الزوايا الداخلية والخارجية

في الهندسة ، تتكون زاوية المضلع من ضلعين متجاورين . بالنسبة للمضلع البسيط (غير المتقاطع مع نفسه)، سواء كان محدبًا أم لا ، تُسمى هذه الزاوية زاوية داخلية إذا كانت إحدى النقاط الواقعة داخلها تقع داخل المضلع. لكل رأس من رؤوس المضلع زاوية داخلية واحدة فقط .

إذا كانت كل زاوية داخلية لمضلع بسيط أقل من زاوية مستقيمة ( π راديان أو 180 درجة)، فإن المضلع يسمى محدبًا .

في المقابل، الزاوية الخارجية (وتسمى أيضًا زاوية الدوران أو الزاوية الخارجية) هي الزاوية المتكونة بين أحد أضلاع مضلع بسيط وخط ممتد من ضلع مجاور . ^{[ 1 ] : ص 261-264}

• مجموع الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية على نفس الرأس هو π راديان (180 درجة).
• مجموع جميع الزوايا الداخلية لمضلع بسيط يساوي π ( n - 2) راديان أو 180( n - 2) درجة، حيث n هو عدد الأضلاع. يمكن إثبات هذه الصيغة باستخدام الاستقراء الرياضي : بدءًا من مثلث مجموع زواياه 180 درجة، ثم استبدال أحد أضلاعه بضلعين متصلين عند رأس آخر، وهكذا.
• مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع بسيط، إذا تم افتراض زاوية واحدة فقط من الزاويتين الخارجيتين عند كل رأس، هو 2 π راديان (360 درجة).
• لا يتأثر قياس الزاوية الخارجية عند رأس معين بالجانب الذي يتم تمديده: فالزاويتان الخارجيتان اللتان يمكن تشكيلهما عند رأس معين عن طريق تمديد جانب واحد بالتناوب هما زاويتان متقابلتان بالرأس وبالتالي فهما متساويتان.

يمكن توسيع مفهوم الزاوية الداخلية ليشمل المضلعات المتقاطعة ، مثل المضلعات النجمية ، باستخدام مفهوم الزوايا الموجهة . بشكل عام، يُعطى مجموع الزوايا الداخلية بالدرجات لأي مضلع مغلق، بما في ذلك المضلعات المتقاطعة (ذاتية التقاطع)، بالصيغة 180( n - 2k ) ° ، حيث n هو عدد رؤوس المضلع، و k هو عدد الدورات الكاملة (360°) التي يقطعها الشخص عند الدوران حول محيط المضلع. بعبارة أخرى، مجموع جميع الزوايا الخارجية يساوي 2πk راديان أو 360k درجة . مثال: بالنسبة للمضلعات المحدبة والمقعرة العادية ، k = 1 ، لأن مجموع الزوايا الخارجية يساوي 360°، ويقطع الشخص دورة كاملة واحدة فقط عند الدوران حول المحيط.

لنفترض وجود متعدد السطوح مكافئ طوبولوجيًا للكرة ، مثل أي متعدد سطوح محدب . لكل رأس من رؤوس متعدد السطوح عدة أوجه تلتقي عند ذلك الرأس. لكل وجه من هذه الأوجه زاوية داخلية عند ذلك الرأس، ويمكن القول إن مجموع الزوايا الداخلية عند رأس ما هو الزاوية الداخلية المرتبطة بذلك الرأس في متعدد السطوح. قيمة 2π راديان (أو 360 درجة ) مطروحًا منها تلك الزاوية الداخلية هي الزاوية الخارجية المرتبطة بذلك الرأس، والمعروفة أيضًا بأسماء أخرى مثل النقص الزاوي . مجموع هذه الزوايا الخارجية عبر جميع رؤوس متعدد السطوح سيكون بالضرورة 4π راديان (أو 720 درجة)، ومجموع الزوايا الداخلية سيكون بالضرورة 2π ( n - 2) راديان ( أو 360( n - 2) درجة)، حيث n هو عدد الرؤوس. يمكن الحصول على دليل على ذلك باستخدام صيغ مجموع الزوايا الداخلية لكل وجه بالإضافة إلى حقيقة أن خاصية أويلر للكرة هي 2.

على سبيل المثال، يتكون المجسم المستطيل من ثلاثة أوجه مستطيلة تلتقي عند أي رأس، ولكل وجه زاوية داخلية قياسها 90° عند ذلك الرأس. لذا، يرتبط كل رأس من رؤوس المجسم المستطيل بزاوية داخلية مقدارها 3 × 90° = 270° وزاوية خارجية مقدارها 360° - 270° = 90° . مجموع هاتين الزاويتين الخارجيتين على الرؤوس الثمانية يساوي 8 × 90° = 720° . ومجموع هاتين الزاويتين الداخليتين على الرؤوس الثمانية يساوي 8 × 270° = 2160° .

• الزوايا الداخلية للمثلث
• مجموع الزوايا الداخلية للمضلعات: صيغة عامة - يوفر نشاط جافا تفاعلي يوسع صيغة مجموع الزوايا الداخلية للمضلعات المغلقة البسيطة لتشمل المضلعات المتقاطعة (المعقدة).