عدد حقيقي

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( يوليو 2024 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

في الرياضيات ، العدد الحقيقي هو عدد يمكن استخدامه لقياس كمية أحادية البعد متصلة مثل المسافة أو المدة أو درجة الحرارة . هنا، يعني المستمر أن أزواج القيم يمكن أن يكون لها اختلافات صغيرة تعسفية. ^[أ] يمكن تمثيل كل عدد حقيقي بشكل فريد تقريبًا بواسطة توسع عشري لانهائي . ^{[ب] [1]}

الأعداد الحقيقية أساسية في حساب التفاضل والتكامل (وبشكل عام في جميع الرياضيات)، وخاصة من خلال دورها في التعريفات الكلاسيكية للحدود والاستمرارية والمشتقات . [ ج ^]

مجموعة الأعداد الحقيقية، والتي تسمى أحيانًا "الأعداد الحقيقية"، يُشار إليها تقليديًا بحرف R غامق ، وغالبًا ما يتم استخدام الخط الأسود الغامق ، ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ . ^{[2] [3]} الصفة حقيقي ، التي استخدمها رينيه ديكارت في القرن السابع عشر ، تميز الأعداد الحقيقية عن الأعداد التخيلية مثل الجذور التربيعية لـ −1 . ^[4]

تتضمن الأعداد الحقيقية الأعداد النسبية ، مثل العدد الصحيح −5 والكسر 4/3 . وتسمى بقية الأعداد الحقيقية بالأعداد غير النسبية . بعض الأعداد غير النسبية (وكذلك جميع الأعداد النسبية) هي جذر كثير حدود ذي معاملات صحيحة، مثل الجذر التربيعي √2 = 1.414... ؛ تسمى هذه الأعداد بالأعداد الجبرية . هناك أيضًا أعداد حقيقية ليست كذلك، مثل π = 3.1415... ؛ تسمى هذه الأعداد المتعالية . ^[4]

يمكن اعتبار الأعداد الحقيقية بمثابة جميع النقاط على خط يسمى خط الأعداد أو الخط الحقيقي ، حيث تكون النقاط المقابلة للأعداد الصحيحة ( ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... ) متباعدة بشكل متساوٍ.

وعلى العكس من ذلك، فإن الهندسة التحليلية هي ربط النقاط على الخطوط (خاصة خطوط المحور ) بأعداد حقيقية بحيث تكون الإزاحات الهندسية متناسبة مع الاختلافات بين الأرقام المقابلة.

الأوصاف غير الرسمية المذكورة أعلاه للأعداد الحقيقية ليست كافية لضمان صحة إثباتات النظريات التي تتضمن أعدادًا حقيقية. كان إدراك الحاجة إلى تعريف أفضل ووضع مثل هذا التعريف تطورًا رئيسيًا في رياضيات القرن التاسع عشر وهو أساس التحليل الحقيقي ودراسة الدوال الحقيقية والمتتاليات ذات القيمة الحقيقية . التعريف البديهي الحالي هو أن الأعداد الحقيقية تشكل حقل ديديكيند المرتب الكامل الفريد ( حتى التماثل ) . ^[د] تتضمن التعريفات الشائعة الأخرى للأعداد الحقيقية فئات التكافؤ لمتتاليات كوشي (للأعداد النسبية) وقطع ديديكيند والتمثيلات العشرية اللانهائية . كل هذه التعريفات تلبي التعريف البديهي وبالتالي فهي متكافئة.

تتميز الأعداد الحقيقية بشكل كامل بخصائصها الأساسية التي يمكن تلخيصها بالقول إنها تشكل حقلًا منظمًا كاملًا وفقًا لـ Dedekind . هنا، تعني "الخصائص الكاملة" وجود تماثل فريد بين أي حقلين منظمين كاملين وفقًا لـ Dedekind، وبالتالي فإن عناصرهما لها نفس الخصائص تمامًا. وهذا يعني أنه يمكن للمرء التلاعب بالأعداد الحقيقية والحساب بها، دون معرفة كيفية تعريفها؛ وهذا ما فعله علماء الرياضيات والفيزياء خلال عدة قرون قبل تقديم التعريفات الرسمية الأولى في النصف الثاني من القرن التاسع عشر. راجع بناء الأعداد الحقيقية للحصول على تفاصيل حول هذه التعريفات الرسمية وإثبات تكافؤها.

تشكل الأعداد الحقيقية حقلاً مرتبًا . وهذا يعني بديهيًا أن أساليب وقواعد الحساب الابتدائي تنطبق عليها. وبصورة أكثر دقة، هناك عمليتان ثنائيتان ، الجمع والضرب ، وترتيب إجمالي لهما الخصائص التالية.

• إن جمع عددين حقيقيين a و b ينتج عنه عدد حقيقي يرمز له بـ وهو مجموع a و b .${\displaystyle أ+ب,}$
• إن ضرب عددين حقيقيين a و b ينتج عددًا حقيقيًا يُرمز إليه أو والذي هو حاصل ضرب a و b .${\displaystyle ab,}$ ${\displaystyle a\cdot b}$${\displaystyle a\times b,}$
• الجمع والضرب كلاهما تبادليان ، مما يعني أن و لكل عددين حقيقيين a و b .${\displaystyle أ+ب=ب+أ}$${\displaystyle ab=ba}$
• الجمع والضرب كلاهما تجميعيان ، مما يعني أنه بالنسبة لكل الأعداد الحقيقية a و b و c ، ويمكن حذف الأقواس في كلتا الحالتين.${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$
• الضرب توزيعي على الجمع، مما يعني أنه لكل الأعداد الحقيقية a و b و c .${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$
• هناك عدد حقيقي يسمى صفر ويرمز له بالرمز 0 وهو هوية جمعيه ، وهذا يعني أنه لكل عدد حقيقي أ .${\displaystyle أ+0=أ}$
• هناك عدد حقيقي يرمز له بالرقم 1 وهو متطابق ضربي ، وهذا يعني أنه لكل عدد حقيقي أ .${\displaystyle a\times 1=a}$
• لكل عدد حقيقي a معكوس جمعي يرمز له وهذا يعني أنه لكل عدد حقيقي a .${\displaystyle -a.}$${\displaystyle أ+(-أ)=0}$
• كل عدد حقيقي غير صفري a له معكوس مضاعف يُشار إليه أو وهذا يعني أنه لكل عدد حقيقي غير صفري a .${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle {\frac {1}{a}}.}$${\displaystyle aa^{-1}=1}$
• يُشار إلى الترتيب الكلي بأنه ترتيب كلي يعني خاصيتين: إذا كان هناك عددان حقيقيان a و b ، فإن أحدهما بالضبط يكون صحيحًا؛ وإذا كان و، فإن أحدهما يكون صحيحًا أيضًا${\displaystyle a<b.}$${\displaystyle a<b,}$ ${\displaystyle أ=ب}$${\displaystyle b<a}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b<c,}$${\displaystyle a<c.}$
• الترتيب متوافق مع الجمع والضرب، مما يعني أن لكل عدد حقيقي c ، ويستلزم ذلك و${\displaystyle a<b}$${\displaystyle أ+ج<ب+ج}$${\displaystyle 0<ab}$${\displaystyle 0<a}$${\displaystyle 0<b.}$

يمكن استنتاج العديد من الخصائص الأخرى من الخصائص المذكورة أعلاه، وعلى وجه الخصوص:

• ${\displaystyle 0\cdot a=0}$لكل عدد حقيقي أ
• ${\displaystyle 0<1}$
• ${\displaystyle 0<a^{2}}$لكل عدد حقيقي غير صفري أ

هناك العديد من العمليات الأخرى المستخدمة بشكل شائع، والتي يمكن استنتاجها من العمليات المذكورة أعلاه.

