المعايرة

النمو الأسي${\displaystyle 0^{0}}$لا يتم تعريفها بشكل متسق. وبالتالي، فإن التتريجات${\displaystyle {^{n}0}}$لا تُعرَّف بوضوح بالصيغة المذكورة سابقًا. ومع ذلك،${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$محدد جيدًا، وموجود: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

وهكذا يمكننا تعريف ذلك بشكل متسق${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$وهذا يشبه تعريف${\displaystyle 0^{0}=1}$.

بموجب هذا التمديد،${\displaystyle {}^{0}0=1}$لذا فإن القاعدة${\displaystyle {^{0}a}=1}$لا يزال التعريف الأصلي ساريًا.

بما أن الأعداد المركبة يمكن رفعها إلى قوى، يمكن تطبيق التكرار الرباعي على قواعد من الشكل z = a + bi (حيث a و b عددان حقيقيان). على سبيل المثال، في ⁿ z حيث z = i ، يتم التكرار الرباعي باستخدام الفرع الرئيسي للوغاريتم الطبيعي ؛ وباستخدام صيغة أويلر نحصل على العلاقة التالية:

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

يشير هذا إلى تعريف تكراري لـ ^{n +1} i = a′ + b′i معطى أي ⁿ i = a + bi :

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$

يمكن استخلاص القيم التقريبية التالية:

قيم معايرة القواعد المعقدة

${\textstyle {}^{n}i}$	القيمة التقريبية
${\textstyle {}^{1}i=i}$	أنا
${\textstyle {}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}}$	0.2079
${\textstyle {}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}}$	0.9472 + 0.3208 i
${\textstyle {}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}}$	0.0501 + 0.6021 i
${\textstyle {}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}}$	0.3872 + 0.0305 i
${\textstyle {}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}}$	0.7823 + 0.5446 i
${\textstyle {}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}}$	0.1426 + 0.4005 i
${\textstyle {}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}}$	0.5198 + 0.1184 i
${\textstyle {}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}}$	0.5686 + 0.6051 i

بحلّ العلاقة العكسية، كما في القسم السابق، نحصل على القيم المتوقعة ⁰ i = 1 و ⁻¹ i = 0 ، مع قيم سالبة لـ n تُعطي نتائج لانهائية على المحور التخيلي. عند تمثيلها بيانيًا في المستوى المركب ، تتجه المتتالية بأكملها حلزونيًا نحو النهاية 0.4383 + 0.3606 i ، والتي يمكن تفسيرها على أنها القيمة التي عندها n لانهائية.

لقد دُرست متواليات التكرار هذه منذ عهد أويلر، إلا أنها لا تزال غير مفهومة جيدًا نظرًا لسلوكها الفوضوي. وقد ركزت معظم الأبحاث المنشورة تاريخيًا على تقارب الدالة الأسية المتكررة بلا حدود. وقد استفادت الأبحاث الحالية بشكل كبير من ظهور الحواسيب فائقة القدرة المزودة ببرامج الرياضيات الرمزية والكسورية. ويستند جزء كبير مما هو معروف عن التكرار إلى المعرفة العامة بالديناميكيات المعقدة والبحوث المتخصصة في الخريطة الأسية.

يمكن تمديد التمدد إلى ارتفاعات لا نهائية ؛ أي، بالنسبة لقيم معينة لـ a في${\displaystyle {}^{n}a}$توجد نتيجة محددة جيدًا لقيمة n اللانهائية . وذلك لأن التكرار الثلاثي، بالنسبة للقواعد ضمن فترة معينة، يتقارب إلى قيمة محدودة عندما يؤول الارتفاع إلى اللانهاية . على سبيل المثال،${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}}}}}$يتقارب إلى 2، وبالتالي يمكن القول إنه يساوي 2. ويمكن ملاحظة الاتجاه نحو 2 من خلال تقييم برج صغير محدود:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}$

بشكل عام، الدالة الأسية المتكررة بلا حدود${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{x^{x}}}}}$، والتي تُعرَّف بأنها حد${\displaystyle {}^{n}x}$عندما يؤول n إلى اللانهاية، يتقارب المقدار في الفترة e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e} ، وهي تقريبًا الفترة من 0.066 ^{[ 11 ]} إلى 1.44 ^{[ 12 ]،} وهي نتيجة أثبتها ليونارد أويلر ^{[ 13 ]} . النهاية y ، إن وُجدت، هي حل حقيقي موجب للمعادلة y = x ^y . وبالتالي، x = y ^{1/ y} . لا توجد النهاية التي تُعرّف الدالة الأسية اللانهائية لـ x عندما x > e ^{1/ e} لأن القيمة العظمى لـ y ^{1/ y} هي e ^{1/ e} . كما لا توجد النهاية أيضًا عندما 0 < x < e ^{− e} .

