كوكبة

في الهندسة ، يُعرف التمديد النجمي بأنه عملية تمديد مضلع ثنائي الأبعاد ، أو متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد، أو بشكل عام، متعدد الوجوه في فضاء ذي أبعاد متعددة (n) لتشكيل شكل جديد. تبدأ العملية بشكل أصلي، حيث يتم تمديد عناصر محددة، مثل حوافه أو أسطحه ، عادةً بطريقة متناظرة، حتى تلتقي هذه العناصر مجددًا لتشكل حدودًا مغلقة لشكل جديد. يُعد الشكل الجديد تمديدًا نجميًا للشكل الأصلي. كلمة " تمديد نجمي " مشتقة من الكلمة اللاتينية " stellātus " التي تعني "مُزين بالنجوم"، والتي بدورها مشتقة من الكلمة اللاتينية " stella " التي تعني "نجمة". التمديد النجمي هو العملية المعاكسة أو المزدوجة لعملية التقطيع .

في عام 1619، عرّف كيبلر عملية تشكيل النجوم للمضلعات بأنها عملية تمديد الحواف حتى تلتقي لتشكيل مضلع جديد.

ميّز بين نوعين من التشكيل النجمي للأشكال متعددة الأوجه:

• قنفذ البحر ( الكلمة اللاتينية للقنفذ أو قنفذ البحر )، ويسمى الآن قنفذ البحر النجمي الحواف، وهو مصنوع عن طريق تمديد الحواف غير المتجاورة حتى تتقاطع؛
• والمحار (الكلمة اللاتينية للمحار )، والذي يُطلق عليه الآن اسم المحار النجمي الوجه، والذي يتم صنعه عن طريق تمديد الوجوه حتى تتقاطع. ^{[ 1 ]}

قام بتشكيل المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المنتظم على شكل نجمة من حوافه ليحصل على المجسم الصغير ذي الاثني عشر وجهًا النجمي ، والمجسم ذي العشرين وجهًا المنتظم ليحصل على المجسم الكبير ذي الاثني عشر وجهًا النجمي. كما قام بتشكيل المجسم ذي الثماني أوجه المنتظم على شكل نجمة من أوجهه ليحصل على النجمة الثمانية ، وهي شكل منتظم مركب من رباعيي أوجه .

يؤدي تحويل مضلع منتظم إلى شكل نجمي متناظر إلى تكوين مضلع نجمي منتظم أو مركب مضلعي . تتميز هذه المضلعات بعدد مرات التفاف حدودها حول مركز الشكل، وهو m . وكما هو الحال في جميع المضلعات المنتظمة، تقع رؤوسها على دائرة. ويتوافق m أيضًا مع عدد الرؤوس حول الدائرة اللازمة للانتقال من أحد طرفي ضلع معين إلى الطرف الآخر، بدءًا من 1.

يُرمز للمضلع النجمي المنتظم برمز شلافلي { n / m }، حيث n هو عدد الرؤوس، و m هي الخطوة المستخدمة في ترتيب الحواف المحيطة به، و m و n عددان أوليان فيما بينهما (لا يوجد بينهما عامل مشترك ). في حالة m = 1، نحصل على المضلع المحدب { n }. يجب أن يكون m أقل من نصف n ؛ وإلا ستكون الخطوط إما متوازية أو متباعدة، مما يمنع الشكل من الانغلاق.

إذا كان للعددين n و m عامل مشترك، فإن الشكل يكون مركباً منتظماً. على سبيل المثال، {6/2} هو مركب منتظم لمثلثين {3} أو شكل سداسي ، بينما {10/4} هو مركب لخماسيين {5/2}.

يستخدم بعض المؤلفين رمز شلافلي لمثل هذه المركبات المنتظمة. بينما يعتبر آخرون هذا الرمز دلالةً على مسار واحد يلتف m مرة حول n / m نقطة رأس ، بحيث تتراكب حافة على أخرى، وتُزار كل نقطة رأس m مرة. في هذه الحالة، يمكن استخدام رمز مُعدَّل للمركب، على سبيل المثال 2{3} للنجمة السداسية، و2{5/2} للمركب المنتظم المكون من نجمتين خماسيتين.

يحتوي المضلع المنتظم ذو n ضلعًا على ⁠ n – 4 / 2 ⁠ من النجوم إذا كان n زوجيًا (بافتراض عدم اعتبار المركبات المكونة من ثنائيات متعددة متدهورة)، و ⁠ n – 3 / 2 ⁠ من النجوم إذا كان n فرديًا .

