الجبر

يدرس علم الجبر الابتدائي القيم التي تحل المعادلات التي تتكون باستخدام العمليات الحسابية.

يدرس الجبر المجرد البنى الجبرية ، مثل حلقة الأعداد الصحيحة المعطاة بمجموعة الأعداد الصحيحة.

(\mathbb {Z} )

بالإضافة إلى عمليات الجمع ( ⁠

+

) والضرب( ⁠

\times

) .

الجبر فرع من فروع الرياضيات يُعنى بالأنظمة المجردة، المعروفة بالبنى الجبرية ، ومعالجة التعبيرات ضمن هذه الأنظمة. وهو تعميم للحساب يُدخل متغيرات وعمليات جبرية أخرى غير العمليات الحسابية القياسية، كالجمع والضرب .

الجبر الابتدائي هو الشكل الرئيسي للجبر الذي يُدرّس في المدارس. يدرس هذا الفرع العبارات الرياضية باستخدام متغيرات لقيم غير محددة، ويسعى إلى تحديد القيم التي تكون عندها هذه العبارات صحيحة. ولتحقيق ذلك، يستخدم طرقًا مختلفة لتحويل المعادلات لعزل المتغيرات. أما الجبر الخطي فهو فرع وثيق الصلة، يدرس المعادلات الخطية ومجموعاتها التي تُسمى أنظمة المعادلات الخطية . يوفر هذا الفرع طرقًا لإيجاد القيم التي تُحل جميع المعادلات في النظام في آنٍ واحد، ودراسة مجموعة هذه الحلول.

يدرس الجبر المجرد البنى الجبرية ، التي تتألف من مجموعة من الكائنات الرياضية بالإضافة إلى عملية واحدة أو أكثر مُعرَّفة على تلك المجموعة. وهو تعميم للجبر الابتدائي والخطي، إذ يسمح بوجود كائنات رياضية أخرى غير الأعداد والعمليات غير الحسابية. وهو يميز بين أنواع مختلفة من البنى الجبرية، مثل الزمر والحلقات والحقول ، بناءً على عدد العمليات المستخدمة والقوانين التي تتبعها، والتي تُسمى البديهيات . يوفر الجبر الشامل ونظرية الفئات أطرًا عامة لدراسة الأنماط المجردة التي تميز فئات مختلفة من البنى الجبرية.

دُرست الأساليب الجبرية لأول مرة في العصور القديمة لحل مسائل محددة في مجالات كالهندسة . تغير هذا الوضع في القرن التاسع الميلادي مع محمد بن موسى الخوارزمي ، الذي وضع أسس الجبر كفرع رياضي مستقل، منفصل عن الهندسة. وصف علماء الرياضيات الأوائل المعادلات وحلولها باستخدام الكلمات والاختصارات حتى القرنين السادس عشر والسابع عشر، حين طُورت منهجية رمزية دقيقة. في منتصف القرن التاسع عشر، اتسع نطاق الجبر ليشمل، بالإضافة إلى نظرية المعادلات، أنواعًا متنوعة من العمليات والبنى الجبرية. يُعد الجبر ذا صلة بالعديد من فروع الرياضيات، كالهندسة والطوبولوجيا ونظرية الأعداد والتفاضل والتكامل ، فضلًا عن مجالات بحثية أخرى، كالمنطق والعلوم التجريبية .

التعريف وأصل الكلمة

الجبر هو فرع من فروع الرياضيات يدرس البنى الجبرية والعمليات المستخدمة فيها. ^[¹^] البنية الجبرية هي مجموعة غير فارغة من الكائنات الرياضية ، مثل الأعداد الصحيحة ، بالإضافة إلى العمليات الجبرية المعرفة على تلك المجموعة، كالجمع والضرب. [ 2 ] ^[^أ^]^يستكشف^الجبر^قوانين وخصائص وأنواع البنى الجبرية. وضمن بنى جبرية معينة، يدرس استخدام المتغيرات في المعادلات وكيفية التعامل معها. ^[⁴^]^[^ب^]

يُفهم الجبر غالبًا على أنه تعميم للحساب . ^{[ 8 ]} يدرس الحساب عمليات مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة ، في مجال محدد من الأعداد، مثل الأعداد الحقيقية. ^{[ 9 ]} يُمثل الجبر الابتدائي المستوى الأول من التجريد. ومثل الحساب، يقتصر على أنواع محددة من الأعداد والعمليات. وهو يُعمم هذه العمليات بالسماح بالكميات غير المحددة في صورة متغيرات بالإضافة إلى الأعداد. ^{[ 10 ]} يوجد مستوى أعلى من التجريد في الجبر المجرد ، الذي لا يقتصر على مجال محدد، ويدرس البنى الجبرية مثل الزمر والحلقات . ويتجاوز العمليات الحسابية التقليدية ليشمل أنواعًا أخرى من العمليات. ^[¹¹^] أما الجبر الشامل فهو أكثر تجريدًا ، إذ لا يهتم ببنى جبرية محددة، بل يبحث في خصائص البنى الجبرية بشكل عام. ^[¹²^]

صفحة عنوان الكتاب الموجز في الحساب عن طريق الإكمال والموازنة — كلمة *الجبر* مشتقة من عنوان كتاب الخوارزمي *الجبر* . ^{[ 13 ]}

يُستخدم مصطلح الجبر أحيانًا بمعنى أضيق ليشير فقط إلى الجبر الابتدائي أو الجبر المجرد. ^{[ 14 ]} وعند استخدامه كاسم معدود ، يُشير الجبر إلى نوع محدد من البنية الجبرية التي تتضمن فضاءً متجهيًا مزودًا بنوع معين من العمليات الثنائية، وهي التحويل الثنائي الخطي . ^{[ 15 ]} وبحسب السياق، يمكن أن يُشير مصطلح "الجبر" أيضًا إلى بنى جبرية أخرى، مثل جبر لي أو الجبر الترابطي . ^{[ 16 ]}

كلمة "الجبر " مشتقة من المصطلح العربي " الجبر "، الذي كان يشير في الأصل إلى عملية جراحية تُعرف بتجبير العظام . في القرن التاسع الميلادي، اكتسب المصطلح دلالة رياضية عندما استخدمه عالم الرياضيات الفارسي محمد بن موسى الخوارزمي لتسمية طريقة لتحويل المعادلات، واستخدمه في عنوان كتابه " الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة "، الذي تُرجم إلى اللاتينية بعنوان " Liber Algebrae et Almucabola" . ^[^ج^] دخلت الكلمة اللغة الإنجليزية في القرن السادس عشر الميلادي قادمةً من الإيطالية والإسبانية واللاتينية في العصور الوسطى . ^[¹⁸^] في البداية، اقتصر معناها على نظرية المعادلات ، أي فن التعامل مع المعادلات متعددة الحدود بهدف حلها. تغير هذا في القرن التاسع عشر ^[^د^] عندما اتسع نطاق الجبر ليشمل دراسة أنواع متنوعة من العمليات الجبرية والهياكل إلى جانب بديهياتها الأساسية والقوانين التي تتبعها. ^[²¹^]

الفرع الرئيسي

الجبر الابتدائي

{\displaystyle c} — رموز التعبير الجبري: 1 – القوة (الأس) 2 – المعامل 3 – الحد 4 – المؤثر 5 – الحد الثابت $c$ - ثابت $x$ $y$ – المتغيرات

الجبر الابتدائي، ويُسمى أيضاً الجبر المدرسي، والجبر الجامعي، والجبر الكلاسيكي، ^{[ 22 ]} هو أقدم أشكال الجبر وأكثرها أساسية. وهو تعميم للحساب يعتمد على المتغيرات ويدرس كيفية تحويل العبارات الرياضية. ^{[ 23 ]}

علم الحساب هو دراسة العمليات العددية، ويبحث في كيفية دمج الأعداد وتحويلها باستخدام العمليات الحسابية: الجمع ، والطرح ، والضرب ، والقسمة ، والأسس ، واستخراج الجذور ، واللوغاريتمات . على سبيل المثال، تجمع عملية الجمع عددين، يُطلق عليهما المُضافان، في عدد ثالث، يُطلق عليه المجموع، كما في $2+5=7$ [ ⁹^]

يعتمد الجبر الابتدائي على العمليات نفسها، مع السماح باستخدام المتغيرات بالإضافة إلى الأعداد العادية. المتغيرات هي رموز لكميات غير محددة أو مجهولة. وهي تُمكّن من تحديد العلاقات التي لا تُعرف قيمها الدقيقة، والتعبير عن القوانين العامة التي تكون صحيحة بغض النظر عن الأعداد المستخدمة. على سبيل المثال، المعادلة $2\times 3=3\times 2$ ينتمي هذا إلى الحساب، ويعبّر عن المساواة فقط لهذه الأعداد المحددة. باستبدال الأعداد بمتغيرات، يمكن التعبير عن قانون عام ينطبق على أي تركيبة ممكنة من الأعداد، مثل خاصية التبديل في الضرب ، والتي تُعبّر عنها المعادلة $a\times b=b\times a$ [ ²³^]

تُصاغ التعبيرات الجبرية باستخدام العمليات الحسابية لدمج المتغيرات والأعداد. اصطلاحًا، الأحرف الصغيرة ⁠ $x$ ، $y$ ، و $z$ تمثل المتغيرات. في بعض الحالات، تُضاف رموز سفلية لتمييز المتغيرات، كما في ⁠ $x_{1}$ ، $x_{2}$ و $x_{3}$ . الأحرف الصغيرة $a$ ، $b$ ، و $c$ تُستخدم عادةً للثوابت والمعاملات . [ ^{هـ ] التعبير} $5x+3$ هو تعبير جبري ناتج عن ضرب العدد 5 في المتغير $x$ وإضافة العدد 3 إلى النتيجة. ومن الأمثلة الأخرى على التعبيرات الجبرية: $32xyz$ و $64x_{1}{}^{2}+7x_{2}-c$ [ ²⁵^]

تتخذ بعض التعبيرات الجبرية شكل عبارات تربط بين تعبيرين. المعادلة هي عبارة تتكون من مقارنة تعبيرين، وتوضح أنهما متساويان. ويمكن التعبير عن ذلك باستخدام علامة المساواة ( ⁠ $=$ ) , كما في $5x^{2}+6x=3y+4$ تتضمن المتباينات نوعًا مختلفًا من المقارنة ،حيث تُشير إلى أن الطرفين مختلفان. ويمكن التعبير عن ذلك باستخدام رموز مثل علامة أصغر من ( ) . $<$ ) ، علامة أكبر من ( $>$ ) ، وعلامة عدم المساواة ( ). $\neq$ على عكس التعبيرات الأخرى، يمكن أن تكون العبارات صحيحة أو خاطئة، وتعتمد قيمتها المنطقية عادةً على قيم المتغيرات. على سبيل المثال، العبارة $x^{2}=4$ صحيح إذا $x$ تكون القيمة إما 2 أو -2، وتكون خاطئة فيما عدا ذلك. ^{[ 26 ]} يمكن تقسيم المعادلات ذات المتغيرات إلى معادلات هوية ومعادلات شرطية. تكون معادلات الهوية صحيحة لجميع القيم التي يمكن إسنادها للمتغيرات، مثل المعادلة ⁠ $2x+5x=7x$ تكون المعادلات الشرطية صحيحة فقط لبعض القيم. على سبيل المثال، المعادلة $x+4=9$ لا يكون ذلك صحيحًا إلا إذا $x$ هو 5. ^{[ 27 ]}

