مضلع نجمي

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 30 صور
الموسوعة الحرة
نوعان من الأشكال الخماسية النجمية
{5/2}| 5/2 |
يحتوي الخماسي النجمي المنتظم ، {5/2}، على خمسة رؤوس (زواياه) وخمسة أضلاع متقاطعة، بينما يحتوي العشاري المقعر ، | 5/2 | ، على عشرة أضلاع ومجموعتين من خمسة رؤوس. يُستخدم الأول في تعريفات المجسمات النجمية والتبليط النجمي المنتظم ، بينما يُستخدم الثاني أحيانًا في التبليط المستوي.
مجسم صغير ذو اثني عشر وجهًا نجميًاالتبليط

في الهندسة ، يُعد المضلع النجمي نوعًا من المضلعات غير المحدبة . وقد دُرست المضلعات النجمية المنتظمة بتعمق؛ وبينما يبدو أن المضلعات النجمية بشكل عام لم تُعرّف رسميًا، إلا أن بعض المضلعات البارزة يمكن أن تنشأ من خلال عمليات القطع على المضلعات البسيطة المنتظمة أو النجمية.

حدد برانكو غرونباوم استخدامين أساسيين لهذا المصطلح من قبل يوهانس كيبلر ، أحدهما يتعلق بالمضلعات النجمية المنتظمة ذات الحواف المتقاطعة التي لا تولد رؤوسًا جديدة، والآخر يتعلق بالمضلعات البسيطة المقعرة متساوية المحور . [ 1 ]

تشمل الأشكال المتعددة المضلعات مثل النجمة الخماسية ، ولكنها تشمل أيضًا الأشكال المركبة مثل النجمة السداسية .

أحد تعريفات المضلع النجمي ، المستخدم في رسومات السلحفاة ، هو مضلع يحتوي على q ≥ 2 دورات ( يسمى q عدد الدورات أو الكثافة )، كما هو الحال في الأشكال الحلزونية الجانبية . [ 2 ]

الأسماء

تجمع أسماء المضلعات النجمية بين بادئة عددية ، مثل "بنتا-" ، واللاحقة اليونانية " -غرام " (مما ينتج عنه كلمة "بنتاغرام "). عادةً ما تكون البادئة عددًا أصليًا يونانيًا، ولكن توجد مرادفات تستخدم بادئات أخرى. على سبيل المثال، يُعرف المضلع التساعي أو "إنياغرام" أيضًا باسم "نوناغرام" ، باستخدام العدد الترتيبي "نونا" من اللاتينية . تُشتق اللاحقة "-غرام" من "غرامي" ( γραμμή )، والتي تعني خطًا. [ 3 ] يعكس اسم "المضلع النجمي" تشابه هذه الأشكال مع أشعة حيود النجوم الحقيقية.

مضلع نجمي منتظم

{5/2}{7/2}{7/3}...
المضلعات المحدبة المنتظمة والمضلعات النجمية ذات 3 إلى 12 رأسًا، مُصنفة برموز شلافلي الخاصة بها.

المضلع النجمي المنتظم هو مضلع متقاطع ذاتيًا، ومتساوي الأضلاع، ومتساوي الزوايا .

يُرمز إلى المضلع النجمي المنتظم برمز شلافلي الخاص به { p / q }، حيث يكون p (عدد الرؤوس) و q ( الكثافة ) أوليين فيما بينهما (لا يشتركان في أي عوامل) وحيث q ≥ 2. ويمكن أيضًا تسمية كثافة المضلع برقم الدوران الخاص به : وهو مجموع زوايا الدوران لجميع الرؤوس، مقسومًا على 360 درجة.

مجموعة التناظر لـ { p / q } هي المجموعة ثنائية السطوح D p ، من الرتبة 2 p ، مستقلة عن q .