• الطرح : طرح عددين حقيقيين a و b ينتج عنه مجموع a والعكس الجمعي − b لـ b ؛ أي،$${\displaystyle ab=a+(-b).}$$
• القسمة : قسمة عدد حقيقي أ على عدد حقيقي غير صفري ب يشار إليها أو تُعرف بأنها ضرب أ في المعكوس الضربي لـ ب ؛ أي،${\textstyle {\frac {a}{b}},}$${\displaystyle أ/ب}$$${\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{-1}.}$$
• القيمة المطلقة : القيمة المطلقة لعدد حقيقي أ ، والتي يشار إليها بقياس المسافة بينه وبين الصفر، وتُعرف على أنها${\displaystyle |a|,}$$${\displaystyle |a|=\max(a,-a).}$$

الترتيب الإجمالي الذي تم النظر فيه أعلاه يتم الإشارة إليه وقراءته على النحو التالي " a أقل من b ". كما يتم استخدام ثلاث علاقات ترتيب أخرى بشكل شائع: ${\displaystyle a<b}$

• أكبر من : يُقرأ على أنه " أ أكبر من ب "، ويُعرف بأنه إذا وفقط إذا${\displaystyle a>b,}$${\displaystyle أ>ب}$ ${\displaystyle b<a.}$
• أقل من أو يساوي : يُقرأ على النحو التالي " أ أقل من أو يساوي ب " أو " أ ليس أكبر من ب "، ويُعرف على النحو التالي أو ما يعادله${\displaystyle a\leq b,}$${\displaystyle (a<b){\text{ أو }}(a=b),}$${\displaystyle {\text{ليس }}(ب<أ).}$
• أكبر من أو يساوي : يُقرأ على النحو التالي " أ أكبر من أو يساوي ب " أو " أ ليس أقل من ب "، ويُعرف على النحو التالي أو ما يعادله${\displaystyle a\geq b,}$${\displaystyle (b<a){\text{ أو }}(a=b),}$${\displaystyle {\text{ليس }}(أ<ب).}$

يتم التعرف عادةً على الأعداد الحقيقية 0 و 1 بالأعداد الطبيعية 0 و 1 . وهذا يسمح بتحديد أي عدد طبيعي n بمجموع n من الأعداد الحقيقية التي تساوي 1 .

يمكن متابعة هذا التعريف من خلال تحديد عدد صحيح سلبي (حيث هو عدد طبيعي) مع المعكوس الإضافي للعدد الحقيقي المحدد بـ وبالمثل، يتم تحديد عدد نسبي (حيث p و q عددان صحيحان و ) من خلال قسمة الأعداد الحقيقية المحددة بـ p و q . ${\displaystyle -n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle -n}$${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle p/q}$${\displaystyle q\neq 0}$

تجعل هذه التعريفات مجموعة الأعداد النسبية حقلاً فرعيًا منظمًا للأعداد الحقيقية. يشير اكتمال ديديكيند الموصوف أدناه إلى أن بعض الأعداد الحقيقية، مثل ليست أعدادًا نسبية؛ تسمى أعدادًا غير نسبية . ${\displaystyle \mathbb {س} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle {\sqrt {2}},}$

إن التعريفات المذكورة أعلاه منطقية، لأن الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية لا يتم تعريفها عمومًا بطبيعتها الفردية، ولكن من خلال خصائص تعريفية ( بديهيات ). لذا، فإن تعريف الأعداد الطبيعية ببعض الأعداد الحقيقية مبرر بحقيقة أن بديهيات بيانو تتحقق من خلال هذه الأعداد الحقيقية، مع اعتبار الإضافة مع 1 بمثابة دالة خليفة .

رسميًا، لدينا تماثل حقني للوحدات الأحادية المرتبة من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الصحيحة وتماثل حقني للحلقات المرتبة من إلى الأعداد النسبية وتماثل حقني للحقول المرتبة من إلى الأعداد الحقيقية. تتكون التعريفات من عدم التمييز بين المصدر وصورة كل تماثل حقني، وبالتالي كتابة ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} .}$

هذه التعريفات هي إساءة استخدام رسمية للترميز (نظرًا لأن الرقم النسبي هو فئة تكافؤ من أزواج الأعداد الصحيحة، والرقم الحقيقي هو فئة تكافؤ من سلسلة كوشي)، وهي غير ضارة بشكل عام. فقط في مواقف محددة للغاية، يجب على المرء تجنبها واستبدالها باستخدام التماثلات المذكورة أعلاه صراحةً. هذه هي الحال في الرياضيات البناءة وبرمجة الكمبيوتر . في الحالة الأخيرة، يتم تفسير هذه التماثلات على أنها تحويلات للأنواع والتي يمكن غالبًا إجراؤها تلقائيًا بواسطة المترجم .

لا تميز الخصائص السابقة بين الأعداد الحقيقية والأعداد النسبية . يتم توفير هذا التمييز من خلال اكتمال ديدكيند ، والذي ينص على أن كل مجموعة من الأعداد الحقيقية ذات الحد الأعلى تقبل الحد الأعلى الأصغر . وهذا يعني ما يلي. تكون مجموعة الأعداد الحقيقية محدودة من الأعلى إذا كان هناك عدد حقيقي بحيث بالنسبة لجميع ؛ يسمى هذا الحد الأعلى لـ لذا، فإن اكتمال ديدكيند يعني أنه إذا كانت S محدودة من الأعلى، فإن لها حدًا أعلى أقل من أي حد أعلى آخر. ${\displaystyle S}$${\displaystyle u}$${\displaystyle s\leq u}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle u}$${\displaystyle S.}$

إن اكتمال ديديكيند يستلزم أنواعًا أخرى من الاكتمال (انظر أدناه)، ولكن له أيضًا بعض النتائج المهمة.

• خاصية أرخميدس : لكل عدد حقيقي x ، يوجد عدد صحيح n بحيث (خذ، حيث هو الحد العلوي الأصغر للأعداد الصحيحة الأقل من x ).${\displaystyle x<n}$${\displaystyle n=u+1,}$${\displaystyle u}$
• وعلى نحو مماثل، إذا كان x عددًا حقيقيًا موجبًا، فيوجد عدد صحيح موجب n بحيث .${\displaystyle 0<{\frac {1}{n}}<x}$
• كل عدد حقيقي موجب x له جذر تربيعي موجب ، أي يوجد عدد حقيقي موجب بحيث${\displaystyle r}$${\displaystyle r^{2}=x.}$
• كل كثيرة حدود أحادية المتغير من الدرجة الفردية ذات معاملات حقيقية لها على الأقل جذر حقيقي واحد (إذا كان المعامل الرئيسي موجبًا، فخذ الحد العلوي الأصغر للأعداد الحقيقية التي تكون قيمة كثيرة الحدود فيها سالبة).

