الكثافة (متعدد الأوجه)

بالنسبة لمضلع نجمي منتظم { p / q }، فإن الكثافة هي q . ويمكن تحديدها بصريًا عن طريق حساب الحد الأدنى لعدد نقاط تقاطع الحافة لشعاع من المركز إلى اللانهاية.

• 
  المضلع ذو التقاطع الواحد، مثل هذا الخماسي متساوي الأضلاع ، له كثافة 0.
• 
  الخماسي المنتظم {5} له كثافة 1.
• 
  Isotoxal tetradecagon , {(7/2) _α }, لها كثافة 2، على غرار {7/2} المنتظم.
• 
  يبلغ كثافة الشكل السباعي {7/3} 3.
• 
  مركب إيزوتوكسال سداسي الشكل 2{(3/2) _α } له كثافة 4.
• 
  مخطط دوديكاجرام الأيزوتوكسال ، {(6/5) _α }، له كثافة 5، على غرار {12/5} المنتظم.

يمكن اعتبار متعدد السطوح سطحًا ذا انحناء غاوسي مُركّز عند رؤوسه ومُحدد بنقص زاوية . كثافة متعدد السطوح تساوي مجموع الانحناء الكلي (على جميع رؤوسه) مقسومًا على 4π . ^{[ 2 ]}

على سبيل المثال، يحتوي المكعب على 8 رؤوس، كل رأس منها يحتوي على 3 مربعات ، مما ينتج عنه نقص في الزاوية مقداره π /2. 8 × π /2 = 4π . إذن، كثافة المكعب هي 1.

كثافة متعدد السطوح ذي الوجوه البسيطة وأشكال الرؤوس تساوي نصف خاصية أويلر ، χ . إذا كان جنسه g ، فإن كثافته تساوي 1− g .

χ = V − E + F = 2 D = 2(1− g ).

• 
  كثافة متعدد السطوح الكروي الطوبولوجي تساوي واحدًا ، مثل المكعب . v=8، e=12، f=6.
• 
  كثافة متعدد السطوح الحلقي من النوع 1 تساوي صفرًا ، مثل هذا الشكل السداسي: v=24، e=48، f=24.
• 
  كثافة الطور الحلقي من النوع 5 هي -4 ، مثل طور ستيوارت هذا : v=72، e=168، f=88.

استخدم آرثر كايلي الكثافة كوسيلة لتعديل صيغة أويلر للمجسمات متعددة السطوح ( V − E + F = 2) لتناسب المجسمات النجمية المنتظمة ، حيث d _v هي كثافة شكل الرأس ، و d _f هي كثافة الوجه ، و D هي كثافة المجسم متعدد السطوح ككل:

${\displaystyle d_{v}v-e+d_{f}f=2D}$^{[ 3 ]}

على سبيل المثال، يحتوي المجسم العشري الوجوه الكبير ، {3،  5/2}، على 20 وجهًا مثلثيًا ( d _f  =  1)، و30 ضلعًا، و12 شكلًا رأسيًا خماسيًا ( d _v  =  2)، مما يعطي

2.12 − 30 + 1.20 = 14 = 2 D .

وهذا يعني كثافة 7. تفشل صيغة أويلر متعددة السطوح غير المعدلة بالنسبة للمجسم النجمي الصغير ذي الاثني عشر وجهًا {5/2،  5} ومجسمه النجمي الكبير المزدوج {5،  5/2}، حيث V − E + F = −6.

توجد الأشكال النجمية المنتظمة في زوجين مزدوجين، حيث يكون لكل شكل نفس الكثافة مثل نظيره المزدوج: أحد الزوجين (مجسم نجمي صغير - مجسم نجمي كبير) له كثافة 3، بينما الآخر ( مجسم نجمي كبير - مجسم عشريني كبير) له كثافة 7.

يتمتع المجسم العشري الوجوه الكبير غير المحدب ، {3,5/2}، بكثافة 7 كما هو موضح في هذا المنظر الشفاف والمقطع العرضي على اليمين.

عمّم إدموند هيس الصيغة الخاصة بالمجسمات النجمية متعددة الأوجه ذات الأوجه المختلفة، والتي قد ينطوي بعضها للخلف فوق بعضها الآخر. وتتوافق قيمة الكثافة الناتجة مع عدد مرات تغطية المجسم الكروي المرتبط به للكرة.

${\displaystyle \sum _{i}d_{vi}v_{i}-e+\sum _{i}d_{fi}f_{i}=2D}$

وقد سمح هذا لكوكسيتر وآخرون بتحديد كثافات غالبية المجسمات متعددة الأوجه المنتظمة ، والتي لها نوع واحد من الرؤوس، وأنواع متعددة من الأوجه. ^{[ 4 ]}

• 
  كثافة منشور ثماني الأضلاع ، ملفوف مرتين، هي 2 ، {8/2}×{}، موضحة هنا بإزاحة الرؤوس للتوضيح. v=16، e=24 _{، f1} = 8 {4}، f2 ₌ 2 {8/2} ، حيث _df1 =1، df2 ₌ 2، dv ₌ 1.
• 
  كثافة منشور خماسي الأضلاع ، {5/2}×{} هي 2. v =10، e=15، f ₁ =5 {4}، f ₂ =2 {5/2}، d _f1 =1، d _f2 =2.

بالنسبة للأشكال متعددة الأوجه النصفية ، التي تمر بعض أوجهها عبر المركز، لا يمكن تعريف الكثافة بهذه الطريقة. كما أن الأشكال متعددة الأوجه غير القابلة للتوجيه لا تمتلك كثافات محددة جيدًا.