مرشح فائق

في المجال الرياضي لنظرية الترتيب ، مرشح فائق على مجموعة مرتبة جزئياً معينة (أو "مجموعة مرتبة جزئياً").${\textstyle P}$هي مجموعة فرعية معينة من${\displaystyle P,}$أي مرشح أقصى على${\displaystyle P;}$أي، فلتر مناسب${\textstyle P}$لا يمكن تكبير ذلك إلى مرشح مناسب أكبر${\displaystyle P.}$

لو${\displaystyle X}$هي مجموعة عشوائية، مجموعة قواها${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$مرتبة حسب احتواء المجموعة ، هي دائمًا جبر بولياني ، وبالتالي مجموعة مرتبة جزئيًا، ومرشحات فائقة على${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$تُسمى عادةً بالمرشحات الفائقة في جهاز التصوير${\displaystyle X}$[ ^{ملاحظة 1 ]} مرشح فائق على مجموعة${\displaystyle X}$يمكن اعتبارها مقياسًا ذا قيمة 0 أو 1 قابلًا للجمع بشكل محدود على${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$من هذا المنظور، كل مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$يُعتبر إما " كل شيء تقريبًا " (له قياس 1) أو "لا شيء تقريبًا" (له قياس 0)، وذلك اعتمادًا على ما إذا كان ينتمي إلى المرشح الفائق المحدد أم لا. ^{[ 1 ] : §4}

تتمتع المرشحات الفائقة بالعديد من التطبيقات في نظرية المجموعات، ونظرية النماذج ، والطوبولوجيا ^{[ 2 ] : 186،} والتوافقية. ^{[ 3 ]}

في نظرية الترتيب ، المرشح الفائق هو مجموعة جزئية من مجموعة مرتبة جزئياً، وهو الأكبر بين جميع المرشحات المناسبة . وهذا يعني أن أي مرشح يحتوي على مرشح فائق يجب أن يكون مساوياً للمجموعة المرتبة جزئياً كاملةً.

رسميًا، إذا${\textstyle P}$هي مجموعة، مرتبة جزئياً بواسطة${\displaystyle \,\leq \,}$ثم

• مجموعة فرعية${\displaystyle F\subseteq P}$يُطلق عليه اسم مرشح على${\textstyle P}$لو
  • ${\displaystyle F}$غير فارغ،
  • لكل${\displaystyle x,y\in F,}$يوجد عنصر ما${\displaystyle z\in F}$بحيث${\displaystyle z\leq x}$و${\displaystyle z\leq y,}$و
  • لكل${\displaystyle x\in F}$و${\displaystyle y\in P,}$${\displaystyle x\leq y}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle y}$هو في${\displaystyle F}$أيضاً؛
• مجموعة جزئية مناسبة${\displaystyle U}$ل${\textstyle P}$يُطلق عليه اسم المرشح الفائق${\textstyle P}$لو
  • ${\displaystyle U}$هو فلتر على${\displaystyle P,}$و
  • لا يوجد مرشح مناسب${\displaystyle F}$على${\textstyle P}$ذلك يمتد بشكل صحيح${\displaystyle U}$(أي بحيث${\displaystyle U}$هي مجموعة جزئية مناسبة من${\displaystyle F}$).

تظهر حالة خاصة مهمة لهذا المفهوم إذا كانت المجموعة المرتبة جزئيًا المدروسة عبارة عن جبر بولياني . في هذه الحالة، تتميز المرشحات الفائقة باحتوائها، لكل عنصر${\displaystyle x}$في الجبر البولياني، عنصر واحد فقط من العناصر${\displaystyle x}$و${\displaystyle \lnot x}$(وهذا الأخير هو المكمل المنطقي لـ${\displaystyle x}$):

لو${\textstyle P}$هو جبر بولياني و${\displaystyle F}$يُعدّ هذا مرشحًا مناسبًا على${\displaystyle P,}$إذاً، فإن العبارات التالية متكافئة:

1. ${\displaystyle F}$يوجد مرشح فائق على${\displaystyle P,}$
2. ${\displaystyle F}$مرشح رئيسي على${\displaystyle P,}$^{[ ملاحظة 4 ]}
3. لكل${\displaystyle x\in P,}$أيضاً${\displaystyle x\in F}$أو (${\displaystyle \lnot x}$)${\displaystyle \in F.}$^{[ 2 ] : 186}

علاوة على ذلك، يمكن ربط المرشحات الفائقة على الجبر البولياني بالمثاليات القصوى والتشاكلات مع الجبر البولياني ذي العنصرين {صواب، خطأ} (المعروف أيضًا باسم التشاكلات ذات القيمتين ) على النحو التالي:

• بالنظر إلى تماثل الجبر البولياني على {true, false}، فإن الصورة العكسية لـ "true" هي مرشح فائق، والصورة العكسية لـ "false" هي مثال مثالي أقصى.
• بالنظر إلى مثال أقصى لجبر بولياني، فإن مكمله هو مرشح فائق، وهناك تماثل فريد على {صواب، خطأ} يأخذ المثال الأقصى إلى "خطأ".
• بالنظر إلى مرشح فائق على جبر بولياني، فإن مكمله هو مثالي أقصى، وهناك تماثل فريد على {true, false} يأخذ المرشح الفائق إلى "true".

بالنظر إلى مجموعة عشوائية${\displaystyle X,}$مجموعة قوتها${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$الترتيب حسب احتواء المجموعة هو دائمًا جبر بولياني؛ وبالتالي تنطبق نتائج القسم أعلاه. مرشح (فائق) على${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$يُطلق عليه غالبًا اسم "فلتر (فائق) على${\displaystyle X}$[ ^{ملاحظة 1 ] بالنظر} إلى مجموعة عشوائية${\displaystyle X,}$مرشح فائق على${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$هي مجموعة${\displaystyle {\mathcal {U}}}$يتألف من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$بحيث:

1. المجموعة الفارغة ليست عنصرًا من${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.
2. لو${\displaystyle A}$هو عنصر من${\displaystyle {\mathcal {U}}}$إذن، كل مجموعة فرعية كذلك${\displaystyle B\supset A}$.
3. لو${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي عناصر من${\displaystyle {\mathcal {U}}}$إذن، كذلك هو الحال عند التقاطع${\displaystyle A\cap B}$.
4. لو${\displaystyle A}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle X,}$ثم إما ^{[ ملاحظة 5 ]}${\displaystyle A}$أو مكملها${\displaystyle X\setminus A}$هو عنصر من${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.

بمعنى آخر، عائلة${\displaystyle {\mathcal {U}}}$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$يُعتبر مرشحًا فائقًا إذا وفقط إذا كان لأي مجموعة محدودة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$هناك بعض${\displaystyle x\in X}$بحيث${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {F}}=F_{x}\cap {\mathcal {F}}}$أين${\displaystyle F_{x}=\{Y\subseteq X:x\in Y\}}$المرشح الفائق الرئيسي الذي تم تلقيحه بواسطة${\displaystyle x}$بمعنى آخر، يمكن اعتبار المرشح الفائق بمثابة مجموعة من المجموعات التي تشبه "محليًا" مرشحًا فائقًا رئيسيًا.

شكل مكافئ لـ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$هو تشاكل ثنائي القيمة ، دالة${\displaystyle m}$على${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle m(A)=1}$لو${\displaystyle A}$هو عنصر من${\displaystyle {\mathcal {U}}}$و${\displaystyle m(A)=0}$وإلا.${\displaystyle m}$هي مجموعة جمعية محدودة ، وبالتالي فهي محتوى على${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$وكل خاصية من خصائص عناصر${\displaystyle X}$إما أن يكون صحيحاً في كل مكان تقريباً أو خاطئاً في كل مكان تقريباً. ومع ذلك،${\displaystyle m}$عادة ما تكون غير قابلة للعد الجمعي ، وبالتالي فهي لا تحدد مقياسًا بالمعنى المعتاد.

