الهندسة

الموسوعة الحرة

الهندسة
الإسقاط المجسم من أعلى الكرة إلى المستوى الموجود أسفلها
إسقاط كرة على مستوى​
الفروع
  • المفاهيم
  • سمات
البعد
صفر الأبعاد
أحادي البعد
ثنائي الأبعاد
مثلث
متوازي الأضلاع
رباعي
دائرة
ثلاثي الأبعاد
رباعي الأبعاد / آخر الأبعاد
الهندسة
حسب الاسم
حسب الفترة
قبل الميلاد
1–1400
1400-1700
1700-1900
اليوم الحاضر
  • ف
  • ت
  • هـ
Part of a series on
Mathematics
Areas
Relationship with sciences
Mathematics Portal
  • v
  • t
  • e

الهندسة (من اليونانية القديمة γεωμετρία ( geōmetría )  "قياس الأرض"؛ من γῆ ( gê )  "أرض، أرض" و μέτρον ( métron )  "قياس") [1] هي فرع من فروع الرياضيات يهتم بخصائص الفضاء مثل المسافة والشكل والحجم والموقع النسبي للأشكال. [2] الهندسة، إلى جانب الحساب ، هي واحدة من أقدم فروع الرياضيات. يُطلق على عالم الرياضيات الذي يعمل في مجال الهندسة اسم مُجْسِد . حتى القرن التاسع عشر ، كانت الهندسة مخصصة حصريًا تقريبًا للهندسة الإقليدية ، [ أ] والتي تتضمن مفاهيم النقطة والخط والمستوى والمسافة والزاوية والسطح والمنحنى كمفاهيم أساسية. [3 ]

تم تطوير الهندسة في الأصل لنمذجة العالم المادي، ولها تطبيقات في جميع العلوم تقريبًا، وكذلك في الفن والعمارة وغيرها من الأنشطة المرتبطة بالرسومات. [4] كما أن للهندسة تطبيقات في مجالات الرياضيات التي لا علاقة لها على ما يبدو. على سبيل المثال، تعد أساليب الهندسة الجبرية أساسية في إثبات ويلز لنظرية فيرما الأخيرة ، وهي مشكلة تم طرحها من حيث الحساب الابتدائي ، وظلت دون حل لعدة قرون.

خلال القرن التاسع عشر، أدت العديد من الاكتشافات إلى توسيع نطاق الهندسة بشكل كبير. أحد أقدم هذه الاكتشافات هي نظرية كارل فريدريش جاوس " نظرية رائعة" التي تؤكد تقريبًا أن الانحناء الغاوسي لسطح ما مستقل عن أي تضمين محدد في الفضاء الإقليدي . وهذا يعني أنه يمكن دراسة الأسطح جوهريًا ، أي كمساحات قائمة بذاتها، وقد تم توسيعها لتشمل نظرية المتشعبات والهندسة الريمانية . في وقت لاحق من القرن التاسع عشر، ظهر أنه يمكن تطوير الهندسة بدون فرضية التوازي ( الهندسة غير الإقليدية ) دون إدخال أي تناقض. الهندسة التي تشكل أساس النسبية العامة هي تطبيق مشهور للهندسة غير الإقليدية.

منذ أواخر القرن التاسع عشر، تم توسيع نطاق الهندسة بشكل كبير، وتم تقسيم المجال إلى العديد من المجالات الفرعية التي تعتمد على الأساليب الأساسية - الهندسة التفاضلية ، والهندسة الجبرية ، والهندسة الحسابية ، والطوبولوجيا الجبرية ، والهندسة المنفصلة (المعروفة أيضًا باسم الهندسة التوافقية )، وما إلى ذلك - أو على خصائص الفضاءات الإقليدية التي يتم تجاهلها - الهندسة الإسقاطية التي تأخذ في الاعتبار محاذاة النقاط فقط ولكن ليس المسافة والتوازي، والهندسة التآلفية التي تغفل مفهوم الزاوية والمسافة، والهندسة المحدودة التي تغفل الاستمرارية ، وغيرها. أدى هذا التوسع في نطاق الهندسة إلى تغيير معنى كلمة "الفضاء"، والتي كانت تشير في الأصل إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد للعالم المادي ونموذجه الذي توفره الهندسة الإقليدية؛ حاليًا، الفضاء الهندسي ، أو ببساطة الفضاء هو بنية رياضية يتم من خلالها تعريف بعض الهندسة.

تاريخ

أوروبي وعربي يمارسان الهندسة في القرن الخامس عشر

يمكن تتبع أقدم البدايات المسجلة للهندسة إلى بلاد ما بين النهرين القديمة ومصر في الألفية الثانية قبل الميلاد. [5] [6] كانت الهندسة المبكرة عبارة عن مجموعة من المبادئ المكتشفة تجريبياً فيما يتعلق بالأطوال والزوايا والمساحات والأحجام، والتي تم تطويرها لتلبية بعض الاحتياجات العملية في المسح والبناء وعلم الفلك والحرف المختلفة . أقدم النصوص المعروفة عن الهندسة هي بردية ريند المصرية (2000-1800 قبل الميلاد) وبردية موسكو ( حوالي  1890 قبل الميلاد )، والألواح الطينية البابلية ، مثل بليمبتون 322 (1900 قبل الميلاد). على سبيل المثال، تقدم بردية موسكو صيغة لحساب حجم الهرم المقطوع أو المخروط الناقص . [7] تُظهر الألواح الطينية اللاحقة (350-50 قبل الميلاد) أن علماء الفلك البابليين نفذوا إجراءات شبه منحرف لحساب موضع كوكب المشتري وحركته في فضاء الزمن والسرعة. سبقت هذه الإجراءات الهندسية حاسبات أكسفورد ، بما في ذلك نظرية السرعة المتوسطة ، بأربعة عشر قرنًا. [8] أسس النوبيون القدماء جنوب مصر نظامًا للهندسة يتضمن إصدارات مبكرة من الساعات الشمسية. [9] [10]

في القرن السابع قبل الميلاد، استخدم عالم الرياضيات اليوناني طاليس الملطي الهندسة لحل مشكلات مثل حساب ارتفاع الأهرامات ومسافة السفن من الشاطئ. يُنسب إليه أول استخدام للاستدلال الاستنتاجي المطبق على الهندسة، من خلال استنباط أربع نتائج تكميلية لنظرية طاليس . [11] أسس فيثاغورس مدرسة فيثاغورس ، التي يُنسب إليها أول إثبات لنظرية فيثاغورس ، [12] على الرغم من أن بيان النظرية له تاريخ طويل. [13] [14] طور يودوكسوس (408- حوالي  355 قبل الميلاد ) طريقة الاستنفاد ، والتي سمحت بحساب مساحات وأحجام الأشكال المنحنية، [15] بالإضافة إلى نظرية النسب التي تجنبت مشكلة الأحجام غير القابلة للقياس ، والتي مكنت المهندسين اللاحقين من تحقيق تقدم كبير. حوالي عام 300 قبل الميلاد، أحدث إقليدس ثورة في الهندسة، حيث قدم كتابه العناصر ، والذي يُعتبر على نطاق واسع الكتاب المدرسي الأكثر نجاحًا وتأثيرًا على الإطلاق، [16] صرامة رياضية من خلال الطريقة البديهية وهو أقدم مثال على التنسيق الذي لا يزال مستخدمًا في الرياضيات اليوم، وهو التعريف والبديهية والنظرية والإثبات. على الرغم من أن معظم محتويات العناصر كانت معروفة بالفعل، إلا أن إقليدس رتبها في إطار منطقي واحد متماسك. [17] كان كتاب العناصر معروفًا لجميع المتعلمين في الغرب حتى منتصف القرن العشرين ولا يزال يتم تدريس محتوياته في فصول الهندسة اليوم. [18] استخدم أرخميدس ( حوالي  287-212 قبل الميلاد ) من سيراكيوز بإيطاليا طريقة الاستنفاد لحساب المساحة الموجودة أسفل قوس القطع المكافئ بمجموع سلسلة لا نهائية ، وأعطى تقريبات دقيقة بشكل ملحوظ لـ باي . [19] كما درس الحلزون الذي يحمل اسمه وحصل على صيغ لحجم أسطح الدوران .

امرأة تدرس الهندسة . رسم توضيحي في بداية ترجمة العصور الوسطى لكتاب العناصر لإقليدس ( حوالي عام  1310 ).

كما قدم علماء الرياضيات الهنود العديد من المساهمات المهمة في الهندسة. يحتوي كتاب شاتاباتا براهمانا (القرن الثالث قبل الميلاد) على قواعد لبناءات هندسية طقسية تشبه كتاب سولبا سوترا . [20] وفقًا لـ (هاياشي 2005، ص 363)، تحتوي Śulba Sūtras على "أقدم تعبير لفظي موجود لنظرية فيثاغورس في العالم، على الرغم من أنها كانت معروفة بالفعل للبابليين القدماء. تحتوي على قوائم بثلاثيات فيثاغورس ، [ب] وهي حالات خاصة لمعادلات ديوفانتين . [21] في مخطوطة بخشالي ، هناك عدد قليل من المشكلات الهندسية (بما في ذلك المشكلات المتعلقة بأحجام المواد الصلبة غير المنتظمة). تستخدم مخطوطة بخشالي أيضًا "نظام القيمة المكانية العشرية مع نقطة للصفر". [22] يتضمن كتاب أريابهاتا أريابهاتيا (499) حساب المساحات والأحجام. كتب براهماجوبتا عمله الفلكي براهماسفوتاسيدانتا في عام 628. الفصل 12، الذي يحتوي على 66 بيتًا سنسكريتيًا ، كان ينقسم الفصل الثاني عشر إلى قسمين: "العمليات الأساسية" (بما في ذلك الجذور التكعيبية والكسور والنسبة والتناسب والمقايضة) و"الرياضيات العملية" (بما في ذلك الخليط والمتسلسلات الرياضية والأشكال المستوية ورص الطوب ونشر الأخشاب وتكديس الحبوب). [23] في القسم الأخير، ذكر نظريته الشهيرة حول أقطار الشكل الرباعي الدائري . تضمن الفصل الثاني عشر أيضًا صيغة لمساحة الشكل الرباعي الدائري (تعميم لصيغة هيرون )، بالإضافة إلى وصف كامل للمثلثات النسبية ( أي المثلثات ذات الأضلاع النسبية والمساحات النسبية). [23]

في العصور الوسطى ، ساهمت الرياضيات في الإسلام في العصور الوسطى في تطوير الهندسة، وخاصة الهندسة الجبرية . [24] [25] تصور المهاني (مواليد 853) فكرة تقليص المشاكل الهندسية مثل تكرار المكعب إلى مشاكل في الجبر. [26] تعامل ثابت بن قرة (المعروف باسم ثبيت في اللاتينية ) (836-901) مع العمليات الحسابية المطبقة على نسب الكميات الهندسية، وساهم في تطوير الهندسة التحليلية . [27] وجد عمر الخيام (1048-1131) حلولاً هندسية للمعادلات التكعيبية . [28] كانت نظريات ابن الهيثم (الحسن) وعمر الخيام ونصير الدين الطوسي حول الأشكال الرباعية ، بما في ذلك رباعي لامبرت ورباعي ساكيري ، جزءًا من خط بحث حول فرضية التوازي استمر من قبل علماء الهندسة الأوروبيين اللاحقين، بما في ذلك فيتيلو ( حوالي  1230  - حوالي  1314 )، وجرسونيدس (1288-1344)، وألفونسو، وجون واليس ، وجيوفاني جيرولامو ساكيري ، والذي أدى بحلول القرن التاسع عشر إلى اكتشاف الهندسة الزائدية . [29]