الهدف الرئيسي من الجبر الابتدائي هو تحديد القيم التي تكون عندها عبارة ما صحيحة. ويمكن تحقيق ذلك بتحويل العبارات ومعالجتها وفقًا لقواعد معينة. ومن المبادئ الأساسية التي توجه هذه العملية أن أي عملية تُطبق على أحد طرفي المعادلة يجب تطبيقها أيضًا على الطرف الآخر. على سبيل المثال، إذا طرحنا 5 من الطرف الأيسر للمعادلة، فيجب أيضًا طرح 5 من الطرف الأيمن لتحقيق التوازن بين الطرفين. عادةً ما يكون الهدف من هذه الخطوات هو عزل المتغير المطلوب في أحد الطرفين، وهي عملية تُعرف بحل المعادلة لإيجاد قيمة ذلك المتغير. على سبيل المثال، المعادلة $x-7=4$ يمكن حلها لـ $x$ بإضافة 7 إلى كلا الجانبين، مما يعزل $x$ على الجانب الأيسر وينتج عنه المعادلة ⁠ $x=11$ [ ²⁸ ]

توجد العديد من التقنيات الأخرى المستخدمة لحل المعادلات. يُستخدم التبسيط لاستبدال تعبير معقد بتعبير أبسط مكافئ. على سبيل المثال، التعبير $7x-3x$ يمكن استبدالها بالتعبير $4x$ منذ $7x-3x=(7-3)x=4x$ بفضل خاصية التوزيع. ^{[ 29 ]} بالنسبة للعبارات التي تحتوي على عدة متغيرات، يُعدّ الاستبدال أسلوبًا شائعًا لاستبدال أحد المتغيرات بتعبير مكافئ لا يستخدم هذا المتغير. على سبيل المثال، إذا علمنا أن $y=3x$ عندها يمكن تبسيط التعبير $7xy$ للوصول إلى $21x^{2}$ وبالمثل ، إذا عرف المرء قيمة متغير واحد، فقد يكون قادراً على استخدامها لتحديد قيمة متغيرات أخرى.^{[ 30 ]}

{\displaystyle x} — يمكن استخدام المعادلات الجبرية لوصف الأشكال الهندسية. جميع القيم لـ $x$ و $y$ تُفسَّر النقاط التي تحل المعادلة على أنها نقاط. ويتم تمثيلها بخط أحمر مائل لأعلى في الرسم البياني أعلاه.

يمكن تفسير المعادلات الجبرية هندسيًا لوصف الأشكال المكانية على شكل رسم بياني . وللقيام بذلك، تُفهم المتغيرات المختلفة في المعادلة على أنها إحداثيات ، وتُفسر القيم التي تحل المعادلة على أنها نقاط على الرسم البياني. على سبيل المثال، إذا $x$ يتم تعيينها إلى الصفر في المعادلة $y=0.5x-1$ ثم $y$ يجب أن تكون قيمة المتغير -1 لكي تكون المعادلة صحيحة. هذا يعني أن $(x,y)$ -زوج $(0,-1)$ هو جزء من الرسم البياني للمعادلة. $(x,y)$ -زوج $(0,7)$ أما ، على النقيض من ذلك، فلا يحل المعادلة، وبالتالي فهو ليس جزءًا من الرسم البياني. يشمل الرسم البياني مجمل $(x,y)$ - أزواج تحل المعادلة. ^{[ 31 ]}

كثيرات الحدود

كثير الحدود هو تعبير يتكون من حد واحد أو أكثر يتم جمعها أو طرحها من بعضها البعض، مثل $x^{4}+3xy^{2}+5x^{3}-1$ كل حد إما ثابت، أو متغير، أو حاصل ضرب ثابت في متغيرات. يمكن رفع أي متغير إلى قوة عددية صحيحة موجبة. الحد الأحادي هو متعدد حدود ذو حد واحد، بينما يُطلق على متعددات الحدود ذات الحدين والثلاثة حدود اسم ثنائيات الحدود وثلاثيات الحدود على التوالي. درجة متعدد الحدود هي القيمة القصوى (بين حدوده) لمجموع أسس المتغيرات (4 في المثال أعلاه).^{[ 32 ]} تُسمى متعددات الحدود من الدرجة الأولى متعددات الحدود الخطية . يدرس الجبر الخطي أنظمة متعددات الحدود الخطية.^{[ 33 ]} يُقال إن متعدد الحدود أحادي المتغير أو متعدد المتغيرات ، اعتمادًا على ما إذا كان يستخدم متغيرًا واحدًا أو أكثر.^{[ 34 ]}

التحليل إلى عوامل هو أسلوب يُستخدم لتبسيط كثيرات الحدود، مما يُسهّل تحليلها وتحديد القيم التي تجعل قيمتها تساوي صفرًا . يتضمن التحليل إلى عوامل إعادة كتابة كثيرة الحدود كحاصل ضرب عدة عوامل. على سبيل المثال، كثيرة الحدود $x^{2}-3x-10$ يمكن تحليلها إلى عوامل كما يلي : $(x+2)(x-5)$ تكون كثيرة الحدود ككل صفرًا إذا وفقط إذا كان أحد عواملها صفرًا، أي إذا $x$ إما أن تكون القيمة -2 أو 5. ^{[ 35 ]} قبل القرن التاسع عشر، كان جزء كبير من علم الجبر مخصصًا لمعادلات كثيرات الحدود ، أي المعادلات التي تُستنتج من مساواة كثيرة الحدود بالصفر. تمثلت المحاولات الأولى لحل معادلات كثيرات الحدود في التعبير عن الحلول بدلالة الجذور النونية $.$ حل معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية على الصورة $ax^{2}+bx+c=0$ يتم إعطاؤها بواسطة الصيغة التربيعية ^{[ 36 ]} $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$

تُعطى حلول الدرجتين الثالثة والرابعة باستخدام الصيغتين التكعيبية والرباعية . لا توجد حلول عامة للدرجات الأعلى، كما أثبت ذلك في القرن التاسع عشر من خلال نظرية أبيل-روفيني . [ ³⁷^]^حتى في حال عدم وجود حلول عامة، يمكن إيجاد حلول تقريبية باستخدام أدوات عددية مثل طريقة نيوتن-رافسون . ^[³⁸^]

تنص النظرية الأساسية في الجبر على أن كل معادلة متعددة الحدود أحادية المتغير من الدرجة الموجبة ذات معاملات حقيقية أو مركبة لها حل مركب واحد على الأقل. وبالتالي، يمكن تحليل أي متعددة حدود من الدرجة الموجبة إلى متعددات حدود خطية. وقد تم إثبات هذه النظرية في بداية القرن التاسع عشر، لكن هذا لا يحل المشكلة تمامًا، إذ لا توفر النظرية أي طريقة لحساب الحلول. ^{[ 39 ]}

الجبر الخطي

يبدأ الجبر الخطي بدراسة أنظمة المعادلات الخطية . ^{[ 40 ]} المعادلة خطية إذا أمكن التعبير عنها بالشكل التالي : $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b$ ، حيث $a_{1}$ ، $a_{2}$ ... $a_{n}$ و $b$ هي ثوابت. ومن الأمثلة عليها: $x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0$ و $\textstyle {\frac {1}{4}}x-y=4$ . نظام المعادلات الخطية هو مجموعة من المعادلات الخطية التي يهتم المرء بإيجاد حلول مشتركة لها.^{[ 41 ]}

المصفوفات عبارة عن مصفوفات مستطيلة من القيم، وقد تم تقديمها في الأصل لتوفير تدوين مختصر ومختصر لأنظمة المعادلات الخطية. ^{[ 42 ]} على سبيل المثال، نظام المعادلات ${\begin{aligned}9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}&=0\\2.3x_{1}+7x_{3}&=9\\-5x_{1}-17x_{2}&=-3\end{aligned}}$ يمكن كتابتها على النحو التالي $AX=B,$ أين $A$ ، $X$ و $B$ هي المصفوفات $A={\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}},\quad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}.$

في ظل شروط معينة تتعلق بعدد الصفوف والأعمدة، يمكن جمع المصفوفات وضربها ، وأحيانًا قلبها . ويمكن التعبير عن جميع طرق حل الأنظمة الخطية كعمليات معالجة للمصفوفات باستخدام هذه العمليات. على سبيل المثال، يتكون حل النظام المذكور أعلاه من حساب مصفوفة مقلوبة. $A^{-1}$ بحيث $A^{-1}A=I,$ أين $I$ هي مصفوفة الوحدة . ثم، بضرب طرفي معادلة المصفوفة أعلاه من اليسار في $A^{-1},$ يمكن الحصول على حل نظام المعادلات الخطية على النحو التالي ^{[ 43 ]} $X=A^{-1}B.$

تتراوح طرق حل أنظمة المعادلات الخطية من الطرق التمهيدية، مثل التعويض ^{[ 44 ]} والحذف ^{[ 45 ]،} إلى تقنيات أكثر تقدماً باستخدام المصفوفات، مثل قاعدة كرامر ، والحذف الغاوسي ، وتحليل LU ^{[ 46 ]} . بعض أنظمة المعادلات غير متسقة ، أي لا توجد لها حلول لأن المعادلات تتناقض مع بعضها ^{[ 47 ] .}^{[ و ]}^أما الأنظمة المتسقة فلها إما حل وحيد أو عدد لا نهائي من ^الحلول^[^{48 ] .}

يشكل دراسة الفضاءات المتجهة والتحويلات الخطية جزءًا كبيرًا من الجبر الخطي. الفضاء المتجه هو بنية جبرية تتكون من مجموعة مع عملية جمع تجعلها زمرة تبديلية وعملية ضرب قياسي متوافقة مع الجمع (انظر الفضاء المتجه لمزيد من التفاصيل). التحويل الخطي هو دالة بين الفضاءات المتجهة متوافقة مع الجمع والضرب القياسي. في حالة الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة ، يمكن تمثيل المتجهات والتحويلات الخطية بالمصفوفات. وبناءً على ذلك، فإن نظريات المصفوفات والفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة متطابقة جوهريًا. على وجه الخصوص، توفر الفضاءات المتجهة طريقة ثالثة للتعبير عن أنظمة المعادلات الخطية ومعالجتها. ^{[ 49 ]} من هذا المنظور، تُعد المصفوفة تمثيلًا للتحويل الخطي: إذا تم اختيار أساس معين لوصف المتجهات المراد تحويلها، فإن عناصر المصفوفة تعطي نتائج تطبيق التحويل الخطي على متجهات الأساس. ^{[ 50 ]}

يمكن تفسير أنظمة المعادلات على أنها أشكال هندسية. في الأنظمة ذات المتغيرين، تمثل كل معادلة خطًا في فضاء ثنائي الأبعاد . نقطة تقاطع الخطين هي حل النظام الكامل، لأنها النقطة الوحيدة التي تحقق المعادلتين. أما في الأنظمة غير المتسقة، فيكون الخطان متوازيين، مما يعني عدم وجود حل لعدم تقاطعهما. إذا لم تكن المعادلتان مستقلتين، فإنهما تصفان الخط نفسه، أي أن كل حل لإحدى المعادلتين هو حل للأخرى. تُمكّن هذه العلاقات من البحث عن الحلول بيانيًا برسم المعادلات وتحديد نقاط تقاطعها. ^{[ 51 ]} تنطبق المبادئ نفسها على أنظمة المعادلات ذات المتغيرات المتعددة، مع اختلاف أن المعادلات لا تصف خطوطًا، بل أشكالًا ذات أبعاد أعلى. على سبيل المثال، تُقابل المعادلات ذات ثلاثة متغيرات مستويات في فضاء ثلاثي الأبعاد ، ونقاط تقاطع جميع المستويات هي التي تحقق نظام المعادلات. ^{[ 52 ]}

الجبر المجرد

الجبر المجرد، أو الجبر الحديث، ^{[ 53 ]} هو دراسة البنى الجبرية . البنية الجبرية هي إطار لفهم العمليات على الكائنات الرياضية ، مثل جمع الأعداد. بينما يعمل الجبر الابتدائي والجبر الخطي ضمن حدود بنى جبرية محددة، يتخذ الجبر المجرد نهجًا أكثر عمومية يقارن بين البنى الجبرية المختلفة وأنواعها، مثل الزمر والحلقات والحقول . [ ⁵⁴^]^يكمن الاختلاف الرئيسي بين هذه الأنواع من البنى الجبرية في عدد العمليات المستخدمة والقوانين التي تخضع لها. [ ⁵⁵^]^في تعليم الرياضيات ، يشير الجبر المجرد إلى مقرر دراسي متقدم لطلاب الرياضيات بعد إتمام مقررات الجبر الخطي. ^[⁵⁶^]