تمت دراسة المضلعات النجمية المنتظمة بشكل منهجي لأول مرة بواسطة توماس برادوردين ، ولاحقًا بواسطة يوهانس كيبلر . [ 4 ]

البناء عبر اتصال الرؤوس

يمكن إنشاء مضلعات نجمية منتظمة بتوصيل رأس من رؤوس مضلع بسيط منتظم ذي p ضلعًا برأس آخر غير مجاور له، والاستمرار في هذه العملية حتى الوصول إلى الرأس الأصلي مرة أخرى. [ 5 ] وبدلاً من ذلك، بالنسبة للأعداد الصحيحة p و q ، يمكن اعتبارها مُنشأة بتوصيل كل نقطة q من بين p نقطة موزعة بانتظام في شكل دائري. [ 6 ] على سبيل المثال، في خماسي منتظم، يمكن الحصول على نجمة خماسية برسم خط من الرأس الأول إلى الثالث، ومن الثالث إلى الخامس، ومن الخامس إلى الثاني، ومن الثاني إلى الرابع، ومن الرابع إلى الأول.

إذا كان q ≥ p /2، فإن إنشاء { p / q } سينتج عنه نفس المضلع الناتج عن { p /( p - q )}؛ فتوصيل كل رأس ثالث من رؤوس الخماسي سيعطي نتيجة مماثلة لتوصيل كل رأس ثانٍ. مع ذلك، سيتم الوصول إلى الرؤوس في الاتجاه المعاكس، وهو ما يُحدث فرقًا عند دمج المضلعات الرجعية في متعددات الوجوه ذات الأبعاد الأعلى. على سبيل المثال، ينتج عن المنشور المضاد المُشكَّل من النجمة الخماسية الأمامية {5/2} منشور مضاد خماسي نجمي ؛ وينتج عن الإنشاء المماثل من "النجمة الخماسية المتقاطعة" الرجعية {5/3} منشور مضاد خماسي نجمي متقاطع . مثال آخر هو رباعي نصف سداسي الأوجه ، والذي يمكن اعتباره "مثلثًا متقاطعًا" {3/2} كوبلويدي .

مضلعات نجمية منتظمة متدهورة

إذا لم يكن العددان p و q أوليين فيما بينهما، فسينتج مضلع منحط برؤوس وحواف متطابقة. على سبيل المثال، سيظهر الشكل {6/2} على هيئة مثلث، ولكن يمكن ترقيمه بمجموعتين من الرؤوس: 1-3 و4-6. يجب النظر إلى هذا الشكل ليس على أنه مثلثان متداخلان، بل على أنه سداسي أحادي المسار ملتف مرتين. [ 7 ] [ 8 ]

البناء عبر الأبراج

بدلاً من ذلك، يمكن الحصول على مضلع نجمي منتظم كسلسلة من عمليات التنميط النجمي لمضلع أساسي منتظم محدب . كما تسمح الإنشاءات القائمة على التنميط النجمي بالحصول على مركبات مضلعية منتظمة في الحالات التي لا يكون فيها عدد الرؤوس (q) وكثافتها ( p) أوليين فيما بينهما. مع ذلك، عند إنشاء مضلعات نجمية من التنميط النجمي، إذا كانت q > p /2، فإن الخطوط ستتباعد إلى ما لا نهاية، وإذا كانت q = p /2، فإن الخطوط ستكون متوازية، ولن ينتج عن أي منهما أي تقاطع آخر في الفضاء الإقليدي. ومع ذلك، قد يكون من الممكن إنشاء بعض هذه المضلعات في الفضاء الكروي، على غرار المضلع الأحادي والمضلع الثنائي ؛ ويبدو أن هذه المضلعات لم تُدرس بالتفصيل بعد.

نجم متساوي الأكسيد، مضلعات بسيطة

عند إزالة القطع المستقيمة المتقاطعة من نجمة منتظمة ذات n ضلعًا، لا يعود الشكل الناتج منتظمًا، بل يمكن اعتباره مضلعًا بسيطًا مقعرًا متساوي المحاور ذو 2n ضلعًا، تتناوب رؤوسه عند نصفَي قطر مختلفين. يُمثل برانكو غرونباوم ، في كتابه "التبليط والأنماط "، هذه النجمة التي تُطابق مُخطط مُضلع منتظم { n / d } بالرمز | n / d |، أو بشكل أعم بالرمز { nθ } ، الذي يُشير إلى مضلع بسيط مقعر أو محدب متساوي المحاور ذو 2n ضلعًا بزاوية داخلية خارجية θ.

  • بالنسبة لـ | n / d |، فإن الزاوية الداخلية الخارجية 𝛼 = 180(1 − 2 d / n ) درجة، بالضرورة، والرؤوس الداخلية (الجديدة) لها زاوية خارجية β ext = 180[1 − 2( d − 1)/ n ] درجة، بالضرورة.
  • بالنسبة للمجموعة { n 𝛼 }، لا يشترط أن تتطابق الزوايا الداخلية الخارجية والداخلية الخارجية، والتي يُرمز إليها أيضًا بـ 𝛼 و β ext ، مع زوايا أي متعدد أشكال منتظم { n / d }؛ ومع ذلك، فإن 𝛼 < 180(1 − 2/ n ) درجة و β ext < 180° بالضرورة (هنا، { n 𝛼 } مقعر). [ 1 ]
أمثلة على المضلعات النجمية البسيطة متساوية الأكسيد
| n / d | { n 𝛼 }| 9/4 | {9 20° } {3 30° } {6 30° }| 5/2 | {5 36° } {4 45° }| 8/3 | {8 45° }| 6/2 | {6 60° } {5 72° }
𝛼20 درجة30 درجة36 درجة45 درجة60 درجة72 درجة
β ext60 درجة150 درجة90 درجة108 درجة135 درجة90 درجة120 درجة144 درجة
نجمة بسيطة مدببة من نوع إيزوتوكسال
متعدد الأشكال المنتظم ذو الصلة { n / d }{9/4}{12/5}{5/2}{8/3}2{3} شكل النجمة{10/3}

أمثلة في التبليط

تُشاهد هذه المضلعات غالبًا في أنماط التبليط. يمكن اختيار الزاوية البارامترية α (بالدرجات أو الراديان) لمطابقة الزوايا الداخلية للمضلعات المتجاورة في نمط التبليط. في كتابه "هارمونيس موندي" (Harmonice Mundi) الصادر عام 1619، أدرج يوهانس كيبلر ، ضمن التبليطات الدورية، تبليطات غير دورية، مثل التبليط الذي يتكون من ثلاثة خماسيات منتظمة وخماسي نجمي منتظم واحد يحيط برؤوس معينة، 5.5.5.5/2، وهو تبليط مشابه لتبليطات بنروز الحديثة . [ 9 ]

أمثلة على التبليط المتساوي الزوايا مع النجوم البسيطة متساوية الأكسيد [ 10 ]
نجوم بسيطة مدببة من نوع إيزوتوكسالالنجوم "المثلثة" ( ن = 3)نجوم "مربعة" ( ن = 4)النجوم "السداسية" ( ن = 6)النجوم "المثمنة" ( ن = 8)
صورة للتبليط
تكوين الرؤوس.3.3 * 𝛼 .3.3 ** 𝛼8.4 * π / 4​6.6 * π / 3​3.6 * π/3 .6 ** π/33.6.6 * π/3 .6ليس من الحافة إلى الحافة

التصميمات الداخلية

يمكن معالجة الجزء الداخلي من المضلع النجمي بطرق مختلفة. يوضح الشكل ثلاثًا من هذه المعالجات للخماسي النجمي. يتناول برانكو غرونباوم وجيفري شيبارد اثنتين منها، وهما: النجمة المنتظمة ذات n ضلعًا، والمضلعات البسيطة المقعرة متساوية المحور ذات 2 n ضلعًا. [ 9 ]

هذه العلاجات الثلاثة هي:

  • عند وجود قطعة مستقيمة، يُعامل أحد طرفيها كطرف خارجي والآخر كطرف داخلي. يظهر هذا في الرسم التوضيحي على اليسار، وهو أمر شائع في عرض الرسومات المتجهة الحاسوبية.
  • يُحدد عدد مرات التفاف المنحنى المضلع حول منطقة معينة كثافتها . تُعطى المنطقة الخارجية كثافة تساوي صفرًا، وتُعامل أي منطقة ذات كثافة أكبر من صفر على أنها منطقة داخلية. يظهر هذا في الرسم التوضيحي المركزي، وهو شائع في المعالجة الرياضية للمجسمات متعددة الأوجه . (مع ذلك، بالنسبة للمجسمات متعددة الأوجه غير القابلة للتوجيه، لا يمكن اعتبار الكثافة إلا بتردد 2، وبالتالي، في هذه الحالات، ولضمان الاتساق، تُستخدم المعالجة الأولى أحيانًا).
  • أينما رُسم خط مستقيم بين ضلعين، تُعتبر المنطقة التي يقع فيها هذا الخط داخل الشكل. يظهر هذا في الرسم التوضيحي على اليمين، وهو أمر شائع عند إنشاء نموذج مادي.