للحصول على فلتر${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هذا ليس مرشحًا فائقًا، يمكن للمرء أن يُعرّف${\displaystyle m(A)=1}$لو${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$و${\displaystyle m(A)=0}$لو${\displaystyle X\setminus A\in {\mathcal {F}},}$مغادرة${\displaystyle m}$غير مُعرَّف في مكان آخر. ^{[ 1 ]}

تُعدّ المرشحات الفائقة على مجموعات القوى مفيدة في علم الطوبولوجيا ، لا سيما فيما يتعلق بفضاءات هاوسدورف المدمجة ، وفي نظرية النماذج في بناء الضرب الفائق والقوى الفائقة . يتقارب كل مرشح فائق على فضاء هاوسدورف مدمج إلى نقطة واحدة فقط. وبالمثل، تلعب المرشحات الفائقة على الجبر البولياني دورًا محوريًا في نظرية تمثيل ستون . في نظرية المجموعات، تُستخدم المرشحات الفائقة لإثبات أن بديهية قابلية البناء لا تتوافق مع وجود عدد أصلي قابل للقياس κ . ويتم إثبات ذلك بأخذ القوة الفائقة للكون النظري للمجموعات بتردد مرشح فائق غير رئيسي كامل من النوع κ . ^{[ 6 ]}

المجموعة${\displaystyle G}$من بين جميع المرشحات الفائقة لمجموعة مرتبة جزئياً${\textstyle P}$يمكن وضع الطوبولوجيا بطريقة طبيعية، وهي في الواقع مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بنظرية التمثيل المذكورة أعلاه. لأي عنصر${\displaystyle x}$ل${\textstyle P}$، يترك${\displaystyle D_{x}=\left\{U\in G:x\in U\right\}.}$يكون هذا مفيدًا للغاية عندما${\textstyle P}$وهي مرة أخرى جبر بولياني، لأنه في هذه الحالة مجموعة جميع${\displaystyle D_{x}}$هي أساس لطوبولوجيا هاوسدورف المدمجة على${\displaystyle G}$وخاصة عند النظر في المرشحات الفائقة الموجودة على مجموعة الطاقة${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$، والفضاء الطوبولوجي الناتج هو تكثيف ستون-تشيك لفضاء منفصل ذي عدد أساسي${\displaystyle |S|.}$

يستخدم بناء المنتج الفائق في نظرية النماذج المرشحات الفائقة لإنتاج نموذج جديد انطلاقًا من سلسلة من${\displaystyle X}$النماذج المفهرسة؛ على سبيل المثال، يمكن إثبات نظرية التراص بهذه الطريقة. في الحالة الخاصة للقوى الفائقة، نحصل على امتدادات أولية للهياكل. على سبيل المثال، في التحليل غير القياسي ، يمكن بناء الأعداد الفائقة الحقيقية كحاصل ضرب فائق للأعداد الحقيقية ، مما يوسع نطاق الخطاب من الأعداد الحقيقية إلى متتاليات الأعداد الحقيقية. تُعتبر فضاءات المتتاليات هذه مجموعة شاملة للأعداد الحقيقية من خلال تحديد كل عدد حقيقي بالمتتالية الثابتة المقابلة له. لتوسيع الدوال والعلاقات المألوفة (مثل + و <) من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الفائقة الحقيقية، فإن الفكرة الطبيعية هي تعريفها نقطيًا. لكن هذا من شأنه أن يفقد خصائص منطقية مهمة للأعداد الحقيقية؛ على سبيل المثال، < نقطيًا ليس ترتيبًا كليًا. لذلك، يتم تعريف الدوال والعلاقات " نقطيًا بتردد ".${\displaystyle U}$، أين${\displaystyle U}$هو مرشح فائق على مجموعة فهارس المتتاليات؛ وبحسب نظرية Łoś ، فإن هذا يحافظ على جميع خصائص الأعداد الحقيقية التي يمكن ذكرها في منطق الرتبة الأولى . إذا${\displaystyle U}$إذا كان غير رئيسي، فإن الامتداد الناتج عنه يكون غير تافه.

في نظرية الزمر الهندسية ، تُستخدم المرشحات الفائقة غير الرئيسية لتعريف المخروط التقاربي للزمرة . يوفر هذا البناء طريقة دقيقة للنظر إلى الزمرة من اللانهاية ، أي الهندسة واسعة النطاق للزمرة. تُعد المخاريط التقاربية أمثلة خاصة على النهايات الفائقة للفضاءات المترية .

يستخدم برهان غودل الأنطولوجي على وجود الله كمسلمة أن مجموعة جميع "الخصائص الإيجابية" هي مرشح فائق.

في نظرية الاختيار الاجتماعي ، تُستخدم المرشحات الفائقة غير الرئيسية لتعريف قاعدة (تُسمى دالة الرفاه الاجتماعي ) لتجميع تفضيلات عدد لا نهائي من الأفراد. وخلافًا لنظرية آرو حول استحالة التجميع لعدد محدود من الأفراد، فإن هذه القاعدة تُحقق الشروط (الخصائص) التي اقترحها آرو. ^{[ 7 ]} ومع ذلك، فإن هذه القواعد ذات أهمية محدودة عمليًا لعلماء الاجتماع، نظرًا لكونها غير خوارزمية أو غير قابلة للحساب. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• المرشح (الرياضيات) - مجموعة فرعية خاصة من مجموعة مرتبة جزئيًا 
• تصفية مجموعة – عائلة من المجموعات الفرعية التي تمثل مجموعات "كبيرة". 
• المرشحات في علم الطوبولوجيا
• معضلة المرشح الفائق – صفحات المرشح الأمثل الأقصى التي تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• الشبكة الشاملة – تعميم لسلسلة من النقاط. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 

• أرخانجيلسكي، ألكسندر فلاديميروفيتش ؛ بونوماريف، في. آي. (1984). أساسيات الطوبولوجيا العامة: مسائل وتمارين . الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  13. دوردريخت بوسطن: دي. ريدل . ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC 9944489 . 
• بورباكي، نيكولا (1989) [1966]. الطوبولوجيا العامة: الفصول من 1 إلى 4 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . برلين نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري. دوى : 10.1007/978-3-642-61701-0 . رقم ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 . 
• ديكسمير، جاك (1984). الطوبولوجيا العامة . نصوص جامعية في الرياضيات. ترجمة: بربريان، إس كيه. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 . 
• دوليكي، سيمون ؛ مينارد، فريدريك (2016). أسس التقارب في الطوبولوجيا . نيوجيرسي: شركة وورلد ساينتيفيك للنشر. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 . 
• دوجوندجي، جيمس (1966). الطوبولوجيا . بوسطن: ألين وبيكون. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 . 
• كزار، أكوس (1978). الطوبولوجيا العامة . ترجمة كزار، كلارا. بريستول إنجلترا: آدم هيلجر المحدودة ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011 . 
• جيتش، توماس (2006). نظرية المجموعات: طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة . برلين، نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC 50422939 . 
• جوشي، ك. د. (1983). مقدمة في الطوبولوجيا العامة . نيويورك: جون وايلي وأولاده المحدودة. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750 . 
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 . 
• شوبرت، هورست (1968). الطوبولوجيا . لندن: ماكدونالد وشركاه. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753 . 

• كومفورت، دبليو دبليو (1977). "المرشحات الفائقة: بعض النتائج القديمة وبعض النتائج الجديدة" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 83 (4): 417-455 . doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14316-4 . ISSN 0002-9904 . MR 0454893 .  
• كومفورت، دبليو دبليو؛ نيغريبونتيس، إس. (1974)، نظرية المرشحات الفائقة ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، MR 0396267 
• مرشح فائق في مختبر n
• "المنطق الرياضي 15، نظرية المرشح الفائق" على يوتيوب