مجموعة فرعية

في الرياضيات، المجموعة A هي مجموعة جزئية من المجموعة B إذا كانت جميع عناصر A هي أيضًا عناصر B ؛ تكون B إذن مجموعة عظمى من A. من الممكن أن تكون A و B متساويتين؛ إذا كانتا غير متساويتين، تكون A مجموعة جزئية حقيقية من B. تسمى العلاقة بين مجموعة ما ومجموعة جزئية أخرى التضمين (أو الاحتواء في بعض الأحيان ). يمكن أيضًا التعبير عن A كمجموعة جزئية من B على أنها تتضمن (أو تحتوي) على A أو A متضمنة (أو محتواة) في B. المجموعة الجزئية k هي مجموعة جزئية بها k عناصر .

عند تحديد الكمية، يتم تمثيلها على النحو التالي ^[1]${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right).}$

يمكن إثبات العبارة من خلال تطبيق تقنية الإثبات المعروفة باسم حجة العنصر ^[2] :${\displaystyle A\subseteq B}$

ليكن المجموعتان A و B معطاة. لإثبات أن${\displaystyle A\subseteq B,}$

1. افترض أن a هو عنصر معين ولكن تم اختياره بشكل تعسفي من A
2. أثبت أن a هو عنصر من B.

يمكن رؤية صحة هذه التقنية كنتيجة للتعميم الشامل : حيث تظهر التقنية لعنصر تم اختياره عشوائيًا c . وبالتالي فإن التعميم الشامل يعني ما يعادل ما ورد أعلاه. ${\displaystyle (c\in A)\Rightarrow (c\in B)}$${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right),}$${\displaystyle A\subseteq B,}$

إذا كانت A و B مجموعتين وكل عنصر من A هو أيضًا عنصر من B ، فإن:

• أ هي مجموعة فرعية من ب ، يشار إليها بـ ، أو على نحو مكافئ،${\displaystyle A\subseteq B}$
• B هي مجموعة فرعية من A ، ويرمز لها بـ${\displaystyle B\supseteq A.}$

إذا كانت A مجموعة جزئية من B ، ولكن A لا تساوي B (أي يوجد عنصر واحد على الأقل من B ليس عنصرًا من A ) ، فإن:

• أ هي مجموعة فرعية صحيحة (أو صارمة ) من ب ، يشار إليها بـ ، أو على نحو مكافئ،${\displaystyle A\subsetneq B}$
• B هي مجموعة فرعية حقيقية (أو صارمة ) من A ، والتي يشار إليها بواسطة${\displaystyle B\supsetneq A.}$

المجموعة الفارغة ، المكتوبة أو لا تحتوي على أي عناصر ، وبالتالي فهي فارغة تمامًا من أي مجموعة X.${\displaystyle \{\}}$${\displaystyle \varnothing ,}$

• الانعكاسية : إذا أعطيت أي مجموعة، ^[3]${\displaystyle A}$${\displaystyle A\subseteq A}$
• التعدية : إذاو، إذن${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B\subseteq C}$${\displaystyle A\subseteq C}$
• عدم التماثل : إذاو، فإن.${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle A=B}$

• عدم الانعكاسية : إذا أعطيت أي مجموعة،فهي خاطئة.${\displaystyle A}$${\displaystyle A\subsetneq A}$
• التعدية : إذاو، إذن${\displaystyle A\subsetneq B}$${\displaystyle B\subsetneq C}$${\displaystyle A\subsetneq C}$
• عدم التماثل : إذاالأمرخاطئًا.${\displaystyle A\subsetneq B}$${\displaystyle B\subsetneq A}$

يستخدم بعض المؤلفين الرموز و للإشارة إلى المجموعة الجزئية والمجموعة العليا على التوالي؛ أي بنفس معنى و بدلاً من الرموز و ^[4] على سبيل المثال، بالنسبة لهؤلاء المؤلفين، ينطبق هذا على كل مجموعة A ( علاقة انعكاسية ). ${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \supseteq .}$${\displaystyle A\subset A.}$

يفضل مؤلفون آخرون استخدام الرموز و للإشارة إلى المجموعة الجزئية الصحيحة (وتسمى أيضًا المجموعة الصارمة) والمجموعة الفائقة الصحيحة على التوالي؛ أي بنفس معنى و بدلاً من الرموز و ^[5] هذا الاستخدام يجعل و مشابهًا لرموز المتباينة و على سبيل المثال، إذا كان x قد يساوي y أو لا يساويه ، ولكن إذا كان x بالتأكيد لا يساوي y ، و أقل من y ( علاقة غير انعكاسية ). وبالمثل، باستخدام الاتفاقية التي هي المجموعة الجزئية الصحيحة، إذا كان A قد يساوي B أو لا يساويه ، ولكن إذا كان A بالتأكيد لا يساوي B.${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \subsetneq }$${\displaystyle \supsetneq .}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle <.}$${\displaystyle x\leq y,}$${\displaystyle x<y,}$${\displaystyle \subset }$${\displaystyle A\subseteq B,}$${\displaystyle A\subset B,}$