في أوائل القرن السابع عشر، كان هناك تطوران مهمان في الهندسة. الأول كان إنشاء الهندسة التحليلية، أو الهندسة بالإحداثيات والمعادلات ، بواسطة رينيه ديكارت (1596-1650) وبيير دي فيرما (1601-1665). [30] كان هذا بمثابة مقدمة ضرورية لتطوير حساب التفاضل والتكامل وعلم الفيزياء الكمي الدقيق . [31] كان التطور الهندسي الثاني في هذه الفترة هو الدراسة المنهجية للهندسة الإسقاطية بواسطة جيرارد ديسارج (1591-1661). [32] تدرس الهندسة الإسقاطية خصائص الأشكال التي لا تتغير تحت الإسقاطات والمقاطع ، وخاصة فيما يتعلق بالمنظور الفني . [ 33]

لقد غير تطوران في الهندسة في القرن التاسع عشر الطريقة التي تمت دراستها بها سابقًا. [34] كان هذان التطوران اكتشاف الأشكال الهندسية غير الإقليدية بواسطة نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي ويانوس بولياي وكارل فريدريش جاوس وصياغة التناظر باعتباره الاعتبار المركزي في برنامج إرلانجن لفيليكس كلاين (الذي عمم الأشكال الهندسية الإقليدية وغير الإقليدية). كان اثنان من كبار المهندسين في ذلك الوقت هما برنهارد ريمان (1826-1866)، الذي عمل بشكل أساسي بأدوات من التحليل الرياضي ، وقدم سطح ريمان ، وهنري بوانكاريه ، مؤسس الطوبولوجيا الجبرية والنظرية الهندسية للأنظمة الديناميكية . ونتيجة لهذه التغييرات الكبرى في مفهوم الهندسة، أصبح مفهوم " الفضاء " شيئًا غنيًا ومتنوعًا، والخلفية الطبيعية لنظريات مختلفة مثل التحليل المعقد والميكانيكا الكلاسيكية . [35]

المفاهيم الرئيسية

وفيما يلي بعض أهم المفاهيم في الهندسة. [3] [36]

البديهيات

رسم توضيحي لمبدأ التوازي لإقليدس

اتخذ إقليدس نهجًا تجريديًا للهندسة في كتابه "العناصر" ، [37] أحد أكثر الكتب تأثيرًا على الإطلاق. [38] قدم إقليدس بعض البديهيات أو المسلمات التي تعبر عن خصائص أولية أو بديهية للنقط والخطوط والمستويات. [39] ثم شرع في استنتاج خصائص أخرى بدقة من خلال التفكير الرياضي. كانت السمة المميزة لنهج إقليدس في الهندسة هي صرامتها، وقد أصبحت تُعرف باسم الهندسة البديهية أو التركيبية . [40] في بداية القرن التاسع عشر، أدى اكتشاف الأشكال الهندسية غير الإقليدية بواسطة نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي (1792-1856)، ويانوس بولياي (1802-1860)، وكارل فريدريش جاوس (1777-1855) وآخرين [41] إلى إحياء الاهتمام بهذا التخصص، وفي القرن العشرين، استخدم ديفيد هيلبرت (1862-1943) التفكير البديهي في محاولة لتوفير أساس حديث للهندسة. [42]

المساحات والمساحات الفرعية

نقاط

تعتبر النقاط بشكل عام أشياء أساسية لبناء الهندسة. يمكن تعريفها بالخصائص التي يجب أن تتمتع بها، كما في تعريف إقليدس بأنها "ما ليس له جزء"، [43] أو في الهندسة التركيبية . في الرياضيات الحديثة، يتم تعريفها بشكل عام كعناصر لمجموعة تسمى الفضاء ، والتي يتم تعريفها بديهيًا .

وبموجب هذه التعريفات الحديثة، يتم تعريف كل شكل هندسي كمجموعة من النقاط؛ وهذا ليس هو الحال في الهندسة التركيبية، حيث يعتبر الخط كائنًا أساسيًا آخر لا يُنظر إليه كمجموعة من النقاط التي يمر بها.

ومع ذلك، هناك هندسات حديثة حيث النقاط ليست أشياء بدائية، أو حتى بدون نقاط. [44] [45] واحدة من أقدم هذه الهندسات هي هندسة وايتهايد الخالية من النقاط ، والتي صاغها ألفريد نورث وايتهايد في عامي 1919-1920.

خطوط

وصف إقليدس الخط بأنه "طول بلا عرض" والذي "يقع بالتساوي بالنسبة للنقاط على نفسه". [43] في الرياضيات الحديثة، نظرًا لتعدد الأشكال الهندسية، يرتبط مفهوم الخط ارتباطًا وثيقًا بالطريقة التي يتم بها وصف الهندسة. على سبيل المثال، في الهندسة التحليلية ، غالبًا ما يتم تعريف الخط في المستوى على أنه مجموعة النقاط التي تلبي إحداثياتها معادلة خطية معينة ، [46] ولكن في إطار أكثر تجريدًا، مثل هندسة السقوط ، قد يكون الخط كائنًا مستقلاً ومتميزًا عن مجموعة النقاط التي تقع عليه. [47] في الهندسة التفاضلية، الجيوديسية هي تعميم لمفهوم الخط إلى المساحات المنحنية . [48]

طائرات

في الهندسة الإقليدية، المستوى هو سطح مستوٍ ثنائي الأبعاد يمتد إلى ما لا نهاية؛ [43] التعاريف الخاصة بأنواع أخرى من الهندسة هي تعميمات لذلك. تُستخدم المستويات في العديد من مجالات الهندسة. على سبيل المثال، يمكن دراسة المستويات كسطح طوبولوجي دون الرجوع إلى المسافات أو الزوايا؛ [49] يمكن دراستها كمساحة أفينية ، حيث يمكن دراسة التوازي والنسب ولكن ليس المسافات؛ [50] يمكن دراستها كمستوى مركب باستخدام تقنيات التحليل المركب ؛ [51] وما إلى ذلك.

المنحنيات

المنحنى هو جسم أحادي البعد قد يكون مستقيمًا (مثل الخط) أو لا يكون كذلك؛ وتسمى المنحنيات في الفضاء ثنائي الأبعاد منحنيات مستوية وتسمى المنحنيات في الفضاء ثلاثي الأبعاد منحنيات فضائية . [52]

في الطوبولوجيا، يتم تعريف المنحنى بواسطة دالة من فاصل الأعداد الحقيقية إلى مساحة أخرى. [49] في الهندسة التفاضلية، يتم استخدام نفس التعريف، ولكن يجب أن تكون الدالة المحددة قابلة للاشتقاق. [53] تدرس الهندسة الجبرية المنحنيات الجبرية ، والتي يتم تعريفها على أنها أصناف جبرية من البعد الأول. [54]

الأسطح

الكرة هي سطح يمكن تعريفه معامليًا (بواسطة x = r sin θ cos φ ، y = r sin θ sin φ ، z = r cos θ ) أو ضمنيًا (بواسطة x 2 + y 2 + z 2 − r 2 = 0 ).

السطح هو جسم ثنائي الأبعاد، مثل الكرة أو المكافئ. [55] في الهندسة التفاضلية [53] والطوبولوجيا ، [49] يتم وصف الأسطح بواسطة "رقع" ثنائية الأبعاد (أو أحياء ) يتم تجميعها بواسطة التماثلات التفاضلية أو التماثلات المتجانسة ، على التوالي. في الهندسة الجبرية، يتم وصف الأسطح بواسطة معادلات متعددة الحدود . [54]

المواد الصلبة

في الفضاء الإقليدي ، الكرة هي الحجم المحدد بواسطة كرة.

الجسم الصلب هو جسم ثلاثي الأبعاد محدد بسطح مغلق؛ على سبيل المثال، الكرة هي الحجم المحدد بواسطة كرة.

متشعبات

متعدد الشعب هو تعميم لمفاهيم المنحنى والسطح. في الطوبولوجيا ، متعدد الشعب هو فضاء طوبولوجي حيث كل نقطة لها جوار متماثل مع الفضاء الإقليدي. [49] في الهندسة التفاضلية ، متعدد الشعب القابل للاشتقاق هو فضاء حيث كل جوار متماثل مع الفضاء الإقليدي. [53]

تُستخدم المتشعبات على نطاق واسع في الفيزياء، بما في ذلك النسبية العامة ونظرية الأوتار . [56]

الزوايا

الزوايا الحادة (أ) والمنفرجة (ب) والمستقيمة (ج). تُعرف الزوايا الحادة والمنفرجة أيضًا بالزوايا المائلة.

يُعرِّف إقليدس الزاوية المستوية بأنها ميل خطين متقابلين في مستوى، ولا يستقيمان بالنسبة لبعضهما البعض. [43] وفي المصطلحات الحديثة، الزاوية هي الشكل الذي يتكون من شعاعين ، يُطلق عليهما ضلعي الزاوية، ويشتركان في نقطة نهاية مشتركة تسمى رأس الزاوية. [57] يتم صياغة حجم الزاوية كمقياس زاوي .

في الهندسة الإقليدية ، تُستخدم الزوايا لدراسة المضلعات والمثلثات ، فضلاً عن تشكيل موضوع للدراسة في حد ذاتها. [43] تشكل دراسة زوايا المثلث أو الزوايا في الدائرة الوحدوية أساس علم المثلثات . [58]

في الهندسة التفاضلية وحساب التفاضل والتكامل ، يمكن حساب الزوايا بين منحنيات المستوى أو منحنيات الفضاء أو الأسطح باستخدام المشتق . [59] [60]

القياسات: الطول والمساحة والحجم

يصف الطول والمساحة والحجم حجم أو مدى جسم في بعد واحد، وبعدين، وثلاثة أبعاد على التوالي. [ 61 ]

في الهندسة الإقليدية والهندسة التحليلية ، يمكن غالبًا حساب طول القطعة المستقيمة بواسطة نظرية فيثاغورس . [62]

يمكن تعريف المساحة والحجم ككميات أساسية منفصلة عن الطول، أو يمكن وصفها وحسابها من حيث الأطوال في مستوى أو فضاء ثلاثي الأبعاد. [61] وجد علماء الرياضيات العديد من الصيغ الصريحة للمساحة وصيغ لحجم الأجسام الهندسية المختلفة. في حساب التفاضل والتكامل، يمكن تعريف المساحة والحجم من حيث التكاملات ، مثل تكامل ريمان [63] أو تكامل ليبيج . [64]

تشمل المقاييس الهندسية الأخرى الانحناء والاكتناز .

المقاييس والمقاييس

التحقق البصري من نظرية فيثاغورس للمثلث (3، 4، 5) كما في زوبي سوانجينغ 500-200 قبل الميلاد. نظرية فيثاغورس هي نتيجة للنظام المتري الإقليدي .

