بديهية قابلية البناء

تُعدّ بديهية قابلية الإنشاء بديهيةً محتملةً لنظرية المجموعات في الرياضيات، وتؤكد أن كل مجموعة قابلة للإنشاء . وعادةً ما تُكتب هذه البديهية على النحو التالي: V = L ، حيث${\displaystyle V}$يمثل عالم فون نيومان لجميع المجموعات المؤسسة جيدًا ، و${\displaystyle L}$تمثل المجموعات القابلة للإنشاء. في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF)، يمكن التعبير عن خاصية قابلية الإنشاء بصيغة واحدة.${\displaystyle \mathrm {Constructible} (x)}$وكل مجموعة موجودة في${\displaystyle V}$لذا يمكن كتابة البديهية بلغة ZF على النحو التالي:${\displaystyle \forall x\;\mathrm {Constructible} (x)}$.

إن بديهية قابلية البناء، التي درسها كورت غودل لأول مرة ، تتعارض مع فرضية وجود الصفر الحاد ومع بديهيات الأعداد الكبيرة الأقوى (انظر قائمة خصائص الأعداد الكبيرة ). وتُستكشف تعميمات (أي نسخ أضعف) لهذه البديهية في نظرية النموذج الداخلي . ^{[ 1 ]}

تستلزم بديهية قابلية البناء بديهية الاختيار (AC)، في ظل نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات بدون بديهية الاختيار (ZF). كما أنها تحسم العديد من المسائل الرياضية الطبيعية المستقلة عن نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار (ZFC)؛ على سبيل المثال، تستلزم بديهية قابلية البناء فرضية الاستمرارية المعممة ، ^{[ 2 ]} ونفي فرضية سوسلين ، ووجود حل تحليلي (في الواقع،${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$) مجموعة غير قابلة للقياس من الأعداد الحقيقية ، وكلها مستقلة عن ZFC.

تنص بديهية قابلية الإنشاء على عدم وجود أعداد كبيرة ذات قوة اتساق أكبر من أو تساوي صفرًا ^، وهو ما يشمل بعض الأعداد الكبيرة "الصغيرة نسبيًا". على سبيل المثال، لا يمكن لأي عدد أن يكون${\displaystyle \omega _{1}}$- إردوش في${\displaystyle L}$. بينما${\displaystyle L}$يحتوي على الأعداد الترتيبية الأولية لتلك الأعداد الأصلية الكبيرة (عندما توجد في نموذج فائق من${\displaystyle L}$)، ولا تزال أعدادًا ترتيبية أولية في${\displaystyle L}$، فهو يستثني الهياكل المساعدة (مثل المقاييس ) التي تمنح تلك الأعداد الأصلية خصائصها الأصلية الكبيرة.

على الرغم من أن بديهية قابلية الإنشاء تحل العديد من المسائل في نظرية المجموعات، إلا أنها لا تُقبل عادةً كبديهية في نظرية المجموعات بنفس طريقة بديهيات ZFC. فبين منظري المجموعات ذوي الميول الواقعية ، الذين يعتقدون أن بديهية قابلية الإنشاء إما صحيحة أو خاطئة، يميل معظمهم إلى الاعتقاد بأنها خاطئة. ^{[ 3 ]} ويعود ذلك جزئيًا إلى أنها تبدو "مُقيِّدة" بشكل غير ضروري، إذ أنها لا تسمح إلا بمجموعات فرعية معينة من مجموعة معينة (على سبيل المثال،${\displaystyle 0^{\sharp }\subseteq \omega }$(لا يمكن أن توجد)، دون وجود سبب واضح للاعتقاد بأن هذه هي جميعها. ويرجع ذلك جزئيًا إلى أن هذه البديهية تتناقض مع بديهيات أساسية كبيرة وقوية بما فيه الكفاية . وترتبط وجهة النظر هذه بشكل خاص بالجماعة السرية ، أو "مدرسة كاليفورنيا" كما يسميها ساهارون شيلاه .

