نظرية النموذج

في المنطق الرياضي ، نظرية النموذج هي دراسة العلاقة بين النظريات الرسمية (مجموعة من الجمل في لغة رسمية تعبر عن عبارات حول بنية رياضية ) ، ونماذجها ( تلك الهياكل التي تصمد فيها عبارات النظرية). ^[1] تشمل الجوانب التي تم التحقيق فيها عدد وحجم نماذج النظرية، وعلاقة النماذج المختلفة ببعضها البعض، وتفاعلها مع اللغة الرسمية نفسها. على وجه الخصوص، يبحث منظرو النماذج أيضًا في المجموعات التي يمكن تعريفها في نموذج نظرية، وعلاقة هذه المجموعات القابلة للتعريف ببعضها البعض. كتخصص منفصل، تعود نظرية النموذج إلى ألفريد تارسكي ، الذي استخدم لأول مرة مصطلح "نظرية النماذج" في النشر عام 1954. ^[2] منذ سبعينيات القرن العشرين، تم تشكيل الموضوع بشكل حاسم من خلال نظرية الاستقرار لسهارون شيلاه .

بالمقارنة مع مجالات أخرى من المنطق الرياضي مثل نظرية الإثبات ، غالبًا ما تكون نظرية النموذج أقل اهتمامًا بالدقة الشكلية وأقرب في الروح إلى الرياضيات الكلاسيكية. وقد دفع هذا إلى التعليق القائل بأن "إذا كانت نظرية الإثبات تتعلق بالمقدس، فإن نظرية النموذج تتعلق بالدنيوي" . ^[3] تعكس تطبيقات نظرية النموذج على الهندسة الجبرية والديوفانتية هذا القرب من الرياضيات الكلاسيكية، حيث إنها غالبًا ما تنطوي على تكامل النتائج والتقنيات الجبرية ونظرية النموذج. وبالتالي، فإن نظرية الإثبات ذات طبيعة نحوية ، على النقيض من نظرية النموذج، التي هي ذات طبيعة دلالية .

المنظمة العلمية الأبرز في مجال نظرية النموذج هي جمعية المنطق الرمزي .

ترتكز هذه الصفحة على نظرية النموذج النهائي من الدرجة الأولى للهياكل اللانهائية.

لقد تذبذب التركيز النسبي على فئة نماذج النظرية في مقابل فئة المجموعات القابلة للتعريف داخل نموذج ما في تاريخ الموضوع، وقد تم تلخيص الاتجاهين من خلال التوصيفات الموجزة من عام 1973 وعام 1997 على التوالي:

نظرية النموذج = الجبر الشامل + المنطق ^[4]

حيث يمثل الجبر الشامل الهياكل الرياضية والمنطق النظريات المنطقية؛ و

نظرية النموذج = الهندسة الجبرية − الحقول .

حيث تكون الصيغ المنطقية قابلة للتعريف، بينما تكون المعادلات قابلة للتنوع في الحقل. ^[5]

ومع ذلك، كان التفاعل بين فئات النماذج والمجموعات القابلة للتعريف فيها أمرًا بالغ الأهمية لتطوير نظرية النماذج طوال تاريخها. على سبيل المثال، في حين تم تقديم الاستقرار في الأصل لتصنيف النظريات حسب أعداد نماذجها في عدد معين ، أثبتت نظرية الاستقرار أهميتها لفهم هندسة المجموعات القابلة للتعريف.

تتكون الصيغة من الدرجة الأولى من صيغ ذرية مثل أو عن طريق الروابط المنطقية وإضافة بادئات للكلمات الكمية أو . الجملة هي صيغة يكون فيها كل ظهور لمتغير ما ضمن نطاق كلمة كمية مقابلة. أمثلة على الصيغ هي (أو للإشارة إلى المتغير غير المقيد في ) و (أو )، كما هو محدد على النحو التالي: ${\displaystyle R(f(x,y),z)}$${\displaystyle y=x+1}$ ${\displaystyle \neg ,\land ,\lor ,\rightarrow }$${\displaystyle \forall v}$${\displaystyle \exists v}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\varphi &=&\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,\\\psi &=&\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.\end{array}}}$

(لاحظ أن رمز المساواة له معنى مزدوج هنا.) من الواضح بديهيًا كيفية ترجمة مثل هذه الصيغ إلى معنى رياضي. في شبه حلقة الأعداد الطبيعية ، التي يُنظر إليها على أنها بنية ذات وظائف ثنائية للجمع والضرب وثوابت لـ 0 و 1 من الأعداد الطبيعية، على سبيل المثال، يلبي العنصر الصيغة إذا وفقط إذا كان عددًا أوليًا. تحدد الصيغة أيضًا عدم القابلية للاختزال . أعطى تارسكي تعريفًا صارمًا، يُطلق عليه أحيانًا "تعريف تارسكي للحقيقة" ، لعلاقة الرضا ، بحيث يمكن للمرء أن يثبت بسهولة: ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \models }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \varphi (n)\iff n}$هو عدد أولي.

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \psi (n)\iff n}$لا يمكن اختصاره.

تُسمى مجموعة الجمل بنظرية (من الدرجة الأولى) ، والتي تأخذ الجمل في المجموعة كمسلمات لها. تكون النظرية قابلة للإشباع إذا كان لديها نموذج ، أي بنية (ذات التوقيع المناسب) تُرضي جميع الجمل في المجموعة . النظرية الكاملة هي نظرية تحتوي على كل جملة أو نفيها. تُسمى النظرية الكاملة لجميع الجمل التي تُرضي بنية ما أيضًا نظرية تلك البنية . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models T}$${\displaystyle T}$

إنها نتيجة لنظرية اكتمال جودل (لا ينبغي الخلط بينها وبين نظريات عدم اكتماله ) أن النظرية لها نموذج إذا وفقط إذا كانت متسقة ، أي لا تثبت النظرية أي تناقض. لذلك، غالبًا ما يستخدم منظرو النماذج كلمة "متسق" كمرادف لكلمة "قابلة للإرضاء".

التوقيع أو اللغة عبارة عن مجموعة من الرموز غير المنطقية بحيث يكون كل رمز إما رمزًا ثابتًا أو رمز وظيفة أو علاقة بدرجة محددة . لاحظ أنه في بعض الأدبيات، تعتبر الرموز الثابتة رموز وظيفة بدرجة صفرية، وبالتالي يتم حذفها. الهيكل عبارة عن مجموعة مع تفسيرات لكل من رموز التوقيع كعلاقات ووظائف (لا ينبغي الخلط بينها وبين المفهوم الرسمي لـ " تفسير " هيكل ما في هيكل آخر). ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

مثال: التوقيع الشائع للحلقات المرتبة هو ، حيث و هما رمزان لدالة 0-ary (يُعرفان أيضًا باسم الرموز الثابتة)، و هما رمزان لدالة ثنائية (= 2-ary)، و هو رمز دالة أحادية (= 1-ary)، و هو رمز علاقة ثنائية. بعد ذلك، عندما يتم تفسير هذه الرموز لتتوافق مع معناها المعتاد على (بحيث eg هي دالة من إلى و هي مجموعة فرعية من )، نحصل على بنية . ${\displaystyle \sigma _{or}=(0,1,+,\times ,-,<)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle -}$${\displaystyle <}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle +}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle <}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\sigma _{or})}$

يقال إن البنية تشكل نموذجًا لمجموعة من الجمل من الدرجة الأولى في اللغة المعطاة إذا كانت كل جملة في صحيحة في فيما يتعلق بتفسير التوقيع المحدد مسبقًا لـ . (مرة أخرى، لا ينبغي الخلط بينه وبين المفهوم الرسمي لـ " تفسير " بنية ما في بنية أخرى) نموذج هو بنية تشكل نموذجًا لـ . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

البنية الفرعية لبنية σ هي مجموعة فرعية من مجالها، مغلقة تحت جميع الدوال في توقيعها σ، والتي تعتبر بنية σ من خلال تقييد جميع الدوال والعلاقات في σ بالمجموعة الفرعية. وهذا يعمم المفاهيم المماثلة من الجبر؛ على سبيل المثال، المجموعة الفرعية هي بنية فرعية في التوقيع مع الضرب والعكس. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

يقال أن البنية الفرعية أولية إذا كان لأي صيغة من الدرجة الأولى وأي عناصر a ₁ ، ... ، a _n من ، ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$إذا وفقط إذا .${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$

على وجه الخصوص، إذا كانت جملة وبنية فرعية أولية لـ ، إذن إذا وفقط إذا . وبالتالي، فإن البنية الفرعية الأولية هي نموذج لنظرية ما بالضبط عندما تكون البنية الفوقية نموذجًا. ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi }$

مثال: في حين أن مجال الأعداد الجبرية هو بنية فرعية أولية لمجال الأعداد المركبة ، فإن المجال النسبي ليس كذلك، حيث يمكننا التعبير عن "يوجد جذر مربع لـ 2" كجملة من الدرجة الأولى يتم تحقيقها بواسطة ولكن ليس بواسطة . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

إن تضمين بنية σ في بنية σ أخرى هو عبارة عن خريطة f : A → B بين المجالات والتي يمكن كتابتها على هيئة تماثل مع بنية فرعية لـ . وإذا كان من الممكن كتابتها على هيئة تماثل مع بنية فرعية أولية، فإنها تسمى تضمينًا أوليًا. كل تضمين هو تماثل حقن ، ولكن العكس صحيح فقط إذا لم يحتوي التوقيع على رموز علاقة، كما هو الحال في المجموعات أو الحقول. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

يمكن اعتبار المجال أو الفضاء المتجهي مجموعة (تبديلية) ببساطة عن طريق تجاهل بعض بنيته. المفهوم المقابل في نظرية النموذج هو اختزال البنية إلى مجموعة فرعية من التوقيع الأصلي. تسمى العلاقة المعاكسة بالتوسع - على سبيل المثال المجموعة (الجمعية) للأعداد النسبية ، التي تعتبر بنية في التوقيع {+,0} يمكن توسيعها إلى حقل بالتوقيع {×,+,1,0} أو إلى مجموعة مرتبة بالتوقيع {+,0,<}.

وبالمثل، إذا كانت σ' علامة تمتد إلى علامة σ أخرى، فيمكن تقييد نظرية σ' الكاملة بـ σ من خلال تقاطع مجموعة جملها مع مجموعة صيغ σ. وعلى العكس من ذلك، يمكن اعتبار نظرية σ الكاملة نظرية σ'، ويمكن للمرء أن يوسعها (بأكثر من طريقة) إلى نظرية σ' كاملة. يتم تطبيق مصطلحي الاختزال والتوسع أحيانًا على هذه العلاقة أيضًا.

تنص نظرية الاكتمال على أن مجموعة من الجمل S قابلة للإشباع إذا كانت كل مجموعة فرعية محدودة من S قابلة للإشباع. العبارة التناظرية مع متسقة بدلاً من قابلة للإشباع تافهة، لأن كل دليل لا يمكن أن يكون له سوى عدد محدود من المقدمات المستخدمة في الدليل. تسمح لنا نظرية الاكتمال بنقل هذا إلى قابلية الإشباع. ومع ذلك، هناك أيضًا العديد من البراهين المباشرة (الدلالية) لنظرية الاكتمال. وكنتيجة تكميلية (أي معاكسة لها)، تقول نظرية الاكتمال أن كل نظرية من الدرجة الأولى غير قابلة للإشباع لها مجموعة فرعية محدودة غير قابلة للإشباع. هذه النظرية ذات أهمية مركزية في نظرية النموذج، حيث تعد الكلمات "بالاكتمال" شائعة. ^[6]

حجر الزاوية الآخر لنظرية النموذج من الدرجة الأولى هو نظرية لوينهايم-سكوليم . وفقًا لنظرية لوينهايم-سكوليم، فإن كل بنية لا نهائية في توقيع قابل للعد لها بنية فرعية أولية قابلة للعد. وعلى العكس من ذلك، بالنسبة لأي عدد أساسي لا نهائي κ، يمكن تضمين كل بنية لا نهائية في توقيع قابل للعد يكون عدد عناصره أقل من κ بشكل أولي في بنية أخرى ذات عدد عناصر κ (هناك تعميم مباشر للتوقيعات غير القابلة للعد). على وجه الخصوص، تشير نظرية لوينهايم-سكوليم إلى أن أي نظرية في توقيع قابل للعد مع نماذج لا نهائية لها نموذج قابل للعد بالإضافة إلى نماذج كبيرة بشكل تعسفي. ^[7]

بمعنى معين تم تحديده بدقة من خلال نظرية ليندستروم ، فإن المنطق من الدرجة الأولى هو المنطق الأكثر تعبيرًا والذي تنطبق عليه كل من نظرية لوينهايم-سكوليم ونظرية الاكتناز. ^[8]

في نظرية النموذج، تعتبر المجموعات القابلة للتعريف من الأشياء المهمة للدراسة. على سبيل المثال، في الصيغة ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1}$

يحدد مجموعة فرعية من الأعداد الأولية، في حين أن الصيغة

${\displaystyle \exists y(2\times y=x)}$

يحدد مجموعة فرعية من الأعداد الزوجية. وعلى نحو مماثل، تحدد الصيغ التي تحتوي على n متغيرًا حرًا مجموعات فرعية من . على سبيل المثال، في حقل، تحدد الصيغة ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$

${\displaystyle y=x\times x}$

يحدد منحنى كل ما بحيث . ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y=x^{2}}$

كلا التعريفين المذكورين هنا خاليان من المعلمات ، أي أن صيغ التعريف لا تذكر أي عناصر مجال ثابت. ومع ذلك، يمكن للمرء أيضًا النظر في التعريفات التي تحتوي على معلمات من النموذج . على سبيل المثال، في ، الصيغة ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle y=x\times x+\pi }$

يستخدم المعلمة from لتحديد المنحنى. ^[9]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

بشكل عام، من السهل وصف المجموعات القابلة للتعريف بدون محددات كمية، بينما المجموعات القابلة للتعريف التي تتضمن محددات كمية متداخلة قد تكون أكثر تعقيدًا. ^[10]

هذا يجعل إزالة المحددات أداة حاسمة لتحليل المجموعات القابلة للتعريف: تحتوي النظرية T على إزالة المحددات إذا كانت كل صيغة من الدرجة الأولى φ( x ₁ , ..., x _n ) على توقيعها مكافئة modulo T لصيغة من الدرجة الأولى ψ( x ₁ , ..., x _n ) بدون محددات، أي أنها تنطبق على جميع نماذج T. ^[11] إذا كانت نظرية البنية تحتوي على إزالة المحددات، فإن كل مجموعة قابلة للتعريف في البنية يمكن تعريفها بواسطة صيغة خالية من المحددات على نفس معلمات التعريف الأصلي . على سبيل المثال، تحتوي نظرية الحقول المغلقة جبريًا في _حلقة σ المميزة = (×، +، −، 0، 1) على إزالة المحددات. ^[12] وهذا يعني أنه في الحقل المغلق جبريًا، تكون كل صيغة مكافئة لمجموعة منطقية من المعادلات بين كثيرات الحدود. ${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}(\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n}))}$

إذا لم تكن النظرية تحتوي على إزالة الكم، فيمكن للمرء إضافة رموز إضافية إلى توقيعها حتى تحتوي على ذلك. كانت نتائج قابلية البديهيات وإزالة الكم لنظريات معينة، وخاصة في الجبر، من بين النتائج البارزة المبكرة لنظرية النموذج. ^[13] ولكن غالبًا ما تكون خاصية أضعف كافية بدلاً من إزالة الكم:

تُسمى النظرية T مكتملة النموذج إذا كانت كل بنية فرعية لنموذج T والتي هي في حد ذاتها نموذج لـ T عبارة عن بنية فرعية أولية. يوجد معيار مفيد لاختبار ما إذا كانت البنية الفرعية عبارة عن بنية فرعية أولية، يُسمى اختبار تارسكي-فوغت . ^[14] ويترتب على هذا المعيار أن النظرية T تكون مكتملة النموذج إذا وفقط إذا كانت كل صيغة من الدرجة الأولى φ( x ₁ , ..., x _n ) على توقيعها مكافئة modulo T لصيغة وجودية من الدرجة الأولى، أي صيغة من النموذج التالي:

${\displaystyle \exists v_{1}\dots \exists v_{m}\psi (x_{1},\dots ,x_{n},v_{1},\dots ,v_{m})}$,

حيث ψ خالية من الكميات. قد يكون للنظرية التي ليست مكتملة النموذج ما يسمى بإكمال النموذج ، وهي نظرية مكتملة النموذج ذات صلة، وهي ليست بشكل عام امتدادًا للنظرية الأصلية. هناك مفهوم أكثر عمومية وهو مفهوم رفيق النموذج . ^[15]

في كل بنية، يمكن تعريف كل مجموعة فرعية محدودة باستخدام المعلمات: ببساطة استخدم الصيغة ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}}$

${\displaystyle x=a_{1}\vee \dots \vee x=a_{n}}$.

نظرًا لأنه يمكننا نفي هذه الصيغة، فإن كل مجموعة فرعية محدودة (تتضمن جميع عناصر المجال باستثناء عدد محدود منها) يمكن تعريفها دائمًا أيضًا.

يؤدي هذا إلى مفهوم البنية الدنيا . تسمى البنية بالحد الأدنى إذا كانت كل مجموعة فرعية قابلة للتعريف باستخدام المعلمات من محدودة أو محدودة. يسمى المفهوم المقابل على مستوى النظريات الحد الأدنى القوي : تسمى النظرية T بالحد الأدنى القوي إذا كان كل نموذج من T ضئيلًا. تسمى البنية بالحد الأدنى القوي إذا كانت نظرية تلك البنية ضئيلة للغاية. على نحو مكافئ، تكون البنية ضئيلة للغاية إذا كان كل امتداد أولي ضئيلًا. نظرًا لأن نظرية الحقول المغلقة جبريًا لها إزالة كمية، فإن كل مجموعة فرعية قابلة للتعريف من حقل مغلق جبريًا يمكن تعريفها بواسطة صيغة خالية من الكمية في متغير واحد. تعبر الصيغ الخالية من الكمية في متغير واحد عن مجموعات منطقية من معادلات متعددة الحدود في متغير واحد، ونظرًا لأن معادلة متعددة الحدود غير التافهة في متغير واحد لها عدد محدود فقط من الحلول، فإن نظرية الحقول المغلقة جبريًا ضئيلة للغاية. ^[16]${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

من ناحية أخرى، فإن مجال الأعداد الحقيقية ليس ضئيلاً: على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المجموعة القابلة للتعريف ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi (x)\;=\;\exists y(y\times y=x)}$.

هذا يحدد مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية غير السلبية، والتي ليست منتهية ولا منتهية. يمكن للمرء في الواقع استخدام لتحديد فترات عشوائية على خط الأعداد الحقيقية. اتضح أن هذه كافية لتمثيل كل مجموعة فرعية قابلة للتعريف من . ^[17] كان هذا التعميم للحد الأدنى مفيدًا جدًا في نظرية النموذج للهياكل المرتبة. تسمى البنية المنظمة تمامًا بكثافة في توقيع يتضمن رمزًا لعلاقة الترتيب بالحد الأدنى o إذا كانت كل مجموعة فرعية قابلة للتعريف بمعلمات من عبارة عن اتحاد منتهٍ من النقاط والفواصل. ^[18]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

تعتبر المجموعات القابلة للتعريف والتي تعد أيضًا هياكل فرعية مهمة بشكل خاص، أي تحتوي على جميع الثوابت وتكون مغلقة تحت تطبيق الوظيفة. على سبيل المثال، يمكن للمرء دراسة المجموعات الفرعية القابلة للتعريف لمجموعة معينة. ومع ذلك، ليست هناك حاجة إلى تقييد أنفسنا بالهياكل الفرعية في نفس التوقيع. نظرًا لأن الصيغ التي تحتوي على n متغيرًا حرًا تحدد مجموعات فرعية من ، يمكن أيضًا تعريف n -ary من العلاقات. تكون الدوال قابلة للتعريف إذا كان رسم الدالة عبارة عن علاقة قابلة للتعريف، وتكون الثوابت قابلة للتعريف إذا كانت هناك صيغة بحيث يكون a هو العنصر الوحيد فيها الذي يكون صحيحًا. بهذه الطريقة، يمكن للمرء دراسة المجموعات والحقول القابلة للتعريف في الهياكل العامة، على سبيل المثال، وهو أمر مهم في نظرية الاستقرار الهندسي. ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \varphi (a)}$

يمكننا أن نذهب إلى ما هو أبعد من ذلك، ونتجاوز البنى الفرعية المباشرة. فبالنظر إلى البنية الرياضية، غالبًا ما توجد بنى مرتبطة يمكن إنشاؤها كحاصل على جزء من البنية الأصلية عبر علاقة التكافؤ. ومن الأمثلة المهمة على ذلك مجموعة حاصل قسمة المجموعة. وقد يقول المرء إنه لفهم البنية الكاملة يجب علينا فهم هذه الحاصلات. وعندما تكون علاقة التكافؤ قابلة للتعريف، يمكننا إعطاء الجملة السابقة معنى دقيقًا. فنقول إن هذه البنى قابلة للتفسير . والحقيقة الأساسية هي أنه يمكن للمرء أن يترجم الجمل من لغة البنى المفسرة إلى لغة البنية الأصلية. وبالتالي يمكن للمرء أن يُظهر أنه إذا فسرت بنية أخرى لا يمكن تحديد نظريتها، فإنها تكون نفسها غير قابلة للحل. ^[19]${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

بالنسبة لتسلسل عناصر بنية ومجموعة فرعية A من ، يمكننا اعتبار مجموعة جميع الصيغ من الدرجة الأولى ذات المعلمات في A والتي يتم تلبيتها بواسطة . وهذا ما يسمى بالنوع الكامل (n-) الذي تم تحقيقه بواسطة على A . إذا كان هناك تماثل ذاتي لـ يكون ثابتًا على A ويرسل إلى على التوالي، فعندئذٍ و يحققان نفس النوع الكامل على A . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

سيعمل خط الأعداد الحقيقية ، الذي يُنظر إليه على أنه بنية ذات علاقة ترتيب فقط {<}، كمثال تشغيلي في هذا القسم. يلبي كل عنصر نفس النوع 1 على المجموعة الفارغة. هذا واضح لأن أي عددين حقيقيين a و b متصلان بواسطة التماثل الترتيبي الذي يحول جميع الأرقام بمقدار ba . يعتمد النوع 2 الكامل على المجموعة الفارغة التي يحققها زوج من الأرقام على ترتيبهما: إما أو . على مجموعة الأعداد الصحيحة، يعتمد النوع 1 لعدد حقيقي غير صحيح a على قيمته مقربة إلى أقرب عدد صحيح. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle a_{1}<a_{2}}$${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$${\displaystyle a_{2}<a_{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$

بشكل عام، كلما كان هيكلًا و A مجموعة جزئية من ، فإن نوعًا من النوع (جزئيًا) على A هو مجموعة من الصيغ p مع n متغير حر على الأكثر يتم إدراكها في امتداد أولي لـ . إذا احتوت p على كل صيغة من هذه الصيغ أو نفيها، فإن p تكون كاملة . غالبًا ما تُكتب مجموعة الأنواع الكاملة من النوع n على A على النحو التالي . إذا كانت A هي المجموعة الفارغة، فإن مساحة النوع تعتمد فقط على نظرية . تُستخدم هذه الصيغة عادةً لمجموعة الأنواع على المجموعة الفارغة المتوافقة مع . إذا كانت هناك صيغة واحدة بحيث تتضمن نظرية لكل صيغة في p ، فإن p تسمى معزولة . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle S_{n}^{\mathcal {M}}(A)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle S_{n}(T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$${\displaystyle \psi }$

نظرًا لأن الأعداد الحقيقية أرخميدية ، فلا يوجد عدد حقيقي أكبر من كل عدد صحيح. ومع ذلك، تُظهر حجة الاكتناز وجود امتداد أولي لخط الأعداد الحقيقية حيث يوجد عنصر أكبر من أي عدد صحيح. وبالتالي، فإن مجموعة الصيغ هي امتداد من النوع 1 لا يتحقق في خط الأعداد الحقيقية . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{n<x|n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

يمكن التعبير عن مجموعة فرعية من ذلك على أنها بالضبط تلك العناصر لتحقيق نوع معين على A تسمى قابلة للتعريف بالنوع على A. بالنسبة لمثال جبري، افترض أن يكون حقلًا مغلقًا جبريًا . تحتوي النظرية على إزالة الكم. يسمح لنا هذا بإظهار أن النوع يتم تحديده بدقة من خلال معادلات كثيرة الحدود التي يحتوي عليها. وبالتالي فإن مجموعة الأنواع الكاملة على حقل فرعي تتوافق مع مجموعة المثل الأولية لحلقة كثيرة الحدود ، والمجموعات القابلة للتعريف بالنوع هي بالضبط الأصناف المتقاربة. ^[20]${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

في حين لا يتم تحقيق كل نوع في كل بنية، فإن كل بنية تحقق أنواعها المعزولة. إذا كانت الأنواع الوحيدة الموجودة على المجموعة الفارغة والتي يتم تحقيقها في بنية هي الأنواع المعزولة، فإن البنية تسمى ذرية .

من ناحية أخرى، لا يوجد هيكل يحقق كل نوع عبر كل مجموعة معلمات؛ إذا أخذنا كل من كمجموعة معلمات، فإن كل نوع واحد محقق في يتم عزله بواسطة صيغة من النموذج a = x لـ an . ومع ذلك، فإن أي امتداد أولي مناسب لـ يحتوي على عنصر ليس في . لذلك، تم تقديم مفهوم أضعف يلتقط فكرة الهيكل الذي يحقق جميع الأنواع التي يمكن توقع تحقيقه. يسمى الهيكل مشبعًا إذا حقق كل نوع عبر مجموعة معلمات ذات عدد أصغر من نفسه. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

في حين أن التماثل الذاتي الثابت على A سيحافظ دائمًا على الأنواع على A ، فإنه ليس صحيحًا بشكل عام أنه يمكن تعيين أي تسلسلين يلبي نفس النوع على A إلى بعضهما البعض من خلال مثل هذا التماثل الذاتي. الهيكل الذي ينطبق فيه هذا العكس على جميع A ذات عدد أصغر من الكاردينالية يسمى متجانسًا . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

الخط العددي الحقيقي ذري في اللغة التي تحتوي فقط على الترتيب ، حيث إن جميع الأنواع n على المجموعة الفارغة التي تم تحقيقها بواسطة في معزولة عن طريق علاقات الترتيب بين . ومع ذلك، فهو ليس مشبعًا، لأنه لا يحقق أي نوع 1 على المجموعة القابلة للعد مما يعني أن x أكبر من أي عدد صحيح. على النقيض من ذلك، فإن الخط العددي النسبي مشبع، حيث إنه قابل للعد في حد ذاته وبالتالي يتعين عليه فقط تحقيق الأنواع على مجموعات فرعية محدودة ليكون مشبعًا. ^[21]${\displaystyle <}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

مجموعة المجموعات الفرعية القابلة للتعريف من على بعض المعلمات هي جبر بولياني . وفقًا لنظرية التمثيل لستون للجبر البولياني، يوجد فضاء طوبولوجي مزدوج طبيعي ، يتكون بالضبط من الأنواع الكاملة على . الطوبولوجيا الناتجة عن مجموعات من النموذج للصيغ الفردية . وهذا ما يسمى فضاء ستون للأنواع n على A . ^[22] تشرح هذه الطوبولوجيا بعض المصطلحات المستخدمة في نظرية النموذج: تقول نظرية الاكتناز أن فضاء ستون هو فضاء طوبولوجي مضغوط، وأن النوع p معزول إذا وفقط إذا كانت p نقطة معزولة في طوبولوجيا ستون. ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{p|\varphi \in p\}}$${\displaystyle \varphi }$

في حين أن الأنواع في الحقول المغلقة جبريًا تتوافق مع طيف الحلقة متعددة الحدود، فإن الطوبولوجيا الموجودة في فضاء النوع هي الطوبولوجيا القابلة للإنشاء : مجموعة الأنواع تكون مفتوحة أساسية إذا كانت من الشكل أو من الشكل . وهذا أدق من طوبولوجيا زاريسكي . ^[23]${\displaystyle \{p:f(x)=0\in p\}}$${\displaystyle \{p:f(x)\neq 0\in p\}}$

إن بناء نماذج تحقق أنواعًا معينة ولا تحقق أنواعًا أخرى يعد مهمة مهمة في نظرية النماذج. يُشار إلى عدم تحقيق نوع ما باسم إغفاله ، وهو أمر ممكن بشكل عام من خلال نظرية إغفال الأنواع (القابلة للعد) :

لتكن نظرية في توقيع قابل للعد ودع تكون مجموعة قابلة للعد من الأنواع غير المعزولة على المجموعة الفارغة.${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \Phi }$

ثم هناك نموذج يحذف كل نوع في . ^[24]${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \Phi }$

وهذا يعني أنه إذا كانت النظرية في التوقيع القابل للعد تحتوي فقط على عدد قابل للعد من الأنواع على المجموعة الفارغة، فإن هذه النظرية تحتوي على نموذج ذري.

من ناحية أخرى، يوجد دائمًا امتداد أولي يتم فيه تحقيق أي مجموعة من الأنواع عبر مجموعة معلمات ثابتة:

ليكن هيكلًا وليكن مجموعة من الأنواع الكاملة على مجموعة معلمات معينة${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}.}$

ثم هناك امتداد ابتدائي يحقق كل نوع في . ^[25]${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \Phi }$

ومع ذلك، نظرًا لأن مجموعة المعلمات ثابتة ولا يوجد هنا ذكر لعدد العناصر ، فإن هذا لا يعني أن كل نظرية لها نموذج مشبع. في الواقع، فإن ما إذا كانت كل نظرية لها نموذج مشبع أم لا هو أمر مستقل عن بديهيات زيرميلو-فرانكل لنظرية المجموعات، وهو صحيح إذا كانت فرضية الاستمرارية المعممة صحيحة. ^[26]${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

تُستخدم المنتجات الفائقة كتقنية عامة لبناء نماذج تحقق أنواعًا معينة. يتم الحصول على منتج فائق من المنتج المباشر لمجموعة من الهياكل على مجموعة مؤشر I من خلال تحديد تلك الثنائيات التي تتفق على جميع الإدخالات تقريبًا، حيث يتم جعل كل شيء تقريبًا دقيقًا بواسطة مرشح فائق U على I. يُعرف المنتج الفائق لنسخ من نفس الهيكل باسم القوة الفائقة . مفتاح استخدام المنتجات الفائقة في نظرية النموذج هو نظرية Łoś :

ليكن مجموعة من هياكل σ مفهرسة بمجموعة فهرس I و U مرشح فائق على I . عندئذ تكون أي صيغة σ صحيحة في حاصل الضرب الفائق لـ by إذا كانت مجموعة كل ما لـ تقع في U . ^[27]${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$${\displaystyle \varphi ([(a_{i})_{i\in :I}])}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i})}$

على وجه الخصوص، فإن أي حاصل ضرب فائق لنماذج نظرية ما هو في حد ذاته نموذج لتلك النظرية، وبالتالي إذا كان لنموذجين قوى فائقة متماثلة، فهما متكافئان من الناحية الأولية. تقدم نظرية كيسلر-شيلاه عكسًا:

إذا كان M و N متكافئين أوليين، فسيكون هناك مجموعة I ومرشح فائق U على I بحيث تكون القوى الفائقة بواسطة U لـ M و: N متماثلة. ^[28]

لذلك، توفر المنتجات الفائقة طريقة للحديث عن التكافؤ الأولي تتجنب ذكر النظريات من الدرجة الأولى على الإطلاق. تحتوي النظريات الأساسية لنظرية النموذج مثل نظرية الاكتناز على أدلة بديلة باستخدام المنتجات الفائقة، ^[29] ويمكن استخدامها لبناء امتدادات أولية مشبعة إذا كانت موجودة. ^[30]

كانت النظرية تسمى في الأصل نظرية تصنيفية إذا كانت تحدد بنية تصل إلى التماثل. اتضح أن هذا التعريف غير مفيد، بسبب القيود الخطيرة في التعبير عن المنطق من الدرجة الأولى. تشير نظرية لوينهايم-سكوليم إلى أنه إذا كانت النظرية T تحتوي على نموذج لانهائي لبعض الأعداد الأصلية اللانهائية ، فإنها تحتوي على نموذج بحجم κ لأي عدد أصلي كبير بما فيه الكفاية κ . نظرًا لأنه لا يمكن أن يكون نموذجان مختلفان الحجم متماثلين، فلا يمكن وصف سوى الهياكل المحدودة بنظرية تصنيفية.

ومع ذلك، أصبح المفهوم الأضعف لتصنيف κ لعدد أساسي κ مفهومًا رئيسيًا في نظرية النموذج. تسمى النظرية T تصنيف κ إذا كان أي نموذجين من T لهما عدد أساسي κ متماثلين. اتضح أن مسألة تصنيف κ تعتمد بشكل حاسم على ما إذا كان κ أكبر من عدد أساسي للغة (أي ، حيث | σ | هو عدد أساسي للتوقيع). بالنسبة للتوقيعات المحدودة أو القابلة للعد، فهذا يعني أن هناك فرقًا أساسيًا بين عدد أساسي ω وعدد أساسي κ لـ κ غير القابل للعد . ${\displaystyle \aleph _{0}+|\sigma |}$

يمكن تمييز النظريات التصنيفية ω من خلال خصائص فضاء نوعها:

بالنسبة لنظرية كاملة من الدرجة الأولى T في توقيع محدود أو قابل للعد، تكون الشروط التالية متكافئة:

1. T هي فئة ω .
2. كل نوع في S _n ( T ) معزول.
3. لكل عدد طبيعي n ، S _n ( T ) منتهية.
4. لكل عدد طبيعي n ، فإن عدد الصيغ φ ( x ₁ , ..., x _n ) في n متغير حر، حتى التكافؤ modulo T ، هو عدد محدود.

نظرية ، والتي هي أيضًا نظرية ، هي فئوية ω ، حيث يتم عزل كل نوع n على المجموعة الفارغة بواسطة علاقة الترتيب الزوجي بين . وهذا يعني أن كل ترتيب خطي كثيف قابل للعد يكون متماثل الترتيب مع خط الأعداد النسبية. من ناحية أخرى، فإن نظريات ℚ و ℝ و ℂ كحقول ليست فئوية. ويتبع هذا من حقيقة أنه في كل هذه الحقول، يمكن تعريف أي من الأعداد الطبيعية اللانهائية بواسطة صيغة من النموذج . ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,<)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,<)}$${\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x=1+\dots +1}$

${\displaystyle \aleph _{0}}$- النظريات التصنيفية ونماذجها القابلة للعد لها أيضًا روابط قوية مع المجموعات الأوليغومورفية :

تكون نظرية الدرجة الأولى الكاملة T في توقيع محدود أو قابل للعد من فئة ω إذا وفقط إذا كانت مجموعة التشكل الذاتي الخاصة بها قليلة الشكل.

يُشار أحيانًا إلى الخصائص المكافئة لهذا القسم الفرعي، والتي ترجع بشكل مستقل إلى إنجلر وريل-ناردزوسكي وسفينونيوس ، باسم نظرية ريل -ناردزوسكي.

في التوقيعات التركيبية، المصدر المشترك لنظريات فئوية ω هو حدود فرايسي ، والتي يتم الحصول عليها كحد دمج كل التكوينات الممكنة لفئة من الهياكل العلائقية المحدودة.

أظهر مايكل مورلي في عام 1963 أنه لا يوجد سوى مفهوم واحد للتصنيف غير القابل للعد للنظريات في اللغات القابلة للعد. ^[31]

نظرية مورلي في التصنيف

إذا كانت نظرية من الدرجة الأولى T في توقيع محدود أو قابل للعد هي فئة κ لبعض الأعداد الأساسية غير القابلة للعد κ ، فإن T تكون فئة κ لجميع الأعداد الأساسية غير القابلة للعد κ .

كشف دليل مورلي عن وجود ارتباطات عميقة بين التصنيف غير القابل للعد والبنية الداخلية للنماذج، والتي أصبحت نقطة البداية لنظرية التصنيف ونظرية الاستقرار. تعد النظريات التصنيفية غير القابلة للعد من وجهات نظر عديدة هي النظريات الأكثر سلوكًا. على وجه الخصوص، تعتبر النظريات الكاملة ذات الحد الأدنى القوي تصنيفية غير قابلة للعد. يوضح هذا أن نظرية الحقول المغلقة جبريًا لخاصية معينة هي تصنيفية غير قابلة للعد، مع تحديد درجة تجاوز الحقل لنوع تماثله.

تُسمى النظرية التي تكون تصنيفية ω وتصنيفية غير قابلة للعد بأنها تصنيفية تمامًا .

العامل الرئيسي في بنية فئة نماذج نظرية الدرجة الأولى هو مكانها في التسلسل الهرمي للاستقرار .

تُسمى النظرية الكاملة T مستقرة بالنسبة للكاردينال إذا كان لأي نموذج من T وأي مجموعة معلمات ذات عدد أساسي لا يتجاوز ، يوجد على الأكثر أنواع T كاملة على A.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

تُسمى النظرية مستقرة إذا كانت مستقرة بالنسبة لبعض الأعداد الأساسية اللانهائية . تقليديًا، تُسمى النظريات المستقرة مستقرة . ^[32]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \omega }$

النتيجة الأساسية في نظرية الاستقرار هي نظرية طيف الاستقرار ، ^[33] والتي تعني أن كل نظرية T كاملة في توقيع قابل للعد تندرج ضمن إحدى الفئات التالية:

1. لا توجد أعداد أساسية بحيث يكون T مستقرًا.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$
2. تكون T مستقرة إذا وفقط إذا (انظر الأسس الأساسية للحصول على شرح لـ ).${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda ^{\aleph _{0}}=\lambda }$${\displaystyle \lambda ^{\aleph _{0}}}$
3. T مستقرة لأي (حيث هو عدد المتصل ) .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda \geq 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

تسمى النظرية من النوع الأول غير مستقرة ، وتسمى النظرية من النوع الثاني مستقرة تمامًا ، وتسمى النظرية من النوع الثالث فائقة الاستقرار . علاوة على ذلك، إذا كانت النظرية مستقرة -، فهي مستقرة في كل عدد أساسي لا نهائي، ^[34] لذا فإن الاستقرار - أقوى من الاستقرار الفائق. ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

تكون العديد من عمليات البناء في نظرية النموذج أسهل عندما يتم تقييدها بنظريات مستقرة؛ على سبيل المثال، كل نموذج لنظرية مستقرة له امتداد ابتدائي مشبع، بغض النظر عما إذا كانت فرضية الاستمرارية المعممة صحيحة أم لا. ^[35]

كان الدافع الأصلي لشيلاه لدراسة النظريات المستقرة هو تحديد عدد النماذج التي تحتوي عليها النظرية القابلة للعد لأي عدد غير قابل للعد. ^[36] إذا كانت النظرية غير قابلة للعد، فهي مستقرة. بشكل عام، تعني نظرية الفجوة الرئيسية أنه إذا كان هناك عدد غير قابل للعد بحيث تحتوي النظرية T على أقل من نماذج عددية ، فإن T تكون فائقة الاستقرار. ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 2^{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

تعتبر التسلسل الهرمي للاستقرار أمرًا بالغ الأهمية أيضًا لتحليل هندسة المجموعات القابلة للتعريف داخل نموذج نظرية. في النظريات المستقرة، تعد مرتبة مورلي مفهومًا مهمًا للأبعاد للمجموعات القابلة للتعريف S داخل نموذج. يتم تعريفها من خلال الاستدلال غير المحدود : ${\displaystyle \omega }$

• تكون رتبة مورلي 0 على الأقل إذا لم يكن S فارغًا.
• بالنسبة لـ α الترتيبي الخلف ، تكون رتبة مورلي على الأقل α إذا كانت المجموعة S في بعض الامتدادات الأولية N لـ M تحتوي على عدد لا نهائي من المجموعات الفرعية القابلة للتعريف والمتقطعة، كل منها من رتبة لا تقل عن α  − 1.
• بالنسبة لـ α ترتيب حد غير صفري ، تكون رتبة مورلي على الأقل α إذا كانت على الأقل β لجميع β الأقل من α .

تُسمى النظرية T التي تحتوي كل مجموعة قابلة للتعريف على رتبة مورلي محددة جيدًا بأنها نظرية متسامية تمامًا ؛ فإذا كانت T قابلة للعد، فإن T تكون متسامية تمامًا إذا وفقط إذا كانت T مستقرة. يمكن توسيع رتبة مورلي إلى الأنواع عن طريق ضبط رتبة مورلي لنوع ما لتكون الحد الأدنى لرتب مورلي للصيغ في النوع. وبالتالي، يمكننا أيضًا التحدث عن رتبة مورلي لعنصر a على مجموعة معلمات A ، والتي تُعرف بأنها رتبة مورلي لنوع a على A. هناك أيضًا نظائر لرتبة مورلي محددة جيدًا إذا وفقط إذا كانت النظرية فائقة الاستقرار ( رتبة U ) أو مستقرة فحسب (رتبة شيلاه ). يمكن استخدام مفاهيم الأبعاد هذه لتحديد مفاهيم الاستقلال والامتدادات العامة. ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \infty }$

في الآونة الأخيرة، تم تقسيم الاستقرار إلى البساطة و"عدم استقلالية الخاصية" (NIP). النظريات البسيطة هي تلك النظريات التي يمكن من خلالها تعريف مفهوم جيد للاستقلال، في حين تعمل نظريات عدم استقلالية الخاصية على تعميم الهياكل الدنيا. وهي مرتبطة بالاستقرار لأن النظرية تكون مستقرة إذا وفقط إذا كانت عدم استقلالية الخاصية وبسيطة، ^[37] وقد تم تعميم جوانب مختلفة من نظرية الاستقرار على النظريات في إحدى هذه الفئات.

لقد تم تعميم نتائج النظرية النموذجية خارج الفئات الأولية، أي الفئات التي يمكن تحديدها بشكل بديهي من خلال نظرية من الدرجة الأولى.

إن نظرية النموذج في المنطق من الدرجة الأعلى أو المنطق اللانهائي تعوقها حقيقة مفادها أن الاكتمال والإحكام لا ينطبقان بشكل عام على هذه المنطق. ويتضح هذا من خلال نظرية ليندستروم ، والتي تنص تقريبًا على أن المنطق من الدرجة الأولى هو المنطق الأقوى الذي تنطبق عليه كل من نظريات لوينهايم-سكوليم والإحكام. ومع ذلك، فقد تم تطوير تقنيات نظرية النموذج على نطاق واسع لهذه المنطق أيضًا. ^[38] ومع ذلك، اتضح أن الكثير من نظرية النموذج للغات المنطقية الأكثر تعبيرًا مستقلة عن نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل . ^[39]

في الآونة الأخيرة، إلى جانب التحول في التركيز على النظريات المستقرة والفئوية الكاملة، كان هناك عمل على فئات من النماذج التي تم تعريفها دلاليًا بدلاً من بديهيتها من خلال نظرية منطقية. أحد الأمثلة على ذلك نظرية النموذج المتجانس ، والتي تدرس فئة البنى الفرعية للنماذج المتجانسة الكبيرة بشكل تعسفي. تعمم النتائج الأساسية لنظرية الاستقرار ونظرية الاستقرار الهندسي على هذا الإعداد. ^[40] كتعميم للنظريات الدنيا القوية، فإن الفئات الممتازة شبه الدنيا هي تلك التي تكون فيها كل مجموعة قابلة للتعريف إما قابلة للعد أو قابلة للعد المشترك. إنها مفتاح لنظرية النموذج للدالة الأسية المعقدة . ^[41] الإطار الدلالي الأكثر عمومية الذي تتم فيه دراسة الاستقرار هو الفئات الأولية المجردة ، والتي يتم تعريفها من خلال علاقة بنية فرعية قوية تعمم علاقة البنية الفرعية الأولية. على الرغم من أن تعريفها دلالي بحت، يمكن تقديم كل فئة أولية مجردة كنماذج لنظرية من الدرجة الأولى تغفل أنواعًا معينة. إن تعميم مفاهيم نظرية الاستقرار على الفصول الابتدائية المجردة هو برنامج بحثي مستمر. ^[42]

من بين النجاحات المبكرة لنظرية النموذج هي إثباتات تارسكي لإزالة المحددات الكمية لمختلف الفئات المثيرة للاهتمام جبريًا، مثل الحقول المغلقة الحقيقية والجبر البولياني والحقول المغلقة جبريًا لخاصية معينة . سمح إزالة المحددات الكمية لتارسكي بإظهار أن نظريات الدرجة الأولى للحقول المغلقة الحقيقية والمغلقة جبريًا بالإضافة إلى نظرية الدرجة الأولى للجبر البولياني قابلة للحسم، وتصنيف الجبر البولياني حتى التكافؤ الأولي وإظهار أن نظريات الحقول المغلقة الحقيقية والحقول المغلقة جبريًا لخاصية معينة فريدة من نوعها. علاوة على ذلك، قدم إزالة المحددات الكمية وصفًا دقيقًا للعلاقات القابلة للتعريف على الحقول المغلقة جبريًا كأصناف جبرية والعلاقات القابلة للتعريف على الحقول المغلقة الحقيقية كمجموعات شبه جبرية ^{[43] [44]}

في ستينيات القرن العشرين، أدى تقديم بناء الحاصل الفائق إلى تطبيقات جديدة في الجبر. ويشمل ذلك عمل أكس على الحقول شبه المحدودة ، مما يثبت أن نظرية الحقول المحدودة قابلة للحسم، ^[45] وإثبات أكس وكوتشن لنظرية أكس-كوتشن كحالة خاصة لتخمين أرتين على معادلات ديوفانتين . ^[46] أدى بناء الحاصل الفائق أيضًا إلى تطوير أبراهام روبنسون للتحليل غير القياسي ، والذي يهدف إلى توفير حساب دقيق للكميات اللامتناهية في الصغر . ^[47]

في الآونة الأخيرة، أدى الارتباط بين الاستقرار وهندسة المجموعات القابلة للتعريف إلى العديد من التطبيقات من الهندسة الجبرية والديوفانتية، بما في ذلك إثبات إيهود هروشوفسكي عام 1996 لتخمين مورديل-لانج الهندسي في جميع الخصائص ^[48] في عام 2001، تم استخدام طرق مماثلة لإثبات تعميم تخمين مانين-مومفورد. في عام 2011، طبق جوناثان بيلا تقنيات حول الحد الأدنى لإثبات تخمين أندريه-أورت لمنتجات المنحنيات المعيارية. ^[49]

في سلسلة منفصلة من الاستفسارات التي نشأت أيضًا حول النظريات المستقرة، أظهر لاسكوفسكي في عام 1992 أن نظريات NIP تصف بالضبط تلك الفئات القابلة للتعريف والتي يمكن تعلمها من خلال PAC في نظرية التعلم الآلي. وقد أدى هذا إلى العديد من التفاعلات بين هذه المجالات المنفصلة. في عام 2018، تم توسيع المراسلات حيث أظهر هانتر وتشيس أن النظريات المستقرة تتوافق مع الفئات القابلة للتعلم عبر الإنترنت . ^[50]

كانت نظرية النموذج كموضوع موجودة منذ منتصف القرن العشرين تقريبًا، وقد صاغ الاسم ألفريد تارسكي ، أحد أعضاء مدرسة لوو-وارسو ، في عام 1954. ^[51] ومع ذلك، غالبًا ما يُنظر إلى بعض الأبحاث السابقة، وخاصة في المنطق الرياضي ، على أنها ذات طبيعة نظرية نموذجية في الماضي. ^[52] كانت أول نتيجة مهمة في ما يُعرف الآن بنظرية النموذج هي حالة خاصة من نظرية لوينهايم-سكوليم الهابطة، التي نشرها ليوبولد لوينهايم في عام 1915. كانت نظرية الاكتناز ضمنية في عمل ثورالف سكوليم ، ^[53] لكنها نُشرت لأول مرة في عام 1930، باعتبارها مبرهنة في دليل كورت جودل على نظرية الاكتمال الخاصة به . حصلت نظرية لوينهايم-سكوليم ونظرية الاكتناز على أشكالهما العامة في عامي 1936 و1941 من أناتولي مالتسيف . وقد أدى ألفريد تارسكي إلى تطوير نظرية النموذج كتخصص مستقل خلال فترة ما بين الحربين العالميتين . وشمل عمل تارسكي النتيجة المنطقية والأنظمة الاستنتاجية والجبر المنطقي ونظرية القابلية للتعريف والتعريف الدلالي للحقيقة ، من بين موضوعات أخرى. بلغت أساليبه الدلالية ذروتها في نظرية النموذج التي طورها هو وعدد من طلابه في بيركلي في الخمسينيات والستينيات.

في التاريخ اللاحق لهذا التخصص، بدأت فروع مختلفة في الظهور، وتحول تركيز الموضوع. في الستينيات، أصبحت التقنيات المتعلقة بالمنتجات الفائقة أداة شائعة في نظرية النماذج. ^[54] وفي الوقت نفسه، كان باحثون مثل جيمس أكس يحققون في نظرية النموذج من الدرجة الأولى لمختلف الفئات الجبرية، وكان آخرون مثل إتش جيروم كيسلر يوسعون مفاهيم ونتائج نظرية النموذج من الدرجة الأولى إلى أنظمة منطقية أخرى. ثم، مستوحى من مشكلة مورلي ، طور شيلاه نظرية الاستقرار . غيّر عمله حول الاستقرار مظهر نظرية النموذج، مما أدى إلى ظهور فئة جديدة تمامًا من المفاهيم. يُعرف هذا باسم التحول النموذجي. ^[55] على مدى العقود التالية، أصبح من الواضح أن التسلسل الهرمي للاستقرار الناتج مرتبط ارتباطًا وثيقًا بهندسة المجموعات التي يمكن تعريفها في تلك النماذج؛ أدى هذا إلى ظهور التخصص الفرعي المعروف الآن باسم نظرية الاستقرار الهندسي. من الأمثلة على الإثباتات المؤثرة من نظرية النموذج الهندسي هو إثبات هروشوفسكي لتخمين مورديل-لانج لحقول الوظائف. ^[56]

تنحرف نظرية النموذج المحدود ، التي تركز على الهياكل المحدودة، بشكل كبير عن دراسة الهياكل اللانهائية في كل من المشكلات المدروسة والتقنيات المستخدمة. ^[57] على وجه الخصوص، العديد من النتائج المركزية لنظرية النموذج الكلاسيكي التي تفشل عند تقييدها بالهياكل المحدودة. وهذا يشمل نظرية الاكتمال ، ونظرية اكتمال جودل ، وطريقة المنتجات الفائقة للمنطق من الدرجة الأولى . على واجهة نظرية النموذج المحدود واللانهائي توجد نظرية النموذج الخوارزمي أو القابل للحساب ودراسة قوانين 0-1، حيث توفر النماذج اللانهائية لنظرية عامة لفئة من الهياكل معلومات حول توزيع النماذج المحدودة. ^[58] مجالات التطبيق البارزة لـ FMT هي نظرية التعقيد الوصفي ونظرية قاعدة البيانات ونظرية اللغة الرسمية . ^[59]

أي نظرية مجموعات (والتي يتم التعبير عنها بلغة قابلة للعد )، إذا كانت متسقة، لديها نموذج قابل للعد؛ وهذا ما يُعرف بمفارقة سكوليم ، حيث توجد جمل في نظرية المجموعات تفترض وجود مجموعات غير قابلة للعد ومع ذلك فإن هذه الجمل صحيحة في نموذجنا القابل للعد. ويتطلب إثبات استقلال فرضية الاستمرارية على وجه الخصوص النظر في المجموعات في النماذج التي تبدو غير قابلة للعد عند النظر إليها من داخل النموذج، ولكنها قابلة للعد لشخص خارج النموذج. ^[60]

كانت وجهة النظر النظرية النموذجية مفيدة في نظرية المجموعات ؛ على سبيل المثال في عمل كورت جودل حول الكون القابل للإنشاء، والذي يمكن إثباته، جنبًا إلى جنب مع طريقة القوة التي طورها بول كوهين، لإثبات استقلال بديهية الاختيار وفرضية الاستمرارية عن البديهيات الأخرى لنظرية المجموعات (وهو أمر مثير للاهتمام فلسفيًا مرة أخرى). ^[61]

في الاتجاه الآخر، يتم صياغة نظرية النموذج نفسها داخل نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل. على سبيل المثال، يعتمد تطوير أساسيات نظرية النموذج (مثل نظرية الاكتناز) على بديهية الاختيار، وهو في الواقع معادل لنظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل بدون اختيار لنظرية الأعداد الأولية المثالية المنطقية. ^[62] تعتمد النتائج الأخرى في نظرية النموذج على بديهيات نظرية المجموعة خارج إطار ZFC القياسي. على سبيل المثال، إذا كانت فرضية الاستمرارية صحيحة، فإن كل نموذج قابل للعد له قوة فائقة مشبعة (في عدده الخاص). وبالمثل، إذا كانت فرضية الاستمرارية المعممة صحيحة، فإن كل نموذج له امتداد أولي مشبع. لا يمكن إثبات أي من هذه النتائج في ZFC وحدها. أخيرًا، تم إثبات أن بعض الأسئلة الناشئة عن نظرية النموذج (مثل الاكتناز للمنطق اللانهائي) تعادل البديهيات الأساسية الكبيرة. ^[63]

• تشانج، تشين تشونج ؛ كيسلر، هـ. جيروم (1990) [1973]. نظرية النموذج . دراسات في المنطق وأسس الرياضيات (الطبعة الثالثة). إلسيفير. رقم ISBN 978-0-444-88054-3.
• تشانج، تشين تشونج ؛ كيسلر، إتش جيروم (2012) [1990]. نظرية النموذج . كتب دوفر في الرياضيات (الطبعة الثالثة). منشورات دوفر . ص. 672. رقم ISBN 978-0-486-48821-9.
• هودجز، ويلفريد (1997). نظرية نموذجية مختصرة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-58713-6.
• كوبيرمان، ر. (1972). نظرية النموذج وتطبيقاتها . بوسطن: ألين وبيكون .
• ماركر، ديفيد (2002). نظرية النموذج: مقدمة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات 217. سبرينغر. رقم ISBN 0-387-98760-6.

• بيل، جون إل.؛ سلومسون، آلان بي. (2006) [1969]. النماذج والمنتجات الفائقة: مقدمة (إعادة طباعة طبعة 1974). منشورات دوفر . رقم ISBN 0-486-44979-3.
• إبنجهاوس، هاينز ديتر؛ فلوم، يورغ. توماس وولفجانج (1994). المنطق الرياضي . سبرينغر . رقم ISBN 0-387-94258-0.
• هينمان، بيتر جي. (2005). أساسيات المنطق الرياضي . إيه كيه بيترز . رقم ISBN 1-56881-262-0.
• هودجز، ويلفريد (1993). نظرية النموذج . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-30442-3.
• مانزانو، ماريا (1999). نظرية النموذج . دار نشر جامعة أكسفورد . رقم ISBN 0-19-853851-0.
• بوازات، برونو (2000). دورة في نظرية النماذج . سبرينغر. رقم ISBN 0-387-98655-3.
• راوتنبرج، ولفجانج (2010). مقدمة موجزة للمنطق الرياضي (الطبعة الثالثة). نيويورك : سبرينجر ساينس+بيزنس ميديا . doi :10.1007/978-1-4419-1221-3. ISBN 978-1-4419-1220-6.
• روثمالر، فيليب (2000). مقدمة إلى نظرية النموذج (طبعة جديدة). تايلور وفرانسيس . ISBN 90-5699-313-5.
• خيمة، كاترين ؛ زيجلر، مارتن (2012). دورة في نظرية النماذج . مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 9780521763240.
• كيربي، جوناثان (2019). دعوة إلى نظرية النمذجة . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-1-107-16388-1.

• تشاتزيداكيس، زوي (2001). مقدمة إلى نظرية النموذج (PDF) . ص. 26 صفحة.
• بيلاي، أناند (2002). مذكرات المحاضرة – نظرية النموذج (PDF) . ص. 61 صفحة.
• "نظرية النموذج"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• هودجز، ويلفريد ، نظرية النموذج . موسوعة ستانفورد للفلسفة، إ. زالتا (المحرر).
• هودجز، ويلفريد ، نظرية النموذج من الدرجة الأولى . موسوعة ستانفورد للفلسفة، إي. زالتا (المحرر).
• سيمونز، هارولد (2004)، مقدمة لنظرية النموذج التقليدية الجيدة . ملاحظات حول دورة تمهيدية لطلاب الدراسات العليا (مع تمارين).
• ج. بارويز وس . فيفرمان (المحرران)، المنطق النظري النموذجي، وجهات نظر في المنطق الرياضي، المجلد 8، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ، 1985.