يمكن تعميم مفهوم الطول أو المسافة، مما يؤدي إلى فكرة القياسات . [65] على سبيل المثال، يقيس القياس الإقليدي المسافة بين النقاط في المستوى الإقليدي ، بينما يقيس القياس الزائدي المسافة في المستوى الزائدي . تشمل الأمثلة المهمة الأخرى للقياسات مقياس لورنتز للنسبية الخاصة والقياسات شبه الريمانية للنسبية العامة . [66]

في اتجاه مختلف ، يتم توسيع مفاهيم الطول والمساحة والحجم من خلال نظرية القياس ، والتي تدرس طرق تعيين الحجم أو القياس للمجموعات ، حيث تتبع القياسات قواعد مماثلة لتلك الخاصة بالمساحة والحجم الكلاسيكيين. [67]

التطابق والتشابه

التطابق والتشابه مفهومان يصفان متى يكون لشكلين خصائص متشابهة. [68] في الهندسة الإقليدية، يستخدم التشابه لوصف الأشياء التي لها نفس الشكل، بينما يستخدم التطابق لوصف الأشياء التي لها نفس الحجم والشكل. [69] عالج هيلبرت ، في عمله على إنشاء أساس أكثر صرامة للهندسة، التطابق كمصطلح غير محدد يتم تعريف خصائصه من خلال البديهيات .

يتم تعميم التطابق والتشابه في هندسة التحويل ، والتي تدرس خصائص الأجسام الهندسية التي يتم الحفاظ عليها من خلال أنواع مختلفة من التحويلات. [70]

إنشاءات البوصلة والمسطرة

اهتم علماء الهندسة الكلاسيكيون بشكل خاص ببناء الأجسام الهندسية التي تم وصفها بطريقة أخرى. كلاسيكيًا، كانت الأدوات الوحيدة المستخدمة في معظم الإنشاءات الهندسية هي البوصلة والمسطرة . [ج] أيضًا، كان لابد أن يكتمل كل إنشاء في عدد محدود من الخطوات. ومع ذلك ، تبين أن بعض المشكلات يصعب حلها أو يستحيل حلها بهذه الوسائل وحدها، وتم العثور على إنشاءات بارعة باستخدام النيوسيس والمكافئات والمنحنيات الأخرى أو الأجهزة الميكانيكية.

الدوران والتوجيه

إن المفاهيم الهندسية للدوران والتوجيه تحدد جزءًا من وضع الأشياء المضمنة في المستوى أو في الفضاء.

البعد

ندفة الثلج كوش ، ذات البعد الكسري =log4/log3 والبعد الطوبولوجي =1

سمحت الهندسة التقليدية بالأبعاد 1 ( خط أو منحنى)، و2 ( مستوي أو سطح)، و3 (عالمنا المحيط الذي يُتصور على أنه فضاء ثلاثي الأبعاد ). وعلاوة على ذلك، استخدم علماء الرياضيات والفيزياء أبعادًا أعلى منذ ما يقرب من قرنين من الزمان. [71] ومن الأمثلة على الاستخدام الرياضي للأبعاد الأعلى مساحة التكوين لنظام فيزيائي، والتي لها بُعد يساوي درجات حرية النظام . على سبيل المثال، يمكن وصف تكوين المسمار بخمسة إحداثيات. [72]

في الطوبولوجيا العامة ، تم توسيع مفهوم البعد من الأعداد الطبيعية إلى البعد اللانهائي ( مساحات هيلبرت ، على سبيل المثال) والأعداد الحقيقية الموجبة (في الهندسة الكسورية ). [73] في الهندسة الجبرية ، تلقى بُعد التنوع الجبري عددًا من التعريفات المختلفة ظاهريًا، والتي تكون جميعها متكافئة في الحالات الأكثر شيوعًا. [74]

التماثل

تبليط المستوى الزائدي​

إن موضوع التناظر في الهندسة قديم قدم علم الهندسة نفسه تقريبًا. [75] كانت الأشكال المتماثلة مثل الدائرة والمضلعات المنتظمة والأشكال الأفلاطونية ذات أهمية عميقة للعديد من الفلاسفة القدماء [76] وتم التحقيق فيها بالتفصيل قبل زمن إقليدس. [39] تحدث الأنماط المتماثلة في الطبيعة وتم تقديمها فنياً في أشكال متعددة، بما في ذلك رسومات ليوناردو دافنشي ، وم. سي. إيشر ، وغيرهما. [77] في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، خضعت العلاقة بين التناظر والهندسة لتدقيق مكثف. أعلن برنامج إرلانجن لفيليكس كلاين أنه بمعنى دقيق للغاية، فإن التناظر، المعبر عنه من خلال مفهوم مجموعة التحويل ، يحدد ماهية الهندسة . [78] يتم تمثيل التناظر في الهندسة الإقليدية الكلاسيكية من خلال التطابقات والحركات الصلبة، بينما في الهندسة الإسقاطية تلعب عمليات التجميع والتحويلات الهندسية التي تأخذ الخطوط المستقيمة إلى خطوط مستقيمة دورًا مماثلًا. [79] ومع ذلك، فقد كان في الهندسة الجديدة لبولياي ولوباتشيفسكي وريمان وكليفورد وكلاين وسوفوس لي أن فكرة كلاين "لتعريف الهندسة من خلال مجموعة التناظر الخاصة بها " وجدت إلهامها. [80] تلعب كل من التناظرات المنفصلة والمتصلة أدوارًا بارزة في الهندسة، الأولى في الطوبولوجيا ونظرية المجموعة الهندسية ، [81] [82] والثانية في نظرية لي والهندسة الريمانية . [83] [84]

نوع مختلف من التناظر هو مبدأ الثنائية في الهندسة الإسقاطية ، من بين مجالات أخرى. يمكن وصف هذه الظاهرة الفوقية تقريبًا على النحو التالي: في أي نظرية ، نقطة التبادل مع المستوى ، الانضمام مع الالتقاء ، تقع في مع تحتوي على ، والنتيجة هي نظرية صحيحة بنفس القدر. [85] يوجد شكل مماثل ومرتبط ارتباطًا وثيقًا بالثنائية بين فضاء المتجه وفضائه المزدوج . [86]

الهندسة المعاصرة

الهندسة الإقليدية

الهندسة الإقليدية هي الهندسة بالمعنى الكلاسيكي. [87] نظرًا لأنها تنمذج مساحة العالم المادي، فإنها تُستخدم في العديد من المجالات العلمية، مثل الميكانيكا ، وعلم الفلك ، وعلم البلورات ، [88] والعديد من المجالات التقنية، مثل الهندسة ، [ 89] والعمارة ، [90] والمساحة ، [91] والديناميكا الهوائية ، [ 92] والملاحة . [ 93 ] يشمل المنهج التعليمي الإلزامي لغالبية الدول دراسة المفاهيم الإقليدية مثل النقاط والخطوط والمستويات والزوايا والمثلثات والتطابق والتشابه والأشكال الصلبة والدوائر والهندسة التحليلية . [ 94 ]

متجهات إقليدية

تُستخدم المتجهات الإقليدية في عدد لا يحصى من التطبيقات في الفيزياء والهندسة، مثل الموضع ، والإزاحة ، والتشوه ، والسرعة ، والتسارع ، والقوة ، وما إلى ذلك.

الهندسة التفاضلية

تستخدم الهندسة التفاضلية أدوات حساب التفاضل والتكامل لدراسة المشاكل التي تتضمن الانحناء.

تستخدم الهندسة التفاضلية تقنيات حساب التفاضل والتكامل والجبر الخطي لدراسة المشكلات في الهندسة. [95] ولها تطبيقات في الفيزياء ، [96] والاقتصاد القياسي ، [97] وعلم المعلومات الحيوية ، [98] وغيرها.

على وجه الخصوص، الهندسة التفاضلية لها أهمية في الفيزياء الرياضية بسبب فرضية النسبية العامة لألبرت أينشتاين بأن الكون منحني . [99] يمكن أن تكون الهندسة التفاضلية إما جوهرية (بمعنى أن المساحات التي تعتبرها عبارة عن متشعبات ناعمة يحكم بنيتها الهندسية مقياس ريماني ، والذي يحدد كيفية قياس المسافات بالقرب من كل نقطة) أو خارجية (حيث يكون الكائن قيد الدراسة جزءًا من بعض الفضاء الإقليدي المسطح المحيط). [100]

الهندسة غير الإقليدية

سلوك الخطوط ذات العمود المشترك في كل من أنواع الهندسة الثلاثة
في الرياضيات ، تتكون الهندسة غير الإقليدية من هندستين مبنيتين على مسلمات وثيقة الصلة بتلك التي تحدد الهندسة الإقليدية . ونظرًا لأن الهندسة الإقليدية تقع عند تقاطع الهندسة المترية والهندسة الإهليلجية ، فإن الهندسة غير الإقليدية تنشأ إما عن طريق استبدال مسلمة التوازي بمسلمة بديلة، أو تخفيف المتطلب المتري. وفي الحالة الأولى، نحصل على الهندسة الزائدية والهندسة الإهليلجية ، وهما الهندستان غير الإقليديتان التقليديتان. وعندما يتم تخفيف المتطلب المتري، توجد مستويات إهليلجية مرتبطة بالجبر المستوي، والتي تؤدي إلى ظهور هندسات حركية تسمى أيضًا بالهندسة غير الإقليدية.

الطوبولوجيا

سماكة عقدة البرسيم

الطوبولوجيا هي المجال المعني بخصائص التعيينات المستمرة ، [ 101 ] ويمكن اعتبارها تعميمًا للهندسة الإقليدية. [102] في الممارسة العملية، غالبًا ما تعني الطوبولوجيا التعامل مع خصائص واسعة النطاق للمساحات، مثل الاتصال والاكتناز . [49]

مجال الطوبولوجيا، الذي شهد تطورًا هائلاً في القرن العشرين، هو من الناحية الفنية نوع من هندسة التحويل ، حيث تكون التحويلات عبارة عن تماثلات . [103] غالبًا ما تم التعبير عن هذا في شكل القول "الطوبولوجيا هي هندسة صفائح المطاط". تشمل المجالات الفرعية للطوبولوجيا الطوبولوجيا الهندسية والطوبولوجيا التفاضلية والطوبولوجيا الجبرية والطوبولوجيا العامة . [104]

