ديناميات السكان

📅 آخر تحديث: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة

ديناميكيات السكان هي فرع من الرياضيات يُستخدم لنمذجة ودراسة حجم وتكوين أعمار السكان كنظم ديناميكية . تُعدّ ديناميكيات السكان فرعًا من فروع البيولوجيا الرياضية ، وتستخدم تقنيات رياضية مثل المعادلات التفاضلية لنمذجة السلوك. كما ترتبط ديناميكيات السكان ارتباطًا وثيقًا بمجالات أخرى في البيولوجيا الرياضية، مثل علم الأوبئة ، وتستخدم أيضًا تقنيات من نظرية الألعاب التطورية في نمذجتها.

تاريخ

لطالما كانت ديناميكيات السكان هي الفرع المهيمن في علم الأحياء الرياضي، والذي له تاريخ يمتد لأكثر من 220 عامًا، [ 1 ] على الرغم من أن نطاق علم الأحياء الرياضي قد توسع بشكل كبير خلال القرن الماضي.

يُعتبر عمل مالتوس ، الذي صاغه في نموذج النمو المالتوسي ، بدايةً لعلم ديناميات السكان . ووفقًا لمالتوس، بافتراض ثبات الظروف (البيئة) ، فإن عدد السكان سينمو (أو يتناقص) نموًا أُسّيًا . [ 2 ] : 18 وقد شكّل هذا المبدأ أساسًا للنظريات التنبؤية اللاحقة، مثل الدراسات الديموغرافية كعمل بنيامين جومبيرتز [ 3 ] وبيير فرانسوا فيرهولست في أوائل القرن التاسع عشر، اللذين قاما بتنقيح وتعديل النموذج الديموغرافي المالتوسي. [ 4 ]

اقترح إف جيه ريتشاردز في عام 1959 صياغة نموذجية أكثر عمومية، [ 5 ] قام سيمون هوبكنز بتوسيعها لاحقًا ، حيث شملت نماذج جومبيرتز وفيرهولست ولودفيج فون بيرتالانفي كحالات خاصة من الصياغة العامة. وتُعد معادلات لوتكا-فولتيرا للعلاقة بين المفترس والفريسة مثالًا شهيرًا آخر، [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [11 ] [ 12 ] [ 13 ] بالإضافة إلى معادلات أرديتي - جينزبورغ البديلة . [ 14 ] [ 15 ]

الدالة اللوجستية

تبدأ نماذج السكان المبسطة عادةً بأربعة متغيرات رئيسية (أربع عمليات ديموغرافية ) تشمل الوفاة، والولادة، والهجرة، والنزوح. وتفترض النماذج الرياضية المستخدمة لحساب التغيرات في التركيبة السكانية وتطورها عدم وجود أي تأثير خارجي. ويمكن أن تكون النماذج أكثر تعقيدًا من الناحية الرياضية حيث "تُواجَه عدة فرضيات متنافسة بالبيانات في آنٍ واحد". [ 16 ] على سبيل المثال، في نظام مغلق لا تحدث فيه الهجرة، يمكن وصف معدل التغير في عدد الأفراد في مجتمع ما على النحو التالي: دشمالدت=ب-د=بشمال-دشمال=(ب-د)شمال=رشمال،{\displaystyle {\mathrm {d} N \over \mathrm {d} t}=BD=bN-dN=(bd)N=rN,} حيث N هو العدد الإجمالي للأفراد في المجموعة التجريبية المحددة قيد الدراسة، و B هو عدد المواليد، و D هو عدد الوفيات لكل فرد في تجربة أو نموذج معين. ترمز الرموز الجبرية b و d و r إلى معدلات الولادة والوفاة ومعدل التغير لكل فرد في المجتمع العام، أي معدل الزيادة الذاتية. يمكن قراءة هذه الصيغة على النحو التالي: معدل التغير في المجتمع ( dN / dt ) يساوي المواليد ناقص الوفيات ( B - D ). [ 2 ] [ 13 ] [ 17 ]