عند حساب مساحة المضلع، تعطي كل من هذه الطرق نتيجة مختلفة.

في الفن والثقافة

تُعدّ المضلعات النجمية عنصرًا بارزًا في الفن والثقافة. قد تكون هذه المضلعات منتظمة أو غير منتظمة ، لكنها دائمًا ما تكون متناظرة للغاية . ومن أمثلتها:

ثماني الأضلاع {8/3} مُنشأ في شكل ثماني منتظمخاتم سليمان ذو الدائرة والنقاط (شكل النجمة)

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 غرونباوم وشيبارد (1987). التبليط والأنماط. القسم 2.5
  2. ↑ أبيلسون، هارولد، دي سيسا، أنديرا، 1980، هندسة السلحفاة ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، ص 24
  3. ↑ γραμμή ، هنري جورج ليدل، روبرت سكوت، معجم يوناني إنجليزي ، على بيرسيوس
  4. ↑ كوكسيتر، إتش إس إم ، مقدمة في الهندسة، الطبعة الثانية، 2.8 المضلعات النجمية ، الصفحات 36-38
  5. ↑ كوكسيتر، إتش إس إم ( 1973). متعددات الوجوه المنتظمة . منشورات كوريير دوفر. ص 93. ISBN  978-0-486-61480-9.
  6. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "مضلع النجمة" . عالم الرياضيات .
  7. ↑ هل مجسماتك متعددة الأوجه هي نفسها مجسماتي متعددة الأوجه؟ مؤرشف بتاريخ 3 أغسطس 2016 في أرشيف الإنترنت ، بقلم برانكو غرونباوم
  8. ↑ كوكسيتر، HSM ، كثافات المضلعات المنتظمة 1، ص 43:إذا كان q فرديًا، فإن اقتطاع { p / q } يكون بطبيعة الحال {2p / q } . أما إذا كان q زوجيًا، فإن اقتطاع { p / q } يتكون من اثنين متطابقين { p /( q /2)}؛ اثنان، لأن كل ضلع ينشأ مرة من ضلع أصلي ومرة ​​من رأس أصلي. وبما أن 2( q /2) = q ، فإن كثافة المضلع لا تتغير أبدًا بالاقتطاع.
  9. 1 2 برانكو غرونباوم وجيفري سي. شيبارد، التبليط بواسطة المضلعات المنتظمة، مجلة الرياضيات العدد 50 (1977)، الصفحات 227-247، والعدد 51 (1978)، الصفحات 205-206
  10. ↑ التبليط باستخدام المضلعات النجمية المنتظمة ، جوزيف مايرز
  11. ↑ بروغ، إريك (27-05-2008). الأنماط الهندسية الإسلامية . لندن: تيمز وهدسون. الصفحات 183-185 ، 193. ISBN  978-0-500-28721-7.
  • كرومويل، ب.؛ متعددات السطوح ، مطبعة جامعة كامبريدج، غلاف مقوى، 1997، رقم ISBN 0-521-66432-2غلاف ورقي، ١٩٩٩، رقم ISBN 0-521-66405-5ص 175
  • غرونباوم، ب. وشيبارد، ج. س.؛ البلاط والأنماط ، نيويورك: دبليو إتش فريمان وشركاه (1987)، رقم ISBN 0-7167-1193-1.
  • غرونباوم، ب. ؛ متعددات السطوح ذات الوجوه المجوفة، وقائع مؤتمر الناتو-ASI حول متعددات السطوح ... إلخ. (تورنتو، 1993) ، تحرير ت. بيشتريكزكي وآخرون ، كلوير أكاديميك (1994)، ص 43-70.
  • جون إتش. كونواي ، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، تناظرات الأشياء ، 2008، رقم ISBN 978-1-56881-220-5(الفصل 26، صفحة 404: متعددات الوجوه النجمية المنتظمة - البعد 2)
  • برانكو غرونباوم ، تحولات المضلعات ، نُشر في الجانب الأكثر إشراقًا من الرياضيات: وقائع مؤتمر يوجين سترينز التذكاري حول الرياضيات الترفيهية وتاريخها (1994).

هارت، في (2015). "الرسم العفوي في حصة الرياضيات: النجوم" . فيميو .