متعدد الأضلاع الخماسي

في الهندسة ، يُعرف متعدد السطوح الخماسي بأنه متعدد سطوح منتظم في فضاء ذي n بُعد _، مُنشأ من زمرة كوكسيتر Hₙ . وقد سُميت هذه العائلة من قِبل HSM كوكسيتر ، لأن متعدد السطوح الخماسي ثنائي الأبعاد هو خماسي الأضلاع . ويمكن تسميته برمز شلافلي الخاص به ، إما {5, ^{3n − 2} } (ذو اثني عشر وجهًا) أو {3n ^{− 2 ,} 5} (ذو عشرين وجهًا).

تبدأ العائلة على شكل متعددات الوجوه أحادية البعد وتنتهي بـ n = 5 على شكل تبليطات لانهائية من الفضاء الزائدي رباعي الأبعاد.

يوجد نوعان من متعددات الوجوه الخماسية؛ يمكن تسميتهما بالنوعين الاثني عشري والعشروني ، نسبةً إلى عناصرهما ثلاثية الأبعاد. هذان النوعان متناظران.

اثنا عشري الأوجه

العائلة الكاملة للمضلعات الخماسية ذات الاثني عشر وجهاً هي:

1. قطعة مستقيمة ، {  }
2. البنتاغون ، {5}
3. المجسم ذو الاثني عشر وجهًا ، {5، 3} (12 وجهًا خماسيًا )
4. 120 خلية ، {5، 3، 3} (120 خلية اثني عشرية الأوجه )
5. قرص العسل من الرتبة 3 ذو 120 خلية ، {5، 3، 3، 3} (يُرصّف الفضاء الزائدي 4 (∞ أوجه ذات 120 خلية )

أوجه كل متعدد السطوح الخماسي ذي الاثني عشر وجهاً هي متعددات السطوح الخماسية ذات الاثني عشر وجهاً ذات بُعد أقل. أما أشكال رؤوسها فهي أشكال بسيطة ذات بُعد أقل.

متعددات الوجوه الخماسية ذات الاثني عشر وجهًا

ن	مجموعة كوكسيتر	إسقاط مضلع بيتري	اسم مخطط كوكستر رمز Schläfli	جوانب	عناصر
					الرؤوس	الحواف	وجوه	الخلايا	4 - وجوه
1	${\displaystyle H_{1}}$[ ] (الترتيب 2)		قطعة مستقيمة { }	رأسان​	2
2	${\displaystyle H_{2}}$[5] (الترتيب 10)		البنتاغون {5}	5 حواف	5	5
3	${\displaystyle H_{3}}$[5,3] (الترتيب 120)		مجسم ذو اثني عشر وجهًا {5، 3}	12 شكل خماسي	20	30	12
4	${\displaystyle H_{4}}$[5,3,3] (الترتيب 14400)		120 خلية {5، 3، 3}	120 مجسم ذو اثني عشر وجهًا	600	1200	720	120
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$[5,3,3,3] (الرتبة ∞)		خلية قرص العسل ذات 120 خلية {5، 3، 3، 3}	∞ 120 خلية	∞	∞	∞	∞	∞

عشروني الوجوه

العائلة الكاملة للمضلعات الخماسية ذات العشرين وجهاً هي:

1. قطعة مستقيمة ، {  }
2. البنتاغون ، {5}
3. المجسم العشري الوجوه ، {3، 5} (20 وجهًا مثلثيًا )
4. 600 خلية ، {3، 3، 5} (600 خلية رباعية الأوجه )
5. قرص العسل ذو 5 خلايا من الرتبة 5 ، {3، 3، 3، 5} (يشكل فسيفساء زائدية رباعية الأبعاد (∞ أوجه من 5 خلايا )

تُعدّ أوجه كل مجسم خماسي عشروني الوجوه مجسمات بسيطة ذات بُعد أقل. أما أشكال رؤوسها فهي مجسمات خماسية عشرونية الوجوه ذات بُعد أقل.

متعددات الوجوه الخماسية ذات العشرين وجهًا

ن	مجموعة كوكسيتر	إسقاط مضلع بيتري	اسم مخطط كوكستر رمز Schläfli	جوانب	عناصر
					الرؤوس	الحواف	وجوه	الخلايا	4 - وجوه
1	${\displaystyle H_{1}}$[ ] (الترتيب 2)		قطعة مستقيمة { }	رأسان​	2
2	${\displaystyle H_{2}}$[5] (الترتيب 10)		البنتاغون {5}	5 حواف	5	5
3	${\displaystyle H_{3}}$[5,3] (الترتيب 120)		مجسم ذو عشرين وجهاً {3، 5}	20 مثلثًا متساوي الأضلاع	12	30	20
4	${\displaystyle H_{4}}$[5,3,3] (الترتيب 14400)		600 خلية {3، 3، 5}	600 رباعي الأوجه	120	720	1200	600
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$[5,3,3,3] (الرتبة ∞)		خلية قرص العسل من الرتبة الخامسة ذات 5 خلايا {3، 3، 3، 5}	∞ خلايا 5	∞	∞	∞	∞	∞

يمكن تحويل متعددات الوجوه الخماسية إلى نجوم لتشكيل متعددات وجوه منتظمة نجمية جديدة :

• في بعدين، نحصل على النجمة الخماسية {5/2}،
• في ثلاثة أبعاد، يشكل هذا الأشكال متعددة السطوح الأربعة من نوع كيبلر-بوانسو ، { 3,5/2 }، { 5/2,3 }، { 5,5/2 }، و { 5/2,5 }.
• في أربعة أبعاد، يشكل هذا عشرة أشكال متعددة الألوان من نوع Schläfli–Hess : { 3,5,5/2 }, { 5/2,5,3 }, { 5,5/2,5 }, { 5,3,5/2 }, { 5/2,3,5 }, { 5/2,5,5/2 }, { 5,5/2,3 }, { 3,5/2,5 }, { 3,3,5/2 }, و { 5/2,3,3 }.
• في الفضاء الزائدي رباعي الأبعاد، توجد أربعة أشكال منتظمة على شكل قرص العسل النجمي : {5/2,5,3,3} ، {3,3,5,5/2} ، {3,5,5/2,5} ، و {5,5/2,5,3} .

في بعض الحالات، تُعتبر متعددات الوجوه الخماسية النجمية نفسها من بين متعددات الوجوه الخماسية. ^{[ 1 ]}

مثل الأشكال متعددة الأوجه الأخرى، يمكن دمج النجوم العادية مع نظائرها لتكوين مركبات؛

• في بعدين، يتشكل شكل نجمي عشري {10/2}،
• في ثلاثة أبعاد، نحصل على مركب من اثني عشر وجهاً وعشرون وجهاً ،
• في أربعة أبعاد، نحصل على المركب المكون من 120 خلية و 600 خلية .

يمكن أيضًا دمج متعددات الوجوه النجمية.

• كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيك فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، رقم ISBN 978-0-471-01003-6أُرشف بتاريخ 11 يوليو 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
  • (الورقة 10) HSM Coxeter، Star Polytopes ووظيفة Schlafli f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25 – 36]
• كوكسيتر ، متعددات الوجوه المنتظمة ، الطبعة الثالثة، منشورات دوفر، 1973. ISBN 0-486-61480-8(الجدول الأول (2): 16 متعدد الوجوه المنتظم {p، q، r} في أربعة أبعاد، الصفحات  292-293 )