باستخدام هذه التقنيات، تم تحويل مبدأ مالتوس لنمو السكان لاحقاً إلى نموذج رياضي يُعرف باسم المعادلة اللوجستية : دشمالدت=رشمال(1-شمالك)،{\displaystyle {\mathrm {d} N \over \mathrm {d} t}=rN\left(1-{N \over K}\right),} حيث N هو حجم الجماعة ، و r هو معدل الزيادة الطبيعية الذاتية ، و K هي القدرة الاستيعابية للجماعة. يمكن قراءة الصيغة على النحو التالي: معدل التغير في الجماعة ( dN / dt ) يساوي النمو ( rN ) الذي يحده القدرة الاستيعابية (1 − N / K ) . انطلاقًا من هذه المبادئ الرياضية الأساسية، يتوسع علم بيئة الجماعات ليصبح مجالًا بحثيًا يستقصي التركيبة السكانية للجماعات الحقيقية ويختبر هذه النتائج مقابل النماذج الإحصائية. غالبًا ما يستخدم مجال بيئة الجماعات بيانات تاريخ الحياة وجبر المصفوفات لتطوير مصفوفات إسقاط حول الخصوبة والبقاء. تُستخدم هذه المعلومات لإدارة مخزون الحياة البرية وتحديد حصص الصيد. [ 13 ] [ 17 ]

معدل الزيادة الجوهري

يُعرف معدل تزايد حجم السكان في حال عدم وجود قوى تعتمد على الكثافة السكانية تُنظم نمو السكان بالمعدل الجوهري للزيادة . دشمالدت=رشمال{\displaystyle {\mathrm {d} N \over \mathrm {d} t}=rN} حيث المشتقدشمال/دت{\displaystyle dN/dt}يمثل معدل زيادة عدد السكان، وN حجم السكان، و r معدل الزيادة الذاتي. بالتالي، فإن r هو الحد الأقصى النظري لمعدل زيادة عدد السكان لكل فرد، أي الحد الأقصى لمعدل نمو السكان. يُستخدم هذا المفهوم بشكل شائع في علم بيئة أو إدارة تجمعات الحشرات لتحديد كيفية تأثير العوامل البيئية على معدل زيادة أعداد الآفات. انظر أيضًا النمو السكاني الأسي والنمو السكاني اللوجستي. [ 18 ]

علم الأوبئة

تتداخل ديناميكيات السكان مع مجال بحثي نشط آخر في البيولوجيا الرياضية: علم الأوبئة الرياضي ، وهو دراسة الأمراض المعدية التي تصيب السكان. وقد تم اقتراح وتحليل نماذج مختلفة لانتشار الفيروسات، والتي تقدم نتائج مهمة يمكن تطبيقها على قرارات السياسة الصحية.

التجمعات الهندسية

تتسم تجمعات Operophtera brumata بالتوزيع الهندسي. [ 19 ]

تُستخدم الصيغة الرياضية أدناه لنمذجة التجمعات السكانية الهندسية . تنمو هذه التجمعات السكانية في فترات تكاثر منفصلة بين فترات انقطاع عن التكاثر ، على عكس التجمعات السكانية التي تنمو دون فترات محددة للتكاثر. لنفترض أن العدد الطبيعي t هو دليل الجيل ( t=0 للجيل الأول، t=1 للجيل الثاني، وهكذا). يُستخدم الحرف t لأن دليل الجيل هو الزمن. لنفترض أن N <sub>t</sub> يُمثل، في الجيل t ، عدد أفراد التجمع السكاني الذين سيتكاثرون، أي حجم التجمع السكاني في الجيل t . يكون حجم التجمع السكاني في الجيل التالي، وهو حجم التجمع السكاني في الزمن t+1، كما يلي: [ 20 ]شمالت+1=شمالت+بت-دت+أنات-هـت{\displaystyle N_{t+1}=N_{t}+B_{t}-D_{t}+I_{t}-E_{t}} أين

  • يمثل B t عدد المواليد في المجتمع بين الجيلين t و t + 1 ،
  • يمثل D t عدد الوفيات بين الجيلين t و t + 1 ،
  • هو عدد المهاجرين الذين انضموا إلى السكان بين الجيلين t و t + 1 ، و
  • يمثل E t عدد المهاجرين الذين يغادرون السكان بين الجيلين t و t + 1 .

لتبسيط الأمور، نفترض عدم وجود هجرة من أو إلى السكان، ولكن يمكن تطبيق الطريقة التالية دون هذا الافتراض. رياضياً، يعني هذا أنه لجميع قيم t ، يكون I t = E t = 0. تصبح المعادلة السابقة كما يلي: شمالت+1=شمالت+بت-دت.{\displaystyle N_{t+1}=N_{t}+B_{t}-D_{t}.}

بشكل عام، يتناسب عدد المواليد وعدد الوفيات تقريبًا مع حجم السكان. هذه الملاحظة هي التي تحفز التعريفات التالية.