على المستوى الرسمي، البنية الجبرية هي مجموعة ^{[ h ]} من الكائنات الرياضية، تُسمى المجموعة الأساسية، بالإضافة إلى عملية واحدة أو أكثر. ^{[ i ]} يهتم الجبر المجرد بشكل أساسي بالعمليات الثنائية ، ^{[ j ]} التي تأخذ أي كائنين من المجموعة الأساسية كمدخلات وتُحولهما إلى كائن آخر من هذه المجموعة كمخرجات. ^{[ 60 ]} على سبيل المثال، البنية الجبرية $\langle \mathbb {N} ,+\rangle$ يحتوي على الأعداد الطبيعية ( ⁠ $\mathbb {N}$ ) كمجموعة أساسية والجمع ( ⁠ $+$ ^{[ 58 ]} يمكن أن تحتوي المجموعة الأساسية على كائنات رياضية أخرى غير الأرقام، ولا تقتصر العمليات على العمليات الحسابية العادية. [ ⁶¹^{] على سبيل}^المثال ، تتكونالمجموعة الأساسية لمجموعة التناظر لشكل هندسي من تحويلات هندسية ، مثلالدوران ، والتي يبقى الشكل دون تغيير في ظلها . عمليتها الثنائية هي تركيب الدوال ، والتي تأخذ تحويلين كمدخلات، ويكون التحويل الناتج عن تطبيق التحويل الأول متبوعًا بالثاني هو مخرجاتها.^{[ 62 ]}

نظرية الزمر

يُصنِّف الجبر المجرد البنى الجبرية بناءً على القوانين أو البديهيات التي تخضع لها عملياته وعدد العمليات التي يستخدمها. أحد أبسط أنواعها هو الزمرة، التي تحتوي على عملية واحدة، ويشترط أن تكون هذه العملية تجميعية وأن تحتوي على عنصر محايد وعناصر معكوسة . تكون العملية تجميعية إذا لم يكن ترتيب تطبيقها مهمًا، أي إذا $(a\circ b)\circ c$ ^{[ k ]} هو نفسه $a\circ (b\circ c)$ لجميع العناصر. تحتوي العملية على عنصر محايد أو عنصر محايد إذا وُجد عنصر واحد e لا يُغير قيمة أي عنصر آخر، أي إذا $a\circ e=e\circ a=a$ . تحتوي العملية على عناصر معكوسة إذا كان لأي عنصر $a$ يوجد عنصر متبادل $a^{-1}$ هذا يُبطل $a$ إذا تم تطبيق عنصر على معكوسه، فإن النتيجة هي العنصر المحايد e ، والذي يُعبر عنه رسميًا على النحو التالي : $a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$ كل بنية جبرية تستوفي هذه المتطلبات هي زمرة.^{[ 64 ]} على سبيل المثال ، $\langle \mathbb {Z} ,+\rangle$ هي مجموعة تتكون من مجموعة الأعداد الصحيحة بالإضافة إلى عملية الجمع. العنصر المحايد هو 0، والعنصر المعكوس لأي عدد هو $a$ يكون $-a$ ^{[ 65 ]} على النقيض من ذلك ، فإن الأعداد الطبيعية مع الجمع لا تشكل مجموعة لأنها تحتوي فقط على أعداد صحيحة موجبة، وبالتالي تفتقر إلى العناصر المعكوسة. ^{[ 66 ]}

تدرس نظرية الزمر طبيعة الزمر، مع نظريات أساسية مثل النظرية الأساسية للزمر الأبيلية المنتهية ونظرية فيت-تومسون . ^{[ 67 ]} وكانت الأخيرة خطوة مبكرة رئيسية في أحد أهم الإنجازات الرياضية في القرن العشرين: الجهد التعاوني، الذي استغرق أكثر من 10000 صفحة في المجلات ونُشر معظمه بين عامي 1960 و2004، والذي تُوِّج بتصنيف كامل للزمر البسيطة المنتهية . ^{[ 68 ]}

نظرية الحلقات ونظرية المجال

الحلقة هي بنية جبرية تتكون من عمليتين جبريتين تعملان بشكل مشابه لعمليتي جمع وضرب الأعداد، وتُسمى وتُرمز بشكل عام بنفس الطريقة. الحلقة هي زمرة تبديلية تحت عملية الجمع: فعملية الجمع في الحلقة تجميعية وتبديلية، ولها عنصر محايد وعناصر معكوسة. أما عملية الضرب فهي تجميعية وتوزيعية بالنسبة لعملية الجمع؛ أي $a(b+c)=ab+ac$ و $(b+c)a=ba+ca.$ علاوة على ذلك، فإن عملية الضرب تجميعية ولها عنصر محايد يُرمز إليه عادةً بالرقم 1. $[$ ^{69 ] [}^{1 ] لا} يشترط أن تكون عملية الضرب تبديلية؛ فإذا كانت تبديلية، نحصل على حلقة تبديلية . ^{[ 71 ]} حلقة الأعداد الصحيحة ( ⁠ $\mathbb {Z}$ ⁠ ) هي واحدة من أبسط الحلقات التبديلية.^{[ 72 ]}

الحقل هو حلقة تبديلية بحيث $1\neq 0$ [ ^م^] ولكل عنصر غير صفري معكوس ضربي .^[⁷⁴^] لا تُشكّل حلقة الأعداد الصحيحة حقلاً لأنها تفتقر إلى المعكوسات الضربية. على سبيل المثال، المعكوس الضربي^لـ $7$ هو ${\tfrac {1}{7}}$ وهو ليس عددًا صحيحًا. تشكل الأعداد النسبية والأعداد الحقيقية والأعداد المركبة حقلًا يتضمن عمليتي الجمع والضرب.^{[ 75 ]}

تُعنى نظرية الحلقات بدراسة الحلقات، وتستكشف مفاهيم مثل الحلقات الجزئية ، وحلقات القسمة ، وحلقات كثيرات الحدود ، والمثاليّات ، بالإضافة إلى نظريات مثل نظرية هيلبرت الأساسية . ^{[ 76 ]} أما نظرية الحقول فتهتم بالحقول، وتدرس امتدادات الحقول ، والإغلاقات الجبرية ، والحقول المنتهية . ^{[ 77 ]} بينما تستكشف نظرية غالوا العلاقة بين نظرية الحقول ونظرية الزمر، معتمدةً على النظرية الأساسية لنظرية غالوا . ^{[ 78 ]}

نظريات العلاقات المتبادلة بين الهياكل

إلى جانب الزمر والحلقات والحقول، توجد العديد من البنى الجبرية الأخرى التي يدرسها علم الجبر. تشمل هذه البنى: الصهارة ، وأنصاف الزمر ، والمونيدات ، والزمر الأبيلية ، والحلقات التبادلية ، والوحدات ، والشبكات ، والفضاءات المتجهة ، والجبر على حقل ، والجبر الترابطي وغير الترابطي . وتختلف هذه البنى فيما بينها من حيث أنواع الكائنات التي تصفها والشروط التي تستوفيها عملياتها. ويرتبط العديد منها ببعضها البعض، إذ يمكن تحويل البنية الأساسية إلى بنية أكثر تخصصًا بإضافة قيود. ^{[ 55 ]} على سبيل المثال، تصبح الصهارة نصف زمرة إذا كانت عمليتها ترابطية. ^{[ 79 ]}

التشاكلات هي أدوات لدراسة الخصائص البنيوية من خلال مقارنة بنيتين جبريتين. ^{[ 80 ]} التشاكل هو دالة من المجموعة الأساسية لبنية جبرية إلى المجموعة الأساسية لبنية جبرية أخرى، تحافظ على خصائص بنيوية معينة. إذا كانت البنيتان الجبريتان تستخدمان عمليات ثنائية ولهما الشكل التالي: $\langle A,\circ \rangle$ و $\langle B,\star \rangle$ ثم الدالة $h:A\to B$ يكون التطبيق متماثلاً إذا استوفى الشرط التالي : $h(x\circ y)=h(x)\star h(y)$ إن وجود التماثل يكشف أن العملية $\star$ في البنية الجبرية الثانية، يلعب نفس دور العملية $\circ$ ^{[ 81 ]} التشاكلات هي نوع خاص من التشاكل يشير إلى درجة عالية من التشابه بين بنيتين جبريتين. التشاكل هو تشاكل تقابلي ، أي أنه يُنشئ علاقة تقابل بين عناصر البنيتين الجبريتين. وهذا يعني أن كل عنصر من البنية الجبرية الأولى يُقابله عنصر واحد فريد في البنية الثانية ، دون وجود أي عناصر غير مُقابلة في البنية الثانية. ^{[ 82 ]}

أداة مقارنة أخرى هي العلاقة بين البنية الجبرية وجبرها الجزئي . ^{[ 83 ]} تستخدم البنية الجبرية وجبرها الجزئي العمليات نفسها، ^{[ ن ]} التي تتبع البديهيات نفسها. الفرق الوحيد هو أن المجموعة الأساسية للجبر الجزئي هي مجموعة جزئية من المجموعة الأساسية للبنية الجبرية. ^{[ o ]} يجب أن تكون جميع العمليات في الجبر الجزئي مغلقة في مجموعتها الأساسية، أي أنها تُنتج فقط عناصر تنتمي إلى هذه المجموعة. ^{[ 83 ]} على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الزوجية مع الجمع هي جبر جزئي من مجموعة الأعداد الصحيحة الكاملة مع الجمع. هذا لأن مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي أيضًا. لكن مجموعة الأعداد الفردية مع الجمع ليست جبرًا جزئيًا لأنها غير مغلقة: فجمع عددين فرديين ينتج عددًا زوجيًا، وهو ليس جزءًا من المجموعة الجزئية المختارة. ^{[ 84 ]}

الجبر الشامل هو دراسة البنى الجبرية بشكل عام. وكجزء من منظوره العام، لا يهتم بالعناصر المحددة التي تُكوّن المجموعات الأساسية، بل يُعنى بالعمليات التي تتضمن أكثر من مُدخلين، مثل العمليات الثلاثية . وهو يُوفر إطارًا لدراسة السمات البنيوية المشتركة بين مختلف البنى الجبرية. ^{[ 86 ]}^{[ ص ]} إحدى هذه السمات البنيوية تتعلق بالمتطابقات الصحيحة في مختلف البنى الجبرية. في هذا السياق، المتطابقة هي معادلة شاملة ، أي معادلة صحيحة لجميع عناصر المجموعة الأساسية. على سبيل المثال، خاصية التبديل هي معادلة شاملة تنص على أن $a\circ b$ هو نفسه $b\circ a$ لجميع العناصر. ^{[ 88 ]} التنوع هو فئة من جميع البنى الجبرية التي تحقق متطابقات معينة. على سبيل المثال، إذا حققت بنيتان جبريتان خاصية التبديل ، فإنهما كلتاهما جزء من التنوع المقابل. ^{[ 89 ]}^{[ q ]}^{[ r ]}

تدرس نظرية الفئات كيفية ارتباط الكائنات الرياضية ببعضها البعض باستخدام مفهوم الفئات . الفئة هي مجموعة من الكائنات بالإضافة إلى مجموعة من التشاكلات أو "الأسهم" بين تلك الكائنات. يجب أن تستوفي هاتان المجموعتان شروطًا معينة. على سبيل المثال، يمكن ضم التشاكلات أو تركيبها : إذا وُجد تشاكل من كائن إلى آخر. $a$ للاعتراض $b$ ، وتشكل آخر من الكائن $b$ للاعتراض $c$ إذن ، يجب أن يكون هناك واحد من الكائن أيضًا $a$ للاعتراض $c$ يشترط أن يكون تركيب التشكلات تجميعيًا، ويجب أن يكون لكل عنصر تشكلٌ مطابق.^{[ 93 ]} تُستخدم التصنيفات على نطاق واسع في الرياضيات المعاصرة لأنها توفر إطارًا موحدًا لوصف وتحليل العديد من المفاهيم الرياضية الأساسية. على سبيل المثال، يمكن وصف المجموعات باستخدام تصنيف المجموعات ، ويمكن اعتبار أي زمرة تشكلات لتصنيف يحتوي على عنصر واحد فقط.^{[ 94 ]}