يمكن تلخيص الخاصيتين الأخيرتين بالقول إن الأعداد الحقيقية تشكل حقلًا مغلقًا حقيقيًا . وهذا يعني النسخة الحقيقية من النظرية الأساسية في الجبر ، وهي أن كل حدودية ذات معاملات حقيقية يمكن تحليلها إلى حدوديات ذات معاملات حقيقية من الدرجة الثانية على الأكثر.

الطريقة الأكثر شيوعًا لوصف عدد حقيقي هي من خلال تمثيله العشري ، وهو عبارة عن سلسلة من الأرقام العشرية يمثل كل منها حاصل ضرب عدد صحيح بين صفر وتسعة أضعاف قوة عشرة ، ويمتد إلى عدد محدود من القوى الموجبة للعشرة إلى اليسار وعدد لا نهائي من القوى السالبة للعشرة إلى اليمين. بالنسبة للرقم x الذي يمتد تمثيله العشري k مكانًا إلى اليسار، فإن التدوين القياسي هو تجاور الأرقام بترتيب تنازلي بقوة عشرة، مع فصل القوى السالبة وغير السالبة للعشرة بفاصلة عشرية ، مما يمثل السلسلة اللانهائية${\displaystyle b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots ,}$

${\displaystyle x=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots .}$

على سبيل المثال، بالنسبة للدائرة الثابت k يساوي صفرًا وهكذا. ${\displaystyle \pi =3.14159\cdots ,}$ ${\displaystyle b_{0}=3,}$ ${\displaystyle a_{1}=1,}$ ${\displaystyle a_{2}=4,}$

بشكل أكثر رسمية، يتكون التمثيل العشري لعدد حقيقي غير سالب x من عدد صحيح غير سالب k وأعداد صحيحة بين الصفر والتسعة في المتتالية اللانهائية

${\displaystyle b_{k},b_{k-1},\ldots ,b_{0},a_{1},a_{2},\ldots .}$

(إذا كان ذلك بموجب اتفاقية ) ${\displaystyle k>0,}$${\displaystyle b_{k}\neq 0.}$

يحدد هذا التمثيل العشري العدد الحقيقي باعتباره الحد الأعلى الأدنى للكسور العشرية التي يتم الحصول عليها عن طريق قطع التسلسل: مع الأخذ في الاعتبار عددًا صحيحًا موجبًا n ، فإن قطع التسلسل عند المكان n هو المجموع الجزئي المحدود

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\\&=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{j=1}^{n}a_{j}10^{-j}\end{aligned}}}$

العدد الحقيقي x الذي تم تعريفه بالمتتالية هو الحد الأعلى الأصغر الذي يوجد حسب اكتمال ديديكيند. ${\displaystyle D_{n},}$

وعلى العكس من ذلك، إذا كان لدينا عدد حقيقي غير سالب x ، فيمكن تعريف التمثيل العشري لـ x بالاستقراء ، على النحو التالي. عرّف أكبر عدد صحيح على أنه تمثيل عشري بحيث (يوجد هذا العدد الصحيح بسبب خاصية أرخميدس). ثم، بافتراض أن الكسر العشري قد تم تعريفه لـ واحد، يُعرَّف على أنه أكبر رقم بحيث بحيث وواحد يحدد${\displaystyle b_{k}\cdots b_{0}}$${\displaystyle D_{0}}$${\displaystyle D_{0}\leq x}$${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle i<n,}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle D_{n-1}+a_{n}/10^{n}\leq a,}$${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+a_{n}/10^{n}.}$

من الممكن استخدام الخصائص المحددة للأعداد الحقيقية لإظهار أن x هو الحد الأعلى الأصغر لـ ، وبالتالي فإن التسلسل الناتج من الأرقام يسمى تمثيلًا عشريًا لـ x . ${\displaystyle D_{n}.}$

يمكن الحصول على تمثيل عشري آخر عن طريق استبدال بـ في البناء السابق. هذان التمثيلان متطابقان، ما لم يكن x كسرًا عشريًا من الشكل في هذه الحالة، في التمثيل العشري الأول، تكون جميع الأعداد صفرًا ، وفي التمثيل الثاني، تكون جميع الأعداد 9. (انظر 0.999... للمزيد من التفاصيل). ${\displaystyle \leq x}$${\displaystyle <x}$${\textstyle {\frac {m}{10^{h}}}.}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n>h,}$${\displaystyle a_{n}}$

باختصار، هناك تطابق بين الأعداد الحقيقية والتمثيلات العشرية التي لا تنتهي بعدد لا نهائي من الأعداد 9.

تنطبق الاعتبارات السابقة بشكل مباشر على كل قاعدة عددية ببساطة عن طريق استبدال 10 بـ و9 بـ${\displaystyle B\geq 2,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B-1.}$

السبب الرئيسي لاستخدام الأعداد الحقيقية هو أن العديد من المتتاليات لها حدود . وبشكل أكثر رسمية، تكون الأعداد الحقيقية كاملة (بمعنى المساحات المترية أو المساحات المنتظمة ، وهو معنى مختلف عن اكتمال ديديكيند للترتيب في القسم السابق):

تسمى المتوالية (x n) من الأعداد الحقيقية متوالية كوشي إذا _كان هناك لأي ε > 0 عدد صحيح N ( ربما يعتمد على ε) بحيث تكون المسافة | x _n − x _m | أقل من ε لجميع n و m اللذين يكونان أكبر من N. هذا التعريف، الذي قدمه كوشي في الأصل ، يضفي طابعًا رسميًا على حقيقة أن x _n تأتي في النهاية وتظل قريبة من بعضها البعض بشكل تعسفي.

يتقارب التسلسل ( x _n ) إلى الحد x إذا جاءت عناصره في النهاية وظلت قريبة بشكل تعسفي من x ، أي إذا كان هناك عدد صحيح N ( ربما يعتمد على ε) لأي ε > 0 بحيث تكون المسافة | x _n − x | أقل من ε لـ n أكبر من N.

كل متتالية متقاربة هي متتالية كوشي، والعكس صحيح بالنسبة للأعداد الحقيقية، وهذا يعني أن الفضاء الطوبولوجي للأعداد الحقيقية مكتمل.

إن مجموعة الأعداد النسبية ليست كاملة. على سبيل المثال، المتتالية (1؛ 1.4؛ 1.41؛ 1.414؛ 1.4142؛ 1.41421؛ ...)، حيث يضيف كل حد رقمًا من التوسع العشري للجذر التربيعي الموجب لـ 2، هي متتاليات كوشي ولكنها لا تتقارب إلى عدد نسبي (في الأعداد الحقيقية، على النقيض من ذلك، تتقارب إلى الجذر التربيعي الموجب لـ 2).

إن خاصية اكتمال الأعداد الحقيقية هي الأساس الذي يقوم عليه حساب التفاضل والتكامل ، وبشكل عام التحليل الرياضي . وعلى وجه الخصوص، يسمح اختبار كون المتتالية متتاليات كوشي بإثبات أن المتتالية لها حد، دون حسابها، وحتى دون معرفتها.

