دالة الخلف

في الرياضيات ، تُرسل دالة التابع أو عملية التابع عددًا طبيعيًا إلى العدد التالي. ويُرمز لدالة التابع بالرمز .${\displaystyle S}$، لذا${\displaystyle S(n)=n+1}$. على سبيل المثال،${\displaystyle S(1)=2}$و${\displaystyle S(2)=3}$تُعد دالة الخلف أحد المكونات الأساسية المستخدمة لبناء دالة تكرارية بدائية .

تُعرف العمليات اللاحقة أيضًا باسم "التصفير" في سياق العملية الفائقة الصفرية . في هذا السياق، يكون امتداد التصفير هو الجمع ، والذي يُعرَّف بأنه تتابع متكرر.

تُعدّ دالة التابع جزءًا من اللغة الرسمية المستخدمة لصياغة بديهيات بيانو ، التي تُضفي طابعًا رسميًا على بنية الأعداد الطبيعية. في هذه الصياغة، تُعتبر دالة التابع عمليةً أوليةً على الأعداد الطبيعية، تُعرَّف من خلالها الأعداد الطبيعية القياسية وعملية الجمع. ^{[ 1 ]} يُعرَّف العدد 1 على أنه${\displaystyle S(0)}$، 2 هو${\displaystyle S(1)}$إلخ ؛ ويتم تعريف عملية الجمع على الأعداد الطبيعية بشكل متكرر كما يلي:

${\displaystyle m+0=m}$

${\displaystyle m+S(n)=S(m+n)}$

يمكن استخدام هذه الطريقة لحساب مجموع أي عددين طبيعيين. على سبيل المثال:

${\displaystyle 5+2}$

${\displaystyle =5+S(1)}$

${\displaystyle =5+S(S(0))}$

${\displaystyle =S(5+S(0))}$

${\displaystyle =S(S(5+0))}$

${\displaystyle =S(S(5))}$

${\displaystyle =S(6)}$

${\displaystyle =7}$.

تم اقتراح العديد من الطرق لتعريف الأعداد الطبيعية ضمن نظرية المجموعات. على سبيل المثال، قام جون فون نيومان بتعريف العدد صفر على أنه المجموعة الفارغة ، والعدد التالي له هو صفر.${\displaystyle n}$كمجموعة${\displaystyle n\cup \{n\}}$تضمن بديهية اللانهاية وجود مجموعة تحتوي على الصفر وتكون مغلقة بالنسبة إلى${\displaystyle S}$أصغر مجموعة من هذا النوع يُرمز لها بـ${\displaystyle \mathbb {N} }$وتسمى عناصرها بالأعداد الطبيعية . ^{[ 2 ]}

تُعدّ دالة الخلفاء أساس المستوى 0 لتسلسل غريغورتشيك اللانهائي للعمليات الفائقة ، وتُستخدم لبناء الجمع والضرب والأس والكسر الرباعي ، وما إلى ذلك . وقد دُرست في عام 1986 في بحث تضمن تعميم النمط للعمليات الفائقة. ^{[ 3 ]}

وهي أيضاً إحدى الدوال الأولية المستخدمة في توصيف قابلية الحساب بواسطة الدوال المتكررة .

• الترتيب اللاحق
• الكاردينال الخليفة
• عوامل الزيادة والنقصان
• تسلسل

• بول ر. هالموس (1968). نظرية المجموعات الساذجة . نوستراند.