تاريخ

يعود أصل علم الجبر إلى محاولات حل المسائل الرياضية التي تتضمن حسابات حسابية وكميات مجهولة. وقد شهدت هذه التطورات تطورات في العصور القديمة في بابل ومصر واليونان والصين والهند . ومن أقدم الوثائق التي تناولت المسائل الجبرية بردية ريند الرياضية من مصر القديمة، والتي كُتبت حوالي عام 1650 قبل الميلاد . ^[^] وتناقش هذه البردية حلول المعادلات الخطية ، كما هو مُبين في مسائل مثل : "كمية؛ أُضيف إليها ربعها. فأصبحت خمسة عشر. ما هي الكمية؟". وتشرح ألواح الطين البابلية ^، التي تعود إلى الفترة نفسها تقريبًا، طرقًا لحل المعادلات الخطية ومعادلات كثيرات الحدود من الدرجة الثانية ، مثل طريقة إكمال المربع . ^[⁹⁶^]

وصلت العديد من هذه الأفكار إلى الإغريق القدماء. فابتداءً من القرن السادس قبل الميلاد، انصبّ اهتمامهم الرئيسي على الهندسة لا الجبر، لكنهم استخدموا الأساليب الجبرية لحلّ المسائل الهندسية. فعلى سبيل المثال، درسوا الأشكال الهندسية مع اعتبار أطوالها ومساحاتها كميات مجهولة يجب تحديدها، كما يتضح في صياغة فيثاغورس لطريقة الفرق بين مربعين، ولاحقًا في كتاب الأصول لإقليدس . ^{[ 97 ]} وفي القرن الثالث الميلادي، قدّم ديوفانتوس شرحًا مفصلاً لكيفية حلّ المعادلات الجبرية في سلسلة كتب بعنوان "الحساب" . وكان أول من جرّب استخدام الرموز للتعبير عن كثيرات الحدود. ^{[ 98 ]} وقد أثّر عمل ديوفانتوس في تطوّر الجبر عند العرب، حيث انعكست العديد من أساليبه في المفاهيم والتقنيات المستخدمة في الجبر العربي في العصور الوسطى. ^{[ 99 ]} في الصين القديمة، استكشف كتاب " الفصول التسعة في الفن الرياضي" ، الذي أُلِّف على مدى الفترة الممتدة من القرن العاشر قبل الميلاد إلى القرن الثاني الميلادي، ^{[ 100 ]} تقنيات متنوعة لحل المعادلات الجبرية، بما في ذلك استخدام بنى شبيهة بالمصفوفات. ^{[ 101 ]}

يُثار جدلٌ حول ما إذا كانت هذه التطورات المبكرة جزءًا من علم الجبر أم مجرد مقدمات. فقد قدمت حلولًا لمسائل جبرية، لكنها لم تتناولها بطريقة مجردة وعامة، بل ركزت على حالات وتطبيقات محددة. ^{[ 102 ]} تغير هذا الوضع مع عالم الرياضيات الفارسي الخوارزمي ، ^{[ t ]} الذي نشر كتابه "الكتاب المختصر في الحساب بالإكمال والموازنة" عام 825 ميلادي. قدم الخوارزمي أول نظرية تحليلية لحل المعادلات بتصنيفها إلى ستة أشكال قياسية ^{[ u ]} ، وقدم إجراءات منهجية خطوة بخطوة لحلها. ومن خلال استخلاص هذه الأساليب من أشكال هندسية محددة، ومعاملة الكميات المجهولة ككائنات جبرية عامة، أسس إطارًا عمليًا رسميًا. هذا الانتقال من حل مسائل معزولة إلى تطوير منهجية شاملة حوّل الجبر إلى علم قائم بذاته. ^{[ 105 ]} ومن بين المساهمات المؤثرة الأخرى في علم الجبر، مساهمات عالم الرياضيات العربي ثابت بن قرة في القرن التاسع، وعالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام في القرنين الحادي عشر والثاني عشر. ^{[ 106 ]}

في الهند، بحث براهمغوبتا في كيفية حل المعادلات التربيعية وأنظمة المعادلات ذات المتغيرات المتعددة في القرن السابع الميلادي. ومن بين ابتكاراته استخدام الصفر والأعداد السالبة في المعادلات الجبرية. ^{[ 107 ]} قام عالما الرياضيات الهنديان ماهافيرا في القرن التاسع وبهاسكارا الثاني في القرن الثاني عشر بتطوير أساليب ومفاهيم براهمغوبتا. ^{[ 108 ]} في عام 1247، كتب عالم الرياضيات الصيني تشين جيوشاو كتاب "الرسالة الرياضية في تسعة أقسام" ، والذي يتضمن خوارزمية للتقييم العددي لكثيرات الحدود ، بما في ذلك كثيرات الحدود ذات الدرجات الأعلى. ^{[ 109 ]}

ابتكر فرانسوا فييت (يسار) ورينيه ديكارت تدوينًا رمزيًا للتعبير عن المعادلات بطريقة مجردة وموجزة.

نقل عالم الرياضيات الإيطالي فيبوناتشي أفكار وتقنيات الخوارزمي إلى أوروبا من خلال كتبٍ من بينها كتابه "ليبر أباتشي" . ^{[ 110 ]} وفي عام 1545، نشر العالم الإيطالي الموسوعي جيرولامو كاردانو كتابه "آرس ماجنا" ، الذي تناول العديد من المواضيع في الجبر، وناقش الأعداد التخيلية ، وكان أول من قدم طرقًا عامة لحل المعادلات التكعيبية والرباعية . ^[¹¹¹^] وفي القرنين السادس عشر والسابع عشر، أدخل عالما الرياضيات الفرنسيان فرانسوا فييت ورينيه ديكارت الحروف والرموز للدلالة على المتغيرات والعمليات، مما أتاح التعبير عن المعادلات بطريقة موجزة ومجردة. وكان أسلافهم يعتمدون على الأوصاف اللفظية للمسائل والحلول. ^[¹¹²^] ويرى بعض المؤرخين أن هذا التطور يمثل نقطة تحول رئيسية في تاريخ الجبر، ويعتبرون ما سبقه بمثابة ما قبل تاريخ الجبر، لأنه كان يفتقر إلى الطبيعة المجردة القائمة على التلاعب الرمزي. ^[¹¹³^]

في القرنين السابع عشر والثامن عشر، بُذلت محاولات عديدة لإيجاد حلول عامة لكثيرات الحدود من الدرجة الخامسة فما فوق، لكنها باءت جميعها بالفشل. ^{[ 37 ]} في نهاية القرن الثامن عشر، أثبت عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش غاوس النظرية الأساسية في الجبر ، التي تُبين وجود أصفار لكثيرات الحدود من أي درجة دون تقديم حل عام. ^{[ 19 ]} في بداية القرن التاسع عشر، تمكن عالم الرياضيات الإيطالي باولو روفيني وعالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك أبيل من إثبات عدم وجود حل عام لكثيرات الحدود من الدرجة الخامسة فما فوق. ^{[ 37 ]} استجابةً لهذه النتائج وبعدها بفترة وجيزة، طور عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست غالوا ما عُرف لاحقًا بنظرية غالوا ، التي قدمت تحليلًا أكثر تعمقًا لحلول كثيرات الحدود، ووضعت في الوقت نفسه أسس نظرية الزمر . ^{[ 20 ]} سرعان ما أدرك علماء الرياضيات أهمية نظرية الزمر في مجالات أخرى، وطبقوها على تخصصات مثل الهندسة ونظرية الأعداد. ^{[ 114 ]}

ابتداءً من منتصف القرن التاسع عشر، تحوّل الاهتمام بعلم الجبر من دراسة كثيرات الحدود المرتبطة بالجبر الابتدائي إلى بحثٍ أعمّ في البنى الجبرية، مما شكّل بداية الجبر المجرد . استكشف هذا النهج الأسس البديهية للعمليات الجبرية المختلفة. ^{[ 115 ]} ورافق هذا التطور ابتكار أنظمة جبرية جديدة قائمة على عمليات وعناصر مختلفة، مثل الجبر البولياني ، وجبر المتجهات ، وجبر المصفوفات . ^{[ 116 ]} وقد أسهم علماء الرياضيات الألمان ديفيد هيلبرت ، وإرنست شتاينيتز ، وإيمي نوثر، بالإضافة إلى عالم الرياضيات النمساوي إميل آرتين ، في التطورات المبكرة المؤثرة في الجبر المجرد. بحثوا في أشكال مختلفة من البنى الجبرية وصنفوها بناءً على بديهياتها الأساسية إلى أنواع، مثل الزمر، والحلقات، والحقول. ^{[ 117 ]}

طُورت فكرة المنهج الأكثر عمومية المرتبط بالجبر الشامل على يد عالم الرياضيات الإنجليزي ألفريد نورث وايتهيد في كتابه "رسالة في الجبر الشامل" الصادر عام ١٨٩٨. وابتداءً من ثلاثينيات القرن العشرين، وسّع عالم الرياضيات الأمريكي غاريت بيركوف هذه الأفكار وطوّر العديد من المفاهيم الأساسية لهذا المجال. ^{[ ١١٨ ]} أدى ابتكار الجبر الشامل إلى ظهور مجالات جديدة متنوعة تركز على جبرنة الرياضيات ، أي تطبيق الأساليب الجبرية على فروع أخرى من الرياضيات. ظهر الجبر الطوبولوجي في أوائل القرن العشرين، حيث درس البنى الجبرية مثل الزمر الطوبولوجية وزمر لي . ^{[ ١١٩ ]} وفي أربعينيات وخمسينيات القرن العشرين، ظهر الجبر الهومولوجي ، الذي وظّف التقنيات الجبرية لدراسة الهومولوجيا . ^{[ ١٢٠ ]} وفي نفس الفترة تقريبًا، طُوّرت نظرية الفئات ، والتي لعبت منذ ذلك الحين دورًا محوريًا في أسس الرياضيات . ^{[ 121 ]} ومن التطورات الأخرى صياغة نظرية النموذج ودراسة الجبر الحر . ^{[ 122 ]}

التطبيقات

يمتد تأثير الجبر على نطاق واسع، سواء داخل الرياضيات نفسها أو في تطبيقاته في مجالات أخرى. ^{[ 123 ]} وتُعرف عملية تطبيق الجبر على الرياضيات بأنها تطبيق الأساليب والمبادئ الجبرية على فروع أخرى من الرياضيات ، مثل الهندسة والطوبولوجيا ونظرية الأعداد والتفاضل والتكامل . ويتم ذلك باستخدام رموز في صورة متغيرات للتعبير عن المفاهيم الرياضية على مستوى أكثر عمومية، مما يسمح للرياضيين بتطوير نماذج رسمية تصف كيفية تفاعل الأشياء وعلاقاتها ببعضها البعض. ^[¹²⁴^]

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} — المعادلة الجبرية $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ يصف كرة عند نقطة الأصل بنصف قطر يساوي 1.

