دالة أسية مزدوجة

الموسوعة الحرة
دالة أسية مزدوجة (المنحنى الأحمر) مقارنة بدالة أسية مفردة (المنحنى الأزرق).

الدالة الأسية المزدوجة هي ثابت مرفوع إلى قوة دالة أسية . الصيغة العامة هيو(x)=أبx=أ(بx){\displaystyle f(x)=a^{b^{x}}=a^{(b^{x})}}(حيث a > 1 و b > 1)، وهو ما ينمو بسرعة أكبر بكثير من الدالة الأسية. على سبيل المثال، إذا كان a = b = 10:

  • دالة f (x) = 10 10 x
  • f (0) = 10
  • f (1) = 10 10
  • f (2) = 10 100 = غوغول
  • f (3) = 10 1000
  • و (100) = 10 10 100 = googolplex .

تنمو الدوال المضروبية أسرع من الدوال الأسية، ولكنها أبطأ بكثير من الدوال الأسية المزدوجة. مع ذلك، تنمو الدوال التترابية ودالة أكرمان أسرع. راجع ترميز Big O لمقارنة معدل نمو الدوال المختلفة.

معكوس الدالة الأسية المزدوجة هو اللوغاريتم المزدوج log(log( x )). الدالة الأسية المزدوجة المركبة دالة تامة ، لأنها تركيب دالتين تامتين.و(x)=أx=هـxln⁡أ{\displaystyle f(x)=a^{x}=e^{x\ln a}}وز(x)=بx=هـxln⁡ب{\displaystyle g(x)=b^{x}=e^{x\ln b}}.

متواليات أسية مزدوجة

يُقال إن متتالية من الأعداد الصحيحة الموجبة (أو الأعداد الحقيقية) لها معدل نمو أسي مزدوج إذا كانت الدالة التي تعطي الحد النوني للمتتالية محدودة من الأعلى والأسفل بدوال أسية مزدوجة للعدد n . ومن الأمثلة على ذلك:

  • أرقام فيرماF(م)=22م+1{\displaystyle F(m)=2^{2^{m}}+1}
  • الأعداد الأولية التوافقية: هي الأعداد الأولية p التي تتجاوز فيها المتتالية 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... + 1/ p الأعداد 0، 1، 2، 3، ...
    الأرقام القليلة الأولى، بدءًا من 0، هي 2، 5، 277، 5195977، ... (التسلسل A016088 في OEIS )
  • أرقام ميرسين المزدوجةمم(ص)=22ص-1-1{\displaystyle MM(p)=2^{2^{p}-1}-1}
  • عناصر تسلسل سيلفستر (التسلسل A000058 في OEIS )sن=⌊هـ2ن+1+12⌋{\displaystyle s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }حيث E ≈ 1.264084735305302 هو ثابت فاردي (التسلسل A076393 في OEIS ) .
  • عدد الدوال المنطقية من الرتبة k :22ك{\displaystyle 2^{2^{k}}}
  • الأعداد الأولية 2، 11، 1361، ... (التسلسل A051254 في OEIS )أ(ن)=⌊أ3ن⌋{\displaystyle a(n)=\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor }حيث A ≈ 1.306377883863 هو ثابت ميلز .

لاحظ أهو وسلون أنه في العديد من المتتاليات العددية المهمة، يكون كل حد عبارة عن ثابت مضافًا إليه مربع الحد السابق. وقد بيّنا أنه يمكن تكوين هذه المتتاليات بتقريب قيم دالة أسية مزدوجة ذات أس أوسط يساوي 2 إلى أقرب عدد صحيح. [ 1 ] ويصف إيوناسكو وستانيكا بعض الشروط الكافية الأكثر عمومية لكي تكون المتتالية هي الجزء الصحيح من متتالية أسية مزدوجة مضافًا إليها ثابت. [ 2 ]

