مجموعات منفصلة

في نظرية المجموعات في الرياضيات والمنطق الرسمي ، يقال إن مجموعتين من المجموعات المنفصلة إذا لم يكن بينهما أي عنصر مشترك. وعلى نحو مكافئ، فإن المجموعتين المنفصلتين هما مجموعتان يكون تقاطعهما هو المجموعة الفارغة . ^[1] على سبيل المثال، {1، 2، 3} و{4، 5، 6} من المجموعات المنفصلة، ​​في حين أن {1، 2، 3} و{3، 4، 5} ليستا منفصلتين. تسمى المجموعة المكونة من مجموعتين أو أكثر منفصلة إذا كانت أي مجموعتين متميزتين من المجموعة منفصلتين.

يمكن توسيع تعريف المجموعات المنفصلة ليشمل عائلات المجموعات وعائلات المجموعات المفهرسة . بحكم التعريف، تسمى مجموعة المجموعات عائلة مجموعات (مثل مجموعة القوى ، على سبيل المثال). في بعض المصادر، تكون هذه مجموعة مجموعات، بينما تسمح مصادر أخرى بأن تكون مجموعة متعددة من المجموعات، مع تكرار بعض المجموعات. تعتبر عائلة المجموعات المفهرسة بحكم التعريف دالة ذات قيمة مجموعة (أي أنها دالة تعين مجموعة لكل عنصر في مجالها) ويسمى مجالها مجموعة الفهرس الخاصة بها (وتسمى عناصر مجالها مؤشرات ). ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I},}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle I}$

هناك تعريفان مختلفان تمامًا عندما يُطلق على عائلة من المجموعات اسم مجموعات منفصلة . وفقًا لأحد هذه التعريفات، تكون العائلة منفصلة إذا كانت كل مجموعتين في العائلة متطابقتين أو منفصلتين. يسمح هذا التعريف لعائلات المجموعات المنفصلة في الزوج بأن يكون لها نسخ متكررة من نفس المجموعة. وفقًا لتعريف بديل، يجب أن تكون كل مجموعتين في العائلة منفصلتين؛ ولا يُسمح بالنسخ المتكررة. يمكن تطبيق نفس التعريفين على عائلة مجموعات مفهرسة: وفقًا للتعريف الأول، يجب أن تسمي كل مؤشرين مميزين في العائلة مجموعات منفصلة أو متطابقة، بينما وفقًا للتعريف الثاني، يجب أن تسمي كل مؤشرين مميزين مجموعات منفصلة. ^[2] على سبيل المثال، فإن عائلة المجموعات { {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8}, ... } منفصلة وفقًا لكلا التعريفين، كما هي الحال مع عائلة { {..., −2, 0, 2, 4, ...}, {..., −3, −1, 1, 3, 5} } من فئتي التكافؤ للأعداد الصحيحة. ومع ذلك، فإن العائلة التي تحتوي على 10 أعضاء تحتوي على خمس تكرارات لكل من مجموعتين منفصلتين، لذا فهي منفصلة زوجيًّا بموجب التعريف الأول ولكن ليس بموجب التعريف الثاني. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (\{n+2k\mid k\in \mathbb {Z} \})_{n\in \{0,1,\ldots ,9\}}}$

يقال عن مجموعتين أنهما مجموعات منفصلة تقريبًا إذا كان تقاطعهما صغيرًا بمعنى ما. على سبيل المثال، يمكن القول بأن مجموعتين لانهائيتين تقاطعهما عبارة عن مجموعة منتهية أنهما منفصلتان تقريبًا. ^[3]

في الطوبولوجيا ، توجد مفاهيم مختلفة للمجموعات المنفصلة بشروط أكثر صرامة من الانفصال. على سبيل المثال، يمكن اعتبار مجموعتين منفصلتين عندما يكون لديهما إغلاقات منفصلة أو جوار منفصل . وبالمثل، في الفضاء المتري ، المجموعات المنفصلة إيجابيا هي مجموعات تفصل بينها مسافة غير صفرية . ^[4]

يمكن التعبير عن الانفصال بين مجموعتين، أو بين عائلة من المجموعات، من حيث تقاطعات أزواج منهما.

