جونسون، متعددات الوجوه المنتظمة ، مخطوطة (1991)
  • إن دبليو جونسون: نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، دكتوراه (1966)
• كليتزينغ، ريتشارد. "متعددات الوجوه المنتظمة خماسية الأبعاد (بوليتيرا) o3o3o3o4x - بنتا" .

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المكعب الفائق" . عالم الرياضيات .
• أولشيفسكي، جورج. "متعدد السطوح القياسي" . مسرد مصطلحات الفضاء الفائق . مؤرشف من الأصل في 4 فبراير 2007.
• مسرد متعدد الأبعاد: المكعب الفائق غاريت جونز
• مالتسيف، نيك إي. https://www.asymptotos.com/wp-content/uploads/2023/07/Cube_5.html