  • يتم تعريف معدل المواليد في الوقت t بواسطة b t = B t / N t .
  • يتم تعريف معدل الوفيات في الوقت t بواسطة d t = D t / N t .

يمكن إعادة كتابة المعادلة السابقة على النحو التالي: شمالت+1=(1+بت-دت)شمالت.{\displaystyle N_{t+1}=(1+b_{t}-d_{t})N_{t}.}

ثم نفترض أن معدلات المواليد والوفيات لا تعتمد على الزمن t (وهو ما يعادل افتراض أن عدد المواليد والوفيات يتناسب فعليًا مع حجم السكان). هذا هو الافتراض الأساسي للسكان الهندسيين، لأنه بناءً عليه سنحصل على متتالية هندسية . بعد ذلك، نُعرّف معدل الزيادة الهندسي R = b t - d t بأنه معدل المواليد مطروحًا منه معدل الوفيات. لا يعتمد معدل الزيادة الهندسي على الزمن t ، لأن كلاً من معدل المواليد مطروحًا منه معدل الوفيات لا يعتمد عليه، وفقًا لافتراضنا. فنحصل على: شمالت+1=(1+R)شمالت.{\displaystyle {\begin{aligned}N_{t+1}&=\left(1+R\right)N_{t}.\end{aligned}}} تعني هذه المعادلة أن المتتالية (N t ) هندسية بحد أول N 0 ونسبة مشتركة 1 + R ، والتي نعرفها بأنها λ . وتسمى λ أيضًا معدل الزيادة المحدود.

وبالتالي، بالاستقراء ، نحصل على تعبير حجم السكان في الوقت t : شمالت=λتشمال0{\displaystyle N_{t}=\lambda ^{t}N_{0}} حيث λt هو معدل الزيادة المحدود مرفوعًا إلى قوة عدد الأجيال. هذا التعبير الأخير أكثر ملاءمة من سابقه لأنه صريح. على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد حساب عدد السكان في الجيل العاشر باستخدام الآلة الحاسبة، بمعرفة عدد السكان الابتدائي N0 ومعدل الزيادة المحدود λ . باستخدام الصيغة الأخيرة، نحصل على النتيجة مباشرةً بتعويض t = 10 ، بينما باستخدام الصيغة السابقة ، يلزم معرفة N9 ، N8 ، ... ، N2 حتى N1 .

يمكننا تحديد ثلاث حالات:

  • إذا كانت λ > 1 ، أي إذا كانت R > 0 ، أي (بافتراض أن معدل المواليد والوفيات لا يعتمدان على الزمن t ) إذا كانت b₀ > d₀ ، أي إذا كان معدل المواليد أكبر من معدل الوفيات، فإن حجم السكان يتزايد ويؤول إلى اللانهاية. بالطبع، في الواقع، لا يمكن للسكان أن ينمووا إلى ما لا نهاية: ففي مرحلة ما، يفتقر السكان إلى الموارد، وبالتالي يزداد معدل الوفيات، مما يُبطل فرضيتنا الأساسية لأن معدل الوفيات يصبح الآن مرتبطًا بالزمن.
  • إذا كان λ < 1 ، أي إذا كان R < 0 ، أي (بافتراض أن معدل المواليد ومعدل الوفيات لا يعتمدان على الوقت t ) إذا كان b 0 < d 0 ، أي إذا كان معدل المواليد أصغر بكثير من معدل الوفيات ، فإن حجم السكان يتناقص ويميل إلى 0 .
  • إذا كانت λ = 1 ، أي إذا كانت R = 0 ، أي (بافتراض أن معدل المواليد ومعدل الوفيات لا يعتمدان على الوقت t ) إذا كانت b 0 = d 0 ، أي إذا كان معدل المواليد مساوياً لمعدل الوفيات ، فإن حجم السكان يكون ثابتًا ، ويساوي عدد السكان الأولي N 0 .