الهندسة الجبرية

خماسي كالابي -ياو ثلاثي

الهندسة الجبرية هي في الأساس دراسة بعض الأشكال الهندسية باستخدام الطرق الجبرية ، والتي تسمى المجموعات الجبرية ، والتي تُعرف بأنها أصفار مشتركة لمتعددات الحدود المتعددة المتغيرات . [105] أصبحت الهندسة الجبرية مجالًا فرعيًا مستقلاً للهندسة حوالي  عام 1900 ، مع نظرية تسمى Nullstellensatz لهيلبرت والتي تؤسس لمراسلات قوية بين المجموعات الجبرية ومثاليات حلقات متعددة الحدود . أدى هذا إلى تطور موازٍ للهندسة الجبرية ونظيرتها الجبرية، والتي تسمى الجبر التبادلي . [106] من أواخر الخمسينيات وحتى منتصف السبعينيات، خضعت الهندسة الجبرية لتطور أساسي كبير، مع تقديم ألكسندر جروثينديك لنظرية المخطط ، والتي تسمح باستخدام الأساليب الطوبولوجية ، بما في ذلك نظريات التماثل في سياق جبري بحت. [106] سمحت نظرية المخطط بحل العديد من المشكلات الصعبة ليس فقط في الهندسة، بل وأيضًا في نظرية الأعداد . يُعد إثبات وايلز لنظرية فيرما الأخيرة مثالًا شهيرًا لمشكلة قائمة منذ فترة طويلة في نظرية الأعداد والتي يستخدم حلها نظرية المخطط وامتداداتها مثل نظرية المكدس . تعد إحدى مشكلات جائزة الألفية السبع ، تخمين هودج ، سؤالاً في الهندسة الجبرية. [107]

للهندسة الجبرية تطبيقات في العديد من المجالات، بما في ذلك التشفير [108] ونظرية الأوتار . [109]

الهندسة المعقدة

تدرس الهندسة المعقدة طبيعة الهياكل الهندسية المصممة على المستوى المعقد أو الناشئة عنه . [110] [111] [112] تقع الهندسة المعقدة عند تقاطع الهندسة التفاضلية والهندسة الجبرية وتحليل العديد من المتغيرات المعقدة ، وقد وجدت تطبيقات في نظرية الأوتار وتناظر المرآة . [113]

ظهرت الهندسة المعقدة لأول مرة كمجال مميز للدراسة في عمل برنهارد ريمان في دراسته لأسطح ريمان . [114] [115] [116] تم تنفيذ العمل بروح ريمان من قبل المدرسة الإيطالية للهندسة الجبرية في أوائل القرن العشرين. بدأ العلاج المعاصر للهندسة المعقدة بعمل جان بيير سير ، الذي قدم مفهوم الحزم للموضوع، وألقى الضوء على العلاقات بين الهندسة المعقدة والهندسة الجبرية. [117] [118] الأهداف الأساسية للدراسة في الهندسة المعقدة هي المتشعبات المعقدة ، والأصناف الجبرية المعقدة ، والأصناف التحليلية المعقدة ، وحزم المتجهات الهولومورفية والحزم المتماسكة فوق هذه المساحات. تشمل الأمثلة الخاصة للمساحات التي تمت دراستها في الهندسة المعقدة أسطح ريمان، ومتشعبات كالابي-ياو ، وتجد هذه المساحات استخدامات في نظرية الأوتار. على وجه الخصوص، يتم نمذجة صفائح العالم من الأوتار بواسطة أسطح ريمان، وتتنبأ نظرية الأوتار الفائقة بأن الأبعاد الستة الإضافية من الزمكان ذي الأبعاد العشرة يمكن نمذجةها بواسطة متشعبات كالابي-ياو.

الهندسة المنفصلة

تتضمن الهندسة المنفصلة دراسة مجموعات المجالات المختلفة .

الهندسة المنفصلة هي موضوع له ارتباطات وثيقة بالهندسة المحدبة . [119] [120] [121] وهي تهتم بشكل أساسي بمسائل الموضع النسبي للأجسام الهندسية البسيطة، مثل النقاط والخطوط والدوائر. تشمل الأمثلة دراسة حزم الكرات ، والتثليثات ، وتخمين كنيسر-بولسن، وما إلى ذلك. [122] [123] وهي تشترك في العديد من الأساليب والمبادئ مع التركيبات .

الهندسة الحسابية

تتعامل الهندسة الحسابية مع الخوارزميات وتطبيقاتها لمعالجة الأشكال الهندسية. ومن المشكلات المهمة تاريخيًا مشكلة بائع السفر ، وأشجار الامتداد الدنيا ، وإزالة الخطوط المخفية ، والبرمجة الخطية . [124]

على الرغم من كونها مجالًا جديدًا في الهندسة، إلا أنها لها العديد من التطبيقات في مجال الرؤية الحاسوبية ، ومعالجة الصور ، والتصميم بمساعدة الكمبيوتر ، والتصوير الطبي ، وما إلى ذلك. [125]

نظرية المجموعة الهندسية

رسم كايلي للمجموعة الحرة في المولدين أ و ب

تستخدم نظرية المجموعة الهندسية تقنيات هندسية واسعة النطاق لدراسة المجموعات المولدة بشكل محدود . [126] وهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بطوبولوجيا الأبعاد المنخفضة ، كما هو الحال في إثبات جريجوري بيرلمان لتخمين الهندسة ، والذي تضمن إثبات تخمين بوانكاريه ، وهي مشكلة جائزة الألفية . [127]

تدور نظرية المجموعة الهندسية غالبًا حول رسم كايلي ، وهو تمثيل هندسي للمجموعة. تشمل الموضوعات المهمة الأخرى شبه المتماثلات ، ومجموعات جروموف الزائدية ، ومجموعات أرتين قائمة الزاوية . [126] [128]

هندسة محدبة

تدرس الهندسة المحدبة الأشكال المحدبة في الفضاء الإقليدي ونظائره الأكثر تجريدًا، وغالبًا ما تستخدم تقنيات التحليل الحقيقي والرياضيات المنفصلة . [129] ولها صلات وثيقة بالتحليل المحدب والتحسين والتحليل الوظيفي وتطبيقات مهمة في نظرية الأعداد .

يعود تاريخ الهندسة المحدبة إلى العصور القديمة. [ 129] أعطى أرخميدس أول تعريف دقيق معروف للتحدب. كما درس الإغريق أيضًا مشكلة تساوي المحيط ، وهو مفهوم متكرر في الهندسة المحدبة، بما في ذلك زينودوروس . درس أرخميدس وأفلاطون وإقليدس ولاحقًا كبلر وكوكسيتر متعددات السطوح المحدبة وخصائصها. منذ القرن التاسع عشر فصاعدًا، درس علماء الرياضيات مجالات أخرى من الرياضيات المحدبة، بما في ذلك متعددات السطوح ذات الأبعاد الأعلى ، وحجم ومساحة سطح الأجسام المحدبة، والانحناء الغاوسي ، والخوارزميات ، والبلاط والشبكات .

التطبيقات

لقد وجدت الهندسة تطبيقات في العديد من المجالات، وبعضها موصوف أدناه.

فن

المدرسة البوعنانية، فاس، المغرب، بلاط فسيفساء الزليج يشكل فسيفساء هندسية متقنة

ترتبط الرياضيات والفن بطرق متنوعة. على سبيل المثال، أظهرت نظرية المنظور أن الهندسة تتضمن أكثر من مجرد الخصائص المترية للأشكال: المنظور هو أصل الهندسة الإسقاطية . [130]

لقد استخدم الفنانون منذ فترة طويلة مفاهيم النسب في التصميم. فقد طور فيتروفيوس نظرية معقدة للنسب المثالية للشكل البشري. [131] وقد استخدم هذه المفاهيم وقام بتكييفها فنانون من مايكل أنجلو إلى فناني القصص المصورة المعاصرين. [132]

النسبة الذهبية هي نسبة معينة لعبت دورًا مثيرًا للجدل في الفن. غالبًا ما يُزعم أنها النسبة الأكثر جمالًا بين الأطوال، وكثيرًا ما يُقال إنها مدمجة في الأعمال الفنية الشهيرة، على الرغم من أن الأمثلة الأكثر موثوقية ووضوحًا تم صنعها عمدًا من قبل فنانين على دراية بهذه الأسطورة. [133]

لقد تم استخدام البلاط أو التبليط في الفن عبر التاريخ. يستخدم الفن الإسلامي التبليط بشكل متكرر، كما فعل فن إم سي إيشر . [134] كما استخدم إيشر الهندسة الزائدية في أعماله .

طرح سيزان نظرية مفادها أنه يمكن بناء جميع الصور من الكرة والمخروط والأسطوانة . ولا تزال هذه النظرية مستخدمة في نظرية الفن اليوم، على الرغم من أن القائمة الدقيقة للأشكال تختلف من مؤلف إلى آخر. [135] [ 136]

بنيان

للهندسة العديد من التطبيقات في الهندسة المعمارية. في الواقع، قيل أن الهندسة تكمن في صميم التصميم المعماري. [137] [138] تشمل تطبيقات الهندسة في الهندسة المعمارية استخدام الهندسة الإسقاطية لإنشاء منظور قسري ، [139] واستخدام المقاطع المخروطية في بناء القباب والأشياء المماثلة، [90] واستخدام التبليط ، [90] واستخدام التناظر. [90]

الفيزياء

لقد كان مجال علم الفلك ، وخاصة فيما يتعلق برسم خرائط مواقع النجوم والكواكب على الكرة السماوية ووصف العلاقة بين حركات الأجرام السماوية، بمثابة مصدر مهم للمشاكل الهندسية عبر التاريخ. [ 140]

تُستخدم الهندسة الريمانية والهندسة شبه الريمانية في النسبية العامة . [141] وتستخدم نظرية الأوتار العديد من المتغيرات للهندسة، [142] كما تفعل نظرية المعلومات الكمومية . [143]

مجالات أخرى في الرياضيات

اكتشف فيثاغورس أن أضلاع المثلث قد يكون لها أطوال غير قابلة للقياس .

تأثر حساب التفاضل والتكامل بشدة بالهندسة. [30] على سبيل المثال، كان إدخال الإحداثيات بواسطة رينيه ديكارت والتطورات المتزامنة للجبر بمثابة مرحلة جديدة للهندسة، حيث يمكن الآن تمثيل الأشكال الهندسية مثل المنحنيات المستوية تحليليًا في شكل وظائف ومعادلات. لعب هذا دورًا رئيسيًا في ظهور حساب التفاضل والتكامل اللانهائي في القرن السابع عشر. لا تزال الهندسة التحليلية تشكل ركيزة أساسية لمنهج ما قبل حساب التفاضل والتكامل وحساب التفاضل والتكامل. [144] [145]

مجال تطبيق مهم آخر هو نظرية الأعداد . [146] في اليونان القديمة، نظر الفيثاغورسيون في دور الأعداد في الهندسة. ومع ذلك، فإن اكتشاف الأطوال غير القابلة للقياس يتناقض مع وجهات نظرهم الفلسفية. [147] منذ القرن التاسع عشر، تم استخدام الهندسة لحل المشكلات في نظرية الأعداد، على سبيل المثال من خلال هندسة الأعداد أو، مؤخرًا، نظرية المخطط ، والتي تستخدم في إثبات ويلز لنظرية فيرما الأخيرة . [148]

انظر أيضا

القوائم
مواضيع ذات صلة
تطبيقات أخرى

ملحوظات

  1. ^ حتى القرن التاسع عشر، كان الافتراض القائل بأن جميع الإنشاءات الهندسية إقليدية يهيمن على الهندسة. وفي القرن التاسع عشر وما بعده، واجه هذا الافتراض تحديًا من خلال تطوير الهندسة الزائدية بواسطة لوباتشيفسكي وهندسة أخرى غير إقليدية بواسطة جاوس وآخرين. ثم أدركنا أن الهندسة غير الإقليدية ضمناً ظهرت عبر التاريخ، بما في ذلك عمل ديسارج في القرن السابع عشر، وصولاً إلى الاستخدام الضمني للهندسة الكروية لفهم مساحة الأرض والملاحة في المحيطات منذ العصور القديمة.
  2. ^ ثلاثيات فيثاغورس هي ثلاثيات من الأعداد الصحيحة ذات الخاصية: . وبالتالي، ، ، إلخ.
  3. ^ كان لدى الإغريق القدماء بعض الإنشاءات باستخدام أدوات أخرى.