على سبيل المثال، السلسلة القياسية للدالة الأسية

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

يتقارب إلى عدد حقيقي لكل x ، لأن المجموع

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

يمكن جعلها صغيرة بشكل تعسفي (بشكل مستقل عن M ) عن طريق اختيار N كبيرة بدرجة كافية. وهذا يثبت أن المتتالية هي كوشي، وبالتالي تتقارب، مما يدل على أن محددة جيدًا لكل x . ${\displaystyle e^{x}}$

غالبًا ما يتم وصف الأرقام الحقيقية بأنها "الحقل المنظم الكامل"، وهي عبارة يمكن تفسيرها بعدة طرق.

أولاً، يمكن أن يكون الترتيب مكتملًا شبكيًا . من السهل أن نرى أنه لا يمكن لأي حقل مرتب أن يكون مكتملًا شبكيًا، لأنه لا يمكن أن يحتوي على أكبر عنصر (بشرط أن يكون أي عنصر z ، فإن z + 1 أكبر).

بالإضافة إلى ذلك، يمكن أن يكون الترتيب مكتملًا على طريقة ديدكيند، انظر § النهج البديهي. تبرر نتيجة التفرد في نهاية هذا القسم استخدام كلمة "the" في عبارة "الحقل المرتب المكتمل" عندما يكون هذا هو معنى "المكتمل" المقصود. يرتبط هذا الشعور بالاكتمال ارتباطًا وثيقًا ببناء الأعداد الحقيقية من قطع ديدكيند، لأن هذا البناء يبدأ من حقل مرتب (الأعداد النسبية) ثم يشكل اكتمال ديدكيند له بطريقة قياسية.

يتجاهل هذان المفهومان للاكتمال بنية الحقل. ومع ذلك، فإن المجموعة المرتبة (في هذه الحالة، المجموعة المضافة للحقل) تحدد بنية موحدة ، والهياكل الموحدة لديها فكرة عن الاكتمال ؛ الوصف في § الاكتمال هو حالة خاصة. (نشير إلى فكرة الاكتمال في المساحات الموحدة بدلاً من الفكرة ذات الصلة والمعروفة بشكل أفضل للمساحات المترية ، لأن تعريف المساحة المترية يعتمد على وجود توصيف للأعداد الحقيقية بالفعل.) ليس صحيحًا أن هو الحقل المنظم الوحيد الكامل الموحد، ولكنه الحقل الأرخميدي الوحيد الكامل الموحد ، والواقع أننا غالبًا ما نسمع عبارة "حقل أرخميدس الكامل" بدلاً من "الحقل المنظم الكامل". يجب أن يكون كل حقل أرخميدس كامل موحد أيضًا كاملًا ديدكيند (والعكس صحيح)، مما يبرر استخدام "the" في عبارة "الحقل الأرخميدي الكامل". يرتبط هذا الشعور بالاكتمال بشكل وثيق ببناء الأعداد الحقيقية من متواليات كوشي (البناء الذي تم تنفيذه بالكامل في هذه المقالة)، لأنه يبدأ بحقل أرخميدس (الأعداد النسبية) ويشكل الاكتمال المنتظم له بطريقة قياسية. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

لكن الاستخدام الأصلي لعبارة "حقل أرخميدس الكامل" كان من قبل ديفيد هيلبرت ، الذي كان يقصد شيئًا آخر بها. لقد قصد أن الأعداد الحقيقية تشكل أكبر حقل أرخميدس بمعنى أن كل حقل أرخميدس آخر هو حقل فرعي لـ . وبالتالي فإن "كامل" بمعنى أنه لا يمكن إضافة أي شيء آخر إليه دون جعله لم يعد حقل أرخميدس. يرتبط هذا الشعور بالاكتمال ارتباطًا وثيقًا ببناء الأعداد الحقيقية من الأعداد السريالية ، لأن هذا البناء يبدأ بفئة مناسبة تحتوي على كل حقل مرتب (الأعداد السريالية) ثم يختار منها أكبر حقل فرعي أرخميدس. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

مجموعة كل الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد ، بمعنى أنه في حين أن كل من مجموعة كل الأعداد الطبيعية {1، 2، 3، 4، ...} ومجموعة كل الأعداد الحقيقية هي مجموعات لا نهائية ، فلا توجد دالة واحد لواحد من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الطبيعية. يُشار إلى عدد الأعداد الحقيقية ويُطلق عليه عدد الأعداد المتصل . وهو أكبر تمامًا من عدد الأعداد الطبيعية (يُشار إليه ويُطلق عليه "ألف-صفر" )، ويساوي عدد الأعداد لمجموعة القوى لمجموعة الأعداد الطبيعية. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}.}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

تُعرف العبارة التي تنص على عدم وجود مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية ذات عدد أساسي أكبر من وأصغر من تمامًا باسم فرضية الاستمرارية (CH). لا يمكن إثباتها أو دحضها باستخدام بديهيات نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل بما في ذلك بديهية الاختيار (ZFC) - الأساس القياسي للرياضيات الحديثة. في الواقع، تلبي بعض نماذج ZFC بديهية الاختيار (CH)، بينما تنتهكها نماذج أخرى. ^[5]${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

باعتبارها فضاءً طوبولوجيًا، فإن الأعداد الحقيقية قابلة للفصل . وذلك لأن مجموعة الأعداد النسبية، التي يمكن عدها، كثيفة في الأعداد الحقيقية. والأعداد غير النسبية كثيفة أيضًا في الأعداد الحقيقية، ولكنها غير قابلة للعد ولها نفس عدد الأعداد الحقيقية.

تشكل الأعداد الحقيقية فضاء متريًا : تُعرَّف المسافة بين x و y بأنها القيمة المطلقة | x − y | . وبحكم كونها مجموعة مرتبة تمامًا، فإنها تحمل أيضًا طوبولوجيا مرتبة ؛ فالطوبولوجيا الناشئة عن المتري وتلك الناشئة عن الترتيب متطابقة، ولكنها تقدم عروضًا مختلفة للطوبولوجيا - الطوبولوجيا بالترتيب كفاصلات مرتبة، وفي الطوبولوجيا المترية ككرات إبسيلون. يستخدم بناء قطع ديديكيند عرض الطوبولوجيا المرتبة، بينما يستخدم بناء متواليات كوشي عرض الطوبولوجيا المترية. تشكل الأعداد الحقيقية فضاء متريًا قابلًا للانكماش (ومن ثم متصل ومتصل ببساطة ) وقابلًا للفصل وكاملًا من بُعد هاوسدورف  1. الأعداد الحقيقية مضغوطة محليًا ولكنها ليست مضغوطة . هناك خصائص مختلفة تحددها بشكل فريد؛ على سبيل المثال، جميع الطوبولوجيات المرتبة غير المحدودة والمتصلة والقابلة للفصل متماثلة بالضرورة للأعداد الحقيقية.

كل عدد حقيقي غير سالب له جذر تربيعي في ، على الرغم من عدم وجود أي عدد سالب له جذر تربيعي. يوضح هذا أن الترتيب في يتم تحديده من خلال بنيته الجبرية. أيضًا، كل كثيرة حدود من الدرجة الفردية تقبل جذرًا حقيقيًا واحدًا على الأقل: هاتان الخاصيتان تشكلان المثال الأول لحقل مغلق حقيقي . إثبات هذا هو النصف الأول من أحد إثباتات النظرية الأساسية في الجبر . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

تحمل الأعداد الحقيقية مقياسًا قانونيًا ، وهو مقياس ليبيج ، وهو مقياس هار على بنيتها كمجموعة طوبولوجية موحدة بحيث يكون للفاصل الوحدوي [0؛1] مقياس 1. توجد مجموعات من الأعداد الحقيقية التي لا يمكن قياسها بواسطة ليبيج، على سبيل المثال مجموعات فيتالي .