على وجه الخصوص، خلال الفترة من الخمسينيات إلى السبعينيات من القرن الماضي، أُجريت بعض الدراسات لصياغة نظير لمبدأ قابلية الإنشاء لأنظمة فرعية من الحساب من الدرجة الثانية . وقد برزت بعض النتائج في دراسة هذه النظائر:

• جون أديسون${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$صيغة${\displaystyle {\textrm {Constr}}(X)}$مع العقار الذي${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\textrm {Constr}}(X)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle X\in {\mathcal {P}}(\omega )\cap L}$، أي،${\displaystyle X}$هو حقيقي قابل للبناء. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• هناك${\displaystyle \Pi _{3}^{1}}$الصيغة المعروفة باسم "الشكل التحليلي لبديهية قابلية الإنشاء" والتي لها بعض الارتباطات ببديهية نظرية المجموعات${\displaystyle V=L}$[ ^{6 ] على} سبيل المثال، بعض الحالات التي${\displaystyle M\vDash V=L}$إذا وفقط إذا${\displaystyle M\cap {\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\text{الصيغة التحليلية لـ }}V=L}$تم تقديمها. ^{[ 6 ]}

تكمن الأهمية الرئيسية لمسلمة قابلية البناء في برهان كورت غودل عام 1938 على الاتساق النسبي لمسلمة الاختيار وفرضية الاستمرارية المعممة مع نظرية المجموعات لفون نيومان-بيرنايز-غودل . (ينطبق هذا البرهان أيضاً على نظرية المجموعات لزيرميلو-فرانكل ، التي أصبحت أكثر شيوعاً في السنوات الأخيرة).

أي أن غودل أثبت أن${\displaystyle V=L}$متسقة نسبياً (أي، إذا${\displaystyle \mathrm {ZFC} +(V=L)}$إذا كان بإمكاننا إثبات تناقض، فبإمكاننا أيضاً إثبات ذلك.${\displaystyle \mathrm {ZF} }$), وذلك في${\displaystyle \mathrm {ZF} }$

${\displaystyle V=L\implies \mathrm {AC} \land \mathrm {GCH} ,}$

وبذلك يثبت أن AC و GCH متسقان نسبيًا أيضًا. ^{[ 2 ]}

تم استكمال برهان غودل في عام 1962 بنتيجة بول كوهين التي تنص على أن كلاً من AC و GCH مستقلان ، أي أن نفي هذه البديهيات (${\displaystyle \lnot AC}$و${\displaystyle \lnot GCH}$() متسقة نسبيًا أيضًا مع نظرية مجموعة ZF.

فيما يلي قائمة بالمقولات التي تنطبق في الكون القابل للبناء (يرمز لها بـ${\displaystyle L}$):

• وجود ترتيب جيد قابل للتحديد لجميع المجموعات (يمكن تحديد صيغته بشكل صريح)، وكنتيجة لذلك
  • وجود دالة اختيار عالمية قابلة للتحديد ، وبالتالي بديهية الاختيار
  • كل مجموعة هي مجموعة قابلة للتعريف الترتيبي (V=HOD)
• فرضية الاستمرارية المعممة ^{[ 2 ]}
• مبادئ جنسن الماسية ◊ و ◊ ^* و ◊ ⁺ (وبالتالي مبدأ أوستازيفسكي للنادي ♣ )
  • نفي فرضية سوسلين ^{[ 7 ]}
• الساحة العالمية
• وجود المستنقعات
• عدم وجود الصفر ^# ونتيجة لذلك
  • عدم وجود جميع الأعداد الكبيرة يستلزم وجود عدد قابل للقياس
• وجود${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$مجموعة الأعداد الحقيقية (في التسلسل الهرمي التحليلي ) التي لا يمكن قياسها .
• حقيقة تخمين وايتهيد بأن كل مجموعة أبيلية${\displaystyle A}$مع${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}(A,\mathbb {Z} )=0}$هي مجموعة أبيلية حرة ، حيث${\displaystyle \mathrm {تحويلة} }$هو الدالة الخارجية (Ext functor) .
• وجود فئة شاملة بدائية متكررة${\displaystyle F:\mathrm {Ord} \to V}$أي، دالة فئة من${\displaystyle \mathrm {Ord} }$والتي يحتوي نطاقها على جميع المجموعات. ^{[ 8 ]}

بقبول بديهية قابلية البناء (التي تؤكد أن كل مجموعة قابلة للبناء ) فإن هذه الافتراضات تنطبق أيضًا في عالم فون نيومان ، مما يحل العديد من الافتراضات في نظرية المجموعات وبعض الأسئلة المثيرة للاهتمام في التحليل .

• كم عدد الأعداد الحقيقية الموجودة؟، كيث ديفلين، الجمعية الرياضية الأمريكية ، يونيو 2001