مراجع

  1. ^ "الهندسة - الصيغ والأمثلة | الهندسة المستوية والصلبة". Cuemath . تم الاسترجاع في 31 أغسطس 2023 .
  2. ^ فينسينزو دي ريسي (2015). الفضاء الرياضي: أغراض الهندسة من العصور القديمة إلى العصر الحديث المبكر. بيركهاوزر. ص. 1–. ISBN 978-3-319-12102-4. مؤرشف من الأصل في 20 فبراير 2021 . استرجاع 14 سبتمبر 2019 .
  3. ^ ab Tabak, John (2014). الهندسة: لغة الفضاء والشكل . Infobase Publishing. ص. xiv. ISBN 978-0-8160-4953-0.
  4. ^ والتر أ. ماير (2006). الهندسة وتطبيقاتها. إلسفير. رقم ISBN 978-0-08-047803-6. تم أرشفة النسخة الأصلية في 1 سبتمبر 2021 . تم استرجاعه في 14 سبتمبر 2019 .
  5. ^ فريبيرج، يوران (1981). "طرق وتقاليد الرياضيات البابلية". تاريخ الرياضيات . 8 (3): 277-318. doi : 10.1016/0315-0860(81)90069-0 .
  6. ^ Neugebauer, Otto (1969) [1957]. "الفصل الرابع: الرياضيات والفلك المصري". العلوم الدقيقة في العصور القديمة (الطبعة الثانية). منشورات دوفر . ص 71-96. رقم ISBN 978-0-486-22332-2. تم أرشفة النسخة الأصلية في 14 أغسطس 2020 . تم استرجاعها في 27 فبراير 2021 ..
  7. ^ (بوير 1991، "مصر" ص 19)
  8. ^ أوسيندريفر، ماثيو (29 يناير 2016). "علماء الفلك البابليون القدماء حسبوا موضع المشتري من المنطقة الواقعة تحت رسم بياني للزمن والسرعة". ساينس . 351 (6272): 482–484. رمز Bibcode :2016Sci...351..482O. doi :10.1126/science.aad8085. PMID  26823423. S2CID  206644971.
  9. ^ ديبويت، ليو (1 يناير 1998). "المزامير في مروي وعلم المثلثات المبكر". مجلة الآثار المصرية . 84 : 171-180. doi :10.2307/3822211. JSTOR  3822211.
  10. ^ Slayman, Andrew (27 May 1998). "Neolithic Skywatchers". Archaeology Magazine Archive . مؤرشف من الأصل في 5 يونيو 2011 . تم الاسترجاع في 17 أبريل 2011 .
  11. ^ (بوير 1991، "إيونيا والفيثاغورسيون" ص 43)
  12. ^ إيفز، هوارد، مقدمة لتاريخ الرياضيات ، سوندرز، 1990، ISBN 0-03-029558-0 . 
  13. ^ كورت فون فريتز (1945). "اكتشاف عدم قابلية القياس بواسطة هيباسوس من ميتابونتوم". كلاسيكيات في تاريخ الرياضيات اليونانية . حوليات الرياضيات؛ دراسات بوسطن في فلسفة العلوم. المجلد 240. ص 211-231. doi :10.1007/978-1-4020-2640-9_11. ISBN 978-90-481-5850-8. JSTOR  1969021.
  14. ^ جيمس ر. تشويكي (1980). "النجمة الخماسية واكتشاف عدد غير نسبي". مجلة الرياضيات الجامعية لمدة عامين . 11 (5): 312-316. doi :10.2307/3026893. JSTOR  3026893. مؤرشف من الأصل في 9 سبتمبر 2022. تم الاسترجاع في 9 سبتمبر 2022 .
  15. ^ (بوير 1991، "عصر أفلاطون وأرسطو" ص 92)
  16. ^ (بوير 1991، "إقليدس الإسكندري" ص 119)
  17. ^ (بوير 1991، "إقليدس الإسكندري" ص 104)
  18. ^ هوارد إيفز ، مقدمة لتاريخ الرياضيات ، سوندرز، 1990، ISBN 0-03-029558-0 ص 141: " لم يتم استخدام أي عمل، باستثناء الكتاب المقدس ، على نطاق واسع...." 
  19. ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (February 1996). "A history of calculus". University of St Andrews . مؤرشف من الأصل في 15 يوليو 2007 . تم الاسترجاع في 7 أغسطس 2007 .
  20. ^ ستال، فريتس (1999). "الهندسة اليونانية والفيدية". مجلة الفلسفة الهندية . 27 (1-2): 105-127. doi :10.1023/A:1004364417713. S2CID  170894641.
  21. ^ (كوك 2005، ص 198): "يتكون المحتوى الحسابي لـ Śulva Sūtras من قواعد لإيجاد ثلاثيات فيثاغورس مثل (3، 4، 5)، (5، 12، 13)، (8، 15، 17)، و (12، 35، 37). ليس من المؤكد ما هو الاستخدام العملي لهذه القواعد الحسابية. أفضل تخمين هو أنها كانت جزءًا من طقوس دينية. كان مطلوبًا من المنزل الهندوسي أن يكون به ثلاث نيران مشتعلة في ثلاثة مذابح مختلفة. كان من المفترض أن تكون المذابح الثلاثة ذات أشكال مختلفة، ولكن كان من المفترض أن يكون لكل منها نفس المساحة. أدت هذه الظروف إلى بعض المشاكل "الديوفانتية"، ومن الحالات الخاصة بها توليد ثلاثيات فيثاغورس، بحيث يصبح عدد صحيح مربع واحد مساويًا لمجموع اثنين آخرين."
  22. ^ (هاياشي 2005، ص 371)
  23. ^ أ ب (هاياشي 2003، ص 121-122)
  24. ^ راشد، رشدي (1994). تطور الرياضيات العربية: بين الحساب والجبر. دراسات بوسطن في فلسفة العلوم. المجلد 156. ص 35. doi :10.1007/978-94-017-3274-1. ISBN 978-0-7923-2565-9. OCLC  29181926.
  25. ^ (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" pp. 241–242) "كتب عمر الخيام (حوالي 1050–1123)، "صانع الخيام"، جبرًا تجاوز جبر الخوارزمي ليشمل معادلات الدرجة الثالثة. ومثله كمثل أسلافه العرب، قدم عمر الخيام للمعادلات التربيعية حلولاً حسابية وهندسية؛ أما بالنسبة للمعادلات المكعبة العامة، فقد اعتقد (خطأً، كما أظهر القرن السادس عشر لاحقًا)، أن الحلول الحسابية مستحيلة؛ ومن ثم فقد قدم حلولاً هندسية فقط. وقد استخدم مناحم وأرخميدس والحسن بن الحسن مخطط استخدام المخروطيات المتقاطعة لحل المعادلات المكعبة في وقت سابق، لكن عمر الخيام اتخذ الخطوة الجديرة بالثناء المتمثلة في تعميم الطريقة لتغطية جميع معادلات الدرجة الثالثة (التي لها جذور موجبة). .. بالنسبة للمعادلات ذات الدرجة الأعلى من الثلاث، من الواضح أن عمر الخيام لم يتصور أساليب هندسية مماثلة، لأن الفضاء لا يحتوي على إن أحد أهم مساهمات الانتقائية العربية كان الميل إلى سد الفجوة بين الجبر العددي والجبر الهندسي. وقد جاءت الخطوة الحاسمة في هذا الاتجاه في وقت لاحق مع ديكارت، ولكن عمر الخيام كان يتحرك في هذا الاتجاه عندما كتب: "من يعتقد أن الجبر خدعة للحصول على المجهولات فقد اعتقد ذلك عبثًا. ولا ينبغي لنا أن ننتبه إلى حقيقة أن الجبر والهندسة مختلفان في المظهر. فالجبر حقائق هندسية تم إثباتها".
  26. ^ أوكونور ، جون ج. روبرتسون، إدموند ف. “المهاني”. MacTutor تاريخ أرشيف الرياضيات . جامعة سانت أندروز .
  27. ^ أوكونور ، جون ج. روبرتسون، إدموند ف. “السبي ثابت بن قرة الحراني”. MacTutor تاريخ أرشيف الرياضيات . جامعة سانت أندروز .
  28. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "عمر الخيام". أرشيف تاريخ الرياضيات MacTutor . جامعة سانت أندروز .
  29. ^ بوريس أ. روزنفيلد وأدولف ب. يوشكفيتش (1996)، "الهندسة"، في رشدي راشد، محرر، موسوعة تاريخ العلوم العربية ، المجلد 2، ص 447-494 [470]، روتليدج ، لندن ونيويورك:

    "لقد قدم ثلاثة علماء، هم ابن الهيثم والخيام والطوسي، أكبر مساهمة في هذا الفرع من الهندسة، والذي لم يتم الاعتراف بأهميته إلا في القرن التاسع عشر. وفي جوهر الأمر، كانت مقترحاتهم المتعلقة بخصائص المربعات، والتي اعتبروها، على افتراض أن بعض زوايا هذه الأشكال حادة أو منفرجة، تجسد النظريات القليلة الأولى للهندستين الزائدية والإهليلجية. وأظهرت مقترحاتهم الأخرى أن العديد من العبارات الهندسية كانت معادلة لمسلمة إقليدس الخامسة. ومن الأهمية بمكان أن يثبت هؤلاء العلماء الارتباط المتبادل بين هذه المسلمة ومجموع زوايا المثلث والمربع. ومن خلال أعمالهم في نظرية الخطوط المتوازية، أثر علماء الرياضيات العرب بشكل مباشر على التحقيقات ذات الصلة التي أجراها نظراؤهم الأوروبيون. وكانت أول محاولة أوروبية لإثبات المسلمة على الخطوط المتوازية - والتي قام بها ويتيلو، العلماء البولنديون في القرن الثالث عشر، أثناء مراجعة كتاب ابن الهيثم في البصريات ( كتاب) - بمثابة محاولة لإثبات هذه المسلمة. "إن نظرية المناظير (1888-1890 ) كانت بلا شك ناشئة عن مصادر عربية. أما الأدلة التي قدمها العالم اليهودي ليفي بن جيرسون في القرن الرابع عشر، والذي عاش في جنوب فرنسا، وألفونسو المذكور آنفاً من إسبانيا، فهي تقترب مباشرة من برهان ابن الهيثم. لقد أثبتنا أعلاه أن شرح إقليدس الذي كتبه الطوسي المزيف كان بمثابة الحافز لدراسات كل من ج. واليس وج. ساكيري لنظرية الخطوط المتوازية."
  30. ^ ab Carl B. Boyer (2012). تاريخ الهندسة التحليلية. شركة كورير. رقم ISBN 978-0-486-15451-0. مؤرشف من الأصل في 26 ديسمبر 2019 . استرجاع 18 سبتمبر 2019 .
  31. ^ CH Edwards Jr. (2012). The Historical Development of the Calculus. Springer Science & Business Media. ص 95. ISBN 978-1-4612-6230-5. مؤرشف من الأصل في 29 ديسمبر 2019 . استرجاع 18 سبتمبر 2019 .
  32. ^ جوديث ف. فيلد ؛ جيريمي جراي (2012). العمل الهندسي لجيرارد ديسارج. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص. 43. ISBN 978-1-4613-8692-6. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . استرجاع 18 سبتمبر 2019 .
  33. ^ CR Wylie (2011). مقدمة في الهندسة الإسقاطية. شركة كورير. رقم ISBN 978-0-486-14170-1. تم أرشفته من الأصل في 28 ديسمبر 2019 . تم استرجاعه في 18 سبتمبر 2019 .
  34. ^ جيريمي جراي (2011). عوالم من لا شيء: دورة في تاريخ الهندسة في القرن التاسع عشر. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-0-85729-060-1. مؤرشف من الأصل في 7 ديسمبر 2019 . اطلع عليه بتاريخ 18 سبتمبر 2019 .
  35. ^ إدواردو بايرو-كوروتشانو (2018). تطبيقات الجبر الهندسي المجلد الأول: الرؤية الحاسوبية والرسومات والحوسبة العصبية. سبرينغر. ص 4. رقم ISBN 978-3-319-74830-6. تم أرشفته من الأصل في 28 ديسمبر 2019 . تم استرجاعه في 18 سبتمبر 2019 .
  36. ^ موريس كلاين (1990). الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى العصور الحديثة: المجلد 3. الولايات المتحدة: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 1010-. ISBN 978-0-19-506137-6. تم أرشفة النسخة الأصلية في 1 سبتمبر 2021 . تم استرجاعه في 14 سبتمبر 2019 .
  37. ^ فيكتور ج. كاتز (2000). استخدام التاريخ لتدريس الرياضيات: منظور دولي. مطبعة جامعة كامبريدج. ص 45-. ISBN 978-0-88385-163-0. تم أرشفة النسخة الأصلية في 1 سبتمبر 2021 . تم استرجاعه في 14 سبتمبر 2019 .
  38. ^ ديفيد بيرلينسكي (2014). ملك الفضاء اللانهائي: إقليدس وعناصره . كتب أساسية. رقم ISBN 978-0-465-03863-3.
  39. ^ أ ب روبن هارتشورن (2013). الهندسة: إقليدس وما بعده. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 29–. ISBN 978-0-387-22676-7. تم أرشفة النسخة الأصلية في 1 سبتمبر 2021 . تم استرجاعه في 14 سبتمبر 2019 .
  40. ^ بات هيربست؛ تارو فوجيتا؛ ستيفان هالفرشيد؛ مايكل فايس (2017). تعلم وتدريس الهندسة في المدارس الثانوية: منظور النمذجة. تايلور وفرانسيس. ص 20-. ISBN 978-1-351-97353-3. تم أرشفة النسخة الأصلية في 1 سبتمبر 2021 . تم استرجاعه في 14 سبتمبر 2019 .
  41. ^ IM Yaglom (2012). هندسة بسيطة غير إقليدية وأساسها الفيزيائي: شرح أولي للهندسة الجليلية ومبدأ النسبية الجليل. Springer Science & Business Media. ص 6- ISBN 978-1-4612-6135-3. تم أرشفة النسخة الأصلية في 1 سبتمبر 2021 . تم استرجاعه في 14 سبتمبر 2019 .
  42. ^ أودون هولم (2010). الهندسة: تراثنا الثقافي. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 254–. ISBN 978-3-642-14441-7. تم أرشفة النسخة الأصلية في 1 سبتمبر 2021 . تم استرجاعه في 14 سبتمبر 2019 .
  43. ^ abcde عناصر إقليدس – جميع الكتب الثلاثة عشر في مجلد واحد ، استنادًا إلى ترجمة هيث، Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7 . 
  44. ^ Gerla, G. (1995). "Pointless Geometries" (PDF) . في Buekenhout, F.; Kantor, W. (eds.). Handbook of spotting geometry: buildings and foundations . North-Holland. ص 1015–1031. مؤرشف من الأصل (PDF) في 17 يوليو 2011.
  45. ^ كلارك، بومان ل. (يناير 1985). "الأفراد والنقط". مجلة نوتردام للمنطق الرسمي . 26 (1): 61-75. doi : 10.1305/ndjfl/1093870761 .
  46. ^ جون كيسي (1885). الهندسة التحليلية للمقاطع النقطية والخطية والدائرية والمخروطية.
  47. ^ فرانسيس بوكنهوت، محرر (1995). دليل هندسة السقوط: المباني والأساسات. أمستردام: إلسفير. ISBN 978-0-444-88355-1. OCLC  162589397. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2023. تم الاسترجاع 9 سبتمبر 2022 .
  48. ^ "geodesic – تعريف geodesic باللغة الإنجليزية من قاموس أكسفورد". OxfordDictionaries.com . مؤرشف من الأصل في 15 يوليو 2016 . تم الاسترجاع 20 يناير 2016 .
  49. ^ abcde Munkres, James R. (2000). Topology. المجلد 2 (الطبعة الثانية). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 0-13-181629-2. OCLC  42683260.
  50. ^ Szmielew, Wanda (1983). من الهندسة الأفينية إلى الهندسة الإقليدية. Springer. ISBN 978-90-277-1243-1. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2023 . استرجاع 9 سبتمبر 2022 .
  51. ^ Ahlfors, Lars V. (1979). التحليل المركب: مقدمة لنظرية الدوال التحليلية لمتغير مركب واحد (الطبعة الثالثة). نيويورك: McGraw-Hill. ISBN 9780070006577. OCLC  4036464. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2023. اطلع عليه بتاريخ 9 سبتمبر 2022 .
  52. ^ بيكر، هنري فريدريك. مبادئ الهندسة. المجلد 2. أرشيف CUP، 1954.
  53. ^ abc كارمو، مانفريدو بيرديجاو دو (1976). الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح. المجلد 2. إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول. ISBN 0-13-212589-7. OCLC  1529515. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2023. تم الاسترجاع 9 سبتمبر 2022 .
  54. ^ ab Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes Includes the Michigan Lectures on Curves and Their Jacobians (2nd ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-63293-1. زبل  0945.14001.
  55. ^ بريجز وويليام إل. ولايل كوكران حساب التفاضل والتكامل. "المتعالي المبكر." ردمك 978-0-321-57056-7 . 
  56. ^ ياو، شينغ تونغ ؛ ناديس، ستيف (2010). شكل الفضاء الداخلي: نظرية الأوتار وهندسة الأبعاد الخفية للكون . كتب أساسية. ISBN 978-0-465-02023-2 . 
  57. ^ سيدوروف، ل. أ. (2001) [1994]. "الزاوية". موسوعة الرياضيات . EMS Press .
  58. ^ Gelʹfand, IM (2001). علم المثلثات. مارك إي. سول. بوسطن: بيركهاوزر. ص. 1-20. ISBN 0-8176-3914-4. OCLC  41355833. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2023. تم الاسترجاع 10 سبتمبر 2022 .
  59. ^ ستيوارت، جيمس (2012). حساب التفاضل والتكامل: المتعاليات المبكرة ، الطبعة السابعة، بروكس كول سينجيج ليرنينج. ISBN 978-0-538-49790-9 
  60. ^ جوست، يورجن (2002). الهندسة الريمانية والتحليل الهندسي . برلين: دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-42627-1..
  61. ^ ab Steven A. Treese (2018). تاريخ وقياس الوحدات الأساسية والمشتقة. Springer International Publishing. ص 101–. ISBN 978-3-319-77577-7. مؤرشف من الأصل في 30 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  62. ^ جيمس دبليو كانون (2017). هندسة الأطوال والمساحات والأحجام. الجمعية الأمريكية للرياضيات، ص 11. ISBN 978-1-4704-3714-5. مؤرشف من الأصل في 31 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  63. ^ جيلبرت سترانج (1991). حساب التفاضل والتكامل. SIAM. ISBN 978-0-9614088-2-4. مؤرشف من الأصل في 24 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  64. ^ HS Bear (2002). مقدمة عن تكامل ليبيج. أكاديميك بريس. ISBN 978-0-12-083971-1. مؤرشف من الأصل في 25 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  65. ^ ديمتري بوراجو، يو دي بوراجو ، سيرجي إيفانوف، دورة في الهندسة المترية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، 2001، ISBN 0-8218-2129-6 . 
  66. ^ والد، روبرت م. (1984). النسبية العامة . مطبعة جامعة شيكاغو. رقم ISBN 978-0-226-87033-5.
  67. ^ تيرينس تاو (2011). مقدمة لنظرية القياس. الجمعية الأمريكية للرياضيات. رقم ISBN 978-0-8218-6919-2. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  68. ^ شلومو ليبسكيند (2008). الهندسة الإقليدية والتحويلية: استقصاء استنتاجي. جونز وبارتليت ليرنينج. ص 255. ISBN 978-0-7637-4366-6. مؤرشف من الأصل في 25 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  69. ^ مارك أ. فرايتاج (2013). الرياضيات لمعلمي المدارس الابتدائية: نهج عملي. سينجيج ليرنينج. ص. 614. ISBN 978-0-618-61008-2. مؤرشف من الأصل في 28 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  70. ^ جورج إي. مارتن (2012). هندسة التحويل: مقدمة إلى التناظر. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-1-4612-5680-9. تم أرشفة النسخة الأصلية في 7 ديسمبر 2019 . تم استرجاعها في 25 سبتمبر 2019 .
  71. ^ مارك بلاكلوك (2018). ظهور البعد الرابع: التفكير المكاني الأعلى في نهاية القرن. مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-875548-7. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . استرجاع 18 سبتمبر 2019 .
  72. ^ تشارلز جاسبر جولي (1895). أوراق. الأكاديمية. ص. 62–. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019. تم الاسترجاع 18 سبتمبر 2019 .
  73. ^ روجر تيمام (2013). الأنظمة الديناميكية اللانهائية الأبعاد في الميكانيكا والفيزياء. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص. 367. ISBN 978-1-4612-0645-3. مؤرشف من الأصل في 24 ديسمبر 2019 . استرجاع 18 سبتمبر 2019 .
  74. ^ بيل جاكوب؛ تسيت-يوين لام (1994). التطورات الحديثة في الهندسة الجبرية الحقيقية والأشكال التربيعية: وقائع عام RAGSQUAD، بيركلي، 1990-1991. الجمعية الأمريكية للرياضيات، ص 111. ISBN 978-0-8218-5154-8. تم أرشفته من الأصل في 28 ديسمبر 2019 . تم استرجاعه في 18 سبتمبر 2019 .
  75. ^ إيان ستيوارت (2008). لماذا الجمال هو الحقيقة: تاريخ التناظر. كتب أساسية. ص 14. رقم ISBN 978-0-465-08237-7. مؤرشف من الأصل في 25 ديسمبر 2019 . استرجاع 23 سبتمبر 2019 .
  76. ^ ستاخوف أليكسي (2009). رياضيات الانسجام: من إقليدس إلى الرياضيات المعاصرة وعلوم الكمبيوتر. مجلة العلوم العالمية. ص 144. ISBN 978-981-4472-57-9. مؤرشف من الأصل في 29 ديسمبر 2019 . استرجاع 23 سبتمبر 2019 .
  77. ^ فيرنر هان (1998). التناظر كمبدأ تنموي في الطبيعة والفن. مجلة العلوم العالمية. رقم ISBN 978-981-02-2363-2. مؤرشف من الأصل في 1 يناير 2020 . استرجاع 23 سبتمبر 2019 .
  78. ^ Brian J. Cantwell (2002). Introduction to Symmetry Analysis. Cambridge University Press. p. 34. ISBN 978-1-139-43171-2. تم أرشفته من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . تم استرجاعه في 23 سبتمبر 2019 .
  79. ^ ب. روزنفيلد؛ بيل ويبي (2013). هندسة مجموعات الكذب. مجلة سبرينغر للعلوم والأعمال التجارية. ص 158 وما يليها. رقم ISBN 978-1-4757-5325-7. مؤرشف من الأصل في 24 ديسمبر 2019 . استرجاع 23 سبتمبر 2019 .
  80. ^ بيتر بيسيك (2007). ما وراء الهندسة: أوراق كلاسيكية من ريمان إلى أينشتاين. كورير كوربوريشن. رقم ISBN 978-0-486-45350-7. مؤرشف من الأصل في 1 سبتمبر 2021 . استرجاع 23 سبتمبر 2019 .
  81. ^ ميتشيو كاكو (2012). الأوتار والحقول المطابقة والطوبولوجيا: مقدمة. مجلة سبرينغر للعلوم والأعمال التجارية. ص 151. رقم ISBN 978-1-4684-0397-8. مؤرشف من الأصل في 24 ديسمبر 2019 . استرجاع 23 سبتمبر 2019 .
  82. ^ ملادن بيستفينا؛ ميخا ساجييف؛ كارين فوجتمان (2014). نظرية المجموعة الهندسية. الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 132. ISBN 978-1-4704-1227-2. مؤرشف من الأصل في 29 ديسمبر 2019 . استرجاع 23 سبتمبر 2019 .
  83. ^ WH. Steeb (1996). التناظرات المستمرة، جبر لي، المعادلات التفاضلية والجبر الحاسوبي. شركة النشر العلمي العالمية. ISBN 978-981-310-503-4. مؤرشف من الأصل في 26 ديسمبر 2019 . استرجاع 23 سبتمبر 2019 .
  84. ^ تشارلز دبليو ميسنر (2005). الاتجاهات في النسبية العامة: المجلد 1: وقائع الندوة الدولية لعام 1993، ماريلاند: أوراق تكريمية لتشارلز ميسنر. مطبعة جامعة كامبريدج. ص 272. ISBN 978-0-521-02139-5. مؤرشف من الأصل في 26 ديسمبر 2019 . استرجاع 23 سبتمبر 2019 .
  85. ^ لينيوس وايلاند داولينج (1917). الهندسة الإسقاطية. شركة ماكجرو هيل للكتب، ص 10.
  86. ^ G. Gierz (2006). Bundles of Topological Vector Spaces and Their Duality. Springer. ص 252. ISBN 978-3-540-39437-2. تم أرشفته من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . تم استرجاعه في 23 سبتمبر 2019 .