• المجموعة A = {1, 2} هي مجموعة فرعية مناسبة لـ B = {1, 2, 3}، وبالتالي فإن كلا التعبيرين و صحيحان.${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle A\subsetneq B}$
• المجموعة D = {1, 2, 3} هي مجموعة جزئية (ولكنها ليست مجموعة جزئية حقيقية) من E = {1, 2, 3}، وبالتالي فهي صحيحة، وليست صحيحة (خطأ).${\displaystyle D\subseteq E}$${\displaystyle D\subsetneq E}$
• المجموعة { x : x هو عدد أولي أكبر من 10 } هي مجموعة جزئية مناسبة من { x : x هو عدد فردي أكبر من 10 }
• مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة فرعية حقيقية لمجموعة الأعداد النسبية ؛ وبالمثل، فإن مجموعة النقاط في قطعة مستقيمة هي مجموعة فرعية حقيقية لمجموعة النقاط في مستقيم . هذان مثالان حيث تكون كل من المجموعة الفرعية والمجموعة الكاملة لا نهائية، والمجموعة الفرعية لها نفس عدد العناصر (المفهوم الذي يتوافق مع الحجم، أي عدد العناصر، لمجموعة محدودة) مثل الكل؛ مثل هذه الحالات يمكن أن تتعارض مع الحدس الأولي للشخص.
• مجموعة الأعداد النسبية هي مجموعة جزئية حقيقية لمجموعة الأعداد الحقيقية . في هذا المثال، كلتا المجموعتين لا نهائيتان، لكن المجموعة الأخيرة لها عدد أساسي (أو قوة ) أكبر من المجموعة السابقة.

مثال آخر في مخطط أويلر :

• 
  أ هي مجموعة فرعية مناسبة من ب.
• 
  C هي مجموعة جزئية ولكنها ليست مجموعة فرعية حقيقية من B.

تسمى مجموعة كل المجموعات الجزئية الخاصة بها بمجموعة القوى ، ويرمز لها بالرمز . ^[6]${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$

علاقة التضمين هي ترتيب جزئي للمجموعة المحددة بواسطة . يمكننا أيضًا الترتيب جزئيًا عن طريق تضمين المجموعة العكسية من خلال تعريف${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle A\leq B\iff A\subseteq B}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle A\leq B{\text{ if and only if }}B\subseteq A.}$

بالنسبة لمجموعة القوى لمجموعة S ، فإن الترتيب الجزئي للتضمين هو -حتى تماثل الترتيب- حاصل الضرب الديكارتي لـ ( عدد عناصر S ) نسخ الترتيب الجزئي الذي بالنسبة له. ويمكن توضيح ذلك من خلال تعداد وربط كل مجموعة فرعية (أي كل عنصر من عناصر ) بـ k -tuple منها يكون الإحداثي i مساويًا لـ 1 إذا وفقط إذا كان عضوًا في T.${\displaystyle \operatorname {\mathcal {P}} (S)}$${\displaystyle k=|S|}$${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle 0<1.}$${\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},}$${\displaystyle T\subseteq S}$${\displaystyle 2^{S}}$${\displaystyle \{0,1\}^{k},}$${\displaystyle s_{i}}$

مجموعة جميع المجموعات الجزئية لـ يتم الإشارة إليها بواسطة ، على غرار ترميز المعاملات الثنائية ، والتي تحسب عدد المجموعات الجزئية لمجموعة مكونة من عنصر -. في نظرية المجموعات ، الترميز شائع أيضًا ، خاصةً عندما يكون عددًا أساسيًا غير محدود . ${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tbinom {A}{k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [A]^{k}}$${\displaystyle k}$

• المجموعة A هي مجموعة جزئية من B إذا وفقط إذا كان تقاطعهما يساوي A. رسميًا:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cap B=A.}$

• المجموعة A هي مجموعة جزئية من B إذا وفقط إذا كان اتحادهما يساوي B. رسميًا:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cup B=B.}$

• المجموعة المحدودة A هي مجموعة جزئية من B ، إذا وفقط إذا كان عدد عناصر تقاطعهما يساوي عدد عناصر A. رسميًا:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.}$

• تحدد علاقة المجموعة الجزئية ترتيبًا جزئيًا للمجموعات. في الواقع، تشكل المجموعات الجزئية لمجموعة معينة جبرًا بوليانيًا تحت علاقة المجموعة الجزئية، حيث يتم تحديد الانضمام والالتقاء من خلال التقاطع والاتحاد ، وتكون علاقة المجموعة الجزئية نفسها علاقة تضمين بوليانية .
• التضمين هو الترتيب الجزئي القياسي ، بمعنى أن كل مجموعة مرتبة جزئيًا تكون متماثلة مع مجموعة من المجموعات المرتبة بالتضمين. الأعداد الترتيبية هي مثال بسيط: إذا تم تحديد كل ترتيب n بمجموعة من جميع الأعداد الترتيبية الأقل من أو تساوي n ، فعندئذٍ إذا وفقط إذا${\displaystyle (X,\preceq )}$${\displaystyle [n]}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$

• مجموعة محدبة  - في الهندسة، المجموعة التي يكون تقاطعها مع كل خط عبارة عن قطعة مستقيمة واحدةPages displaying short descriptions of redirect targets
• ترتيب التضمين  – ترتيب جزئي ينشأ كعلاقة تضمين جزئية في مجموعة من الكائنات
• علم الأجزاء  – دراسة الأجزاء والكليات التي تشكلها
• المنطقة  - مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من مساحة طوبولوجيPages displaying short descriptions of redirect targets
• مسألة مجموع المجموعات الجزئية  – مسألة اتخاذ القرار في علوم الكمبيوتر
• الاحتواء التبعي  – نظام من العناصر التي تخضع لبعضها البعض
• الفضاء الجزئي  – مجموعة رياضية مع بعض البنية المضافةPages displaying short descriptions of redirect targets
• المجموعة الفرعية الكلية  – المجموعة الفرعية T من فضاء المتجه الطوبولوجي X حيث يكون الامتداد الخطي لـ T عبارة عن مجموعة فرعية كثيفة من X

• جيتش، توماس (2002). تعيين النظرية . سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-44085-2.

• الوسائط المتعلقة بـ Subsets في ويكيميديا ​​كومنز
• وايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعة الجزئية". MathWorld .