النجمة الخماسية ، {5/2}، هي الشكل النجمي الوحيد للخماسي .	الشكل السداسي ، {6/2}، هو شكل نجمي يتكون من سداسي ومثلثين مركبين.	للشكل التساعي (التسعي) {9} ثلاثة أشكال تساعية : {9/2}، {9/3}، {9/4}، حيث أن {9/3} عبارة عن مركب من 3 مثلثات.
للمضلع السباعي شكلان سباعيان : { 7/2}، {7/3}

ومثل الشكل السباعي ، يحتوي الشكل الثماني أيضًا على شكلين نجميين ثماني الأضلاع ، أحدهما {8/3} وهو مضلع نجمي ، والآخر {8/2} وهو مركب من مربعين .

يتم تشكيل متعدد السطوح عن طريق تمديد حواف أو مستويات وجه متعدد السطوح حتى تلتقي مرة أخرى لتشكيل متعدد سطوح جديد أو مركب.

نادراً ما تؤدي طريقة تمديد حواف متعدد السطوح إلى ظهور متعدد سطوح جديد، إذ يتطلب ذلك تقاطع ثلاث حواف ممتدة على الأقل في نقطة واحدة. ومن أمثلة متعددات السطوح النجمية الحواف: المجسم النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهاً (نجمية حواف المجسم ذي الاثني عشر وجهاً ) والمجسم النجمي الكبير ذو الاثني عشر وجهاً (نجمية حواف المجسم ذي العشرين وجهاً ).

تُعد المجسمات متعددة الأوجه النجمية أكثر شيوعًا، وما يلي يتعلق فقط بالمجسمات متعددة الأوجه النجمية.

يُشكّل المجسم متعدد الأوجه نجميًا عن طريق تمديد مستويات أوجهه حتى تلتقي مجددًا لتكوين مجسم متعدد الأوجه جديد أو مركب. عند تمديد مستويات أوجه المجسم إلى ما لا نهاية، ينقسم الفضاء المحيط به إلى فضاءات فرعية غير محدودة، وغالبًا إلى عدد من المجسمات متعددة الأوجه أو الخلايا المحدودة. وتنتج مجموعات مختلفة من الخلايا أشكالًا نجمية مختلفة.

بالنسبة للمجسم المتناظر، تنقسم هذه الخلايا إلى مجموعات من الخلايا المتطابقة - نقول إن الخلايا في هذه المجموعة المتطابقة من النوع نفسه. تتضمن إحدى الطرق الشائعة لإيجاد التشكيلات النجمية اختيار نوع واحد أو أكثر من أنواع الخلايا.

تُسمى مجموعة الخلايا التي تُشكّل طبقة مغلقة حول مركزها غلافًا. قد يتكون الغلاف من نوع واحد أو أكثر من أنواع الخلايا. تُسمى التشكيلات النجمية التي تُؤخذ فيها الأغلفة الكاملة فقط بالتشكيلات النجمية الرئيسية.

يُطلق على التشكيل النجمي الذي يتم فيه تضمين جميع الخلايا اسم التشكيل النجمي الكامل أو النهائي للمجسم متعدد السطوح، على سبيل المثال التشكيل النجمي النهائي للمجسم ذي العشرين وجهًا ، والمجسم النجمي الكبير ذو الاثني عشر وجهًا (التشكيل النجمي النهائي للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا ) والتشكيل النجمي الرابع للمجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا .

يمكن أن يؤدي تشكيل النجوم على الوجوه إلى عدد هائل من الأشكال متعددة السطوح المختلفة الممكنة، لذلك غالبًا ما يتم فرض معايير إضافية لتقليل المجموعة إلى تلك التشكيلات المهمة والمميزة بطريقة ما.

وبناءً على هذه الأفكار، تم تحديد عدة فئات اهتمام مقيدة:

• التشكيلات النجمية الرئيسية. تؤدي إضافة طبقات متتالية إلى متعدد السطوح الأساسي إلى مجموعة التشكيلات النجمية الرئيسية.
• التشكيلات النجمية المدعومة بالكامل. يمكن أن تظهر الأسطح السفلية للخلية خارجيًا على شكل "نتوء". في التشكيل النجمي المدعوم بالكامل، لا توجد مثل هذه النتوءات، وتُرى جميع الأجزاء المرئية من السطح من نفس الجانب.
• التشكيلات النجمية أحادية القمة. عندما يكون هناك نوع واحد فقط من القمم، أو الرؤوس، في التشكيل النجمي (أي أن جميع الرؤوس متطابقة ضمن مدار تناظر واحد)، يكون التشكيل النجمي أحادي القمة، أي "ذو قمة واحدة". جميع هذه التشكيلات النجمية مدعومة بالكامل.
• التشكيلات النجمية الأولية. عندما يمتلك متعدد السطوح مستويات تناظر مرآوي، يُقال إن الحواف الواقعة في هذه المستويات تقع على خطوط أولية. إذا كانت جميع الحواف تقع على خطوط أولية، فإن التشكيل النجمي أولي. جميع التشكيلات النجمية الأولية مدعومة بالكامل.
• تشكيلات ميلر. في كتاب "المجسمات العشرية الوجوه التسعة والخمسون" ، سجل كوكسيتر ، ودو فال، وفلاثر، وبيتري خمس قواعد اقترحها ميلر . على الرغم من أن هذه القواعد تشير تحديدًا إلى تشكيلات المجسم العشري الوجوه، فقد تم تكييفها لتناسب المجسمات متعددة الوجوه المختلفة. تضمن هذه القواعد، من بين أمور أخرى، الحفاظ على التناظر الدوراني للمجسم الأصلي، وأن كل تشكيل يختلف عن الآخر في مظهره الخارجي. الأنواع الأربعة للتشكيلات التي تم تعريفها للتو هي جميعها مجموعات فرعية من تشكيلات ميلر.

