نموذج المستهلك والموارد

تُعد نماذج التخصص فئة بارزة من نماذج إدارة علاقات العملاء التي يتم وصفها بواسطة نظام المعادلات التفاضلية العادية المقترنة، ^{[ 7 ] [ 8 ]}

$// t}}&=h_{\alpha}(\mathbf {R} )+\sum _{i=1}^{S}N_{i}q_{i\alpha }(\mathbf {R} ),&&\qquad \alpha =1,\dots ,M,\end{محاذاة}}}$

أين${\displaystyle \mathbf {R} \equiv (R_{1},\dots ,R_{M})}$هو اختصار متجهي لوفرة الموارد،${\displaystyle g_{i}}$معدل نمو الأنواع للفرد${\displaystyle i}$،${\displaystyle h_{\alpha }}$معدل نمو الأنواع${\displaystyle \alpha }$في غياب الاستهلاك، و${\displaystyle -q_{i\alpha }}$هو المعدل لكل وحدة من تعداد الأنواع التي${\displaystyle i}$يستنزف وفرة الموارد${\displaystyle \alpha }$من خلال الاستهلاك. في هذا النوع من أنظمة إدارة علاقات المستهلك، لا يتم تنسيق تأثيرات الأنواع المستهلكة على الموارد بشكل صريح؛ ومع ذلك، توجد تفاعلات ضمنية.

في نموذج ماك آرثر للموارد الاستهلاكية (MCRM)، قدّم ماك آرثر مبدأً للتحسين لتحديد حالة الاستقرار غير القابلة للغزو في النموذج (أي حالة الاستقرار التي إذا أُعيد إدخال أي نوع ذي تعداد سكاني صفري، فلن يتمكن من الغزو، مما يعني أن النظام البيئي سيعود إلى حالة الاستقرار المذكورة). ولاستنباط مبدأ التحسين، يُفترض أن ديناميكيات الموارد تصبح سريعة بما فيه الكفاية (أي،${\displaystyle r_{\alpha }\gg 1}$) بحيث تتكيف مع ديناميكيات الأنواع وتكون باستمرار في حالة استقرار (أي،${\displaystyle {\mathrm {d} }R_{\alpha }/{\mathrm {d} }t=0}$) لهذا السبب${\displaystyle R_{\alpha }}$يتم التعبير عنها كدالة لـ${\displaystyle N_{i}}$وبناءً على هذا الافتراض، يمكن التعبير عن ديناميكيات الأنواع على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N_{i}}{\mathrm {d} t}}=\tau _{i}^{-1}N_{i}\left[\sum _{\alpha \in M^{\ast }}r_{\alpha }^{-1}K_{\alpha }w_{\alpha }c_{i\alpha }\left(r_{\alpha }-\sum _{j=1}^{S}N_{j}c_{j\alpha }\right)-m_{i}\right],}$$ أين${\displaystyle \sum _{\alpha \in M^{\ast }}}$يشير إلى مجموع وفرة الموارد التي تحقق${\displaystyle R_{\alpha }=r_{\alpha }-\sum _{j=1}^{S}N_{j}c_{j\alpha }\geq 0}$يمكن كتابة التعبير أعلاه على النحو التالي:${\displaystyle \mathrm {d} N_{i}/\mathrm {d} t=-\tau _{i}^{-1}N_{i}\,\partial Q/\partial N_{i}}$، أين،$${\displaystyle Q(\{N_{i}\})={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in M^{\ast }}r_{\alpha }^{-1}K_{\alpha }w_{\alpha }\left(r_{\alpha }-\sum _{j=1}^{S}c_{j\alpha }N_{j}\right)^{2}+\sum _{i=1}^{S}m_{i}N_{i}.}$$

في حالة مستقرة لا يمكن اختراقها${\displaystyle \partial Q/\partial N_{i}=0}$لجميع الأنواع الباقية${\displaystyle i}$و${\displaystyle \partial Q/\partial N_{i}>0}$لجميع الأنواع المنقرضة${\displaystyle i}$[ ^{14 ] [ 15 ]​}

