سباعي الأضلاع

مساحة ( A ) مضلع سباعي منتظم طول ضلعه a تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle A={\tfrac {7}{4}}a^{2}\cot {\tfrac {1}{7}}\pi \simeq 3.634a^{2}.}$

يمكن ملاحظة ذلك بتقسيم المضلع السباعي ذي الضلع الواحد إلى سبعة أجزاء مثلثية "قطاعات فطيرة" برؤوس في المركز ورؤوس المضلع السباعي، ثم تقسيم كل مثلث إلى نصفين باستخدام العمود النازل من منتصفه كضلع مشترك. العمود النازل من منتصفه يساوي نصف ظل تمام الزاوية ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}\pi }$ومساحة كل من المثلثات الصغيرة الـ 14 هي ربع مساحة العمود.

مساحة الشكل السباعي المنتظم المرسوم داخل دائرة نصف قطرها R هي${\displaystyle {\tfrac {7}{2}}R^{2}\sin {\tfrac {2}{7}}\pi ,}$بينما مساحة الدائرة نفسها هي${\displaystyle \pi R^{2};}$وبالتالي فإن الشكل السباعي المنتظم يملأ ما يقرب من 0.8710 من دائرته المحيطة.

بما أن 7 عدد أولي من أعداد بيربونت ولكنه ليس عددًا أوليًا من أعداد فيرما ، فإن الشكل السباعي المنتظم لا يمكن إنشاؤه باستخدام الفرجار والمسطرة، ولكنه يمكن إنشاؤه باستخدام مسطرة مدرجة وفرجار. وهو أصغر مضلع منتظم يتمتع بهذه الخاصية. يُطلق على هذا النوع من الإنشاء اسم إنشاء نيوسيس . كما يمكن إنشاؤه باستخدام الفرجار والمسطرة ومنصف الزوايا . وتنتج استحالة إنشائه باستخدام المسطرة والفرجار من الملاحظة التالية:${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2}{7}}\pi \approx 1.247}$هو جذر للمعادلة التكعيبية غير القابلة للاختزال x³ + x² - 2x - 1. وبالتالي، فإن هذه ^{المعادلة هي} المعادلة الدنيا لـ${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2}{7}}\pi }$، في حين أن درجة متعددة الحدود الدنيا لعدد قابل للإنشاء يجب أن تكون قوة للعدد 2.

بناء نيوسيس للزاوية الداخلية في سباعي منتظم.

رسم متحرك من بناء نيوسيس بنصف قطر دائرة محيطة${\displaystyle {\overline {OA}}=6}$وفقًا لأندرو إم. جليسون [ 1 ] ، يعتمد هذا البناء على تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء باستخدام فأس توماهوك . ويستند هذا البناء على حقيقة أن ${\displaystyle \cos \left({\tfrac {2\pi }{7}}\right)={\tfrac {1}{6}}\left(2{\sqrt {7}}\cos \left({\tfrac {1}{3}}\arctan 3{\sqrt {3}}~\right)-1\right).}$

يُمكن استخدام تقريب عملي، بنسبة خطأ تبلغ حوالي 0.2%، وهو استخدام نصف ضلع مثلث متساوي الأضلاع مرسوم داخل نفس الدائرة التي يبلغ طول ضلعها ضلع مضلع سباعي منتظم. لا يُعرف من اكتشف هذا التقريب أولًا، ولكنه ذُكر في كتاب " المترية " لهيرون الإسكندري في القرن الأول الميلادي، وكان معروفًا جيدًا لدى علماء الرياضيات المسلمين في العصور الوسطى، ويمكن إيجاده في أعمال ألبرخت دورر . ^{[ 2 ] [ 3 ]} ليكن A على محيط الدائرة المحيطة. ارسم القوس BOC . ثم${\displaystyle \textstyle {BD={\tfrac {1}{2}}BC}}$يعطي تقريبًا لحافة الشكل السباعي.

يستخدم هذا التقريب${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\approx 0.86603}$بالنسبة لضلع الشكل السباعي المرسوم داخل دائرة الوحدة، بينما القيمة الدقيقة هي${\displaystyle \textstyle 2\sin {\tfrac {1}{7}}\pi \approx 0.86777}$.

مثال لتوضيح الخطأ: عند نصف قطر دائرة محيطة r = 1 م ، يكون الخطأ المطلق للضلع الأول حوالي -1.7 مم

توجد طرق أخرى لرسم الشكل السباعي باستخدام الفرجار والمسطرة، لكنها تستغرق وقتاً طويلاً في الرسم. ^{[ 4 ]}

ينتمي الشكل السباعي المنتظم إلى المجموعة النقطية _D7h ( حسب ترميز شونفليس )، من الرتبة 28. عناصر التناظر هي: محور دوران ذاتي سباعي C7 _، ومحور دوران غير ذاتي سباعي S7، وسبعة _{مستويات} انعكاس رأسية σv _، وسبعة محاور دوران ثنائية C2 _في مستوى الشكل السباعي، ومستوى انعكاس أفقي σh _يقع أيضًا في مستوى الشكل السباعي. ^{[ 6 ]}

ضلع المضلع السباعي المنتظم a ، وقطره الأقصر b ، وقطره الأطول c ، حيث a < b < c ، تحقق ^{[ 7 ] : اللمة 1}

${\displaystyle a^{2}=c(cb),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ ( المعادلة البصرية )

وبالتالي

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

و ^{[ 7 ] : كورونا 2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0,}$

وبالتالي، فإنّ النسب b / c و c / a و a / b جميعها تحقق المعادلة التكعيبية${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}$ومع ذلك، لا توجد تعبيرات جبرية ذات حدود حقيقية بحتة لحلول هذه المعادلة، لأنها مثال على حالة غير قابلة للاختزال .

تُعطى الأطوال التقريبية للأقطار بدلالة ضلع المضلع السباعي المنتظم بالصيغة التالية:

${\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.}$

لدينا أيضًا ^{[ 8 ]}

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

و

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}$

المثلث السباعي له رؤوس تتطابق مع الرؤوس الأول والثاني والرابع لمضلع سباعي منتظم (انطلاقًا من رأس ابتدائي عشوائي) وزوايا ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}\pi }$،​​${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}\pi }$و​​${\displaystyle {\tfrac {4}{7}}\pi }$وبالتالي ، تتطابق أضلاعه مع ضلع واحد وقطرين محددين من السباعي المنتظم. ^{[ 7 ]}

وبصرف النظر عن المنشور السباعي والمنشور المضاد السباعي ، لا يوجد مجسم متعدد الأوجه محدب مصنوع بالكامل من مضلعات منتظمة يحتوي على سباعي كوجه.