التطبيقات

التعقيد الخوارزمي

في نظرية التعقيد الحسابي ، تُعرف فئة 2-EXPTIME بأنها فئة مسائل القرار التي يمكن حلها في زمن أسي مزدوج. وهي مكافئة لفئة AEXPSPACE، وهي مجموعة مسائل القرار التي يمكن حلها بواسطة آلة تورينج المتناوبة في فضاء أسي، وتُعتبر مجموعة شاملة لفئة EXPSPACE . [ 3 ] ومن الأمثلة على المسائل في فئة 2-EXPTIME التي لا تنتمي إلى فئة EXPTIME مسألة إثبات أو دحض العبارات في حساب بريسبرجر . [ 4 ]

في بعض المسائل الأخرى المتعلقة بتصميم وتحليل الخوارزميات، تُستخدم المتتاليات الأسية المزدوجة ضمن تصميم الخوارزمية نفسها بدلاً من تحليلها. ومن الأمثلة على ذلك خوارزمية تشان لحساب الأغلفة المحدبة ، التي تُجري سلسلة من العمليات الحسابية باستخدام قيم اختبارية hᵢ = 2ᵢ (تقديرات لحجم الناتج النهائي)، وتستغرق كل قيمة اختبارية في السلسلة زمنًا قدره O( n log hᵢ ) . ونظرًا للنمو الأسي المزدوج لهذه القيم الاختبارية، فإن زمن كل عملية حسابية في السلسلة ينمو أُسّيًا أحاديًا كدالة لـ i ، ويُهيمن زمن الخطوة الأخيرة من السلسلة على إجمالي الزمن. وبالتالي، فإن الزمن الإجمالي للخوارزمية هو O( n log hᵢ )، حيث hᵢ هو حجم الناتج الفعلي. [ 5 ]      

في اتجاه مختلف، أظهر ويتفين وجيفري أنه يمكن تضخيم أي بروتوكول QMA (انظر BPP ) ليصبح له خطأ أسي مزدوج (مع قيود طفيفة على اختيار مجموعات البوابات). [ 6 ]

نظرية الأعداد

بعض الحدود النظرية للأعداد هي حدود أسية مزدوجة. ومن المعروف أن الأعداد الكاملة الفردية التي لها n من العوامل الأولية المختلفة هي على الأكثر24ن{\displaystyle 2^{4^{n}}}، نتيجة لـ Nielsen (2003). [ 7 ]

يكون الحجم الأقصى لمتعدد السطوح في شبكة عددية ذات أبعاد d تحتوي على k ≥ 1 نقطة شبكية داخلية على الأكثر

ك⋅(8د)د⋅15د⋅22د+1،{\displaystyle k\cdot (8d)^{d}\cdot 15^{d\cdot 2^{2d+1}},}

نتيجة لبيكهوركو (2001). [ 8 ]

لقد نما أكبر عدد أولي معروف في العصر الإلكتروني تقريبًا كدالة أسية مزدوجة للسنة منذ أن اكتشف ميلر وويلر عددًا أوليًا مكونًا من 79 رقمًا على EDSAC 1 في عام 1951. [ 9 ]

البيولوجيا النظرية

في ديناميكيات السكان، يُفترض أحيانًا أن نمو السكان البشري يكون أُسّيًا مزدوجًا. وقد قام فارفولوميف وغوريفيتش [ 10 ] بمطابقة ذلك تجريبيًا.

شمال(y)=375.6⋅1.001851.00737y-1000{\displaystyle N(y)=375.6\cdot 1.00185^{1.00737^{y-1000}}\,}

حيث N ( y ) هو عدد السكان بالملايين في السنة y .

الفيزياء

في نموذج مذبذب تودا للنبض الذاتي ، يتغير لوغاريتم السعة بشكل أسي مع الزمن (للسعات الكبيرة)، وبالتالي تتغير السعة كدالة أسية مزدوجة للزمن. [ 11 ]

لوحظ أن الجزيئات الكبيرة المتفرعة تنمو بطريقة أسية مزدوجة. [ 12 ]

مراجع

  1. ↑ أهو، أ. ف .؛ سلون، ن. ج. أ. (1973)، "بعض المتتاليات الأسية المزدوجة" ، مجلة فيبوناتشي الفصلية ، 11 (4): 429-437 ، doi : 10.1080/00150517.1973.12430815.
  2. ^ إيوناسكو، يوجين جوليان؛ Stănică، Pantelimon (2004)، “الخطوط المقاربة الفعالة لبعض التكرارات غير الخطية والتسلسلات الأسية المضاعفة تقريبًا” (PDF) ، Acta Mathematica Universitatis Comenianae ، LXXIII ( 1): 75–87.
  3. ↑ كريستوس باباديميتريو ، التعقيد الحسابي (1994)، رقم ISBN 978-0-201-53082-7القسم 20.1، النتيجة 3، الصفحة 495.
  4. ↑ فيشر، إم جيه ، ومايكل أو. رابين ، 1974، " التعقيد الأسي الفائق لحساب بريسبرغر. مؤرشف في 15-09-2006 على موقع Wayback Machine ". وقائع ندوة SIAM-AMS في الرياضيات التطبيقية، المجلد 7 : 27-41
  5. ↑ تشان، تي إم (1996)، "خوارزميات الغلاف المحدب الأمثل الحساسة للمخرجات في بعدين وثلاثة أبعاد"، الهندسة المنفصلة والحسابية ، 16 (4): 361-368 ، doi : 10.1007/BF02712873 ، MR 1414961 
  6. ↑ جيفري، ستايسي؛ ويتفين، فريك (2025). "$ { \sf QMA } = { \sf QMA } _1$ مع عداد لانهائي". arXiv : 2506.15551 [ quant-ph ].
  7. ↑ نيلسن، بيس ب. (2003)، "حد أعلى للأعداد الكاملة الفردية" ، مجلة الأعداد الصحيحة: المجلة الإلكترونية لنظرية الأعداد التوافقية ، 3 : A14.
  8. ↑ بيكوركو، أوليغ (2001)، "نقاط الشبكة في متعددات الوجوه الشبكية"، ماتيماتيكا ، 48 ( 1-2 ): 15-24 ، arXiv : math/0008028 ، Bibcode : 2000math......8028P ، doi : 10.1112/s0025579300014339
  9. ↑ ميلر، جيه سي بي؛ ويلر، دي جيه (1951)، "الأعداد الأولية الكبيرة"، مجلة نيتشر ، 168 (4280): 838، رمز Bibcode : 1951Natur.168..838M ، doi : 10.1038/168838b0.
  10. ↑ فارفولوميف، إس دي؛ غوريفيتش، كيه جي (2001)، "النمو الأسي المفرط للسكان على نطاق تاريخي واسع"، مجلة البيولوجيا النظرية ، 212 (3): 367-372 ، Bibcode : 2001JThBi.212..367V ، doi : 10.1006/jtbi.2001.2384 ، PMID 11829357 .
  11. ↑ كوزنيتسوف، د.؛ بيسون، ج.-ف.؛ لي، ج.؛ أويدا، ك. (2007)، "ليزر نبضي ذاتي كمذبذب: تقريب من خلال الدوال الأولية" ، مجلة الفيزياء أ ، 40 (9): 1-18 ، Bibcode : 2007JPhA...40.2107K ، CiteSeerX 10.1.1.535.5379 ، doi : 10.1088/1751-8113/40/9/016 ، S2CID 53330023  .
  12. ↑ كاواغوتشي، تورو؛ ووكر، كاثلين ل.؛ ويلكينز، تشارلز ل.؛ مور، جيفري س. (1995). "نمو الدندريمر الأسي المزدوج". مجلة الجمعية الكيميائية الأمريكية . 117 (8): 2159-2165 . Bibcode : 1995JAChS.117.2159K . doi : 10.1021/ja00113a005 .