يمكننا أيضاً تحديد بعض الفئات الأخرى:

• النجمية الجزئية هي تلك التي لا يتم فيها تمديد جميع عناصر بُعد معين.
• التشكيل النجمي شبه المتناظر هو التشكيل الذي لا تمتد فيه جميع العناصر بشكل متناظر.

يمكن أيضًا تشكيل النجوم على المجسمات الأرخميدية ونظائرها. ونضيف هنا عادةً قاعدةً تنص على ضرورة وجود جميع مستويات الأوجه الأصلية في التشكيل النجمي، أي أننا لا نأخذ في الاعتبار التشكيلات النجمية الجزئية. على سبيل المثال، لا يُعتبر المكعب عادةً تشكيلًا نجميًا للمكعب الثماني الأوجه .

بتعميم قواعد ميلر، نجد ما يلي:

• أربع تشكيلات نجمية للمجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا
• 187 شكلاً نجمياً من رباعي الأوجه ترياكيس
• 358,833,097 شكلًا نجميًا من شكل ثلاثي الأضلاع المعيني
• 17 شكلاً نجمياً للمكعب الثماني الأوجه (4 منها موضحة في كتاب نماذج متعددات الأوجه لوينينجر )
• عدد غير معروف من التشكيلات النجمية للمجسم ذي العشرة عشر وجهًا ؛ يوجد 7,071,671 تشكيلًا نجميًا غير كيرالي ، لكن عدد التشكيلات النجمية الكيرالية غير معروف. (يُعرض 20 منها في كتاب نماذج المجسمات متعددة الأوجه لوينينجر ).

سبعة عشر من المجسمات المتعددة السطوح غير المحدبة المنتظمة هي عبارة عن تشكيلات نجمية من المجسمات الأرخميدية.

يمكن تطبيق عملية التشكيل النجمي على متعددات الوجوه ذات الأبعاد الأعلى أيضًا. يوجد مخطط التشكيل النجمي لمتعدد وجوه ذي n بُعد في مستوى فائق ذي ( n - 1) بُعد لوجه معين .  

على سبيل المثال، في الفضاء الرباعي، فإن النجمة الكبرى المكونة من 120 خلية هي النجمة النهائية للخلايا المنتظمة المكونة من 4-متعدد الوجوه المكونة من 120 خلية .

كان أول نظام تسمية منهجي للمجسمات النجمية هو تسمية كايلي للمجسمات النجمية المنتظمة (المعروفة اليوم باسم مجسمات كيبلر-بوانسو ). وقد تم اعتماد هذا النظام على نطاق واسع، ولكن ليس دائمًا بشكل منهجي، للمجسمات الأخرى والمجسمات متعددة الأوجه الأعلى.

ابتكر جون كونواي مصطلحاتٍ للمضلعات النجمية ، والمجسمات متعددة الأوجه ، والمجسمات متعددة الخلايا (كوكسيتر، 1974). في هذا النظام، تُسمى عملية تمديد الحواف لإنشاء شكل جديد بالنجمية ، وتُسمى عملية تمديد الأوجه بالتكبير ، وتُسمى عملية تمديد الخلايا بالتكبير (لا ينطبق هذا الأخير على المجسمات متعددة الأوجه). يسمح هذا باستخدامٍ منهجي لكلمات مثل "نجمي" و"عظيم" و"ضخم" في تسمية الأشكال الناتجة. على سبيل المثال، اقترح كونواي بعض الاختلافات الطفيفة في أسماء مجسمات كبلر-بوانسو متعددة الأوجه .

لاحظ وينينجر أن بعض المجسمات متعددة الأوجه، مثل المكعب، لا تحتوي على أي تشكيلات نجمية محدودة. ومع ذلك، يمكن إنشاء خلايا التشكيل النجمي على شكل موشورات تمتد إلى ما لا نهاية. ويمكن تسمية الشكل الذي يتألف من هذه الموشورات بتشكيل نجمي إلى ما لا نهاية . ولكن وفقًا لمعظم تعريفات المجسم متعدد الأوجه، فإن هذه التشكيلات النجمية ليست مجسمات متعددة الأوجه بالمعنى الدقيق للكلمة.

ظهرت أشكال وينينجر كأشكال ثنائية للأشكال النصفية المنتظمة ، حيث يتم إرسال الوجوه التي تمر عبر المركز إلى الرؤوس "عند اللانهاية".

إلى جانب إسهاماته في الرياضيات، يوصف ماغنوس وينينجر في سياق العلاقة بين الرياضيات والفن بأنه كان يصنع نماذج "جميلة بشكل خاص" للأشكال النجمية المعقدة. ^{[ 2 ]}

ابتكر الفنان الإيطالي باولو أوتشيلو، أحد رواد عصر النهضة، لوحة فسيفسائية أرضية تُظهر مجسمًا نجميًا صغيرًا ذا اثني عشر وجهًا في كاتدرائية سان ماركو بمدينة البندقية ، حوالي عام 1430. وقد استُخدم تصوير أوتشيلو رمزًا لبينالي البندقية عام 1986 الذي كان موضوعه "الفن والعلم". ^{[ 3 ]} ويُعدّ هذا المجسم النجمي نفسه عنصرًا أساسيًا في لوحتين مطبوعتين حجريتين للفنان إم سي إيشر : "التناقض (النظام والفوضى)" ، 1950، و "الجاذبية" ، 1952. ^{[ 4 ]}

• قائمة التشكيلات النجمية متعددة الأوجه
• الأشكال العشرية الوجوه التسعة والخمسون
• تتضمن قائمة نماذج وينينجر متعددة السطوح 44 شكلاً نجميًا من ثماني السطوح، واثني عشري السطوح، وعشرين السطوح، وعشرين السطوح الاثني عشري السطوح، وهي مدرجة في كتاب نماذج متعددة السطوح (1974) لماغنوس وينينجر

• بريدج، نيوجيرسي؛ تقسيم الشكل ذي الاثني عشر وجهًا، أكتا كريستالوغرافيكا A30 (1974)، ص 548-552.
• كوكسيتر، إتش إس إم ؛ متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة (1974).
• كوكسيتر، إتش إس إم ؛ دو فال، بي؛ فلاثر، إتش تي؛ وبيتري، جيه إف. الأوجه العشرية التسعة والخمسون ، الطبعة الثالثة. سترادبروك، إنجلترا: منشورات تاركوين (1999).
• إنشبالد، جي.؛ بحثًا عن المجسمات العشرية الوجوه المفقودة، المجلة الرياضية 86 (2002)، ص 208-215.
• ميسر، ب.؛ تشكيلات ثلاثية الأضلاع المعينية وما بعدها، التناظر: الثقافة والعلم ، 11 (2000)، ص 201-230.
• وينينجر، ماغنوس (1974). نماذج متعددة السطوح . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-09859-9.
• وينينجر، ماغنوس (1983). النماذج الثنائية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-24524-9.

• وايسستين، إريك دبليو. “النجمة” . عالم الرياضيات .
• تشكيل النجمة على شكل عشرين وجهاً وتقسيم الشكل إلى أوجه على شكل اثني عشر وجهاً
• ستيلا: مستكشف متعدد السطوح – برنامج لاستكشاف متعددات السطوح وطباعة نماذج لبنائها المادي. يشمل متعددات السطوح المنتظمة، والتشكيلات النجمية، والمركبات، ومواد جونسون الصلبة، إلخ.
• تعداد النجوم
• فلاديمير بولاتوف، المجسمات النجمية.
• تطبيق "Polyhedra Stellations" من تصميم فلاديمير بولاتوف، مُعبأ كتطبيق لنظام التشغيل OS X، مؤرشف بتاريخ 4 مارس 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• تطبيق النجوم
• إنشاء تفاعلي لأشكال نجمية متعددة الأوجه ذات تناظرات متنوعة
• تطبيق "الأشكال العشرية الوجوه التسعة والخمسون" - مؤرشف بتاريخ ٢٨ ديسمبر ٢٠١٩ في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• 59 كوكبة من العشرينيات الوجوه، جورج هارت
• النجومية: الرياضيات الجميلة
• المزيد من التشكيلات النجمية للأشكال متعددة السطوح المنتظمة، جون لورانس هدسون، مجلة الرياضيات، المجلد 31، العدد 4، 2009