أحد التطبيقات، الموجودة في الهندسة، هو استخدام العبارات الجبرية لوصف الأشكال الهندسية. على سبيل المثال، المعادلة $y=3x-7$ يصف الخط في الفضاء ثنائي الأبعاد بينما المعادلة $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ يتوافق مع كرة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ومن الأمور ذات الأهمية الخاصة في الهندسة الجبرية ، التنوعات الجبرية ، ^{[ v ]} وهي حلول لأنظمة المعادلات متعددة الحدود التي يمكن استخدامها لوصف أشكال هندسية أكثر تعقيدًا. ^{[ 126 ]} كما يمكن للاستدلال الجبري حل المسائل الهندسية. على سبيل المثال، يمكن تحديد ما إذا كان الخط الموصوف بـ $y=x+1$ يتقاطع مع الدائرة الموصوفة بواسطة $x^{2}+y^{2}=25$ بحلّ نظام المعادلات المكوّن من هاتين المعادلتين. ^{[ 127 ]} يدرس علم الطوبولوجيا خصائص الأشكال الهندسية أو الفضاءات الطوبولوجية التي تبقى محفوظةً تحت عمليات التشوه المستمر . يعتمد علم الطوبولوجيا الجبرية على نظريات جبرية، مثل نظرية الزمر، لتصنيف الفضاءات الطوبولوجية. على سبيل المثال، تصنف زمر التماثل الفضاءات الطوبولوجية بناءً على وجود حلقات أو ثقوب فيها. ^{[ 128 ]}

يهتم علم الأعداد بخصائص الأعداد الصحيحة والعلاقات بينها. ويُطبّق علم الأعداد الجبري الأساليب والمبادئ الجبرية على هذا المجال البحثي. ومن الأمثلة على ذلك استخدام التعبيرات الجبرية لوصف القوانين العامة، مثل نظرية فيرما الأخيرة ، واستخدام البنى الجبرية لتحليل سلوك الأعداد، مثل حلقة الأعداد الصحيحة . ^{[ 129 ]} أما علم التوافيق، وهو مجال ذو صلة ، فيستخدم التقنيات الجبرية لحل المسائل المتعلقة بعدّ وترتيب ودمج العناصر المنفصلة. ومن الأمثلة على ذلك تطبيق نظرية الزمر لتحليل الرسوم البيانية والتناظرات. ^{[ 130 ]} كما أن رؤى الجبر ذات صلة بعلم التفاضل والتكامل، الذي يستخدم التعبيرات الرياضية لدراسة معدلات التغير والتراكم . ويعتمد هذا العلم على الجبر، على سبيل المثال، لفهم كيفية تحويل هذه التعبيرات ودور المتغيرات فيها. ^{[ 131 ]} يستخدم المنطق الجبري أساليب الجبر لوصف وتحليل البنى والأنماط التي يقوم عليها الاستدلال المنطقي ، ^{[ 132 ]} مستكشفًا كلًا من البنى الرياضية ذات الصلة وتطبيقها على مسائل منطقية ملموسة. ^{[ 133 ]} ويشمل دراسة الجبر البولياني لوصف منطق القضايا، ^{[ 134 ]} بالإضافة إلى صياغة وتحليل البنى الجبرية المقابلة لأنظمة منطقية أكثر تعقيدًا . ^{[ 135 ]}

تُستخدم الأساليب الجبرية على نطاق واسع في مجالات أخرى ، مثل العلوم الطبيعية. فعلى سبيل المثال، تُستخدم للتعبير عن القوانين العلمية وحل المعادلات في الفيزياء والكيمياء والأحياء . ^[¹³⁷^] وتوجد تطبيقات مماثلة في مجالات مثل الاقتصاد والجغرافيا والهندسة (بما في ذلك الإلكترونيات والروبوتات ) وعلوم الحاسوب للتعبير عن العلاقات وحل المشكلات ونمذجة الأنظمة. ^[¹³⁸^] ويلعب الجبر الخطي دورًا محوريًا في الذكاء الاصطناعي والتعلم الآلي ، على سبيل المثال، من خلال تمكين المعالجة والتحليل الفعالين لمجموعات البيانات الضخمة . [ ¹³⁹^]^وتعتمد مجالات متنوعة على البنى الجبرية التي يُدرسها الجبر المجرد. فعلى سبيل المثال، تستخدم العلوم الفيزيائية، مثل علم البلورات وميكانيكا الكم، نظرية الزمر على نطاق واسع، ^[¹⁴⁰^] والتي تُستخدم أيضًا لدراسة الألغاز مثل سودوكو ومكعبات روبيك ، ^[¹⁴¹^] وفن الأوريغامي . ^[¹⁴²^] تعتمد كل من نظرية الترميز وعلم التشفير على الجبر المجرد لحل المشكلات المرتبطة بنقل البيانات ، مثل تجنب آثار التشويش وضمان أمن البيانات . ^[¹⁴³^]

تعليم

يركز تعليم الجبر في الغالب على الجبر الابتدائي، وهذا أحد أسباب تسميته أيضًا بالجبر المدرسي. ولا يُدرَّس عادةً إلا في المرحلة الثانوية، إذ يتطلب إتقان أساسيات الحساب، ويطرح في الوقت نفسه تحديات معرفية جديدة مرتبطة بالتفكير المجرد والتعميم. ^{[ 145 ]} ويهدف إلى تعريف الطلاب بالجانب الرسمي للرياضيات من خلال مساعدتهم على فهم الرموز الرياضية، مثل كيفية استخدام المتغيرات لتمثيل الكميات المجهولة. وتكمن صعوبة إضافية للطلاب في أن التعبيرات الجبرية، على عكس العمليات الحسابية، غالبًا ما يصعب حلها مباشرةً. بدلًا من ذلك، يحتاج الطلاب إلى تعلم كيفية تحويلها وفقًا لقوانين معينة، غالبًا لتحديد كمية مجهولة. ^{[ 146 ]}

تعتمد بعض الأدوات المستخدمة لتعريف الطلاب بالجانب المجرد من الجبر على نماذج ملموسة وتصورات للمعادلات، بما في ذلك التشبيهات الهندسية، والوسائل التعليمية كالعصي أو الأكواب، و"آلات الدوال" التي تمثل المعادلات كمخططات انسيابية . تستخدم إحدى الطرق الموازين كأسلوب تصويري لمساعدة الطلاب على فهم المسائل الأساسية في الجبر. كتلة بعض الأجسام على الميزان غير معروفة وتمثل متغيرات. حل المعادلة يعني إضافة وإزالة أجسام من كلا الجانبين بحيث يبقى الجانبان متوازنين حتى يتبقى الجسم الوحيد على أحد الجانبين وهو الجسم ذو الكتلة المجهولة. ^{[ 147 ]} تُعد المسائل الكلامية أداة أخرى لإظهار كيفية تطبيق الجبر على مواقف الحياة الواقعية. على سبيل المثال، قد يُعرض على الطلاب موقف يمتلك فيه شقيق نعومي ضعف عدد التفاحات التي تمتلكها نعومي. وبما أن لديهما معًا اثنتي عشرة تفاحة، يُطلب من الطلاب إيجاد معادلة جبرية تصف هذا الموقف . $2x+x=12$ ) ولتحديد عدد التفاحات التي تملكها نعومي ( ⁠ $x=4$ ) .^{[ 148 ]}

في المرحلة الجامعية، يواجه طلاب الرياضيات مواضيع متقدمة في الجبر، تشمل الجبر الخطي والجبر المجرد. وتركز المقررات التمهيدية في الجبر الخطي على المصفوفات، والفضاءات المتجهة، والتحويلات الخطية. وبعد إتمامها، يتعرف الطلاب عادةً على الجبر المجرد، حيث يتعلمون البنى الجبرية كالمجموعات والحلقات والحقول، بالإضافة إلى العلاقات بينها. كما يغطي المنهج الدراسي عادةً حالات محددة من البنى الجبرية، مثل أنظمة الأعداد النسبية، والأعداد الحقيقية، ومتعددات الحدود. ^{[ 149 ]}

انظر أيضاً

الجبر التبادلي – فرع من الجبر يدرس الحلقات التبادلية
الجبر الحاسوبي – مجال علمي يقع على مفترق طرق علوم الحاسوب والرياضيات
الجبر الخارجي – الجبر المرتبط بأي فضاء متجهي
الجبر F – نوع الدالة في نظرية الفئات
الجبر الهندسي – بنية جبرية مصممة للهندسة
الجبر غير التجميعي – الجبر على حقل لا يكون فيه الضرب الثنائي بالضرورة تجميعيًا
مخطط الجبر
نظرية التمثيل – فرع من الرياضيات يدرس البنى الجبرية المجردة
الموتر – كائن جبري ذو تطبيقات هندسية

مراجع

ملحوظات

↑ عند فهمها بأوسع معانيها، فإن العملية الجبرية هي دالة من قوة ديكارتية لمجموعة ما إلى تلك المجموعة ، ويتم التعبير عنها رسميًا على النحو التالي : $\omega :A^{n}\to A$ تُعدّ عملية جمع الأعداد الحقيقية مثالاً على العمليات الجبرية: فهي تأخذ عددين كمدخلات وتُنتج عددًا واحدًا كمخرجات. ولها الشكل التالي: $+:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ [ ³^]
↑ يُغطى علم الجبر بالقسم 512 في تصنيف ديوي العشري ^{[ 5 ]} والفئة الفرعية QA 150 - 272.5 في تصنيف مكتبة الكونغرس .^{[ 6 ]} ويشمل عدة مجالات في تصنيف موضوعات الرياضيات .^{[ 7 ]}
↑ يُختلف على المعنى الدقيق لمصطلح "الجبر" في كتابات الخوارزمي. ففي بعض المواضع، يُشير المصطلح إلى أن الكمية التي نقصت بالطرح تُعاد إلى قيمتها الأصلية، على غرار كيفية قيام مُجبّر العظام بتقويم العظام المكسورة وإعادتها إلى وضعها الصحيح.^{[ 17 ]}
↑ وقد نتجت هذه التغييرات جزئياً عن اكتشافات حلت العديد من المشكلات القديمة في الجبر. فعلى سبيل المثال، أثبت برهان النظرية الأساسية للجبر وجود حلول معقدة لكثيرات الحدود^{[ 19 ]} ، كما أن تقديم نظرية غالوا حدد كثيرات الحدود التي لها حلول عامة .^{[ 20 ]}
↑ تمثل الثوابت أعدادًا ثابتة لا تتغير أثناء دراسة مشكلة معينة.^{[ 24 ]}
↑ على سبيل المثال، المعادلات $x_{1}-3x_{2}=0$ و $x_{1}-3x_{2}=7$ تتعارض هذه القيم مع بعضها البعض، حيث لا توجد قيم لـ $x_{1}$ و $x_{2}$ توجد حلول للمعادلتين في نفس الوقت. ^{[ 47 ]}
يعتمد وجود حل وحيد لنظام معادلات متسق على عدد المتغيرات والمعادلات المستقلة . تكون المعادلات مستقلة إذا لم تُقدّم المعلومات نفسها، ولا يُمكن استنتاجها من بعضها البعض. يوجد حل وحيد إذا كان عدد المتغيرات مساويًا لعدد المعادلات المستقلة. في المقابل ، تحتوي الأنظمة غير المحددة على عدد متغيرات أكبر من عدد المعادلات المستقلة، ولها عدد لا نهائي من الحلول إذا كانت متسقة.^[⁴⁸^]
↑ المجموعة هي تجمع غير مرتب لعناصر متميزة، مثل الأعداد أو المتجهات أو المجموعات الأخرى. تصف نظرية المجموعات قوانين وخصائص المجموعات.^{[ 57 ]}
↑ وفقًا لبعض التعريفات، تتضمن البنى الجبرية عنصرًا مميزًا كمكون إضافي، مثل عنصر الوحدة في حالة الضرب.^{[ 58 ]}
↑ تتضمن بعض البنى الجبرية التي يدرسها الجبر المجرد عمليات أحادية بالإضافة إلى العمليات الثنائية. على سبيل المثال،تحتوي فضاءات المتجهات المعيارية على معيار ، وهو عملية أحادية تُستخدم غالبًا لربط متجه بطوله.^{[ 59 ]}
↑ الرموز $\circ$ و $\star$ تُستخدم في هذه المقالة لتمثيل أي عملية قد تشبه أو لا تشبه العمليات الحسابية. ^{[ 63 ]}
↑ لا يشترط بعض المؤلفين وجود عناصر محايدة ضربية. وتُسمى الحلقة التي لا تحتوي على عنصر محايد ضربي أحيانًا حلقة عشوائية .^{[ 70 ]}
↑ هذا يعني أن الضرب والجمع يستخدمان عناصر محايدة مختلفة.^{[ 73 ]}
↑ وفقًا لبعض التعريفات، من الممكن أيضًا أن تحتوي الجبر الفرعي على عدد أقل من العمليات.^{[ 84 ]}
↑ هذا يعني أن جميع عناصر المجموعة الأولى هي أيضاً عناصر في المجموعة الثانية، ولكن قد تحتوي المجموعة الثانية على عناصر غير موجودة في المجموعة الأولى.^{[ 85 ]}
↑ يُفهم الجبر الشامل، من منظور مختلف قليلاً، على أنه دراسة نوع واحد من البنى الجبرية المعروفة بالجبر الشامل. يُعرَّف الجبر الشامل تعريفاً عاماً ليشمل معظم البنى الجبرية الأخرى. على سبيل المثال، تُعدّ الزمر والحلقات أنواعاً خاصة من الجبر الشامل.^{[ 87 ]}
↑ لا تُشكّل كل أنواع البنية الجبرية تنوعًا. على سبيل المثال، تُشكّل كل من المجموعات والحلقات تنوعات، لكن الحقول لا تُشكّلها.^{[ 90 ]}
إلى جانب الهويات، يهتم الجبر الشامل أيضًا بالخصائص البنيوية المرتبطة بشبه الهويات . شبه الهوية هي هوية لا يلزم وجودها إلا في ظل شروط معينة (تأخذ شكل شرط هورن ^{[ 91 ]} ). وهي تعميم للهوية بمعنى أن كل هوية هي شبه هوية، ولكن ليس كل شبه هوية هوية. أما شبه التنوع فهو فئة من جميع البنى الجبرية التي تحقق بعض شبه الهويات.^{[ 92 ]}
↑ التاريخ الدقيق محل خلاف، ويقترح بعض المؤرخين تاريخًا لاحقًا حوالي عام 1550 قبل الميلاد.^{[ 95 ]}
↑ يعتبره بعض المؤرخين "أبو الجبر" بينما ينسب آخرون هذا اللقب إلى ديوفانتوس.^{[ 103 ]}
↑ هذه النماذج هي $bx=c$ ، $ax^{2}=bx$ ، $ax^{2}=c$ ، $ax^{2}+bx=c$ ، $ax^{2}+c=bx$ ، و $ax^{2}=bx+c$ [ ¹⁰⁴^]
↑ تختلف الأصناف الجبرية التي تُدرس في الهندسة عن الأصناف الأكثر عمومية التي تُدرس في الجبر الشامل.^{[ 125 ]}