زمن التضاعف

يتميز بكتيريا G. stearothermophilus بفترة تضاعف أقصر من بكتيريا E. coli و N. meningitidis . تختلفمعدلات نمو نوعين من البكتيريا اختلافًا كبيرًا إذا كان الفرق في فترة التضاعف بينهما ضئيلاً، حتى لو كان 10 دقائق فقط. في حقيقيات النوى ، مثل الحيوانات والفطريات والنباتات والطلائعيات، تكون فترة التضاعف أطول بكثير منها في البكتيريا، مما يقلل من معدلات نمو حقيقيات النوى مقارنةً بالبكتيريا. تبلغ فترة التضاعف لبكتيريا G. stearothermophilus و E. coli و N. meningitidis 20 دقيقة، [ 21 ] و 30 دقيقة، [ 22 ] و 40 دقيقة على التوالي في الظروف المثلى. لو كان بإمكان تجمعات البكتيريا أن تنمو بلا حدود (وهو ما لا يحدث) ، لكان عدد البكتيريا في كل نوع يقترب من اللانهاية (∞).ستقتربنسبة بكتيريا G. stearothermophilus من إجمالي البكتيريا إلى 100%، بينما ستقترب نسبة بكتيريا E. coli و N. meningitidis مجتمعة من إجمالي البكتيريا إلى 0%. هذا الرسم البياني هو محاكاة لهذا السيناريو الافتراضي. في الواقع، لا تنمو أعداد البكتيريا بشكل غير محدود، وتحتاج الأنواع الثلاثة إلى ظروف مثالية مختلفة لتقليل زمن تضاعفها إلى أدنى حد.
الوقت بالدقائق% هذا هو G. stearothermophilus
3044.4%
6053.3%
9064.9%
12072.7%
→∞100%
الوقت بالدقائقهذه النسبة المئوية هي بكتيريا الإشريكية القولونية
3029.6%
6026.7%
9021.6%
12018.2%
→∞0.00%
الوقت بالدقائق% أي النيسرية السحائية
3025.9%
6020.0%
9013.5%
1209.10%
→∞0.00%
تنويه: تتكاثر البكتيريا وفق التوزيع اللوجستي وليس الهندسي. ومع ذلك، فإن أوقات التضاعف تنطبق على كلا النوعين من التجمعات.

زمن تضاعف عدد السكان ( t<sub> d</sub> ) هو الزمن اللازم لتضاعف حجم السكان. [ 24 ] يمكننا حساب زمن تضاعف عدد السكان الهندسي باستخدام المعادلة: N <sub>t</sub> = λ<sub> t</sub> N<sub> 0</sub>، وذلك بالاستفادة من معرفتنا بأن عدد السكان ( N ) يتضاعف ( 2N ) بعد زمن التضاعف. [ 20 ]

شمالتد=λتدشمال02شمال0=λتدشمال0λتد=2{\displaystyle {\begin{aligned}N_{t_{d}}&=\lambda ^{t_{d}}N_{0}\\2N_{0}&=\lambda ^{t_{d}}N_{0}\\\lambda ^{t_{d}}&=2\end{aligned}}}

يمكن إيجاد زمن التضاعف بأخذ اللوغاريتمات . على سبيل المثال: تدسجل2⁡(λ)=سجل2⁡(2)=1⟹تد=1سجل2⁡(λ){\displaystyle t_{d}\log _{2}(\lambda )=\log _{2}(2)=1\implies t_{d}={1 \over \log _{2}(\lambda )}} أو: تدln⁡(λ)=ln⁡(2)⟹تد=ln⁡(2)ln⁡(λ){\displaystyle t_{d}\ln(\lambda )=\ln(2)\implies t_{d}={\ln(2) \over \ln(\lambda )}}

لذلك:تد=1سجل2⁡(λ)=0.693...ln⁡(λ){\displaystyle t_{d}={\frac {1}{\log _{2}(\lambda )}}={\frac {0.693...}{\ln(\lambda )}}}

نصف عمر التجمعات الهندسية

نصف عمر السكان هو الزمن اللازم لانخفاض عدد السكان إلى نصف حجمه الأصلي. يمكننا حساب نصف عمر السكان الهندسي باستخدام المعادلة: N t = λ t N 0، وذلك بالاستفادة من معرفتنا بأن عدد السكان ( N ) يصبح نصف حجمه الأصلي ( 0.5 N ) بعد نصف العمر. [ 20 ]

شمالت1/2=λت1/2شمال0⟹12شمال0=λت1/2شمال0⟹λت1/2=12{\displaystyle N_{t_{1/2}}=\lambda ^{t_{1/2}}N_{0}\implies {\frac {1}{2}}N_{0}=\lambda ^{t_{1/2}}N_{0}\implies \lambda ^{t_{1/2}}={\frac {1}{2}}} حيث t 1/2 هو نصف العمر.

يمكن حساب نصف العمر عن طريق أخذ اللوغاريتمات (انظر أعلاه). ت1/2=1سجل0.5⁡(λ)=-ln⁡(2)ln⁡(λ){\displaystyle t_{1/2}={1 \over \log _{0.5}(\lambda )}=-{\ln(2) \over \ln(\lambda )}}

لاحظ أنه بما أن عدد السكان يفترض أن ينخفض، فإن λ < 1 ، لذا فإن ln( λ ) < 0 .

العلاقة الرياضية بين التجمعات الهندسية واللوجستية

في التجمعات الهندسية، يُمثل R و λ ثوابت النمو (انظر 2 و 2.3 ). أما في التجمعات اللوجستية، فإن معدل النمو الذاتي، المعروف أيضًا بمعدل الزيادة الذاتي ( r )، هو ثابت النمو ذو الصلة. ولأن أجيال التكاثر في التجمع الهندسي لا تتداخل (مثلًا، تتكاثر مرة واحدة سنويًا)، بينما تتداخل في التجمع الأسي، يُعتبر التجمع الهندسي والتجمع الأسي عادةً متنافيين. [ 25 ] ومع ذلك، تشترك مجموعتا الثوابت في العلاقة الرياضية الموضحة أدناه. [ 20 ]

معادلة النمو للسكان ذوي النمو الأسي هيشمالت=شمال0هـرت{\displaystyle N_{t}=N_{0}e^{rt}}حيث e هو عدد أويلر ، وهو ثابت عالمي غالبًا ما ينطبق في المعادلات اللوجستية، و r هو معدل النمو الجوهري.

لإيجاد العلاقة بين التوزيع الهندسي والتوزيع اللوجستي، نفترض أن N t هو نفسه لكلا النموذجين، ونقوم بالتوسيع إلى المساواة التالية: شمال0هـرت=شمال0λتهـرت=λترت=تln⁡(λ){\displaystyle {\begin{aligned}N_{0}e^{rt}&=N_{0}\lambda ^{t}\\e^{rt}&=\lambda ^{t}\\rt&=t\ln(\lambda )\end{aligned}}} يمنحنار=ln⁡(λ){\displaystyle r=\ln(\lambda )}وλ=هـر.{\displaystyle \lambda =e^{r}.}

نظرية الألعاب التطورية

طُوِّرت نظرية الألعاب التطورية لأول مرة على يد رونالد فيشر في مقالته عام 1930 بعنوان "النظرية الجينية للانتقاء الطبيعي" . [ 26 ] وفي عام 1973، صاغ جون ماينارد سميث مفهومًا مركزيًا، وهو الاستراتيجية المستقرة تطوريًا . [ 27 ]

استُخدمت ديناميكيات السكان في العديد من تطبيقات نظرية التحكم . ويمكن استخدام نظرية الألعاب التطورية في سياقات صناعية وغيرها. صناعيًا، تُستخدم غالبًا في أنظمة الإدخال والإخراج المتعددة ( MIMO )، مع إمكانية تكييفها للاستخدام في أنظمة الإدخال والإخراج الأحادي ( SISO ). ومن الأمثلة الأخرى على تطبيقاتها: الحملات العسكرية، وتوزيع المياه ، وتشغيل المولدات الموزعة ، والتجارب المخبرية، ومشاكل النقل، ومشاكل الاتصالات، وغيرها.

تذبذبي

يشهد حجم التجمعات النباتية تذبذبًا ملحوظًا نتيجة للتذبذب البيئي السنوي. [ 28 ] وتتأثر ديناميكيات النباتات بهذا التذبذب الموسمي بدرجة أكبر من الثدييات والطيور والحشرات ثنائية التكاثر . [ 28 ] وعندما يقترن ذلك باضطرابات ناتجة عن الأمراض ، غالبًا ما ينتج عنه تذبذبات فوضوية . [ 28 ]