  87. ^ روبرت إي. بوتس؛ جيه آر براون (2012). البنائية والعلم: مقالات في الفلسفة الألمانية الحديثة. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 127-. ISBN 978-94-009-0959-5. مؤرشف من الأصل في 1 سبتمبر 2021 . استرجاع 20 سبتمبر 2019 .
  88. ^ العلوم. موسى الملك. 1886. ص 181–. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . تم الاسترجاع 20 سبتمبر 2019 .
  89. ^ W. Abbot (2013). Practical Geometry and Engineering Graphics: A Textbook for Engineering and Other Students. Springer Science & Business Media. ص 6-. ISBN 978-94-017-2742-6. مؤرشف من الأصل في 25 ديسمبر 2019 . استرجاع 20 سبتمبر 2019 .
  90. ^ abcd George L. Hersey (2001). Architecture and Geometry in the Age of the Baroque. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-32783-9. مؤرشف من الأصل في 25 ديسمبر 2019 . استرجاع 20 سبتمبر 2019 .
  91. ^ ب. فانيسيك. إي جي كراكيوسكي (2015). الجيوديسيا: المفاهيم. إلسفير. ص. 23. رقم ISBN 978-1-4832-9079-9. مؤرشف من الأصل في 31 ديسمبر 2019 . استرجاع 20 سبتمبر 2019 .
  92. ^ راسل م. كومينجز؛ سكوت أ. مورتون؛ ويليام هـ. ماسون؛ ديفيد ر. ماكدانييل (2015). الديناميكا الهوائية الحسابية التطبيقية. مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 449. ISBN 978-1-107-05374-8. مؤرشف من الأصل في 1 سبتمبر 2021 . استرجاع 20 سبتمبر 2019 .
  93. ^ روي ويليامز (1998). هندسة الملاحة. دار نشر هوروود. رقم ISBN 978-1-898563-46-4. مؤرشف من الأصل في 7 ديسمبر 2019 . استرجاع 20 سبتمبر 2019 .
  94. ^ شميت، و. هوانج، ر. كوجان، ليلاند س. (2002). "منهج متماسك: حالة الرياضيات". المربي الأمريكي . 26 (2): 10-26. S2CID  118964353.
  95. ^ جيرارد والشاب (2015). حساب التفاضل والتكامل المتعدد المتغيرات والهندسة التفاضلية. دي جرويتر. ISBN 978-3-11-036954-0. تم أرشفته من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . تم استرجاعه في 23 سبتمبر 2019 .
  96. ^ هارلي فلاندرز (2012). الأشكال التفاضلية مع التطبيقات على العلوم الفيزيائية. كورير كوربوريشن. رقم ISBN 978-0-486-13961-6. مؤرشف من الأصل في 1 سبتمبر 2021 . استرجاع 23 سبتمبر 2019 .
  97. ^ بول ماريوت؛ مارك سالمون (2000). تطبيقات الهندسة التفاضلية على القياس الاقتصادي. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-65116-5. مؤرشف من الأصل في 1 سبتمبر 2021 . استرجاع 23 سبتمبر 2019 .
  98. ^ ماثيو هي؛ سيرجي بيتوخوف (2011). رياضيات المعلوماتية الحيوية: النظرية والأساليب والتطبيقات. جون وايلي وأولاده. ص. 106. ISBN 978-1-118-09952-0. تم أرشفته من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . تم استرجاعه في 23 سبتمبر 2019 .
  99. ^ PAM Dirac (2016). النظرية النسبية العامة. دار نشر جامعة برينستون. ISBN 978-1-4008-8419-3. مؤرشف من الأصل في 26 ديسمبر 2019 . استرجاع 23 سبتمبر 2019 .
  100. ^ نهاد آي؛ يورغن جوست؛ هونغ فان لي؛ لورينز شواخهوفر (2017). هندسة المعلومات. سبرينغر. ص. 185. ردمك 978-3-319-56478-4. مؤرشف من الأصل في 24 ديسمبر 2019 . استرجاع 23 سبتمبر 2019 .
  101. ^ مارتن د. كروسلي (2011). الطوبولوجيا الأساسية. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-1-85233-782-7. تم أرشفته من الأصل في 28 ديسمبر 2019 . تم استرجاعه في 24 سبتمبر 2019 .
  102. ^ تشارلز ناش؛ سيدهارثا سين (1988). الطوبولوجيا والهندسة للفيزيائيين. إلسيفير. ص. 1. ISBN 978-0-08-057085-3. مؤرشف من الأصل في 26 ديسمبر 2019 . استرجاع 24 سبتمبر 2019 .
  103. ^ جورج إي. مارتن (1996). هندسة التحويل: مقدمة في التناظر. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-0-387-90636-2. مؤرشف من الأصل في 22 ديسمبر 2019 . استرجاع 24 سبتمبر 2019 .
  104. ^ JP May (1999). دورة موجزة في الطوبولوجيا الجبرية. مطبعة جامعة شيكاغو. ISBN 978-0-226-51183-2. مؤرشف من الأصل في 23 ديسمبر 2019 . استرجاع 24 سبتمبر 2019 .
  105. ^ روبن هارتشورن (2013). الهندسة الجبرية. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-1-4757-3849-0. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . استرجاع 24 سبتمبر 2019 .
  106. ^ من قبل جان ديدونيه (1985). تاريخ الهندسة الجبرية. ترجمة جوديث د. سالي. دار نشر سي آر سي. رقم الكتاب المعياري الدولي 978-0-412-99371-8. مؤرشف من الأصل في 25 ديسمبر 2019 . استرجاع 24 سبتمبر 2019 .
  107. ^ جيمس كارلسون؛ جيمس أ. كارلسون؛ آرثر جافي؛ أندرو وايلز (2006). مشاكل جائزة الألفية. الجمعية الأمريكية للرياضيات. رقم ISBN 978-0-8218-3679-8. مؤرشف من الأصل في 30 مايو 2016 . استرجاع 24 سبتمبر 2019 .
  108. ^ Everett W. Howe; Kristin E. Lauter ; Judy L. Walker (2017). الهندسة الجبرية لنظرية الترميز والتشفير: IPAM، لوس أنجلوس، كاليفورنيا، فبراير 2016. Springer. ISBN 978-3-319-63931-4. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . استرجاع 24 سبتمبر 2019 .
  109. ^ ماركوس مارينو؛ مايكل ثاديوس؛ رافي فاكيل (2008). الثوابت العددية في الهندسة الجبرية ونظرية الأوتار: محاضرات ألقيت في مدرسة CIME الصيفية التي أقيمت في سيترارو، إيطاليا، 6-11 يونيو 2005. سبرينغر. ISBN 978-3-540-79814-9. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . استرجاع 24 سبتمبر 2019 .
  110. ^ هيوبرشتس ، دانيال (2005). الهندسة المعقدة: مقدمة. برلين: سبرينغر. رقم ISBN 9783540266877. OCLC  209857590. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2023. تم الاسترجاع 10 سبتمبر 2022 .
  111. ^ جريفثس، ب.، وهاريس، ج. (2014). مبادئ الهندسة الجبرية. جون وايلي وأولاده.
  112. ^ Wells, RO Jr. (2008). Differential analysis on complex manifolds. Graduate Texts in Mathematics. المجلد 65. O. García-Prada (الطبعة الثالثة). نيويورك: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-0-387-73892-5. ISBN 9780387738918. OCLC  233971394. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2023. اطلع عليه بتاريخ 9 سبتمبر 2022 .
  113. ^ هوري، ك.، توماس، ر.، كاتز، س.، فافا، س.، باندهاريباند، ر.، كليم، أ.، ... وزاسلو، إي. (2003). تماثل المرآة (المجلد 1). الجمعية الرياضية الأمريكية.
  114. ^ فورستر، أو. (2012). محاضرات عن أسطح ريمان (المجلد 81). مجلة سبرينغر للعلوم والأعمال.
  115. ^ ميراندا، ر. (1995). المنحنيات الجبرية وأسطح ريمان (المجلد 5). الجمعية الأمريكية للرياضيات.
  116. ^ دونالدسون، س.ك. (2011). أسطح ريمان. أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-154584-9. OCLC  861200296. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2023. تم الاسترجاع 9 سبتمبر 2022 .
  117. ^ سيري ، جي بي (1955). Faisceaux algébriques cohérents. حوليات الرياضيات، 197-278.
  118. ^ سيري ، جي بي (1956). الهندسة الجبرية والهندسية التحليلية. في حوليات معهد فورييه (المجلد 6، الصفحات من 1 إلى 42).
  119. ^ جيري ماتوسيك (2013). محاضرات في الهندسة المنفصلة. سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. رقم ISBN 978-1-4613-0039-7. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  120. ^ تشوانمينج زونج (2006). المكعب – نافذة على الهندسة المحدبة والمتقطعة. مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-85535-8. مؤرشف من الأصل في 23 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  121. ^ بيتر م. جروبر (2007). الهندسة المحدبة والمتقطعة. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-3-540-71133-9. مؤرشف من الأصل في 24 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  122. ^ ساتيان إل. ديفادوس ؛ جوزيف أورورك (2011). الهندسة المنفصلة والحسابية. مطبعة جامعة برينستون. رقم ISBN 978-1-4008-3898-1. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  123. ^ كارولي بيزديك (2010). المواضيع الكلاسيكية في الهندسة المنفصلة. سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. رقم ISBN 978-1-4419-0600-7. مؤرشف من الأصل في 28 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  124. ^ فرانكو ب. بريباراتا ؛ مايكل آي. شاموس (2012). الهندسة الحسابية: مقدمة. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-1-4612-1098-6. مؤرشف من الأصل في 28 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  125. ^ شيانفينج ديفيد جو. شينغ تونغ ياو (2008). الهندسة الحسابية المطابقة. الصحافة الدولية. رقم ISBN 978-1-57146-171-1. مؤرشف من الأصل في 24 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  126. ^ ab Clara Löh (2017). نظرية المجموعة الهندسية: مقدمة. Springer. ISBN 978-3-319-72254-2. مؤرشف من الأصل في 29 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  127. ^ جون مورجان؛ جانج تيان (2014). تخمين الهندسة. الجمعية الأمريكية للرياضيات. رقم ISBN 978-0-8218-5201-9. مؤرشف من الأصل في 24 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  128. ^ دانيال ت. وايز (2012). من ريتشيز إلى راجز: ثلاثيات الأبعاد، ومجموعات أرتين قائمة الزاوية، والهندسة المكعبة: ثلاثيات الأبعاد، ومجموعات أرتين قائمة الزاوية، والهندسة المكعبة. الجمعية الأمريكية للرياضيات. رقم ISBN 978-0-8218-8800-1. مؤرشف من الأصل في 28 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  129. ^ ab Gerard Meurant (2014). Handbook of Convex Geometry. Elsevier Science. ISBN 978-0-08-093439-6. مؤرشف من الأصل في 1 سبتمبر 2021 . استرجاع 24 سبتمبر 2019 .
  130. ^ يورجن ريختر جيبرت (2011). وجهات نظر حول الهندسة الإسقاطية: جولة إرشادية عبر الهندسة الحقيقية والمعقدة. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-3-642-17286-1. مؤرشف من الأصل في 29 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  131. ^ كيمبرلي إيلام (2001). هندسة التصميم: دراسات في النسبة والتكوين. دار نشر برينستون المعمارية. رقم ISBN 978-1-56898-249-6. مؤرشف من الأصل في 31 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  132. ^ براد جيه. جويجار (2004). كتاب كل شيء عن الرسوم الكرتونية: ابتكر رسومًا كرتونية فريدة وملهمة من أجل المتعة والربح. آدامز ميديا. ص 82-. رقم ISBN 978-1-4405-2305-2. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  133. ^ ماريو ليفيو (2008). النسبة الذهبية: قصة PHI، الرقم الأكثر إثارة للدهشة في العالم. Crown/Archetype. ص. 166. ISBN 978-0-307-48552-6. مؤرشف من الأصل في 30 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  134. ^ ميشيل إيمر. دوريس شاتشنايدر (2007). تراث MC Escher: احتفال بالذكرى المئوية. سبرينغر. ص. 107. ردمك 978-3-540-28849-7. مؤرشف من الأصل في 22 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  135. ^ روبرت كابيتولو؛ كين شواب (2004). دورة الرسم 101. شركة ستيرلينج للنشر، ص 22. رقم ISBN 978-1-4027-0383-6.
  136. ^ فيليس جيلينو (2011). دمج الفنون في المناهج الدراسية للمدارس الابتدائية. سينجيج ليرنينج. ص 55. رقم ISBN 978-1-111-30126-2. تم أرشفة النسخة الأصلية في 7 ديسمبر 2019 . تم استرجاعها في 25 سبتمبر 2019 .
  137. ^ كريستيانو سيكاتو. لارس هيسلجرين؛ مارك بولي؛ هيلموت بوتمان، يوهانس فالنر (2016). التقدم في الهندسة المعمارية 2010. بيركهاوزر. ص. 6. رقم ISBN 978-3-99043-371-3. مؤرشف من الأصل في 25 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  138. ^ هيلموت بوتمان (2007). الهندسة المعمارية. مطبعة معهد بنتلي. رقم ISBN 978-1-934493-04-5. مؤرشف من الأصل في 24 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  139. ^ ماريان موفيت؛ مايكل دبليو فازيو؛ لورانس وودهاوس (2003). تاريخ العمارة العالمي. دار نشر لورانس كينج. ص 371. رقم ISBN 978-1-85669-371-4. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  140. ^ روبن م. جرين؛ روبن مايكل جرين (1985). علم الفلك الكروي. مطبعة جامعة كامبريدج. ص 1. ISBN 978-0-521-31779-5. مؤرشف من الأصل في 21 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  141. ^ دميتري فلاديميروفيتش أليكسيفسكي (2008). التطورات الحديثة في الهندسة شبه الريمانية. الجمعية الرياضية الأوروبية. ISBN 978-3-03719-051-7. مؤرشف من الأصل في 28 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  142. ^ شينغ تونغ ياو؛ ستيف ناديس (2010). شكل الفضاء الداخلي: نظرية الأوتار وهندسة الأبعاد الخفية للكون. كتب أساسية. رقم ISBN 978-0-465-02266-3. مؤرشف من الأصل في 24 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  143. ^ بينجستون، إنجيمار؛ زيكزكوفسكي، كارول (2017). هندسة الحالات الكمومية: مقدمة إلى التشابك الكمومي (الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-1-107-02625-4. OCLC  1004572791.
  144. ^ هارلي فلاندرز؛ جاستن جيه برايس (2014). حساب التفاضل والتكامل باستخدام الهندسة التحليلية. إلسيفير ساينس. رقم ISBN 978-1-4832-6240-6. مؤرشف من الأصل في 24 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  145. ^ جون روجاوسكي؛ كولين آدامز (2015). حساب التفاضل والتكامل. دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 978-1-4641-7499-5. مؤرشف من الأصل في 1 يناير 2020 . اطلع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  146. ^ ألفارو لوزانو روبليدو (2019). نظرية الأعداد والهندسة: مقدمة في الهندسة الحسابية. الجمعية الأمريكية للرياضيات. رقم ISBN 978-1-4704-5016-8. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .
  147. ^ أرتورو سانجالي (2009). انتقام فيثاغورس: لغز رياضي . مطبعة جامعة برينستون. ص 57. ISBN 978-0-691-04955-7.
  148. ^ جاري كورنيل؛ جوزيف إتش سيلفرمان؛ جلين ستيفنز (2013). الأشكال المعيارية ونظرية فيرما الأخيرة. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-1-4612-1974-3. مؤرشف من الأصل في 30 ديسمبر 2019 . استرجاع 25 سبتمبر 2019 .

