مجموعات منفصلة

في علم الطوبولوجيا وفروع الرياضيات ذات الصلة ، تُعرَّف المجموعات المنفصلة بأنها أزواج من المجموعات الجزئية في فضاء طوبولوجي معين ، تربطها علاقة معينة: أي أنها لا تتداخل ولا تتلامس. ويُعدّ مفهوم انفصال أو عدم انفصال مجموعتين بالغ الأهمية لمفهوم الفضاءات المتصلة (ومكوناتها المتصلة)، وكذلك لبديهيات الفصل في الفضاءات الطوبولوجية.

لا ينبغي الخلط بين المجموعات المنفصلة والفضاءات المنفصلة (المُعرّفة أدناه)، فهما مرتبطان نوعًا ما ولكنهما مختلفان. أما الفضاءات القابلة للفصل فهي مفهوم طوبولوجي مختلف تمامًا.

توجد طرق مختلفة لدمج مجموعتين جزئيتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يمكن اعتبار مجموعتين منفصلتين. أبسط طريقة لفصل مجموعتين هي أن تكونا غير متداخلتين ، أي أن يكون تقاطعهما مجموعة فارغة . لا علاقة لهذه الخاصية بعلم الطوبولوجيا بحد ذاته، بل بنظرية المجموعات فقط . كل خاصية من الخصائص التالية أكثر دقة من عدم التداخل، إذ تتضمن بعض المعلومات الطوبولوجية.

الخصائص المذكورة أدناه معروضة بترتيب تصاعدي من حيث التحديد، حيث يمثل كل منها مفهوماً أقوى من المفهوم السابق.

المجموعات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$نكونتم الفصل في${\displaystyle X}$إذا كان كل منهما منفصلاً عن إغلاق الآخر :

$${\displaystyle A\cap {\bar {B}}=\varnothing ={\bar {A}}\cap B.}$$

تُعرف هذه الخاصية باسم شرط هاوسدورف-لينس للفصل . ^{[ 1 ]} بما أن كل مجموعة مُحتواة في إغلاقها، فإن أي مجموعتين منفصلتين يجب أن تكونا تلقائيًا غير متداخلتين. لا يشترط أن تكون الإغلاقات نفسها غير متداخلة؛ على سبيل المثال، الفترات${\displaystyle [0,1)}$و${\displaystyle (1,2]}$يتم فصلها على خط الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} ,}$على الرغم من أن النقطة 1 تنتمي إلى كلتا حالتي الإغلاق. مثال أكثر عمومية هو أنه في أي فضاء متري ، كرتان مفتوحتان${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\}}$و${\displaystyle B_{s}(q)=\{x\in X:d(q,x)<s\}}$يتم فصلهم كلما${\displaystyle d(p,q)\geq r+s.}$يمكن أيضًا التعبير عن خاصية الانفصال من حيث المجموعة المشتقة (المشار إليها بالرمز '):${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يتم فصلها عندما تكون منفصلة، ​​ويكون كل منها منفصلاً عن المجموعة المشتقة من الأخرى، أي${\textstyle A'\cap B=\varnothing =B'\cap A.}$(كما هو الحال في النسخة الأولى من التعريف، المجموعات المشتقة)${\displaystyle A'}$و${\displaystyle B'}$لا يشترط أن تكون منفصلة عن بعضها البعض.)

المجموعات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$نكونمفصولة حسب الأحياء إن وجدت.${\displaystyle U}$ل${\displaystyle A}$و${\displaystyle V}$ل${\displaystyle B}$بحيث${\displaystyle U}$و${\displaystyle V}$منفصلة. (أحيانًا سترى شرطًا ينص على أن${\displaystyle U}$و${\displaystyle V}$(على سبيل المثال، الأحياء المفتوحة ، لكن هذا لا يُحدث فرقًا في النهاية.)${\displaystyle A=[0,1)}$و${\displaystyle B=(1,2],}$يمكنك أن تأخذ${\displaystyle U=(-1,1)}$و${\displaystyle V=(1,3).}$لاحظ أنه إذا كانت أي مجموعتين مفصولتين بجوار، فإنهما بالتأكيد منفصلتان.${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانت مفتوحة ومنفصلة، ​​فيجب فصلها بالأحياء؛ خذ على سبيل المثال${\displaystyle U=A}$و${\displaystyle V=B.}$لهذا السبب، غالبًا ما يتم استخدام الانفصال مع المجموعات المغلقة (كما هو الحال في بديهية الفصل العادية ).

المجموعات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$نكونمفصولة بأحياء مغلقة إذا كان هناكحيمغلق${\displaystyle U}$ل${\displaystyle A}$وحي مغلق${\displaystyle V}$ل${\displaystyle B}$بحيث${\displaystyle U}$و${\displaystyle V}$منفصلة. أمثلتنا،${\displaystyle [0,1)}$و${\displaystyle (1,2],}$لا تفصل بينها أحياء مغلقة. يمكنك صنع أي منهما${\displaystyle U}$أو${\displaystyle V}$ تُغلق المجموعتان بإضافة النقطة 1 إليهما، ولكن لا يمكن جعلهما مغلقتين مع الحفاظ على انفصالهما. لاحظ أنه إذا كانت أي مجموعتين مفصولتين بجوارات مغلقة، فإنهما بالتأكيد مفصولتان بجوارات .

المجموعات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$نكونيفصل بينهما دالة متصلة إذا وُجدتدالة متصلة${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$من الفضاء${\displaystyle X}$إلى الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$بحيث${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(0)}$و${\displaystyle B\subseteq f^{-1}(1)}$أي أعضاء${\displaystyle A}$الخريطة إلى 0 وأعضاء${\displaystyle B}$الخريطة إلى 1. (أحيانًا فترة الوحدة${\displaystyle [0,1]}$يُستخدم بدلاً من${\displaystyle \mathbb {R} }$في هذا التعريف، ولكن هذا لا يُحدث فرقًا.) في مثالنا،${\displaystyle [0,1)}$و${\displaystyle (1,2]}$لا يتم الفصل بينها بواسطة دالة، لأنه لا توجد طريقة لتعريفها بشكل مستمر${\displaystyle f}$عند النقطة 1. ^{[ 2 ]} إذا كانت مجموعتان مفصولتين بدالة متصلة، فإنهما مفصولتان أيضًا بجوارات مغلقة ؛ ويمكن التعبير عن هذه الجوارات بدلالة الصورة العكسية لـ${\displaystyle f}$مثل${\displaystyle U=f^{-1}[-c,c]}$و${\displaystyle V=f^{-1}[1-c,1+c],}$أين${\displaystyle c}$أي عدد حقيقي موجب أصغر من${\displaystyle 1/2.}$

المجموعات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$نكونمفصولة بدقة بواسطة دالة متصلة إذا وُجدت دالة متصلة${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$بحيث${\displaystyle A=f^{-1}(0)}$و${\displaystyle B=f^{-1}(1).}$(مرة أخرى، قد ترى أيضًا فاصل الوحدة بدلاً من${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ومرة أخرى، لا فرق. لاحظ أنه إذا كانت أي مجموعتين مفصولتين بدقة بدالة، فإنهما مفصولتان بدالة . بما أن${\displaystyle \{0\}}$و${\displaystyle \{1\}}$مغلقة في${\displaystyle \mathbb {R} ,}$المجموعات المغلقة فقط هي التي يمكن فصلها بدقة بواسطة دالة، ولكن مجرد كون مجموعتين مغلقتين ومفصولتين بواسطة دالة لا يعني أنهما مفصولتان بدقة بواسطة دالة (حتى لو كانت دالة مختلفة).

تُعدّ بديهيات الفصل شروطًا متنوعة تُفرض أحيانًا على الفضاءات الطوبولوجية، ويمكن وصف العديد منها بدلالة أنواع المجموعات المفصولة. كمثال، سنُعرّف بديهية T2 _، وهي الشرط المفروض على الفضاءات المفصولة. تحديدًا، يكون الفضاء الطوبولوجي مفصولًا إذا، عند إعطاء أي نقطتين مختلفتين x و y ، كانت المجموعات الأحادية { x } و { y } مفصولة بجوار.

تُسمى المساحات المنفصلة عادةً بمساحات هاوسدورف أو _مساحات T2 .

بالنظر إلى فضاء طوبولوجي X ، من المفيد أحيانًا النظر فيما إذا كان من الممكن فصل مجموعة جزئية A عن متممتها . هذا صحيح بالتأكيد إذا كانت A إما المجموعة الفارغة أو الفضاء X بأكمله ، ولكن قد توجد احتمالات أخرى. يكون الفضاء الطوبولوجي X متصلًا إذا كان هذان الاحتمالان هما الوحيدان. على العكس من ذلك، إذا كانت مجموعة جزئية غير فارغة A منفصلة عن متممتها، وإذا كانت المجموعة الجزئية الوحيدة من A التي تشترك في هذه الخاصية هي المجموعة الفارغة، فإن A تكون مكونًا مفتوحًا متصلًا من X. (في الحالة المنحلة حيث يكون X نفسه هو المجموعة الفارغة)${\displaystyle \emptyset }$تختلف السلطات حول ما إذا${\displaystyle \emptyset }$متصل وما إذا كان${\displaystyle \emptyset }$(هو مكون مفتوح ومتصل بنفسه.)

في فضاء طوبولوجي X ، يُقال إن نقطتين x و y قابلتان للتمييز الطوبولوجي إذا وُجدت مجموعة مفتوحة تنتمي إليها إحدى النقطتين دون الأخرى. إذا كانت x و y قابلتين للتمييز الطوبولوجي، فإن مجموعتي العناصر المفردة { x } و { y } يجب أن تكونا منفصلتين. من جهة أخرى، إذا كانت مجموعتا العناصر المفردة { x } و { y } منفصلتين، فإن النقطتين x و y يجب أن تكونا قابلتين للتمييز الطوبولوجي. بالتالي، بالنسبة للعناصر المفردة، يُعد التمييز الطوبولوجي شرطًا وسطًا بين الانفصال وعدم الانفصال.

• فضاء هاوسدورف – نوع من الفضاءات الطوبولوجية 
• فضاء هاوسدورف محليًا - فضاء بحيث يكون لكل نقطة فيه حي هاوسدورف 
• بديهية الفصل – بديهيات في علم الطوبولوجيا تحدد مفاهيم "الفصل"