حاولت ألعاب الكمبيوتر مثل SimCity وSim Earth ولعبة MMORPG Ultima Online، من بين ألعاب أخرى ، محاكاة بعض هذه الديناميكيات السكانية .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ مالتوس، توماس روبرت. مقال في مبدأ السكان : مكتبة الاقتصاد
  2. 1 2 تورتشين، ب. (2001). "هل لعلم بيئة السكان قوانين عامة؟". أوكوس . 94 (1). جون وايلي وأولاده المحدودة ( جمعية أوكوس الإسكندنافية ): 17-26 . Bibcode : 2001Oikos..94...17T . doi : 10.1034/j.1600-0706.2001.11310.x . S2CID 27090414 . 
  3. ↑ جومبيرتز، بنيامين (1825). "حول طبيعة الدالة المُعبِّرة عن قانون فناء الإنسان، وحول طريقة جديدة لتحديد قيمة احتمالات الحياة" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . 115 : 513-585 . doi : 10.1098/rstl.1825.0026 . S2CID 145157003 . 
  4. ^ فيرهولست، PH (1838). "لاحظ sur la loi que la السكان يصبون في تزايدهم" . كوريسب. الرياضيات والفيزياء . 10 : 113 - 121.
  5. ↑ ريتشاردز، إف جيه (يونيو 1959). "دالة نمو مرنة للاستخدام التجريبي" . مجلة علم النبات التجريبي . 10 (29): 290-300 . doi : 10.1093/jxb/10.2.290 . JSTOR 23686557. تاريخ الاسترجاع: 16 نوفمبر 2020 . 
  6. ↑ هوبنستيدت، ف. (2006). "نموذج المفترس والفريسة" . موسوعة سكولاربيديا . 1 (10): 1563. رمز Bibcode : 2006SchpJ...1.1563H . doi : 10.4249/scholarpedia.1563 .
  7. ↑ لوتكا، أ. ج. (1910). "مساهمة في نظرية التفاعل الدوري" . مجلة الكيمياء الفيزيائية 14 (3): 271-274 . Bibcode : 1910JPhCh..14..271L . doi : 10.1021/j150111a004 .
  8. ↑ جويل، ن.س. وآخرون (1971). حول فولتيرا ونماذج أخرى غير خطية للتفاعلات السكانية . دار النشر الأكاديمية . 
  9. ↑ لوتكا، أ. ج. (1925). عناصر البيولوجيا الفيزيائية . ويليامز وويلكنز .
  10. ^ فولتيرا ، ف. (1926). "التنوع والتقلبات في عدد الأفراد في أنواع الحيوانات المرتبطة". م. أكاد. لينسي روما . 2 : 31 - 113.
  11. ↑ فولتيرا، ف. (1931). "التغيرات والتقلبات في عدد الأفراد في أنواع الحيوانات التي تعيش معًا". في تشابمان، ر. ن. (محرر). علم البيئة الحيوانية . ماكجرو هيل .
  12. ↑ كينغزلاند، س. (1995). نمذجة الطبيعة: حلقات في تاريخ علم البيئة السكانية . مطبعة جامعة شيكاغو. ISBN 978-0-226-43728-6.
  13. 1 2 3 بيريمان، أ.أ. (1992). "أصول وتطور نظرية المفترس والفريسة" (ملف PDF) . علم البيئة . 73 (5): 1530-1535 . رمز Bibcode : 1992Ecol...73.1530B . doi : 10.2307/1940005 . JSTOR 1940005. مؤرشف من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 31 مايو 2010. 
  14. ↑ أرديتي، ر.؛ جينزبورغ، ل. ر. (1989). "الترابط في ديناميكيات المفترس والفريسة: الاعتماد على النسبة" (ملف PDF) . مجلة البيولوجيا النظرية . 139 (3): 311-326 . رمز Bibcode : 1989JThBi.139..311A . doi : 10.1016/s0022-5193(89)80211-5 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 4 مارس 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 نوفمبر 2020 .
  15. ↑ أبرامز، ب.أ.؛ جينزبورغ، ل.ر. (2000). "طبيعة الافتراس: هل يعتمد على الفريسة، أم على النسبة، أم لا هذا ولا ذاك؟". اتجاهات في علم البيئة والتطور . 15 (8): 337-341 . doi : 10.1016/s0169-5347(00)01908-x . PMID 10884706 . 
  16. ↑ جونسون، جيه بي؛ أوملاند، كيه إس (2004). "اختيار النموذج في علم البيئة والتطور" (ملف PDF) . اتجاهات في علم البيئة والتطور . 19 (2): 101-108 . CiteSeerX 10.1.1.401.777 . doi : 10.1016/j.tree.2003.10.013 . PMID 16701236. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 11 يونيو 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 يناير 2010 .  