مصادر

  • بوير، سي بي (1991) [1989]. تاريخ الرياضيات (الطبعة الثانية، مراجعة أوتا سي ميرزباخ  محرر). نيويورك: وايلي. رقم ISBN 978-0-471-54397-8.
  • كوك، روجر (2005). تاريخ الرياضيات . نيويورك: وايلي-إنترسايس. ISBN 978-0-471-44459-6.
  • هاياشي، تاكاو (2003). "الرياضيات الهندية". في جراتان-جينيس، إيفور (المحرر). الموسوعة المصاحبة لتاريخ وفلسفة العلوم الرياضية . المجلد 1. بالتيمور، ماريلاند: مطبعة جامعة جونز هوبكنز . ص 118-130. ISBN 978-0-8018-7396-6.
  • هاياشي، تاكاو (2005). "الرياضيات الهندية". في فلود، جافين (المحرر). رفيق بلاكويل للهندوسية . أكسفورد: باسيل بلاكويل . ص 360-375. رقم ISBN 978-1-4051-3251-0.

قراءة إضافية

  • جاي كابراف (2014). نهج تشاركي في الهندسة الحديثة. دار النشر العلمية العالمية. doi :10.1142/8952. ISBN 978-981-4556-70-5. زبل  1364.00004.
  • نيكولاي آي. لوباتشيفسكي (2010). علم البانجيومترية . سلسلة تراث الرياضيات الأوروبية. المجلد 4. المترجم والمحرر: أ. بابادوبولوس. الجمعية الرياضية الأوروبية.
  • ليونارد ملودينوف (2002). نافذة إقليدس – قصة الهندسة من الخطوط المتوازية إلى الفضاء الفائق (الطبعة البريطانية). ألين لين. رقم ISBN 978-0-7139-9634-0.
يحتوي موقع ويكيبيديا على المزيد حول موضوع: الهندسة
مصادر المكتبة حول
الهندسة
  • الموارد الموجودة في مكتبتك
  • "الهندسة"  . الموسوعة البريطانية . المجلد 11 (الطبعة الحادية عشرة). 1911. ص 675-736.
  • دورة في الهندسة من ويكي الجامعة
  • مسائل هندسية غير عادية
  • منتدى الرياضيات – الهندسة
    • منتدى الرياضيات – الهندسة للصفوف من K إلى 12
    • منتدى الرياضيات – الهندسة الجامعية
    • منتدى الرياضيات – الهندسة المتقدمة
  • مقدمات الطبيعة – هندسة الأوتاد والحبال في ستونهنج
  • الأطلس الرياضي – المجالات الهندسية في الرياضيات
  • "4000 عام من الهندسة"، محاضرة ألقاها روبن ويلسون في كلية جريشام ، 3 أكتوبر 2007 (متوفرة للتحميل بصيغة MP3 وMP4 بالإضافة إلى ملف نصي)
    • المذهب المحدود في الهندسة في موسوعة ستانفورد للفلسفة
  • مكب النفايات الهندسية
  • مرجع هندسي تفاعلي مع مئات من التطبيقات الصغيرة
  • رسومات الهندسة الديناميكية (مع بعض الاستكشافات الطلابية)
  • دروس الهندسة في أكاديمية خان
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometry&oldid=1241952882"
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate