مجموعة مفتوحة

في الرياضيات ، المجموعة المفتوحة هي تعميم لفترة مفتوحة في خط الأعداد الحقيقية .

في الفضاء المتري ( مجموعة ذات مسافة محددة بين كل نقطتين)، المجموعة المفتوحة هي مجموعة تحتوي، مع كل نقطة P فيها، على جميع نقاط الفضاء المتري القريبة بدرجة كافية من P (أي جميع النقاط التي تكون مسافتها إلى P أقل من بعض القيم اعتمادًا على P ).

بشكل عام، المجموعة المفتوحة هي عضو في مجموعة معينة من المجموعات الجزئية لمجموعة معينة، وهي مجموعة لها خاصية احتواء كل اتحاد لأعضائها، وكل تقاطع محدود لأعضائها، والمجموعة الفارغة ، والمجموعة بأكملها نفسها. المجموعة التي تعطى فيها مثل هذه المجموعة تسمى فضاء طوبولوجي ، وتسمى المجموعة طوبولوجيا . هذه الشروط فضفاضة للغاية، وتسمح بمرونة هائلة في اختيار المجموعات المفتوحة. على سبيل المثال، يمكن أن تكون كل مجموعة جزئية مفتوحة ( الطوبولوجيا المنفصلة )، أو لا يمكن أن تكون أي مجموعة جزئية مفتوحة باستثناء الفضاء نفسه والمجموعة الفارغة ( الطوبولوجيا غير المنفصلة ). ^[1]

في الممارسة العملية، ومع ذلك، يتم اختيار المجموعات المفتوحة عادة لتوفير مفهوم القرب الذي يشبه مفهوم المساحات المترية، دون وجود مفهوم محدد للمسافة. على وجه الخصوص، تسمح الطوبولوجيا بتحديد خصائص مثل الاستمرارية ، والاتصال ، والاكتناز ، والتي تم تعريفها في الأصل عن طريق المسافة.

الحالة الأكثر شيوعًا لطوبولوجيا بدون أي مسافة هي المتشعبات ، وهي مساحات طوبولوجية تشبه، بالقرب من كل نقطة، مجموعة مفتوحة من فضاء إقليدي ، ولكن لا يتم تحديد أي مسافة عليها بشكل عام. تُستخدم الطوبولوجيات الأقل بديهية في فروع أخرى من الرياضيات؛ على سبيل المثال، طوبولوجيا زاريسكي ، وهي أساسية في الهندسة الجبرية ونظرية المخططات .

حدسيًا، توفر المجموعة المفتوحة طريقة للتمييز بين نقطتين . على سبيل المثال، إذا كان هناك حول إحدى النقطتين في فضاء طوبولوجي مجموعة مفتوحة لا تحتوي على النقطة الأخرى (المتميزة)، فيشار إلى النقطتين على أنهما يمكن تمييزهما طوبولوجيًا . بهذه الطريقة، يمكن للمرء أن يتحدث عما إذا كانت نقطتان، أو بشكل عام مجموعتان فرعيتان ، من فضاء طوبولوجي "قريبتين" دون تحديد مسافة بشكل ملموس . لذلك، يمكن اعتبار الفضاءات الطوبولوجية تعميمًا للفضاءات المزودة بمفهوم المسافة، والتي تسمى الفضاءات المترية .

في مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ، لدينا المقياس الإقليدي الطبيعي ؛ أي دالة تقيس المسافة بين عددين حقيقيين: d ( x ، y ) = | x − y | . لذلك، بالنظر إلى عدد حقيقي x ، يمكننا التحدث عن مجموعة جميع النقاط القريبة من هذا العدد الحقيقي؛ أي ضمن ε من x . في الأساس، النقاط ضمن ε من x تقرب x بدقة من الدرجة ε . لاحظ أن ε > 0 دائمًا ولكن عندما يصبح ε أصغر وأصغر، نحصل على نقاط تقرب x بدرجة دقة أعلى وأعلى. على سبيل المثال، إذا كان x = 0 و ε = 1، فإن النقاط ضمن ε من x هي بالضبط نقاط الفترة ( −1، 1)؛ أي مجموعة كل الأعداد الحقيقية بين −1 و1. ومع ذلك، مع ε = 0.5، فإن النقاط داخل ε من x هي بالضبط نقاط (−0.5، 0.5). ومن الواضح أن هذه النقاط تقرب x بدرجة أكبر من الدقة مما هي عليه عندما ε = 1.

يُظهر النقاش السابق، بالنسبة للحالة x = 0، أنه يمكن تقريب x إلى درجات دقة أعلى وأعلى من خلال تعريف ε على أنها أصغر وأصغر. على وجه الخصوص، تعطينا المجموعات من النموذج (− ε , ε ) الكثير من المعلومات حول النقاط القريبة من x = 0. وبالتالي، بدلاً من التحدث عن مقياس إقليدي ملموس، يمكن للمرء استخدام المجموعات لوصف النقاط القريبة من x . هذه الفكرة المبتكرة لها عواقب بعيدة المدى؛ على وجه الخصوص، من خلال تعريف مجموعات مختلفة من المجموعات التي تحتوي على 0 (مختلفة عن المجموعات (− ε , ε ))، قد يجد المرء نتائج مختلفة فيما يتعلق بالمسافة بين 0 والأعداد الحقيقية الأخرى. على سبيل المثال، إذا كنا سنعرف R على أنها المجموعة الوحيدة من هذا القبيل لـ "قياس المسافة"، فإن جميع النقاط قريبة من 0 لأنه لا توجد سوى درجة واحدة ممكنة من الدقة يمكن للمرء تحقيقها في تقريب 0: كونها عضوًا في R. وهكذا نجد أنه بمعنى ما، فإن كل عدد حقيقي يبعد عن الصفر بمسافة 0. وقد يكون من المفيد في هذه الحالة أن نفكر في المقياس باعتباره شرطًا ثنائيًا: كل الأشياء في R قريبة بنفس القدر من الصفر، في حين أن أي عنصر ليس في R ليس قريبًا من الصفر.

بشكل عام، يُشار إلى عائلة المجموعات التي تحتوي على 0، والتي تُستخدم لتقريب 0، على أنها أساس جوار ؛ ويُشار إلى أحد أعضاء هذا الأساس الجواري على أنه مجموعة مفتوحة. في الواقع، قد يعمم المرء هذه المفاهيم على مجموعة عشوائية ( X )؛ بدلاً من مجرد الأعداد الحقيقية. في هذه الحالة، نظرًا لنقطة ( x ) من تلك المجموعة، قد يُعرَّف مجموعة من المجموعات "حول" (أي تحتوي على) x ، تُستخدم لتقريب x . بالطبع، يجب أن تُرضي هذه المجموعة خصائص معينة (تُعرف باسم البديهيات ) وإلا فقد لا يكون لدينا طريقة محددة جيدًا لقياس المسافة. على سبيل المثال، يجب أن تقرب كل نقطة في X x إلى درجة معينة من الدقة. وبالتالي يجب أن تكون X في هذه العائلة. بمجرد أن نبدأ في تعريف مجموعات "أصغر" تحتوي على x ، فإننا نميل إلى تقريب x بدرجة أكبر من الدقة. مع وضع هذا في الاعتبار، قد يُعرَّف المرء البديهيات المتبقية التي يجب أن تُرضيها عائلة المجموعات حول x .

يرد هنا العديد من التعريفات، بترتيب تصاعدي من حيث التقنية. وكل تعريف منها يمثل حالة خاصة للتعريف التالي.

مجموعة فرعية من الفضاء الإقليدي n تكون R ⁿ مفتوحة إذا كان لكل نقطة x في ، يوجد عدد حقيقي موجب ε (يعتمد على x ) بحيث تنتمي أي نقطة في R ⁿ تكون المسافة الإقليدية بينها وبين x أصغر من ε إلى . ^[2] وعلى نحو مكافئ، تكون مجموعة فرعية من R ⁿ مفتوحة إذا كانت كل نقطة في هي مركز كرة مفتوحة موجودة في${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U.}$

مثال على مجموعة فرعية من R ليست مفتوحة هي الفترة المغلقة [0,1] ، حيث لا ينتمي 0 - ε ولا 1 + ε إلى [0,1] لأي ε > 0 ، بغض النظر عن مدى صغرها.

تُسمى المجموعة الفرعية U من الفضاء المتري ( M ، d ) مفتوحة إذا كان هناك عدد حقيقي ε > 0 لأي نقطة x في U بحيث تنتمي أي نقطة تحقق d ( x ، y ) < ε إلى U. وعلى نحو مكافئ، تكون U مفتوحة إذا كان لكل نقطة في U جوار محصور في U.${\displaystyle y\in M}$

يعمم هذا مثال الفضاء الإقليدي، لأن الفضاء الإقليدي مع المسافة الإقليدية هو فضاء متري.

الطوبولوجيا الموجودة في المجموعة X هي مجموعة من المجموعات الجزئية للمجموعة X ذات الخصائص التالية. كل عنصر من عناصرها يسمى مجموعة مفتوحة . ^[3]${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$

• ${\displaystyle X\in\tau }$و${\displaystyle \varnothing \in \tau }$
• أي اتحاد للمجموعات في ينتمي إلى : إذا كان${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \left\{U_{i}:i\in I\right\}\subseteq \tau }$$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau }$$
• أي تقاطع محدود للمجموعات في ينتمي إلى : إذا كان${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau }$$${\displaystyle U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau }$$

يُطلق على X مع اسم الفضاء الطوبولوجي . ${\displaystyle \tau }$

لا يلزم أن تكون التقاطعات اللانهائية للمجموعات المفتوحة مفتوحة. على سبيل المثال، تقاطع جميع الفواصل من النموذج حيث هو عدد صحيح موجب، هو المجموعة التي ليست مفتوحة في خط الأعداد الحقيقية. ${\displaystyle \left(-1/n,1/n\right),}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{0\}}$

الفضاء المتري هو فضاء طوبولوجي، يتكون طوبولوجيته من مجموعة من كل المجموعات الفرعية التي تشكل اتحادات من الكرات المفتوحة. ومع ذلك، هناك فضاءات طوبولوجي ليست فضاءات مترية.

اتحاد أي عدد من المجموعات المفتوحة، أو عدد لا نهائي من المجموعات المفتوحة، هو اتحاد مفتوح. [ ^4] تقاطع عدد محدود من المجموعات المفتوحة هو اتحاد مفتوح. [ ^4]

يُطلق على المكمل لمجموعة مفتوحة (بالنسبة للمساحة التي تم تعريف الطوبولوجيا عليها) اسم المجموعة المغلقة . يمكن أن تكون المجموعة مفتوحة ومغلقة في نفس الوقت ( مجموعة مغلقة ). المجموعة الفارغة والفضاء الكامل هما مثالان على المجموعات المفتوحة والمغلقة في نفس الوقت. ^[5]

لا يمكن اعتبار المجموعة مفتوحة في حد ذاتها. هذا المفهوم نسبي بالنسبة للمجموعة المحتوية وطوبولوجيا محددة عليها.

يعتمد ما إذا كانت المجموعة مفتوحة على الطوبولوجيا قيد النظر. بعد اختيار المزيد من الإيجاز على المزيد من الوضوح ، نشير إلى المجموعة X المزودة بطوبولوجيا باسم "الفضاء الطوبولوجي X " بدلاً من "الفضاء الطوبولوجي "، على الرغم من حقيقة أن جميع البيانات الطوبولوجية موجودة في إذا كان هناك طوبولوجيتان على نفس المجموعة، فقد تفشل المجموعة U المفتوحة في الطوبولوجيا الأولى في أن تكون مفتوحة في الطوبولوجيا الثانية. على سبيل المثال، إذا كانت X أي فضاء طوبولوجي و Y أي مجموعة فرعية من X ، فيمكن إعطاء المجموعة Y طوبولوجيا خاصة بها (تسمى "طوبولوجيا الفضاء الفرعي") والتي يتم تعريفها على أنها "المجموعة U مفتوحة في طوبولوجيا الفضاء الفرعي على Y إذا وفقط إذا كانت U هي تقاطع Y مع مجموعة مفتوحة من الطوبولوجيا الأصلية على X. " ^[6] وهذا من المحتمل أن يقدم مجموعات مفتوحة جديدة: إذا كانت V مفتوحة في الطوبولوجيا الأصلية على X ، ولكنها ليست مفتوحة في الطوبولوجيا الأصلية على X ، فهي مفتوحة في طوبولوجيا الفضاء الفرعي على Y.${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle V\cap Y}$${\displaystyle V\cap Y}$

كمثال ملموس على ذلك، إذا تم تعريف U على أنها مجموعة الأعداد النسبية في الفترة ، فإن U هي مجموعة فرعية مفتوحة من الأعداد النسبية ، ولكن ليست من الأعداد الحقيقية . وذلك لأنه عندما تكون المساحة المحيطة هي الأعداد النسبية، لكل نقطة x في U ، يوجد عدد موجب a بحيث تكون جميع النقاط النسبية ضمن المسافة a من x موجودة أيضًا في U. من ناحية أخرى، عندما تكون المساحة المحيطة هي الأعداد الحقيقية، فعندئذٍ لكل نقطة x في U لا يوجد عدد موجب a بحيث تكون جميع النقاط الحقيقية ضمن المسافة a من x موجودة في U (لأن U لا تحتوي على أعداد غير نسبية). ${\displaystyle (0,1),}$

تتمتع المجموعات المفتوحة بأهمية أساسية في الطوبولوجيا . والمفهوم مطلوب لتحديد وفهم الفضاء الطوبولوجي والهياكل الطوبولوجية الأخرى التي تتعامل مع مفاهيم التقارب والتقارب للمساحات مثل المساحات المترية والمساحات المنتظمة .

تحتوي كل مجموعة فرعية A من الفضاء الطوبولوجي X على مجموعة مفتوحة (ربما تكون فارغة)؛ وتسمى أقصى مجموعة مفتوحة (مرتبة تحت التضمين) داخل A. ويمكن إنشاؤها عن طريق أخذ اتحاد جميع المجموعات المفتوحة الموجودة في A. [ ⁷ ]

دالة بين فضائين طوبولوجيين و متصلة إذا كانت الصورة الأولية لكل مجموعة مفتوحة في مفتوحة في ^[8] تسمى الدالة مفتوحة إذا كانت صورة كل مجموعة مفتوحة في مفتوحة في${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

المجموعة المفتوحة على خط الأعداد الحقيقية لها الخاصية المميزة وهي أنها اتحاد قابل للعد من الفواصل المفتوحة المنفصلة.

قد تكون المجموعة مفتوحة أو مغلقة أو كليهما أو لا شيء منهما. وعلى وجه الخصوص، المجموعات المفتوحة والمغلقة ليست متنافية، مما يعني أنه من الممكن بشكل عام لمجموعة فرعية من الفضاء الطوبولوجي أن تكون في نفس الوقت مجموعة فرعية مفتوحة ومجموعة فرعية مغلقة. تُعرف هذه المجموعات الفرعية باسم المجموعات المغلقة . صراحةً، تُسمى المجموعة الفرعية من الفضاء الطوبولوجي مجموعة مغلقة إذا كانت كل من مجموعتها ومكملها مجموعات فرعية مفتوحة من ؛ أو على نحو مكافئ، إذا و${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X\setminus S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S\in \tau }$${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$

في أي فضاء طوبولوجي، تكون المجموعة الفارغة والمجموعة نفسها دائمًا متداخلتين. هاتان المجموعتان هما المثالان الأكثر شهرة للمجموعات الجزئية المتداخلة، وتُظهِران أن المجموعات الجزئية المتداخلة موجودة في كل فضاء طوبولوجي. ولكي نرى ذلك، يكفي أن نلاحظ أنه بحكم تعريف الطوبولوجيا، فإن كلاً من و مفتوحتان، وأنهما مغلقتان أيضًا، لأن كل منهما مكمل للأخرى. ${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing }$

المجموعات المفتوحة لطوبولوجيا إقليدية المعتادة للخط الحقيقي هي المجموعة الفارغة، والفواصل المفتوحة ، وكل اتحاد للفواصل المفتوحة. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• الفترة مفتوحة في حسب تعريف الطوبولوجيا الإقليدية. وهي ليست مغلقة لأن مكملها في هو الذي ليس مفتوحًا؛ في الواقع، لا يمكن للفاصل المفتوح الموجود في أن يحتوي على 1 ، ويترتب على ذلك أنه لا يمكن أن يكون اتحادًا لفترات مفتوحة. وبالتالي، فإن هذا مثال لمجموعة مفتوحة ولكنها ليست مغلقة.${\displaystyle I=(0,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle I^{\complement }=(-\infty ,0]\cup [1,\infty ),}$${\displaystyle I^{\complement }}$${\displaystyle I^{\complement }}$${\displaystyle I}$
• وبموجب حجة مماثلة، فإن الفاصل الزمني عبارة عن مجموعة فرعية مغلقة ولكنها ليست مجموعة فرعية مفتوحة.${\displaystyle J=[0,1]}$
• أخيرًا، لا يكون أي منهما أو مكمله مفتوحين (لأنه لا يمكن كتابتهما كاتحاد لفترات مفتوحة)؛ وهذا يعني أن أي منهما ليس مفتوحًا ولا مغلقًا.${\displaystyle K=[0,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus K=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )}$${\displaystyle K}$

إذا تم تزويد الفضاء الطوبولوجي بطوبولوجيا منفصلة (بحيث تكون كل مجموعة فرعية من مفتوحة بحكم التعريف) فإن كل مجموعة فرعية من هي مجموعة فرعية مفتوحة. للحصول على مثال أكثر تقدمًا يذكرنا بالطوبولوجيا المنفصلة، ​​افترض أن هو مرشح فائق لمجموعة غير فارغة. عندئذٍ يكون الاتحاد طوبولوجيا على الخاصية التي مفادها أن كل مجموعة فرعية مناسبة غير فارغة من هي إما مجموعة فرعية مفتوحة أو مجموعة فرعية مغلقة، ولكنها لا تكون كلاهما؛ أي إذا (حيث ) فإن إحدى العبارتين التاليتين بالضبط تكون صحيحة: إما (1) أو، (2) بعبارة أخرى، تكون كل مجموعة فرعية مفتوحة أو مغلقة ولكن المجموعات الفرعية الوحيدة التي تكون كلاهما (أي التي تكون مفتوحة) هي و${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau :={\mathcal {U}}\cup \{\varnothing \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing \neq S\subsetneq X}$${\displaystyle S\neq X}$${\displaystyle S\in \tau }$${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X.}$

تُسمى مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي مجموعة مفتوحة منتظمة إذا أو ما يعادلها، إذا كانت ، حيث ، و تشير على التوالي إلى الحد الطوبولوجي ، الداخلي ، و الإغلاق لـ في . الفضاء الطوبولوجي الذي توجد له قاعدة تتكون من مجموعات مفتوحة منتظمة يسمى فضاء شبه منتظم . المجموعة الجزئية من هي مجموعة مفتوحة منتظمة إذا وفقط إذا كان مكملها في مجموعة مغلقة منتظمة، حيث بحكم التعريف تُسمى المجموعة الجزئية من مجموعة مغلقة منتظمة إذا أو ما يعادلها، إذا كانت كل مجموعة مفتوحة منتظمة (أو مجموعة مغلقة منتظمة) هي مجموعة جزئية مفتوحة (أو مجموعة مغلقة منتظمة) على الرغم من أنه بشكل عام، ^{[ملاحظة 1]} فإن العكس ليس صحيحًا. ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}$${\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S}$${\displaystyle \operatorname {Bd} S}$${\displaystyle \operatorname {Int} S}$${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S.}$

في كل مكان، سيكون هناك مساحة طوبولوجي. ${\displaystyle (X,\tau )}$

تسمى مجموعة فرعية من الفضاء الطوبولوجي :${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$

• α-مفتوحة إذا، ويُسمى المكمل لهذه المجموعة مغلق α . ^[9]${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)\right)}$
• مفتوح مسبقًا ، أو مفتوح تقريبًا ، أو كثيف محليًا إذا كان يلبي أيًا من الشروط المكافئة التالية:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right).}$^[10]
  2. توجد مجموعات فرعية بحيث تكون المجموعة المفتوحة في مجموعة فرعية كثيفة من و ^[10]${\displaystyle D,U\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A=U\cap D.}$
  3. توجد مجموعة فرعية مفتوحة (في) بحيث تكون مجموعة فرعية كثيفة من ^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U.}$

  يُطلق على المجموعة المكملة للمجموعة المفتوحة مسبقًا اسم المجموعة المغلقة مسبقًا .

• b-مفتوحة إذا. تسمى المجموعة المكملة لمجموعة b-مفتوحة b-مغلقة . ^[9]${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$
• β مفتوح أو شبه مفتوح مسبقًا إذا كان يلبي أيًا من الشروط المكافئة التالية:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)}$^[9]
  2. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$هي مجموعة مغلقة منتظمة من ^[10]${\displaystyle X.}$
  3. توجد مجموعة فرعية مفتوحة مسبقًا بحيث [ ^10]${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.}$

  يُطلق على المكمل للمجموعة المفتوحة β اسم المجموعة المغلقة β .

• مفتوح بشكل متسلسل إذا كان يلبي أيًا من الشروط المكافئة التالية:
  1. كلما تقارب تسلسل في إلى نقطة ما من ثم فإن هذا التسلسل يكون في النهاية في صراحةً، هذا يعني أنه إذا كان تسلسلًا في وإذا كان يوجد بعض يكون بحيث يكون في يكون في النهاية في (أي يوجد عدد صحيح بحيث إذا فإن ).${\displaystyle X}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j\geq i,}$${\displaystyle x_{j}\in A}$
  2. ${\displaystyle A}$يساوي الجزء الداخلي المتسلسل الذي فيه حسب التعريف المجموعة ${\displaystyle X,}$

     ${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{ whenever a sequence in }}X{\text{ converges to }}a{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then that sequence is eventually in }}A\}\\&=\{a\in A~:~{\text{ there does NOT exist a sequence in }}X\setminus A{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}A\}\\\end{alignedat}}}$

  يُطلق على المكمل لمجموعة مفتوحة تسلسليًا اسم المجموعة المغلقة تسلسليًا . تُعتبر المجموعة الجزئية مغلقة تسلسليًا في إذا وفقط إذا كانت مساوية لإغلاقها التسلسلي ، والذي بحكم التعريف هو المجموعة المكونة من كل ما يوجد له تسلسل في يتقارب إلى (في ). ${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

• مفتوحة تقريبًا ويقال إنها تمتلك خاصية باير إذا كانت هناك مجموعة فرعية مفتوحةبحيثتكونمجموعة فرعية ضئيلة، حيثتشير إلىالفرق المتماثل.^[11]${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle A\bigtriangleup U}$${\displaystyle \bigtriangleup }$
  • يقال أن المجموعة الفرعية لها خاصية باير بالمعنى المقيد إذا كان لكل مجموعة فرعية من التقاطع خاصية باير بالنسبة إلى . ^[12]${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap E}$${\displaystyle E}$
• شبه مفتوحة إذاأو، على نحو مكافئ،. يُطلق على المكمل فيالمجموعة شبه المفتوحة اسم المجموعة شبه المغلقة . ^[13]${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$${\displaystyle X}$
  • إن شبه الإغلاق (في ) لمجموعة فرعية يتم الإشارة إليها بواسطة هو تقاطع جميع المجموعات الفرعية شبه المغلقة لـ التي تحتوي على مجموعة فرعية. ^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle \operatorname {sCl} _{X}A,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$
• شبه مفتوح θ إذا كان لكل منهامجموعة فرعية شبه مفتوحةبحيث[ ^13]${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq A.}$
• θ-open (أو δ-open ) إذا كان مكملها فيمغلقة θ (أو δ-closed )، حيث يُطلق على المجموعة الفرعية من بحكم التعريفاسم θ-closed (أو δ-closed ) إذا كانت مساوية لمجموعة جميع نقاط مجموعة θ الخاصة بها (أو نقاط مجموعة δ).تُسمى النقطة نقطة مجموعة θ (أو نقطة مجموعة δ ) لمجموعة فرعيةإذا لم تكن فارغة لكل جوار مفتوحفي التقاطع(أوليستفارغة). ^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle B\cap \operatorname {cl} _{X}U}$${\displaystyle B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right)}$

باستخدام حقيقة أن

${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}B}$     و     ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}B~\subseteq ~B}$

عندما تلبي مجموعتان فرعيتان الشرط التالي، يمكن استنتاج ما يلي: ${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle A\subseteq B,}$

• كل مجموعة فرعية مفتوحة α هي شبه مفتوحة، وشبه مفتوحة مسبقًا، ومفتوحة مسبقًا، ومفتوحة b.
• كل مجموعة مفتوحة b هي مجموعة شبه مفتوحة مسبقًا (أي مفتوحة β).
• كل مجموعة ما قبل الفتح هي مجموعة مفتوحة من النوع ب وشبه مفتوحة من النوع ب.
• كل مجموعة شبه مفتوحة هي مجموعة مفتوحة ب وشبه مفتوحة مسبقًا.

علاوة على ذلك، تكون المجموعة الجزئية مجموعة مفتوحة منتظمة إذا وفقط إذا كانت مفتوحة جزئيًا وشبه مغلقة. ^[10] تقاطع مجموعة مفتوحة α ومجموعة شبه مفتوحة جزئيًا (أو شبه مفتوحة جزئيًا أو مفتوحة جزئيًا أو مفتوحة جزئيًا) هو مجموعة شبه مفتوحة جزئيًا (أو شبه مفتوحة جزئيًا أو مفتوحة جزئيًا أو مفتوحة جزئيًا). ^[10] لا يلزم أن تكون المجموعات المفتوحة جزئيًا مفتوحة جزئيًا ولا يلزم أن تكون المجموعات شبه المفتوحة جزئيًا مفتوحة جزئيًا. ^[10]

الاتحادات التعسفية للمجموعات المفتوحة مسبقًا (على التوالي، α-مفتوحة، b-مفتوحة، شبه مفتوحة مسبقًا) تكون مفتوحة مسبقًا مرة أخرى (على التوالي، α-مفتوحة، b-مفتوحة، شبه مفتوحة مسبقًا). ^[10] ومع ذلك، فإن التقاطعات المحدودة للمجموعات المفتوحة مسبقًا لا يلزم أن تكون مفتوحة مسبقًا. ^[13] تشكل مجموعة جميع المجموعات الفرعية المفتوحة α من الفضاء طوبولوجيا عليها أدق من [ 9 ^]${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$

الفضاء الطوبولوجي هو هاوسدورف إذا وفقط إذا كان كل فضاء فرعي مضغوط لـ مغلقًا θ. ^[13] الفضاء غير متصل تمامًا إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة فرعية مغلقة منتظمة مفتوحة مسبقًا أو على نحو مكافئ، إذا كانت كل مجموعة فرعية شبه مفتوحة مسبقًا. علاوة على ذلك، فإن الفضاء غير متصل تمامًا إذا وفقط إذا كان إغلاق كل مجموعة فرعية مفتوحة مسبقًا مفتوحًا. ^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• خريطة مفتوحة تقريبًا  - خريطة تلبي شرطًا مشابهًا لشرط كونها خريطة مفتوحة.
• القاعدة (الطوبولوجيا)  - مجموعة من المجموعات المفتوحة المستخدمة لتحديد الطوبولوجيا
• مجموعة كلوبن  – مجموعة جزئية مفتوحة ومغلقة
• المجموعة المغلقة  – مكملة لمجموعة فرعية مفتوحة
• المجال (التحليل الرياضي)  - مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من الفضاء الطوبولوجي
• التماثل المحلي  – دالة رياضية قابلة للعكس بالقرب من كل نقطة
• خريطة مفتوحة  – دالة ترسل مجموعات فرعية مفتوحة (أو مغلقة) إلى مجموعات فرعية مفتوحة (أو مغلقة)Pages displaying short descriptions of redirect targets
• القاعدة الفرعية  – مجموعة من المجموعات الفرعية التي تولد طوبولوجيا

• هارت، كلااس (2004). موسوعة الطوبولوجيا العامة . أمستردام، بوسطن: إلسفير/نورث-هولاند. رقم ISBN 0-444-50355-2. OCLC  162131277.
• هارت، كلاس بيتر. ناجاتا، جون إيتي؛ فوغان، جيري إي. (2004). موسوعة الطوبولوجيا العامة . إلسفير. رقم ISBN 978-0-444-50355-8.
• مونكريس، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا (الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي : برنتيس هول، إنك . رقم ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.

• "المجموعة المفتوحة"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]