  17. 1 2 فاندرمير، جيه إتش؛ غولدبيرغ، دي إي (2003). علم بيئة السكان: المبادئ الأساسية . وودستوك، أوكسفوردشاير : مطبعة جامعة برينستون . ISBN 978-0-691-11440-8.
  18. ↑ جان، غاري سي؛ ألمازان، ليبرتي بي؛ باسيا، جوسلين بي (2005). "تأثير سماد النيتروجين على معدل الزيادة الذاتية لحشرة المنّ Hysteroneura setariae (توماس) (رتبة متجانسة الأجنحة: فصيلة المنّ) على الأرز ( Oryza sativa L.)" . علم الحشرات البيئي . 34 (4): 938-943 . doi : 10.1603/0046-225X-34.4.938 .
  19. ↑ هاسل، مايكل ب. (يونيو 1980). "استراتيجيات البحث عن الغذاء، ونماذج السكان، والمكافحة البيولوجية: دراسة حالة". مجلة علم البيئة الحيوانية . 49 (2): 603-628 . Bibcode : 1980JAnEc..49..603H . doi : 10.2307/4267 . JSTOR 4267 . 
  20. 1 2 3 4 "نماذج السكان الهندسية والأسية" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 21-04-2015 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17-08-2015 .
  21. ↑ "Bacillus stearothermophilus NEUF2011" . موسوعة الميكروبات .
  22. ↑ تشاندلر، م.؛ بيرد، ر. إي.؛ كارو، ل. (مايو 1975). "زمن تضاعف كروموسوم الإشريكية القولونية K12 كدالة لزمن تضاعف الخلية". مجلة البيولوجيا الجزيئية . 94 (1): 127-132 . doi : 10.1016/0022-2836(75)90410-6 . PMID 1095767 . 
  23. ↑ توبياسون، د.م.؛ سيفرت، هـ.س. (19 فبراير 2010). " المحتوى الجينومي لأنواع النيسرية " . مجلة علم البكتيريا . 192 (8): 2160-2168 . doi : 10.1128/JB.01593-09 . PMC 2849444. PMID 20172999 .  
  24. ↑ بوشيه، لورين (24 مارس 2015). "ما هو وقت التضاعف وكيف يتم حسابه؟" . تعليم السكان .
  25. ↑ "النمو السكاني" (ملف PDF) . جامعة ألبرتا . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 18 فبراير 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 نوفمبر 2020 .
  26. ↑ "نظرية الألعاب التطورية" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . مختبر أبحاث الميتافيزيقا، مركز دراسة اللغة والمعلومات (CSLI)، جامعة ستانفورد. 19 يوليو 2009. ISSN 1095-5054 . تاريخ الاسترجاع: 16 نوفمبر 2020 . 
  27. ^ نانجندياه، ف. (2005). “جون ماينارد سميث (1920-2004)” (PDF) . الرنين . 10 (11): 70-78 . دوى : 10.1007 / BF02837646 . S2CID 82303195 . 
  28. 1 2 3 ألتيزر، سونيا؛ دوبسون، أندرو؛ حسيني، بارفيز؛ هدسون، بيتر؛ باسكوال، مرسيدس؛ روحاني، بيجمان (2006). "الموسمية وديناميات الأمراض المعدية" . مراجعات وتلخيصات. رسائل علم البيئة . 9 (4). بلاكويل للنشر المحدودة ( المركز الوطني الفرنسي للبحث العلمي (CNRS)): 467-484 . Bibcode : 2006EcolL...9..467A . doi : 10.1111/J.1461-0248.2005.00879.X . hdl : 2027.42 /73860 . PMID 16623732. S2CID 12918683 .  

للمزيد من القراءة

  • أندريه كوروتيف ، أرتيمي مالكوف، وداريا خالتورينا. مقدمة في الديناميات الاجتماعية الكلية: نماذج كلية موجزة لنمو النظام العالمي . ISBN 5-484-00414-4
  • تورتشين، ب. 2003. ديناميات السكان المعقدة: توليفة نظرية/تجريبية . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون.
  • سميث، فريدريك إي. (1952). "الأساليب التجريبية في ديناميات السكان: نقد". علم البيئة . 33 (4): 441-450 . Bibcode : 1952Ecol...33..441S . doi : 10.2307/1931519 . JSTOR 1931519 .