الاقتباسات

↑
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، القسم الرئيسي
- جيلبرت ونيكلسون 2004 ، ص 4
↑
- فيشي وهيبوتيرن 2013 ، ص. 326
- Merzlyakov & Shirshov 2020 , § موضوع الجبر وفروعه الرئيسية وعلاقته بفروع الرياضيات الأخرى.
- جيلبرت ونيكلسون 2004 ، ص 4
↑ بارانوفيتش 2023 ، القسم الرئيسي
↑
- برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 1. الجبر الابتدائي، § 2. الجبر المجرد، § 3. الجبر الشامل
- Merzlyakov & Shirshov 2020 , § موضوع الجبر وفروعه الرئيسية وعلاقته بفروع الرياضيات الأخرى.
↑ هايام 2019 ، ص 296
↑ مكتبة الكونغرس ، ص 3
↑ مسابقة zbMATH المفتوحة 2024
↑
- مادوك 2008 ، ص 129
- بورجين 2022 ، ص 45
1 2
↑
- مادوك 2008 ، الصفحات 129-130
- برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 1. الجبر الابتدائي
- واغنر وكيران 2018 ، ص 225
↑
- مادوك 2008 ، الصفحات 131-132
- برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد
- واغنر وكيران 2018 ، ص 225
↑
- برات 2022 ، § 3. الجبر الشامل
- غريليت 2007 ، ص 559
- دينيك وويسميث 2018 ، ص. 5
- كوهن 2012 ، ص. 13
↑
- كريسويل 2010 ، ص 11
- فريق عمل مطبعة جامعة أكسفورد
- مينيني وأويستايين 2017 ، ص. 722
↑
- وايسشتاين 2003 ، ص 46
- والز 2016 ، الجبر
↑
- وايسشتاين 2003 ، ص 46
- بريشار 2014 ، ص. xxxiii
- جولان 1995 ، الصفحات 219-227
↑ فريق عمل EoM 2017
↑
- أوكس والخطيب 2007 ، الصفحات 45-46، 58
- غاندز 1926 ، ص 437
↑
- كريسويل 2010 ، ص 11
- فريق عمل مطبعة جامعة أكسفورد
- مينيني وأويستايين 2017 ، ص. 722
- هواد 1993 ، ص 10
1 2
- تانتون 2005 ، ص 10
- كفاس 2006 ، ص 308
- كوري 2024 ، § النظرية الأساسية للجبر
1 2
- كفاس 2006 ، الصفحات 314-345
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
- كوري 2024 ، § نظرية غالوا، § تطبيقات نظرية الزمر
↑
- تانتون 2005 ، ص 10
- كوري 2024 ، § الجبر الهيكلي
- هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74
↑
- أركافي، دريجفرز وستيسي 2016 ، ص. 2
- بنسون 2003 ، الصفحات 111-112
1 2
- مادوك 2008 ، ص 129
- بيرغرين 2015 ، القسم الرئيسي
- برات 2022 ، § 1. الجبر الابتدائي
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § 1. مسح تاريخي
↑ سوبوليف 2015
↑
- مادوك 2008 ، الصفحات 129-130
- يونغ 2010 ، ص 999
- ماجيفسكي 2004 ، ص 347
- برات 2022 ، § 1. الجبر الابتدائي
- سوريل 2000 ، ص 19
↑
- مادوك 2008 ، الصفحات 129-130
- تسوكوس ووتين 2015 ، ص 451
- ميشرا 2016 ، ص 1.2
↑
- موسر، بيترسون وبرغر 2013 ، ص 16
- غودمان 2001 ، ص 5
- ويليامز 2022
↑
- مادوك 2008 ، ص 130
- ماكيج 1986 ، الصفحات 51-54
- برات 2022 ، § 1. الجبر الابتدائي
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § 1. مسح تاريخي
↑
- تان وستيب وهاردي 2012 ، ص. 306
- لامانيا 2019 ، ص 150
↑
- بيرغرين 2015 ، § حل أنظمة المعادلات الجبرية
- مكيكويج 2014 ، ص 386
- مكيكويج 1986 ، ص 148
↑
- مادوك 2008 ، الصفحات 130-131
- رود وآخرون، 2012 ، ص 89
- والز 2016 ، الجبر
↑
- براكن وميلر 2014 ، الصفحات 386-387
- كوفمان وشويتر 2011 ، ص. 220
- ماركوشيفيتش 2015
↑
- ساهي وبيست 2002 ، ص 21
- مادوك 2008 ، ص 131
- باريرا مورا 2023 ، ص. التاسع ، 1-2
↑ جيديس، تشابور ولاباهن 2007 ، ص 46
↑
- لوكاس 2022 ، الصفحات 47-49
- بيرغرين 2015 ، § التعبيرات الجبرية، § حل المعادلات الجبرية
↑
- بيرغرين 2015 ، § حل المعادلات الجبرية
- كوري 2024 ، § الجبر الكلاسيكي
1 2 3
- تانتون 2005 ، ص 10
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
- كوري 2024 ، § مأزق مع الأساليب الجذرية
^ إيجاراشي وآخرون. 2014 ، ص. 103
↑
- بيرغرين 2015 ، § حل المعادلات الجبرية
- تانتون 2005 ، ص 10
- كفاس 2006 ، ص 308
- كوري 2024 ، § النظرية الأساسية للجبر
↑
- مادوك 2008 ، ص 131
- باريرا مورا 2023 ، ص. التاسع، 1-2 ،
↑
- انطون وروريس 2013 ، ص 2-3
- مادوك 2008 ، ص 131
- فويتسيكوفسكي 2011
↑
- سايكيا 2008 ، ص. 1
- لال 2017 ، ص 31
- ميراخور وكريشين 2014 ، ص. 107
↑
- براون 2015 ، الصفحات 30-31
- واردن 2003 ، الصفحات 70-72
↑
- يونغ 2010 ، الصفحات 697-698
- مادوك 2008 ، ص 131
- سوليفان 2010 ، الصفحات 53-54
↑
- انطون وروريس 2013 ، ص 7-8
- سوليفان 2010 ، الصفحات 55-56
- أتاناسيو وميكوسينسكي 2019 ، ص. 75
↑
- مادوك 2008 ، ص 131
- انطون وروريس 2013 ، ص 7-8، 11، 491
1 2
- انطون وروريس 2013 ، ص 3-7
- مورتنسن 2013 ، الصفحات 73-74
- يونغ 2023 ، الصفحات 714-715
1 2
- مادوك 2008 ، ص 131
- هاريسون ووالدرون 2011 ، ص 464
- أنطون 2013 ، ص 255
↑
- فالينزا 2012 ، ص. 7
- تشاهال 2018 ، § 1.1 ما هو الجبر الخطي؟
- سولومون 2014 ، الصفحات 57-58، 61-62
- ريكاردو 2009 ، ص 389
↑
- سولومون 2014 ، ص 57
- ريكاردو 2009 ، الصفحات 395-396
↑
- انطون وروريس 2013 ، ص 3-5
- يونغ 2010 ، الصفحات 696-697
- سنيد، فيوستر وماكجيليفراي 2022 ، ص 211
↑
- انطون وروريس 2013 ، ص 3-5
- يونغ 2010 ، ص 713
- سنيد، فيوستر وماكجيليفراي 2022 ، ص 211
↑
- جيلبرت ونيكلسون 2004 ، ص. 1
- دومينيك 2008 ، ص 19
↑
- مادوك 2008 ، الصفحات 131-132
- برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد
- جيلبرت ونيكلسون 2004 ، الصفحات 1-3
- دومينيك 2008 ، ص 19
1 2
- برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد
- Merzlyakov & Shirshov 2020 ، موضوع الجبر، وفروعه الرئيسية وعلاقته بفروع الرياضيات الأخرى.
- بورباكي 1998 ، الصفحات 428-430، 446
↑ هاوسبرغر 2020 ، تدريس وتعلم الجبر المجرد
↑
- تانتون 2005 ، ص 460
- مورثي 2012 ، ص 1.3
1 2 أوفشينيكوف 2015 ، ص 27
↑ جريليه 2007 ، ص 247
↑
- وايتلو 1995 ، ص 61
- نيكلسون 2012 ، ص 70
- فيشي وهيبوتيرن 2013 ، ص. 326
- برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد
↑
- مادوك 2008 ، الصفحات 131-132
- برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد
↑
- أولفر 1999 ، الصفحات 55-56
- عباس وسلمان 1994 ، ص 58-59
- هابرلي 2009 ، ص 640
↑ جيلبرت ونيكلسون 2004 ، ص 4
↑
- كارغابولوف وميرزلياكوف 2016 ، § التعريف
- ختار وأغراوال 2023 ، الصفحات 4-6
- مادوك 2008 ، الصفحات 131-132
- برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد
- نيري 2019 ، ص 258
↑
- ختار وأغراوال 2023 ، الصفحات 6-7
- مادوك 2008 ، الصفحات 131-132
- أديكاري وأديكاري 2013 ، ص. 72
↑
- ماكويني 2002 ، ص 6
- كريمر وبيبتش 2017 ، ص 49
↑
- تانتون 2005 ، ص 242
- بهاتاشاريا، جاين وناجبول 1994 ، ص. 141
- وايسشتاين 2003 ، ص 1020
↑
- إيلويس 2006
- ويلسون 2009 ، ص. 2
↑
- وايسشتاين 2003 ، ص 2579
- ماكسويل 2009 ، الصفحات 73-74
- برات 2022 ، § 2.3 الحلقات
↑ سيلفرمان 2022 ، ص 64
↑ جيديس، تشابور ولاباهن 2007 ، ص 24
↑ سميث 2015 ، ص 161
↑ موه 1992 ، الصفحات 102-103
↑
- جيديس، تشابور ولاباهن 2007 ، ص 24
- فايسشتاين 2003 ، ص 1047 ، 2579
- برات 2022 ، § 2.4 الحقول
↑
- إيرفينغ 2004 ، الصفحات 77، 236