تشير البديهية العليا للأعداد الحقيقية إلى مجموعات فرعية من الأعداد الحقيقية وبالتالي فهي عبارة منطقية من الدرجة الثانية. من غير الممكن وصف الأعداد الحقيقية بمنطق الدرجة الأولى وحده: تشير نظرية لوينهايم-سكوليم إلى وجود مجموعة فرعية كثيفة قابلة للعد من الأعداد الحقيقية تلبي نفس الجمل تمامًا في منطق الدرجة الأولى مثل الأعداد الحقيقية نفسها. تلبي مجموعة الأعداد الحقيقية الفائقة نفس جمل الدرجة الأولى مثل . تسمى الحقول المرتبة التي تلبي نفس جمل الدرجة الأولى مثل النماذج غير القياسية لـ . هذا ما يجعل التحليل غير القياسي يعمل ؛ من خلال إثبات عبارة من الدرجة الأولى في بعض النماذج غير القياسية (والتي قد تكون أسهل من إثباتها في )، نعلم أن نفس العبارة يجب أن تكون صحيحة أيضًا بالنسبة لـ . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

مجال الأعداد الحقيقية هو مجال امتداد لمجال الأعداد النسبية، وبالتالي يمكن اعتباره فضاء متجه على . تضمن نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل مع بديهية الاختيار وجود أساس لفضاء المتجه هذا: توجد مجموعة B من الأعداد الحقيقية بحيث يمكن كتابة كل رقم حقيقي بشكل فريد كتركيبة خطية محدودة لعناصر هذه المجموعة، باستخدام المعاملات النسبية فقط، وبحيث لا يكون أي عنصر من B تركيبة خطية نسبية للآخرين. ومع ذلك، فإن نظرية الوجود هذه نظرية بحتة، حيث لم يتم وصف مثل هذه القاعدة صراحةً. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

تتضمن نظرية الترتيب الجيد أن الأعداد الحقيقية يمكن ترتيبها جيدًا إذا افترضنا بديهية الاختيار: يوجد ترتيب كلي مع الخاصية التي مفادها أن كل مجموعة فرعية غير فارغة من تحتوي على عنصر أصغر في هذا الترتيب. (الترتيب القياسي ≤ للأعداد الحقيقية ليس ترتيبًا جيدًا لأن الفاصلة المفتوحة على سبيل المثال لا تحتوي على عنصر أصغر في هذا الترتيب.) مرة أخرى، وجود مثل هذا الترتيب الجيد هو نظري بحت، لأنه لم يتم وصفه صراحةً. إذا افترضنا V = L بالإضافة إلى بديهيات ZF، فيمكن إظهار أن الترتيب الجيد للأعداد الحقيقية يمكن تعريفه صراحةً بواسطة صيغة. ^[6]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

قد يكون العدد الحقيقي قابلاً للحساب أو غير قابل للحساب؛ إما عشوائيًا خوارزميًا أو لا؛ وإما عشوائيًا حسابيًا أو لا.

استخدم المصريون الكسور البسيطة حوالي عام 1000 قبل الميلاد؛ وتضمنت " شولبا سوترا " الفيدية ("قواعد الأوتار") في حوالي عام 600 قبل الميلاد ما قد يكون أول "استخدام" للأعداد غير النسبية. وقد تم قبول مفهوم اللانسبية ضمناً من قبل علماء الرياضيات الهنود الأوائل مثل مانافا ( حوالي 750-690 قبل الميلاد) ، الذي كان على دراية بأن الجذور التربيعية لبعض الأرقام، مثل 2 و61، لا يمكن تحديدها بدقة. ^[7]

حوالي عام 500 قبل الميلاد، أدرك علماء الرياضيات اليونانيون بقيادة فيثاغورس أيضًا أن الجذر التربيعي لـ 2 هو عدد غير نسبي.

بالنسبة لعلماء الرياضيات اليونانيين، كانت الأرقام هي الأرقام الطبيعية فقط . كانت الأرقام الحقيقية تسمى "نسبًا"، وهي نسب طولين، أو ما يعادلها من مقاييس الطول من حيث طول آخر، يسمى طول الوحدة. يكون الطولان "قابلين للقياس"، إذا كانت هناك وحدة يتم قياسهما بها بأعداد صحيحة، أي، في المصطلحات الحديثة، إذا كانت نسبتهما عددًا نسبيًا . قدم يودوكسوس من كنيدوس (حوالي 390-340 قبل الميلاد) تعريفًا للمساواة بين نسبتين غير نسبيتين بطريقة مماثلة لتخفيضات ديديكيند (التي تم تقديمها بعد أكثر من 2000 عام)، إلا أنه لم يستخدم أي عملية حسابية بخلاف ضرب الطول في عدد طبيعي (انظر يودوكسوس من كنيدوس ). يمكن اعتبار هذا أول تعريف للأعداد الحقيقية.

جلبت العصور الوسطى قبول الصفر والأعداد السالبة والأعداد الصحيحة والأعداد الكسرية ، أولاً من قبل علماء الرياضيات الهنود والصينيين ، ثم من قبل علماء الرياضيات العرب ، الذين كانوا أيضًا أول من تعامل مع الأعداد غير النسبية كأشياء جبرية (أصبح الأخير ممكنًا من خلال تطوير الجبر). ^[8] دمج علماء الرياضيات العرب مفهومي " العدد " و" الحجم " في فكرة أكثر عمومية عن الأعداد الحقيقية. ^[9] كان عالم الرياضيات المصري أبو كامل شجاع بن أسلم ( حوالي 850-930) أول من قبل الأعداد غير النسبية كحلول للمعادلات التربيعية ، أو كمعاملات في المعادلة (غالبًا في شكل جذور تربيعية وجذور تكعيبية وجذور رابعة ). ^[10] في أوروبا، كانت هذه الأرقام، التي لا تتناسب مع الوحدة العددية، تسمى غير نسبية أو صماء ("صماء").

في القرن السادس عشر، وضع سيمون ستيفين الأساس للتدوين العشري الحديث ، وأصر على أنه لا يوجد فرق بين الأعداد النسبية وغير النسبية في هذا الصدد.

في القرن السابع عشر، قدم ديكارت مصطلح "حقيقي" لوصف جذور كثيرة الحدود ، وتمييزها عن الأعداد "التخيلية".

في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر، كان هناك الكثير من العمل على الأعداد غير النسبية والمتعالية. قدم لامبرت (1761) دليلاً معيبًا على أن π لا يمكن أن يكون نسبيًا؛ أكمل ليجاندر (1794) الدليل ^[11] وأظهر أن π ليس الجذر التربيعي لعدد نسبي. ^{[12] أظهر} ليوفيل (1840) أنه لا يمكن أن يكون e ولا e ² جذرًا لمعادلة تربيعية صحيحة ، ثم أثبت وجود الأعداد المتعالية؛ قام كانتور (1873) بتوسيع هذا الدليل وتبسيطه إلى حد كبير. ^{[13] أثبت} هيرميت (1873) أن e متعالية، وأظهر ليندمان (1882) أن π متعالية. تم تبسيط دليل ليندمان كثيرًا بواسطة ويرستراس (1885)، وهيلبرت (1893)، وهورويتز ، ^[14] وجوردان . ^[15]

كان مفهوم وجود العديد من النقاط بين الأعداد النسبية، مثل الجذر التربيعي للعدد 2، معروفًا جيدًا لدى الإغريق القدماء. اعتُبر وجود خط الأعداد المستمر أمرًا بديهيًا، لكن طبيعة هذا الاستمرارية، التي تسمى حاليًا بالاكتمال ، لم تكن مفهومة. لم تنتقل الدقة التي تطورت في الهندسة إلى مفهوم الأعداد حتى القرن التاسع عشر. ^[16]

استخدم مطورو حساب التفاضل والتكامل الأعداد الحقيقية والحدود دون تعريفها بدقة. في كتابه "دورة التحليل" (1821)، جعل كوشي حساب التفاضل والتكامل دقيقًا، لكنه استخدم الأعداد الحقيقية دون تعريفها، وافترض دون إثبات أن كل متتالية كوشي لها حد وأن هذا الحد هو عدد حقيقي.

في عام 1854، سلط برنهارد ريمان الضوء على حدود حساب التفاضل والتكامل في طريقة متسلسلة فورييه ، مسلطًا الضوء على الحاجة إلى تعريف صارم للأعداد الحقيقية. ^{[17] : 672}

بدءًا من ريتشارد ديدكيند في عام 1858، عمل العديد من علماء الرياضيات على تعريف الأعداد الحقيقية، بما في ذلك هيرمان هانكل وتشارلز ميراي وإدوارد هاينه ، مما أدى إلى نشر تعريفين مستقلين للأعداد الحقيقية في عام 1872، أحدهما من قبل ديدكيند، باسم قطع ديدكيند ، والآخر من قبل جورج كانتور ، كفئات تكافؤ لمتتاليات كوشي. ^[18] تركت هذه التعريفات العديد من المشاكل مفتوحة، مما ساهم في الأزمة الأساسية للرياضيات . أولاً، يفترض كلا التعريفين أن الأعداد النسبية وبالتالي الأعداد الطبيعية محددة بدقة؛ تم ذلك بعد بضع سنوات مع مسلمات بيانو . ثانيًا، يتضمن كلا التعريفين مجموعات لا نهائية (قطع ديدكيند ومجموعات عناصر متتاليات كوشي)، ونشرت نظرية المجموعات لكانتور بعد عدة سنوات. ثالثًا، تتضمن هذه التعريفات التقدير الكمي للمجموعات اللانهائية، ولا يمكن صياغة ذلك رسميًا في المنطق الكلاسيكي للمسندات من الدرجة الأولى . وهذا هو أحد الأسباب التي أدت إلى تطوير المنطق من الدرجة الأعلى في النصف الأول من القرن العشرين.

في عام 1874، أظهر كانتور أن مجموعة كل الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد ولا نهائية ، ولكن مجموعة كل الأعداد الجبرية غير قابلة للعد ولا نهائية . كان أول إثبات لكانتور لعدم قابلية العد مختلفًا عن حجته القطرية الشهيرة التي نُشرت عام 1891.

يمكن تعريف نظام الأعداد الحقيقية بديهيًا حتى التماثل ، والذي سيتم وصفه فيما يلي. هناك أيضًا العديد من الطرق لبناء "نظام" الأعداد الحقيقية، ويتضمن النهج الشائع البدء من الأعداد الطبيعية، ثم تعريف الأعداد النسبية جبريًا، وأخيرًا تعريف الأعداد الحقيقية كفئات تكافؤ لمتتاليات كوشي أو كقطع ديديكيند، وهي مجموعات فرعية معينة من الأعداد النسبية. ^[19] نهج آخر هو البدء من بعض البديهيات الصارمة للهندسة الإقليدية (مثل هيلبرت أو تارسكي )، ثم تعريف نظام الأعداد الحقيقية هندسيًا. وقد ثبت أن كل هذه الإنشاءات للأعداد الحقيقية متكافئة، بمعنى أن أنظمة الأعداد الناتجة متماثلة . ${\displaystyle (\mathbb {R} ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})}$

دعونا نرمز إلى مجموعة كل الأعداد الحقيقية. إذن: ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• المجموعة عبارة عن حقل ، مما يعني أن الجمع والضرب محددان ولهما الخصائص المعتادة.${\displaystyle \mathbb {R} }$
• الحقل مرتب، مما يعني أن هناك ترتيبًا إجماليًا ≥ بحيث لجميع الأعداد الحقيقية x و y و z : ${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • إذا كان x ≥ y ، فإن x + z ≥ y + z ؛
  • إذا كان x ≥ 0 و y ≥ 0، فإن xy ≥ 0.
• الترتيب هو Dedekind-complete، مما يعني أن كل مجموعة فرعية غير فارغة S ذات حد أعلى في لها حد أعلى أصغر (المعروف أيضًا باسم supremum) في .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

تنطبق الخاصية الأخيرة على الأعداد الحقيقية ولكن ليس على الأعداد النسبية (أو على الحقول المرتبة الأكثر غرابة ). على سبيل المثال، لها حد أعلى نسبي (على سبيل المثال، 1.42)، ولكن ليس أقلها حدًا أعلى نسبيًا، لأنها ليست نسبية. ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

تتضمن هذه الخصائص خاصية أرخميدس (والتي لا تتضمنها تعريفات أخرى للاكتمال)، والتي تنص على أن مجموعة الأعداد الصحيحة ليس لها حد أعلى في الأعداد الحقيقية. في الواقع، إذا كان هذا خاطئًا، فإن الأعداد الصحيحة سيكون لها حد أعلى أصغري N ؛ إذن، لن يكون N - 1 حدًا أعلى، وسيكون هناك عدد صحيح n بحيث n > N - 1 ، وبالتالي n + 1 > N ، وهو تناقض مع خاصية الحد الأعلى لـ N.

الأعداد الحقيقية محددة بشكل فريد من خلال الخصائص المذكورة أعلاه. وبصورة أكثر دقة، إذا أخذنا في الاعتبار أي حقلين مرتبين كاملين وفقًا لـ Dedekind و ، فهناك تماثل فريد للحقل من إلى . وهذا التفرد يسمح لنا بالتفكير فيهما باعتبارهما نفس الكائن الرياضي بشكل أساسي. ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {R_{2}} }$

بالنسبة لتوضيح آخر لـ ، انظر توضيح تارسكي للأعداد الحقيقية . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

يمكن إنشاء الأعداد الحقيقية كمكمل للأعداد النسبية، بحيث تتقارب المتوالية المحددة بواسطة توسع عشري أو ثنائي مثل (3؛ 3.1؛ 3.14؛ 3.141؛ 3.1415؛ ...) إلى عدد حقيقي فريد - في هذه الحالة π . للحصول على تفاصيل وبناءات أخرى للأعداد الحقيقية، راجع بناء الأعداد الحقيقية .

في العلوم الفيزيائية، يتم نمذجة معظم الثوابت الفيزيائية مثل ثابت الجاذبية الكوني والمتغيرات الفيزيائية مثل الموضع والكتلة والسرعة والشحنة الكهربائية باستخدام أرقام حقيقية. في الواقع، يتم وصف النظريات الفيزيائية الأساسية مثل الميكانيكا الكلاسيكية والكهرومغناطيسية وميكانيكا الكم والنسبية العامة والنموذج القياسي باستخدام هياكل رياضية، عادةً ما تكون متشعبات ناعمة أو فضاءات هيلبرت ، والتي تستند إلى أرقام حقيقية، على الرغم من أن القياسات الفعلية للكميات الفيزيائية ذات دقة وضبط محدودين .

اقترح علماء الفيزياء أحيانًا أن نظرية أكثر جوهرية من شأنها أن تحل محل الأعداد الحقيقية بكميات لا تشكل استمرارية، لكن مثل هذه المقترحات تظل تخمينية. ^[20]

غالبًا ما يتم صياغة الأعداد الحقيقية باستخدام بديهيات زيرميلو-فرانكل لنظرية المجموعات، لكن بعض علماء الرياضيات يدرسون الأعداد الحقيقية باستخدام أسس منطقية أخرى للرياضيات. على وجه الخصوص، تُدرس الأعداد الحقيقية أيضًا في الرياضيات العكسية والرياضيات البنّاءة . ^[21]

الأرقام الحقيقية الفائقة كما طورها إدوين هيويت وأبراهام روبنسون وآخرون توسع مجموعة الأرقام الحقيقية من خلال إدخال أرقام لا نهائية في الصغر ولا نهائية ، مما يسمح ببناء حساب لانهائي في الصغر بطريقة أقرب إلى الحدس الأصلي لـ لايبنتز وأويلر وكوشي وآخرين .

تُثري نظرية المجموعة الداخلية لإدوارد نيلسون نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل نحويًا من خلال تقديم مسند أحادي "قياسي". في هذا النهج، تُعتبر الأعداد اللانهائية في الصغر عناصر (غير "قياسية") لمجموعة الأعداد الحقيقية (بدلاً من كونها عناصر امتداد لها، كما في نظرية روبنسون).

تفترض فرضية الاستمرارية أن عدد الأعداد الحقيقية هو ؛ أي أصغر عدد أساسي لانهائي بعد ، عدد الأعداد الصحيحة. أثبت بول كوهين في عام 1963 أنها بديهية مستقلة عن البديهيات الأخرى لنظرية المجموعات؛ أي: يمكن للمرء أن يختار إما فرضية الاستمرارية أو نفيها كبديهية لنظرية المجموعات، دون تناقض. ${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

لا تستطيع الآلات الحاسبة الإلكترونية وأجهزة الكمبيوتر العمل على أرقام حقيقية عشوائية، وذلك لأن أجهزة الكمبيوتر المحدودة لا تستطيع تخزين عدد لا نهائي من الأرقام أو غيرها من التمثيلات اللانهائية بشكل مباشر. كما أنها لا تعمل عادةً حتى على أرقام حقيقية قابلة للتعريف عشوائيًا ، والتي يصعب التعامل معها.

بدلاً من ذلك، تعمل أجهزة الكمبيوتر عادةً بتقريبات ذات دقة محدودة تسمى أرقام الفاصلة العائمة ، وهو تمثيل مشابه للتدوين العلمي . تكون الدقة التي يمكن تحقيقها محدودة بمساحة تخزين البيانات المخصصة لكل رقم، سواء كأرقام ذات فاصلة ثابتة أو أرقام ذات فاصلة عائمة أو أرقام ذات دقة عشوائية أو أي تمثيل آخر. تستخدم معظم الحسابات العلمية حسابات الفاصلة العائمة الثنائية ، وغالبًا ما تكون تمثيلًا مكونًا من 64 بتًا مع حوالي 16 رقمًا عشريًا من الدقة . تلبي الأعداد الحقيقية القواعد المعتادة للحساب ، لكن أرقام الفاصلة العائمة لا تلبيها . يدرس مجال التحليل العددي استقرار ودقة الخوارزميات العددية التي يتم تنفيذها بالحساب التقريبي.

وبدلًا من ذلك، يمكن لأنظمة الجبر الحاسوبية أن تعمل على كميات غير نسبية بالضبط من خلال التلاعب بالصيغ الرمزية لها (مثل أو ) بدلاً من تقريبها النسبي أو العشري. ^[22] ولكن الحساب الدقيق والرمزي لهما أيضًا حدود: على سبيل المثال، فهي أكثر تكلفة من الناحية الحسابية؛ ليس من الممكن بشكل عام تحديد ما إذا كانت تعبيران رمزيان متساويان ( مشكلة الثابت )؛ ويمكن أن تتسبب العمليات الحسابية في انفجار أسي في حجم تمثيل رقم واحد (على سبيل المثال، يؤدي تربيع رقم نسبي إلى مضاعفة عدد الأرقام في البسط والمقام تقريبًا، ويؤدي تربيع كثير الحدود إلى مضاعفة عدد مصطلحاته تقريبًا)، مما يربك سعة تخزين الكمبيوتر المحدودة. ^[23]${\textstyle {\sqrt {2}},}$ ${\textstyle \arctan 5,}$${\textstyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx}$

يُطلق على الرقم الحقيقي اسم قابل للحساب إذا كانت هناك خوارزمية تعطي أرقامه. نظرًا لوجود عدد لا يمكن عده من الخوارزميات، ^[24] ولكن عددًا غير قابل للعد من الأعداد الحقيقية، فإن جميع الأعداد الحقيقية تقريبًا تفشل في أن تكون قابلة للحساب. علاوة على ذلك، فإن مساواة رقمين قابلين للحساب هي مشكلة غير قابلة للحل . يقبل بعض البنائيين وجود تلك الأعداد الحقيقية القابلة للحساب فقط. مجموعة الأعداد القابلة للتعريف أوسع، لكنها لا تزال قابلة للعد فقط.

في نظرية المجموعات ، وخاصة نظرية المجموعات الوصفية ، تُستخدم مساحة باير كبديل للأعداد الحقيقية لأن هذه الأعداد لها بعض الخصائص الطوبولوجية (الترابط) التي تشكل إزعاجًا فنيًا. يشار إلى عناصر مساحة باير باسم "الأعداد الحقيقية".

مجموعة الأعداد الحقيقية كلها يشار إليها ( بخط عريض على السبورة ) أو R (بخط عريض مستقيم). ولأنها تتمتع بطبيعة الحال ببنية حقل ، فإن حقل التعبير للأعداد الحقيقية يستخدم بشكل متكرر عندما تكون خصائصه الجبرية قيد الدراسة. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

غالبًا ما يشار إلى مجموعات الأعداد الحقيقية الموجبة والأعداد الحقيقية السالبة و ، ^[25] على التوالي؛ وتستخدم أيضًا. ^[26] يمكن الإشارة إلى الأعداد الحقيقية غير السالبة ولكن غالبًا ما نرى هذه المجموعة ملحوظة ^[25] في الرياضيات الفرنسية، تتضمن الأعداد الحقيقية الموجبة والأعداد الحقيقية السالبة عادةً صفرًا ، وتُشار إلى هذه المجموعات على التوالي و ^[26] في هذا الفهم، تُسمى المجموعات المقابلة بدون صفر أعدادًا حقيقية موجبة تمامًا وأعدادًا حقيقية سالبة تمامًا، وتُشار إليها و ^[26]${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.}$${\displaystyle \mathbb {R_{+}} }$${\displaystyle \mathbb {R} _{-}.}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{*}.}$