يمكن توسيع هذا ليشمل الأعداد المركبة z بالتعريف التالي:

${\displaystyle {}^{\infty }z=\cdot ^{\cdot ^{z^{z^{z}}}}=e^{-\mathrm {W} (-\ln {z})}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,}$

حيث يمثل W دالة لامبرت W. وتنتج هذه الصيغة من الافتراض التالي: ${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{z^{z^{z}}}}=a}$يتقارب، وبالتالي${\displaystyle z^{a}=a}$،${\displaystyle z=a^{1/a}}$،${\displaystyle 1/z=(1/a)^{1/a}={}^{2}(1/a)}$، و${\displaystyle 1/a=\mathrm {ssrt} (1/z)=e^{W(\ln(1/z))}}$(انظر الجذر التربيعي الفائق أدناه).

بما أن النهاية y = ^∞ x (إذا كانت موجودة على خط الأعداد الحقيقية الموجبة، أي لـ e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e} ) يجب أن تحقق x ^y = y، فإننا نرى أن x ↦ y = ^∞ x هو (الفرع السفلي من) الدالة العكسية لـ y ↦ x = y ^{1/ y} .

يمكننا عكس القاعدة التكرارية للتكرار،

${\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}$

للكتابة:

${\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right).}$

باستبدال -1 بـ k نحصل على

${\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$[ ^{14 ]​}

لا يمكن تعريف القيم السالبة الأصغر تعريفًا دقيقًا بهذه الطريقة. بالتعويض عن k بـ -2 في المعادلة نفسها نحصل على

${\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0=-\infty }$

وهو أمر غير محدد بدقة. ومع ذلك، يمكن اعتبارها أحيانًا مجموعات. ^{[ 14 ]}

ل${\displaystyle a=1}$أي تعريف لـ${\displaystyle {^{-1}a}}$يتوافق مع القاعدة. تحديداً،${\displaystyle {^{-1}1}}$يمكن أن تكون أي قيمة${\displaystyle z}$لأن​

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{z}}$لأي${\displaystyle z={^{-1}1}}$.

يُعطى التقريب الخطي (حل شرط الاستمرارية، وتقريب شرط التفاضل) على النحو التالي:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left(^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

لذلك:

قيم التقريب الخطي

تقريب	اِختِصاص
${\textstyle {}^{x}a\approx x+1}$	لـ −1 < x < 0
${\textstyle {}^{x}a\approx a^{x}}$	لـ 0 < x < 1
${\textstyle {}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}}$	لـ 1 < x < 2

وهكذا دواليك. مع ذلك، فهي قابلة للتفاضل على أجزاء فقط؛ عند قيم x الصحيحة ، تُضرب المشتقة في${\displaystyle \ln {a}}$وهي قابلة للتفاضل باستمرار لـ${\displaystyle x>-2}$إذا وفقط إذا${\displaystyle a=e}$على سبيل المثال، باستخدام هذه الأساليب${\displaystyle {}^{\frac {\pi }{2}}e\approx 5.868...}$و${\displaystyle {}^{-4.3}0.5\approx 4.03335...}$

تنص إحدى النظريات الرئيسية في ورقة هوشمند ^{[ 6 ]} على ما يلي: ليكن${\displaystyle 0<a\neq 1}$. لو${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$متصلة وتفي بالشروط التالية:

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}}$للجميع${\displaystyle x>-1}$و${\displaystyle f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$قابلة للتفاضل على الفترة (−1, 0) ،
• ${\displaystyle f^{\prime }}$هي دالة غير متناقصة أو غير متزايدة على الفترة (−1, 0) ، و
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{+}\right)=(\ln a)f^{\prime }\left(0^{-}\right){\text{ or }}f^{\prime }\left(-1^{+}\right)=f^{\prime }\left(0^{-}\right),}$

ثم${\displaystyle f}$يتم تحديدها بشكل فريد من خلال المعادلة

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{(x)}\right)=\exp _{a}^{[x+1]}((x))}$للجميع${\displaystyle x>-2,}$

أين${\displaystyle (x)=x-[x]}$يرمز إلى الجزء الكسري من x و${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$هو${\displaystyle [x]}$- دالة متكررة للدالة${\displaystyle \exp _{a}}$.

والبرهان هو أن الشروط من الثانية إلى الرابعة تؤدي بشكل بديهي إلى أن f هي دالة خطية على [ −1, 0 ] .

التقريب الخطي لدالة المعايرة الطبيعية${\displaystyle {}^{x}e}$الدالة قابلة للتفاضل باستمرار، لكن مشتقتها الثانية غير موجودة عند القيم الصحيحة لمتغيرها. وقد استنتج هوشمند نظرية تفرد أخرى لها تنص على ما يلي:

لو${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$هي دالة متصلة تحقق

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}}$للجميع${\displaystyle x>-1}$و${\displaystyle f(0)=1}$،
• ${\displaystyle f}$هي محدبة على الفترة (−1, 0) ، و
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{-}\right)\leq f^{\prime }\left(0^{+}\right)}$،

ثم${\displaystyle f={\text{uxp}}}$. (هنا${\displaystyle f={\text{uxp}}}$(هو اسم هوشمند للتقريب الخطي لدالة التكرار الطبيعي.)

البرهان مشابه إلى حد كبير لما سبق؛ معادلة التكرار تضمن ذلك${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$وبالتالي فإن شرط التحدب يستلزم أن${\displaystyle f}$خطي على (−1، 0) .

لذلك، فإن التقريب الخطي للمعايرة الطبيعية هو الحل الوحيد للمعادلة${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}}$ل${\displaystyle x>-1}$و${\displaystyle f(0)=1}$وهي محدبة على الفترة (−1, +∞) . يجب أن يكون لجميع الحلول الأخرى القابلة للتفاضل بشكل كافٍ نقطة انعطاف على الفترة (−1, 0) .

بالإضافة إلى التقريبات الخطية، يُعطى التقريب التربيعي (لشرط قابلية التفاضل) على النحو التالي:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left({}^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1+\ln(a)}}x-{\frac {1-\ln(a)}{1+\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&x>0\end{cases}}}$

وهي قابلة للتفاضل لجميع${\displaystyle x>0}$، ولكن ليس قابلاً للتفاضل مرتين. على سبيل المثال،${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}2\approx 1.45933...}$لو${\displaystyle a=e}$وهذا هو نفسه التقريب الخطي. ^{[ 1 ]}

بسبب طريقة حسابها، فإن هذه الدالة لا "تلغي" بعضها بعضًا، على عكس الأسس، حيث${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a}$أي،

${\displaystyle {}^{n}\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)=\underbrace {\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)}}}}}}} _{n}\neq a}$.

كما توجد تقريبات تربيعية، توجد أيضًا تقريبات تكعيبية وطرق لتعميمها على تقريبات من الدرجة n ، على الرغم من أنها أكثر تعقيدًا. ^{[ 1 ] [ 15 ]}

للجذر الفائق من الدرجة الثانية ، أو الجذر الفائق التربيعي ، أو الجذر الفائق التربيعي، صيغتان متكافئتان.${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)}$و${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$وهو عكس${\displaystyle ^{2}x=x^{x}}$ويمكن تمثيلها باستخدام دالة لامبرت W : ^{[ 20 ]}

${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=\exp(W(\ln x))={\frac {\ln x}{W(\ln x)}}}$أو

${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W(\ln x)}}$

توضح هذه الدالة أيضًا الطبيعة الانعكاسية لدالتي الجذر واللوغاريتم، حيث أن المعادلة أدناه لا تكون صحيحة إلا عندما${\displaystyle y=\mathrm {ssrt} (x)}$:

${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}$

مثل الجذور التربيعية ، قد لا يكون للجذر التربيعي الأعلى لـ x حل واحد. وعلى عكس الجذور التربيعية، قد يكون تحديد عدد الجذور التربيعية الأعلى لـ x أمرًا صعبًا. بشكل عام، إذا${\displaystyle e^{-1/e}<x<1}$إذن، فإن x له جذران مربعان موجبان بين 0 و 1 يتم حسابهما باستخدام الصيغ التالية:${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=\left\{e^{W_{-1}(\ln x)};e^{W_{0}(\ln x)}\right\}}$وإذا${\displaystyle x>1}$إذن، فإن x له جذر تربيعي موجب واحد أكبر من 1 يتم حسابه باستخدام الصيغ التالية:${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W_{0}(\ln x)}}$إذا كانت قيمة x موجبة وأقل من${\displaystyle e^{-1/e}}$لا تحتوي هذه الدالة على أي جذور تربيعية فائقة حقيقية ، ولكن الصيغة المذكورة أعلاه تُنتج عددًا لا نهائيًا من الجذور المركبة لأي قيمة x محدودة لا تساوي 1. ^{[ 20 ]} وقد استُخدمت هذه الدالة لتحديد حجم مجموعات البيانات . ^{[ 21 ]}

في${\displaystyle x=1}$:

$${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=1+(x-1)-(x-1)^{2}+{\frac {3}{2}}(x-1)^{3}-{\frac {17}{6}}(x-1)^{4}+{\frac {37}{6}}(x-1)^{5}-{\frac {1759}{120}}(x-1)^{6}+{\frac {13279}{360}}(x-1)^{7}+{\mathcal {O}}{\left((x-1)^{8}\right)}}$$

إحدى الصيغ الأبسط والأسرع لإيجاد الجذر الفائق من الدرجة الثالثة هي الصيغة التكرارية. إذا${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$ثم يمكن للمرء أن يستخدم:

• ${\displaystyle x_{0}=1}$
• ${\displaystyle x_{n+1}=\exp(W(W(x_{n}\ln y)))}$

تستخدم هذه الصيغة التكرارية التمثيل الصريح للجذر التربيعي الفائق عبر دالة لامبرت W المذكورة أعلاه، حيث يمكننا تمثيل${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$على شكل${\displaystyle y^{x}=(x^{x})^{(x^{x})}}$ثم قم بتطبيق الجذر التربيعي الفائق مرتين:${\displaystyle x=\mathrm {ssrt} (\mathrm {ssrt} (y^{x}))}$.

لكل عدد صحيح n > 2 ، تكون الدالة ⁿ x معرفة ومتزايدة لـ x ≥ 1 ، و ⁿ 1 = 1 ، بحيث يكون الجذر الفائق النوني لـ x ،${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$، موجود لـ x ≥ 1 .

لكن إذا تم استخدام التقريب الخطي المذكور أعلاه ، فإن${\displaystyle ^{y}x=y+1}$إذا كان −1 < y ≤ 0 ، فإن${\displaystyle ^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}}$لا يمكن أن يوجد.

على غرار الجذر الفائق التربيعي، يمكن أن تستند المصطلحات الخاصة بالجذور الفائقة الأخرى إلى الجذور العادية : يمكن التعبير عن "الجذور الفائقة المكعبة" على النحو التالي:${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$ويمكن التعبير عن "الجذر الفائق الرابع" على النحو التالي:${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$و" الجذر الفائق النوني " هو${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$. لاحظ أن${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$قد لا يكون تعريف الجذر النوني فريدًا، لأنه قد يكون هناك أكثر من ^{جذر نوني} واحد . على سبيل المثال، للعدد x جذر فائق واحد (حقيقي) إذا كان n فرديًا ، وما يصل إلى جذرين إذا كان n زوجيًا .

كما هو الحال مع امتداد التكرار إلى ارتفاعات لا نهائية، يمكن تمديد الجذر الفائق إلى n = ∞ ، ويكون مُعرَّفًا جيدًا إذا كان 1/ e ≤ x ≤ e . لاحظ أن${\displaystyle x={^{\infty }y}=y^{\left[^{\infty }y\right]}=y^{x},}$وبالتالي فإن${\displaystyle y=x^{1/x}}$لذلك، عندما يكون تعريفه واضحاً،${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}}$وعلى عكس التكرار العادي، فهي دالة أولية . على سبيل المثال،${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}}$.

ويترتب على نظرية جيلفوند-شنايدر أن الجذر الفائق${\displaystyle {\sqrt {n}}_{s}}$لأي عدد صحيح موجب n، يكون إما عددًا صحيحًا أو عددًا متساميًا ، و${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}_{s}}$إما أن يكون عددًا صحيحًا أو عددًا غير نسبي. ^{[ 22 ]} ولا يزال السؤال مفتوحًا حول ما إذا كانت الجذور الفائقة غير النسبية متسامية في الحالة الأخيرة.