رجال متصلون

في الرياضيات ، يُستخدم مصطلح " الترابط " ^{[ 1 ]} للإشارة إلى خصائص متنوعة تعني، بمعنى ما، "وحدة متكاملة". عندما يمتلك كائن رياضي هذه الخاصية، نقول إنه مترابط ؛ وإلا فهو غير مترابط . عندما يمكن تقسيم كائن غير مترابط بشكل طبيعي إلى أجزاء مترابطة، يُطلق على كل جزء عادةً اسم " مكون" (أو " مكون مترابط" ).

يُقال إن الفضاء الطوبولوجي متصل إذا لم يكن اتحاد مجموعتين مفتوحتين غير فارغتين منفصلتين. [2] المجموعة مفتوحة إذا لم تحتوي على أي نقطة ^{تقع على حدودها} ؛ وبالتالي ، بمعنى غير رسمي وبديهي، فإن حقيقة إمكانية تقسيم الفضاء إلى مجموعات مفتوحة منفصلة تشير إلى أن الحدود بين المجموعتين ليست جزءًا من الفضاء، وبالتالي تقسمه إلى جزأين منفصلين.

تهتم فروع الرياضيات عادةً بأنواع خاصة من الكائنات. يُقال غالبًا أن هذا الكائن متصل إذا كان، عند اعتباره فضاءً طوبولوجيًا، فضاءً متصلًا. وهكذا، تُسمى المتشعبات ، ومجموعات لي ، والرسوم البيانية متصلة إذا كانت متصلة كفضاءات طوبولوجية، ومكوناتها هي المكونات الطوبولوجية. أحيانًا يكون من المفيد إعادة صياغة تعريف الاتصال في هذه الفروع. على سبيل المثال، يُقال إن الرسم البياني متصل إذا كان كل زوج من رؤوسه متصلًا بمسار . هذا التعريف مكافئ للتعريف الطوبولوجي، عند تطبيقه على الرسوم البيانية، ولكنه أسهل في التعامل معه في سياق نظرية الرسوم البيانية . كما تُقدم نظرية الرسوم البيانية مقياسًا للاتصال لا يعتمد على السياق، يُسمى معامل التجميع .

تهتم فروع أخرى من الرياضيات بأشياء نادراً ما تُعتبر فضاءات طوبولوجية. ومع ذلك، غالباً ما تعكس تعريفات الاتصال المعنى الطوبولوجي بطريقة أو بأخرى. على سبيل المثال، في نظرية الفئات ، يُقال إن الفئة متصلة إذا كان كل زوج من الأشياء فيها مرتبطاً بتسلسل من التشكلات . وبالتالي، تكون الفئة متصلة إذا كانت، بديهياً، وحدة واحدة متكاملة.

قد توجد مفاهيم مختلفة للترابط تبدو متشابهة ظاهريًا، لكنها تختلف في تعريفها الرسمي. قد نرغب في تسمية فضاء طوبولوجي متصلًا إذا كان كل زوج من النقاط فيه متصلًا بمسار . مع ذلك، يتضح أن هذا الشرط أقوى من الترابط الطوبولوجي القياسي؛ فبالتحديد، توجد فضاءات طوبولوجية متصلة لا تنطبق عليها هذه الخاصية. لهذا السبب، تُستخدم مصطلحات مختلفة؛ فالفضاءات التي تتمتع بهذه الخاصية تُسمى فضاءات متصلة مساريًا . وبينما لا تكون جميع الفضاءات المتصلة متصلة مساريًا، فإن جميع الفضاءات المتصلة مساريًا تكون متصلة.

تُستخدم المصطلحات المتعلقة بالاتصال أيضًا لوصف خصائص مرتبطة بالاتصال، ولكنها تختلف عنه بوضوح. على سبيل المثال، يكون الفضاء الطوبولوجي المتصل بالمسارات متصلًا اتصالًا بسيطًا إذا كان كل مسار (من نقطة إلى نفسها) فيه قابلًا للانكماش ؛ أي، بشكل بديهي، إذا كانت هناك طريقة واحدة فقط للانتقال من أي نقطة إلى أي نقطة أخرى. وبالتالي، فإن الكرة والقرص متصلان اتصالًا بسيطًا، بينما لا يكون الطارة كذلك . كمثال آخر، يكون الرسم البياني الموجه متصلًا اتصالًا قويًا إذا كان كل زوج مرتب من الرؤوس متصلًا بمسار موجه (أي مسار "يتبع الأسهم").

تُعبّر مفاهيم أخرى عن الطريقة التي لا يكون بها الكائن متصلاً. على سبيل المثال، يكون الفضاء الطوبولوجي منفصلاً تماماً إذا كان كل مكون من مكوناته عبارة عن نقطة واحدة.

غالبًا ما تتضمن الخصائص والمعايير القائمة على مفهوم الاتصال مصطلح "الاتصال" . على سبيل المثال، في نظرية المخططات ، يُعرَّف المخطط المتصل بأنه المخطط الذي يجب إزالة رأس واحد على الأقل منه لإنشاء مخطط غير متصل. ^{[ 3 ]} وبناءً على ذلك، يُطلق على هذه المخططات أيضًا اسم "مخططات أحادية الاتصال" . وبالمثل، يكون المخطط ثنائي الاتصال إذا كان يجب إزالة رأسين على الأقل منه لإنشاء مخطط غير متصل. ويتطلب المخطط ثلاثي الاتصال إزالة ثلاثة رؤوس على الأقل، وهكذا. يُعرَّف اتصال المخطط بأنه الحد الأدنى لعدد الرؤوس التي يجب إزالتها لفصله. وبصورة مكافئة، يُعرَّف اتصال المخطط بأنه أكبر عدد صحيح k الذي يجعل المخطط k- متصلًا.

على الرغم من اختلاف المصطلحات، فإن الصيغ الاسمية للخصائص المتعلقة بالاتصال غالبًا ما تتضمن مصطلح " الاتصال" . لذا، عند مناقشة الفضاءات الطوبولوجية ذات الاتصال البسيط، من الشائع جدًا استخدام مصطلح " الاتصال البسيط" بدلًا من "الاتصال البسيط" . من ناحية أخرى، في المجالات التي لا يوجد فيها مفهوم مُعرَّف رسميًا للاتصال ، قد تُستخدم الكلمة كمرادف للاتصال .

مثال آخر على الاتصال يمكن إيجاده في التبليط المنتظم. هنا، يصف الاتصال عدد الجيران الذين يمكن الوصول إليهم من بلاطة واحدة :

• 
  الاتصال الثلاثي في ​​التبليط المثلثي ، 
• 
  الاتصال الرباعي في تبليط مربع ، 
• 
  الاتصال السداسي في التبليط السداسي ، 
• 
  الاتصال الثماني في تبليط مربع (لاحظ أن تساوي المسافة غير محفوظ)

• مساحة متصلة
• الفئة المتصلة
• المكون المتصل (نظرية الرسم البياني)
• المجموع المتصل
• الترابط المتقاطع
• شبكة
• شبكة خالية من المقاييس
• ببساطة متصل
• شبكة العالم الصغير
• مكون متصل بقوة
• منفصل تمامًا