- فايسشتاين 2003 ، ص 1047 ، 2579
- هون 2013 ، الصفحات 83-84
↑
- سيروفاجسكي 2020 ، § الغرفة 4ب.5 الخواتم
- كلاينر 2007 ، ص 63
- كلاين 1990 ، ص 1153
↑
- وايردن 2003 ، ص 110-114، 231، 246
- كاربيلوفسكي 1989 ، ص 45
- كلاينر 2007 ، ص 63
↑
- لانغ 2005 ، الصفحات 261-262
- كوكس 2012 ، الصفحات 161-162
↑ كوبر 2011 ، ص 60
↑
- روان 2006 ، ص 12
- برات 2022 ، § 3.3 نظرية بيركوف
- غراتزر 2008 ، ص 34
↑
- برات 2022 ، § 3.3 نظرية بيركوف
- روان 2006 ، ص 12
- جوورز، بارو-جرين وليدر 2010 ، الصفحات 27-28
- أدهيكاري 2016 ، الصفحات 5-6
↑
- نيري 2019 ، الصفحات 278-279
- إيفانوفا وسميرنوف 2012
- ديو 2018 ، ص 295
- أونو 2019 ، ص 84
1 2
- إندورخيا 2013 ، الصفحات 217-218
- برات 2022 ، § 3.3 نظرية بيركوف
- غراتزر 2008 ، ص 34
1 2 إندورخيا 2013 ، ص 217-218
↑ إيفيموف 2014
↑
- برات 2022 ، § 3. الجبر الشامل
- كوهن 2012 ، ص. 13
↑
- سميرنوف 2020
- غراتزر 2008 ، الصفحات 7-8
- باهتورين 2013 ، ص 346
↑
- برات 2022 ، § 3.2 المنطق المعادلاتي
- مالسيف 1973 ، ص 210-211
↑
- مالسيف 1973 ، ص 210-211
- كوهن 2012 ، ص 162
- روزن 2012 ، ص 779
- هازوينكل 1994 ، ص 406
↑ كوهن 1995 ، ص 8
↑ مالسيف 1973 ، ص 211
↑
- مالسيف 1973 ، ص 210-211
- برات 2022 ، § 3. الجبر الشامل
- أرتامونوف 2003 ، ص 873
↑
- ^ فايسشتاين 2003 ، ص 347-348
- جوورز، بارو-جرين وليدر 2010 ، ص 6، 165
- تشنغ 2023 ، ص 102
↑
- جوورز، بارو-جرين وليدر 2010 ، ص 6، 165
- بورسي 1994 ، ص 20
- لاوس 1998 ، ص 100
- تشنغ 2023 ، الصفحات 128-131
↑
- كوري 2024 ، § حل المشكلات في مصر وبابل
- بريزينسكي، ميرانت وريديفو -زاجليا 2022 ، ص. 34
↑
- تانتون 2005 ، ص 9
- كفاس 2006 ، ص 290
- كوري 2024 ، § حل المشكلات في مصر وبابل
↑
- تانتون 2005 ، ص 9
- كفاس 2006 ، ص 290
- كوري 2024 ، § الفيثاغوريون وإقليدس
↑
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
- سيالاروس 2018 ، ص 55
- كوري 2024 ، § ديوفانتوس
↑
- هيتل 2015 ، الصفحات 139-141، 160-161
- كريستيانيديس وميجريمي 2019 ، ص 16-17
↑ بورجين 2022 ، ص 10
↑ هيغينز 2015 ، ص 89
↑
- كفاس 2006 ، الصفحات 290-291
- سيالاروس 2018 ، ص 55
- بوير وميرزباخ 2011 ، ص 161
- ديربيشاير 2006 ، ص 31
↑
- بوير وميرزباخ 2011 ، ص 161
- ديربيشاير 2006 ، ص 31
↑ برادلي 2006 ، ص 95 .
↑
- تانتون 2005 ، ص 10
- كفاس 2006 ، الصفحات 291-293
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
↑
- وايردن 2013 ، ص 3، 15-16، 24-25
- جينكينز 2010 ، ص 82
- بيكوفر 2009 ، ص 90
↑
- تانتون 2005 ، الصفحات 9-10
- كوري 2024 ، § المعادلة في الهند والصين
↑
- سيشادري 2010 ، ص 156
- إمتش، سريدهاران وسرينيفاس 2005 ، ص 20
↑
- سمورينسكي 2007 ، ص 137
- زويلينجر 2002 ، ص 812
↑
- واردن 2013 ، الصفحات 32-35
- تانتون 2005 ، ص 10
- كفاس 2006 ، ص 293
↑
- تانتون 2005 ، ص 10
- كفاس 2006 ، ص 293
- كوري 2024 ، § كاردانو وحل المعادلات التكعيبية والرباعية
- مياكي 2002 ، ص 268
↑
- تانتون 2005 ، ص 10
- كفاس 2006 ، الصفحات 291-292، 297-298، 302
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
- كوري 2024 ، § فييت والمعادلة الرسمية، § الهندسة التحليلية
↑
- هازوينكل 1994 ، ص 73
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
↑
- كوري 2024 ، § تطبيقات نظرية الزمر
- بوينو وفرينش 2018 ، الصفحات 73-75
↑
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
- تانتون 2005 ، ص 10
- كوري 2024 ، § الجبر الهيكلي
- هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74
↑
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
- تانتون 2005 ، ص 10
- كوري 2024 ، § المصفوفات، § الكواترنيونات والمتجهات
↑
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
- كوري 2024 ، § هيلبرت وستينيتز، § نوثر وأرتين
- هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74
↑
- غراتزر 2008 ، ص. 7
- تشانغ وكايسلر 1990 ، ص 603
- كنوبل 2011 ، ص 5
- هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
↑
- هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
- كلاينر 2007 ، ص 100
- كارلسون 2024 ، § تاريخ الطوبولوجيا
↑
- هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
- ويبل 1995 ، ص. 11، 4
↑
- كرومر 2007 ، ص 61
- لاوس 1998 ، ص 100
↑
- هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
- برات 2022 ، § 6. الجبر الحر
↑
- هيوستن 2004 ، ص 319
- نيري 2019 ، ص. 12
- ليدل وبيلز 1997 ، الصفحات من السابع إلى الثامن
↑
- كلاينر 2007 ، ص 100
- برات 2022 ، § 5. جبرية الرياضيات
- مادوك 2008 ، ص 130
- برات 2022 ، § 5. جبرية الرياضيات
- مانكوسو 1999 ، الصفحات 84-85
↑
- برات 2022 ، § 1.4 الهندسة الديكارتية، § 3. الجبر الشامل
- دانيلوف 2006 ، ص 174
↑
- برات 2022 ، § 5.1 الهندسة الجبرية
- دانيلوف 2006 ، الصفحات 172، 174
↑ فينس 2007 ، ص 133
↑
- برات 2022 ، § 5.3 الطوبولوجيا الجبرية
- رابادان وبلومبرغ 2019 ، الصفحات 49-50
- ناكاهارا 2018 ، ص 121
- وايسشتاين 2003 ، الصفحات 52-53
↑
- برات 2022 ، § 5.2 نظرية الأعداد الجبرية
- جارفيس 2014 ، ص. 1
- فيتربو وهونغ 2011 ، ص 127
↑
- جوورز، بارو-جرين وليدر 2010 ، الصفحات 550، 561
- جودسيل 2017 ، ص. 8
- بيتن وآخرون، 2013 ، ص. 9
↑
- كيلتي وماكاليستر 2018 ، الصفحات x، 347، 589
- بريسود 2021 ، ص 64
↑
- هالموس 1956 ، ص 363
- بوريس وليجريس 2021 ، § 1. المقدمة
^ أندريكا، نيميتي وسين 2001 ، ص 133-134
↑
- Andréka, Madarász & Németi 2020 , § المنطق الجبري الملموس
- برات 2022 ، § 5.4 المنطق الجبري
- بلوتكين 2012 ، الصفحات 155-156
- جانسانا 2022 ، القسم الرئيسي
↑
- Andréka, Madarász & Németi 2020 , § المنطق الجبري المجرد
- جانسانا 2022 ، § 4. الجبر
↑ جوينر 2008 ، ص 92
↑
- هيوستن 2004 ، ص 319
- نيري 2019 ، ص. 12
- أنطون وروريس 2010 ، ص 327
↑
- نيري 2019 ، ص. 12
- أليسكيروف، إرسيل وبيونتكوفسكي 2011 ، ص 1-9
- سترافين 1980 ، ص 269
- مينيني وأويستايين 2017 ، ص. ضد
- لوفيت 2015 ، ص. 9
- ليدل وبيلز 1997 ، الصفحات من السابع إلى الثامن
↑
- ويلر 2023 ، ص 29، 36-37
- غالييه وكوينتانس 2020 ، الصفحات 1-2
↑
- كليموف 2014 ، ص. 9
- بينغتسون & Życzkowski 2017 ، الصفحات من 313 إلى 353
^ تيراس 2019 ، ص 63-64 ، 142
↑ هول 2021 ، ص 180
↑
- ليدل وبيلز 1997 ، ص 183-184، 239-240
- كارستنسن، فاين وروزنبرغر 2011 ، الصفحات 326-327
↑
- كيران 2006 ، ص 15
- كابوت 2018 ، ص 186
- جارديلا وديلوسيا 2020 ، ص 19-22
↑
- أركافي، دريجفرز وستيسي 2016 ، ص. الثالث عشر
- ديكر ودولك 2011 ، ص 69
↑
- أركافي، دريجفرز وستيسي 2016 ، ص 2-5
- دريجفرز، جوددين وكيندت 2011 ، ص 8-10، 16-18
↑
- كيران 2006 ، ص 15
- كابوت 2018 ، ص 186
- جارديلا وديلوسيا 2020 ، ص 19-22
- ستار وآخرون. 2015 ، ص 16-17
↑
- أركافي، دريجفرز وستيسي 2016 ، ص 58-59
- دريجفرز، جوددين وكيندت 2011 ، ص. 13
^ هاوسبرجر، زانديه وفليشمان 2021 ، ص 147-148