تم توسيع مبدأ ماك آرثر للتقليل إلى مبدأ الحد الأدنى للاضطراب البيئي (MEPP) الأكثر عمومية، والذي يربط نماذج إدارة موارد المجتمع المتخصصة بمسائل التحسين المقيد. عندما يرتبط نمو السكان الناتج عن استهلاك مورد ما بتأثير استهلاك هذا المورد على وفرته من خلال المعادلة،$${\displaystyle q_{i\alpha }(\mathbf {R} )=-a_{i}(\mathbf {R} )b_{\alpha }(\mathbf {R} ){\frac {\partial g_{i}}{\partial R_{\alpha }}},}$$يُقال إن تفاعلات الأنواع مع الموارد متناظرة . في المعادلة أعلاه${\displaystyle a_{i}}$و${\displaystyle b_{\alpha }}$هي دوال اختيارية لوفرة الموارد. عندما يتحقق شرط التناظر هذا، يمكن إثبات وجود دالة${\displaystyle d(\mathbf {R} )}$بحيث: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial d}{\partial R_{\alpha }}}=-{\frac {h_{\alpha }(\mathbf {R} )}{b_{\alpha }(\mathbf {R} )}}.}$$بعد تحديد هذه الدالة${\displaystyle d}$، إن وفرة الموارد غير القابلة للغزو في حالة الاستقرار، بالإضافة إلى أعداد الأنواع، هي الحل لمشكلة التحسين المقيد :$${\displaystyle {\begin{aligned}\min _{\mathbf {R} }&\;d(\mathbf {R} )&&\\{\text{s.t.,}}&\;g_{i}(\mathbf {R} )\leq 0,&&\qquad i=1,\dots ,S,\\&\;R_{\alpha }\geq 0,&&\qquad \alpha =1,\dots ,M.\end{aligned}}}$$تمثل أعداد الأنواع معاملات لاغرانج للقيود الواردة في السطر الثاني. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال النظر إلى شروط كاروش-كون-تاكر ، مع الأخذ في الاعتبار${\displaystyle N_{i}}$لتكون مضاعفات لاغرانج:$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=N_{i}g_{i}(\mathbf {R} ),&&\qquad i=1,\dots ,S,\\0&={\frac {\partial d}{\partial R_{\alpha }}}-\sum _{i=1}^{S}N_{i}{\frac {\partial g_{i}}{\partial R_{\alpha }}},&&\qquad \alpha =1,\dots ,M,\\0&\geq g_{i}(\mathbf {R} ),&&\qquad i=1,\dots ,S,\\0&\leq N_{i},&&\qquad i=1,\dots ,S.\end{aligned}}}$$الأسطر 1 و3 و4 هي بيانات الجدوى وعدم إمكانية الغزو: إذا${\displaystyle {\overline {N}}_{i}>0}$، ثم${\displaystyle g_{i}(\mathbf {R} )}$يجب أن تكون القيمة صفرًا وإلا فلن يكون النظام في حالة استقرار، وإذا${\displaystyle {\overline {N}}_{i}=0}$، ثم${\displaystyle g_{i}(\mathbf {R} )}$يجب أن تكون النتيجة غير موجبة وإلا فإن الأنواع${\displaystyle i}$سيكون قادرًا على الغزو. السطر 2 هو شرط الاستقرار وشرط الحالة المستقرة للموارد في أنظمة إدارة علاقات العملاء الجيدة. الدالة${\displaystyle d(\mathbf {R} )}$يمكن تفسيرها على أنها مسافة من خلال تحديد النقطة في فضاء حالة وفرة الموارد التي تكون عندها صفرًا،${\displaystyle \mathbf {R} _{0}}$، لتكون قيمتها الدنيا. دالة لاغرانج للمسألة الثنائية التي تؤدي إلى شروط كاروش-كون-تاكر المذكورة أعلاه هي،$${\displaystyle L(\mathbf {R} ,\{N_{i}\})=d(\mathbf {R} )-\sum _{i=1}^{S}N_{i}g_{i}(\mathbf {R} ).}$$في هذه الصورة، القيمة غير المقيدة لـ${\displaystyle \mathbf {R} }$ذلك يقلل${\displaystyle d(\mathbf {R} )}$(أي وفرة الموارد في حالة الاستقرار في غياب أي مستهلكين) تُعرف باسم متجه إمداد الموارد.

لكي يفي مجتمع ما بشروط عدم الرؤية والاستقرار، يجب أن تكون وفرة الموارد في حالة الاستقرار (المشار إليها بـ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\star }}$يجب أن تستوفي الشروط التالية: $${\displaystyle g_{i}(\mathbf {R} ^{\star })\leq 0,}$$ لجميع الأنواع${\displaystyle i}$تكون المتباينة مشبعة إذا وفقط إذا كانت الأنواع${\displaystyle i}$ينجو. يحدد كل شرط من هذه الشروط منطقة في فضاء وفرة الموارد الممكنة في حالة الاستقرار، وتقتصر وفرة الموارد المحققة في حالة الاستقرار على تقاطع هذه المناطق. حدود هذه المناطق، المحددة بواسطة${\displaystyle g_{i}(\mathbf {R} ^{\star })=0}$تُعرف هذه المناطق باسم خطوط تساوي النمو الصافي الصفري (ZNGIs). إذا كانت الأنواع${\displaystyle i=1,\dots ,S^{\star }}$إذا استمر الوضع على ما هو عليه، فيجب أن تلبي وفرة الموارد في حالة الاستقرار المتطلبات التالية:${\displaystyle g_{1}(\mathbf {R} ^{\star }),\ldots ,g_{S^{\star }}(\mathbf {R} ^{\star })=0}$وبالتالي فإن بنية ومواقع تقاطعات ZNGIs تحدد الأنواع التي يمكن أن تتعايش؛ ويعتمد المجتمع المستقر المحقق على إمدادات الموارد ويمكن تحليله من خلال فحص مخاريط التعايش.