يشير الترميز إلى مجموعة العناصر المكونة من n- أزواج من ( مساحة إحداثيات حقيقية )، والتي يمكن تحديدها من خلال حاصل الضرب الديكارتي لـ n نسخة من إنها مساحة متجهية ذات أبعاد n فوق مجال الأعداد الحقيقية، وغالبًا ما تسمى مساحة إحداثيات البعد n ؛ يمكن تحديد هذه المساحة إلى مساحة إقليدية ذات أبعاد n بمجرد اختيار نظام إحداثيات ديكارتية في الأخير. في هذا التحديد، يتم تحديد نقطة من الفضاء الإقليدي من خلال مجموعة إحداثياته ​​الديكارتية . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

في الرياضيات، تُستخدم كلمة "حقيقي" كصفة، بمعنى أن المجال الأساسي هو مجال الأعداد الحقيقية (أو المجال الحقيقي ). على سبيل المثال، مصفوفة حقيقية ، ومتعددة حدود حقيقية ، وجبر لاي حقيقي . تُستخدم الكلمة أيضًا كاسم ، بمعنى عدد حقيقي (كما في "مجموعة كل الأعداد الحقيقية").

يمكن تعميم الأعداد الحقيقية وتوسيعها في عدة اتجاهات مختلفة:

• تحتوي الأعداد المركبة على حلول لجميع المعادلات متعددة الحدود، وبالتالي فهي عبارة عن حقل مغلق جبريًا على عكس الأعداد الحقيقية. ومع ذلك، فإن الأعداد المركبة ليست حقلًا مرتبًا.
• يضيف نظام الأعداد الحقيقية الممتد بشكل متآلف عنصرين +∞ و −∞ . إنه فضاء مضغوط . لم يعد حقلًا، أو حتى مجموعة مضافة، لكنه لا يزال يتمتع بترتيب إجمالي؛ علاوة على ذلك، فهو شبكة كاملة .
• يضيف الخط الإسقاطي الحقيقي قيمة واحدة فقط ∞ . وهو أيضًا مساحة مضغوطة. مرة أخرى، لم يعد حقلًا، أو حتى مجموعة مضافة. ومع ذلك، فإنه يسمح بقسمة عنصر غير صفري على صفر. وله ترتيب دوري موصوف بعلاقة فصل .
• يلصق الخط الحقيقي الطويل معًا ℵ 1 * ₊ ℵ ₁ نسخة من الخط الحقيقي بالإضافة إلى نقطة واحدة (هنا ℵ ₁ * يشير إلى الترتيب المعكوس لـ ℵ ₁ ) لإنشاء مجموعة مرتبة متطابقة "محليًا" مع الأعداد الحقيقية، ولكنها أطول بطريقة ما؛ على سبيل المثال، يوجد تضمين يحافظ على الترتيب لـ ℵ ₁ في الخط الحقيقي الطويل ولكن ليس في الأعداد الحقيقية. الخط الحقيقي الطويل هو أكبر مجموعة مرتبة مكتملة ومحلية أرخميدية. كما هو الحال مع المثالين السابقين، لم تعد هذه المجموعة حقلاً أو مجموعة إضافية.
• الحقول المرتبة التي تمتد إلى الأعداد الحقيقية هي الأعداد الفائقة الواقعية والأعداد السريالية ؛ وكلاهما يحتوي على أعداد لا نهائية في الصغر وأعداد لا نهائية كبيرة وبالتالي فهي حقول مرتبة غير أرخميدية .
• تعمل المشغلات المترافقة ذاتيًا على فضاء هيلبرت (على سبيل المثال، المصفوفات المعقدة المربعة المترافقة ذاتيًا ) على تعميم الأعداد الحقيقية في العديد من النواحي: يمكن ترتيبها (على الرغم من عدم ترتيبها تمامًا)، وهي كاملة، وكل قيمها الذاتية حقيقية وتشكل جبرًا ارتباطيًا حقيقيًا . تتوافق المشغلات الموجبة المحددة مع الأعداد الحقيقية الموجبة، وتتوافق المشغلات الطبيعية مع الأعداد المركبة.

• اكتمال الأعداد الحقيقية
• جزء متواصل
• الأعداد الحقيقية القابلة للتعريف
• الأعداد الحقيقية الموجبة
• تحليل حقيقي

أنظمة الأعداد معقد ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ حقيقي${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$ عاقِل ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$ عدد صحيح ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ طبيعي ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ صفر : 0 واحد : 1 الأعداد الأولية الأرقام المركبة الأعداد الصحيحة السالبة جزء عدد عشري منته ثنائي (منتهٍ) تكرار العشرية غير عقلاني جبري غير نسبي فترة غير منطقية متسامي خيالي

• بوس، هنك جيه إم (2001). إعادة تعريف الدقة الهندسية: تحويل ديكارت لمفهوم البناء في العصر الحديث المبكر . المصادر والدراسات في تاريخ الرياضيات والعلوم الفيزيائية. سبرينغر. doi :10.1007/978-1-4613-0087-8. ISBN 978-1-4612-6521-4.
• بوتاتزيني، أومبرتو (1986). حساب التفاضل والتكامل العالي: تاريخ التحليل الحقيقي والمعقد من أويلر إلى فايرستراس . سبرينغر. رقم ISBN 9780387963020.
• كانتور ، جورج (1874). " Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen " [في خاصية جمع كل الأعداد الجبرية الحقيقية]. مجلة كريل (باللغة الألمانية). 77 : 258-62.
• ديودوني ، جان (1960). أسس التحليل الحديث . الصحافة الأكاديمية.
• فيفرمان، سولومون (1964). أنظمة الأعداد: أسس الجبر والتحليل . أديسون ويسلي.
• Howie, John M. (2001). التحليل الحقيقي . سلسلة الرياضيات الجامعية لـ Springer. Springer. doi :10.1007/978-1-4471-0341-7. ISBN 978-1-85233-314-0.
• كاتز، روبرت (1964). التحليل البديهي . هيث.
• كرانتز، ديفيد إتش؛ لوسي، آر. دنكان ؛ سابس، باتريك ؛ تفيرسكي، آموس (1971). أساسيات القياس، المجلد 1. أكاديميك بريس. رقم ISBN 9780124254015.المجلد 2، 1989. المجلد 3، 1990.
• ماك لين، سوندرز (1986). "4. الأعداد الحقيقية" . الرياضيات: الشكل والوظيفة . سبرينغر. رقم ISBN 9780387962177.
• لاندو، إدموند (1966). أساسيات التحليل (الطبعة الثالثة). تشيلسي. رقم ISBN 9780828400794.مترجم من الألمانية Grundlagen der Analysis، 1930.
• ستيفنسون، فريدريك دبليو. (2000). استكشاف الأعداد الحقيقية . برنتيس هول. ISBN 9780130402615.
• ستيلويل، جون (2013). الأعداد الحقيقية: مقدمة لنظرية المجموعات وتحليلها . نصوص جامعية في الرياضيات. سبرينغر. doi :10.1007/978-3-319-01577-4. ISBN 978-3-319-01576-7.

• "العدد الحقيقي"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]