تكون المجموعتان A و B منفصلتين إذا وفقط إذا كان تقاطعهما هو المجموعة الفارغة . ^[1] ويترتب على هذا التعريف أن كل مجموعة منفصلة عن المجموعة الفارغة، وأن المجموعة الفارغة هي المجموعة الوحيدة المنفصلة عن نفسها. ^[5]${\displaystyle A\cap B}$

إذا كانت المجموعة تحتوي على مجموعتين على الأقل، فإن الشرط الذي ينص على أن المجموعة منفصلة يعني أن تقاطع المجموعة بأكملها فارغ. ومع ذلك، قد يكون لمجموعة من المجموعات تقاطع فارغ دون أن تكون منفصلة. بالإضافة إلى ذلك، في حين أن المجموعة التي تحتوي على أقل من مجموعتين منفصلة بشكل تافه، حيث لا توجد أزواج للمقارنة، فإن تقاطع مجموعة من مجموعة واحدة يساوي تلك المجموعة، والتي قد تكون غير فارغة. ^[2] على سبيل المثال، المجموعات الثلاث { {1، 2}، {2، 3}، {1، 3} } لها تقاطع فارغ ولكنها ليست منفصلة. في الواقع، لا توجد مجموعتان منفصلتان في هذه المجموعة. أيضًا فإن عائلة المجموعات الفارغة منفصلة في أزواج. ^[6]

عائلة Helly هي نظام من المجموعات حيث تكون العائلات الفرعية الوحيدة التي تحتوي على تقاطعات فارغة هي تلك التي تكون منفصلة في أزواج. على سبيل المثال، تشكل الفواصل المغلقة للأعداد الحقيقية عائلة Helly: إذا كانت عائلة من الفواصل المغلقة تحتوي على تقاطع فارغ وكانت ضئيلة (أي لا تحتوي أي عائلة فرعية من العائلة على تقاطع فارغ)، فيجب أن تكون منفصلة في أزواج. ^[7]

تقسيم المجموعة X هو أي مجموعة من المجموعات غير الفارغة المنفصلة التي يكون اتحادها X. ^[8] يمكن وصف كل تقسيم بشكل مكافئ بعلاقة تكافؤ ، وهي علاقة ثنائية تصف ما إذا كان عنصران ينتميان إلى نفس المجموعة في القسم. [ ^8] هياكل بيانات المجموعة المنفصلة ^[9] وتحسين التقسيم ^[10] هما تقنيتان في علوم الكمبيوتر للحفاظ بكفاءة على أقسام المجموعة الخاضعة لعمليات الاتحاد التي تدمج مجموعتين أو عمليات التحسين التي تقسم مجموعة واحدة إلى مجموعتين على التوالي.

قد يعني الاتحاد المنفصل أحد أمرين. وببساطة شديدة، قد يعني اتحاد المجموعات المنفصلة. ^[11] ولكن إذا لم تكن مجموعتان أو أكثر منفصلتين بالفعل، فقد يتم تشكيل اتحادهما المنفصل عن طريق تعديل المجموعات لجعلها منفصلة قبل تشكيل اتحاد المجموعات المعدلة. ^[12] على سبيل المثال، يمكن جعل مجموعتين منفصلتين عن طريق استبدال كل عنصر بزوج مرتب من العنصر وقيمة ثنائية تشير إلى ما إذا كان ينتمي إلى المجموعة الأولى أو الثانية. ^[13] بالنسبة للعائلات التي تتكون من أكثر من مجموعتين، يمكن للمرء أن يستبدل كل عنصر بزوج مرتب من العنصر وفهرس المجموعة التي تحتوي عليه. ^[14]

• نظرية فصل المستوى الفائق للمجموعات المحدبة المنفصلة
• الأحداث المتبادلة الحصرية
• أعداد أولية نسبيًا ، وهي أعداد ذات مجموعات منفصلة من القواسم الأولية
• فاصل
• مجموعة التعبئة ، مشكلة إيجاد أكبر عائلة فرعية منفصلة من عائلة من المجموعات

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعات المنفصلة". MathWorld .