يُحدد هيكل تقاطعات ZNGI الأنواع التي يُمكن أن تتعايش بشكل مُمكن، ولكنه لا يُحدد مجموعة الأنواع المُتعايشة التي ستتحقق. تُحدد مخاريط التعايش الأنواع التي ستنجو في نظام بيئي مُعين، مع توفر مُورد مُعين. مخروط التعايش الناتج عن مجموعة من الأنواع${\displaystyle i=1,\ldots ,S^{\star }}$يُعرَّف بأنه مجموعة متجهات إمداد الموارد الممكنة التي ستؤدي إلى مجتمع يحتوي على الأنواع المحددة${\displaystyle i=1,\ldots ,S^{\star }}$.

لفهم بنية المخروط، ضع في اعتبارك أنه في نموذجي ماك آرثر أو تيلمان، يجب أن تحقق وفرة الموارد غير المستنفدة في حالة الاستقرار ما يلي:$${\displaystyle \mathbf {K} =\mathbf {R} ^{\star }+\sum _{i=1}^{S}N_{i}\mathbf {C} _{i},}$$أين${\displaystyle \mathbf {K} }$هو متجه يحتوي على القدرات الاستيعابية/معدلات الإمداد، و${\displaystyle \mathbf {C} _{i}=(c_{i1},\ldots ,c_{iM^{\star }})}$هو${\displaystyle i}$الصف رقم 1 من مصفوفة الاستهلاك${\displaystyle c_{i\alpha }}$، باعتبارها متجهًا. وبما أن الأنواع الباقية هي تحديدًا تلك التي لها وفرة موجبة، فإن حد الجمع يصبح مجموعًا فقط على الأنواع الباقية، ويشبه الجانب الأيمن تعبيرًا لمخروط محدب رأسه${\displaystyle \mathbf {R} ^{\star }}$والمتجهات المولدة لها هي${\displaystyle \mathbf {C} _{i}}$بالنسبة للأنواع الباقية${\displaystyle i}$.

في نموذج MCRM، يمكن اعتبار معلمات النموذج متغيرات عشوائية ذات متوسطات وتباينات:${\displaystyle \langle c_{i\alpha }\rangle =\mu /M,\quad \operatorname {var} (c_{i\alpha })=\sigma ^{2}/M,\quad \langle m_{i}\rangle =m,\quad \operatorname {var} (m_{i})=\sigma _{m}^{2},\quad \langle K_{\alpha }\rangle =K,\quad \operatorname {var} (K_{\alpha })=\sigma _{K}^{2}.}$

باستخدام هذه المعلمات، في الحد الديناميكي الحراري (أي،${\displaystyle M,S\to \infty }$مع${\displaystyle S/M=\Theta (1)}$يتم نمذجة وفرة الموارد والأنواع في حالة الاستقرار كمتغير عشوائي.${\displaystyle N,R}$والتي تحقق معادلات المجال المتوسط ​​المتسقة ذاتيًا، ^{[ 18 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=R(K-\mu {\tfrac {S}{M}}\langle N\rangle -R+{\sqrt {\sigma _{K}^{2}+{\tfrac {S}{M}}\sigma ^{2}\langle N^{2}\rangle }}Z_{R}+\sigma ^{2}{\tfrac {S}{M}}\nu R),\\0&=N(\mu \langle R\rangle -m-\sigma ^{2}\chi N+{\sqrt {\sigma ^{2}\langle R^{2}\rangle +\sigma _{m}^{2}}}Z_{N}),\end{aligned}}}$$أين${\displaystyle \langle N\rangle ,\langle N^{2}\rangle ,\langle R\rangle ,\rangle R^{2}\rangle }$جميعها لحظات يتم تحديدها بشكل متسق مع الذات،${\displaystyle Z_{R},Z_{N}}$هي متغيرات عشوائية طبيعية قياسية مستقلة، و${\displaystyle \nu =\langle \partial N/\partial m\rangle }$و${\displaystyle \chi =\langle \partial R/\partial K\rangle }$وهي متوسطات الحساسية التي يتم تحديدها أيضاً بشكل متسق ذاتياً.

يمكن لهذا الإطار المتوسط ​​للمجال تحديد اللحظات والشكل الدقيق لتوزيع الوفرة، ومتوسط ​​القابلية للتأثر، ونسبة الأنواع والموارد التي تبقى على قيد الحياة في حالة مستقرة.

أُجريت تحليلات مماثلة للمجال المتوسط ​​لنموذج الموارد المُزوَّدة خارجيًا، ^{[ 11 ]} ونموذج تيلمان، ^{[ 12 ]} ونموذج المستهلك-المورد الميكروبي. ^{[ 19 ]} طُوِّرت هذه التقنيات في البداية لتحليل نموذج لوتكا-فولتيرا المعمم العشوائي .