مصادر

عباس، سيد جان؛ سلمان، عامر شاكر (1994). تناظرات الأنماط الهندسية الإسلامية . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-4502-21-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-03-2024 .
أدهيكاري، ماهيما رانجان (2016). الطوبولوجيا الجبرية الأساسية وتطبيقاتها . سبرينغر. ISBN 978-81-322-2843-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-08-05 .
أديكاري، ماهيما رانجان؛ أديكاري ، أفيشيك (2013). الجبر الحديث الأساسي مع التطبيقات . سبرينغر. رقم ISBN 978-81-322-1599-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-08-05 .
أليسكيروف، فؤاد؛ إرسل، حسن؛ بيونتكوفسكي، ديمتري (2011). الجبر الخطي للاقتصاديين . سبرينغر. ISBN 978-3-642-20570-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مارس 2024 .
أندريكا، هـ.؛ ماداراس، ج. إكس.؛ نيميتي، إ. (2020). "المنطق الجبري" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر. مؤرشف من الأصل بتاريخ 24 يناير 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أكتوبر 2023 .
أندريكا، هـ.؛ نيميتي، إ.؛ ساين، إ. (2001). "المنطق الجبري" . دليل المنطق الفلسفي . سبرينغر. doi : 10.1007/978-94-017-0452-6_3 . ISBN 978-94-017-0452-6أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 24 يناير 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
أنطون، هوارد (2013). الجبر الخطي الابتدائي . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-1-118-67730-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 يناير 2024 .
أنطون، هوارد؛ روريس، كريس (2010). الجبر الخطي الابتدائي: نسخة التطبيقات . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-470-43205-1.
أنطون، هوارد؛ روريس، كريس (2013). الجبر الخطي الابتدائي: نسخة التطبيقات . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-1-118-47422-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 يناير 2024 .
أركافي، أبراهام؛ دريفرز، بول؛ ستايسي، كاي (2016). تعلم وتدريس الجبر: أفكار ورؤى وأنشطة . روتليدج. ISBN 978-1-134-82077-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
أرتامونوف، فيرجينيا (2003). "أشباه الأصناف" . في هازوينكل، م. (محرر). دليل الجبر . إلسفير. رقم ISBN 978-0-08-053297-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 يناير 2024 .
أتاناسيو، دراغو؛ ميكوسينسكي، بيوتر (2019). جسر إلى الجبر الخطي . العلمية العالمية. رقم ISBN 978-981-12-0024-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-03-2024 .
باهتورين، ي. (2013). البنى الأساسية للجبر الحديث . سبرينغر. ISBN 978-94-017-0839-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 30-08-2024 .
بارانوفيتش، تي إم (2023). "العمليات الجبرية" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر. مؤرشف من الأصل بتاريخ 23 أغسطس 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 يناير 2023 .
باريرا مورا، فرناندو (2023). الجبر الخطي: نهج متعدد الحدود الحد الأدنى لنظرية eigen . Walter de Gruyter GmbH & Co KG. رقم ISBN 978-3-11-113591-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 يناير 2024 .
بينغتسون، إنغيمار؛ زيكوفسكي، كارول (2017). هندسة الحالات الكمومية: مقدمة في التشابك الكمومي ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-02625-4.
بينسون، دونالد سي. (2003). حصاة أكثر نعومة: استكشافات رياضية . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-514436-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 يناير 2024 .
بيرغرين، جون ل. (2015). "الجبر الابتدائي" . موسوعة بريتانيكا . مؤرشف من الأصل بتاريخ 14 يناير 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 يناير 2024 .
بيتن، انطون. كونرت، أكسل. لاو، رينهارد. واسرمان، ألفريد، محرران. (2013). التوافقيات الجبرية والتطبيقات . سبرينغر. رقم ISBN 978-3-642-59448-9.
بهاتاشاريا، بي بي؛ جاين، إس كيه؛ ناجبول، إس آر (1994). الجبر المجرد الأساسي . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-46629-5.
بورسي، فرانسيس (1994). دليل الجبر الفئوي: نظرية الفئات الأساسية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-44178-0.
بورباكي، ن. (1998). الجبر 1: الفصول 1-3 . سبرينغر. ISBN 978-3-540-64243-5.
بوير، كارل ب.؛ ميرزباخ، أوتا س. (2011). تاريخ الرياضيات . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-470-63056-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
براكن، لورا جيه؛ ميلر، إدوارد إس. (2014). الجبر الابتدائي . سينجايج ليرنينج. ISBN 978-0-618-95134-5.
برادلي، مايكل ج. (2006). ميلاد الرياضيات: من العصور القديمة إلى عام 1300. دار نشر تشيلسي هاوس.
بريسود، ديفيد م. (2021). إعادة ترتيب حساب التفاضل والتكامل: تاريخ الأفكار الكبرى . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-21878-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-09-04 .
بريجنسكي، كلود؛ موران، جيرار. ريديفو-زاجليا، ميشيلا (2022). رحلة عبر تاريخ الجبر الخطي العددي . سيام. رقم ISBN 978-1-61197-723-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 أغسطس 2024 .
بريشار، ماتي (2014). مقدمة في الجبر غير التبادلي . سبرينغر. ISBN 978-3-319-08693-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 14-06-2024 .
براون، جوناثان د. (2015). النماذج الخطية في شكل مصفوفة: منهج عملي للعلوم السلوكية . سبرينغر. ISBN 978-3-319-11734-8.
بوينو، أوتافيو؛ فرينش، ستيفن (2018). تطبيق الرياضيات: الانغماس، والاستدلال، والتفسير . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-881504-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 28-07-2024 .
بخشتاب، أ.أ.؛ بيتشاييف، ف.إ. (2020). "الحساب" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر. مؤرشف من الأصل بتاريخ 4 أكتوبر 2009. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أكتوبر 2023 .
بورغين، مارك (2022). ثلاثية الأعداد والحساب - الكتاب الأول: تاريخ الأعداد والحساب: منظور معلوماتي . دار النشر العالمية. رقم ISBN 978-981-12-3685-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2024 .
بوريس، ستانلي؛ ليغريس، خافيير (2021). "جبر التقاليد المنطقية" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد. مؤرشف من الأصل بتاريخ 29 يناير 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يناير 2024 .
كارلسون، ستيفان سي. (2024). "الطوبولوجيا - التماثل، التماثل المشترك، المتشعبات" . موسوعة بريتانيكا . تم الاسترجاع في 2024-10-02 .
كارستنسن، سيلين؛ فاين، بنجامين؛ روزنبرغر، غيرهارد (2011). الجبر المجرد: تطبيقات في نظرية غالوا، والهندسة الجبرية، وعلم التشفير . والتر دي غرويتر. ISBN 978-3-11-025008-4.
تشاهال، جيه إس (2018). أساسيات الجبر الخطي . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-0-429-75810-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2024 .
تشانغ، سي سي؛ كيسلر، إتش جيه (1990). نظرية النماذج . إلسيفير. ISBN 978-0-08-088007-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
تشنغ، يوجينيا (2023). متعة التجريد . مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/9781108769389 . ISBN 978-1-108-47722-2.
كريستيانيديس، جان؛ مجريمي، أثناسيا (2019). “تتبع التاريخ المبكر للجبر: شهادات على ديوفانتوس في العالم الناطق باليونانية (من القرن الرابع إلى السابع الميلادي)”. تاريخ الرياضيات . 47 : 16 – 38. دوى : 10.1016/j.hm.2019.02.002 .
كوهن، ب.م. (1995). الحقول المائلة: نظرية حلقات التقسيم العامة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-43217-7.
كوهن، بي إم (2012). الجبر الشامل . سبرينغر. رقم ISBN 978-94-009-8399-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 14-06-2024 .
كوبر، إليس د. (2011). الميكانيكا الرياضية: من الجسيم إلى العضلة . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-4289-70-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 يناير 2024 .
كوري، ليو (2024). "الجبر" . موسوعة بريتانيكا . مؤرشف من الأصل بتاريخ 19 يناير 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 يناير 2024 .
كوكس، ديفيد أ. (2012). نظرية جالوا . جون وايلي وأولاده. رقم ISBN 978-1-118-21842-6.
كريسويل، جوليا (2010). قاموس أكسفورد لأصول الكلمات . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-954793-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
دانيلوف، في. آي. (2006). "الجزء الثاني: التنوعات والمخططات الجبرية" . الهندسة الجبرية 1: المنحنيات الجبرية، والمتشعبات الجبرية، والمخططات . سبرينغر. ISBN 978-3-540-51995-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
ديكر، تروس؛ دولك ، مارتن (2011). "3. من الحساب إلى الجبر" . في دريجفرز، بول (محرر). تعليم الجبر الثانوي: إعادة النظر في المواضيع والمواضيع واستكشاف المجهول . سبرينغر. رقم ISBN 978-94-6091-334-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
دينيك، كلاوس؛ ويسماث، شيلي ل. (2018). الجبر الشامل وتطبيقاته في علوم الحاسوب النظرية . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4822-8583-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 30-08-2024 .
ديو، ساتيا (2018). الطوبولوجيا الجبرية: مدخل تمهيدي . سبرينغر. ISBN 978-981-10-8734-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-08-05 .
ديربيشاير، جون (2006). "2. أبو الجبر" . كمية مجهولة: تاريخ حقيقي ومتخيل للجبر . مطبعة الأكاديميات الوطنية. ISBN 978-0-309-09657-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
دومينيك، ساندور (2008). الجبر الحديث لاسترجاع المعلومات . سبرينغر. ISBN 978-3-540-77659-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 يناير 2024 .
دريفرز، بول؛ غودين، آد؛ كيندت، مارتن (2011). "1. تعليم الجبر: استكشاف المواضيع والأفكار" . في دريفرز، بول (محرر). تعليم الجبر في المرحلة الثانوية: إعادة النظر في المواضيع والأفكار واستكشاف المجهول . سبرينغر. ISBN 978-94-6091-334-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
إيفيموف، بكالوريوس (2014). "نظرية المجموعات" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر. مؤرشف من الأصل بتاريخ 29 نوفمبر 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 يناير 2023 .
إيلويس، ريتشارد (ديسمبر 2006). "نظرية هائلة: تصنيف الزمر البسيطة المنتهية" . مجلة بلس . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2 فبراير 2009. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 ديسمبر 2011 .
إمتش، جيرارد ج.؛ سريدهاران، ر.؛ سرينيفاس، دكتور في الطب (2005). مساهمات في تاريخ الرياضيات الهندية . سبرينغر. ISBN 978-93-86279-25-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
فريق عمل موسوعة الرياضيات (2017). "الجبر" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر. مؤرشف من الأصل بتاريخ 29 نوفمبر 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 يناير 2023 .
فيش، جورج؛ هيبوتيرن، جيرارد (2013). الرياضيات للمهندسين . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-1-118-62333-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2024 .
غالييه، جان هـ.؛ كوينتانس، جوسلين (2020). الجبر الخطي والتحسين مع تطبيقات في التعلم الآلي - المجلد الثاني: أساسيات نظرية التحسين مع تطبيقات في التعلم الآلي . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-12-1658-9.
غاندز، سولومون (1926). "أصل مصطلح "الجبر"". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 33 (9): 437– 440. doi : 10.2307/2299605 . JSTOR 2299605 .
جارديلا، فرانسيس؛ ديلوسيا، ماريا (2020). الجبر للصفوف المتوسطة . الشراء داخل التطبيق. رقم ISBN 978-1-64113-847-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
جيديس، كيث أو.؛ تشابور، ستيفن ر.؛ لاباهن، جورج (2007). خوارزميات الجبر الحاسوبي . سبرينغر. ISBN 978-0-585-33247-5.
جيلبرت، ويليام جيه؛ نيكلسون، دبليو كيث (2004). الجبر الحديث مع التطبيقات . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-46989-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2024 .
جودسيل، كريس (2017). التوافقية الجبرية . روتليدج. ISBN 978-1-351-46750-6.
جولان، جوناثان س. (1995). "الجبر على حقل" . أسس الجبر الخطي . نصوص كلوير في العلوم الرياضية. المجلد 11. سبرينغر. الصفحات 219-227 . doi : 10.1007/978-94-015-8502-6_18 . ISBN 978-94-015-8502-6أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 12 يناير 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2024 .
جودمان، أ. و. (2001). الجبر من الألف إلى الياء . المجلد 1. وورلد ساينتيفيك. رقم ISBN 978-981-310-266-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مارس 2024 .
جوورز، تيموثي؛ بارو-غرين، جون؛ ليدر، إيمري، محرران. (2010). دليل برينستون للرياضيات . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-1-4008-3039-8.
جريتزر، جورج (2008). الجبر العالمي (2 ed.). سبرينغر. رقم ISBN 978-0-387-77487-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
غريليه، بيير أنطوان (2007). "الجبر الشامل" . الجبر المجرد . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 242. سبرينغر. الصفحات 559-580 . doi : 10.1007/978-0-387-71568-1_15 . ISBN 978-0-387-71568-1أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 12 يناير 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2024 .
هابرلي، ل. (2009). "حول تصنيف الجزيئات وأنواع حلقات التمثيل" . في: فينك، أندرياس؛ لاوسن، بيرتهولد؛ سيدل، ويلفريد؛ أولتش، ألفريد (محررون). التطورات في تحليل البيانات، ومعالجة البيانات، وذكاء الأعمال . سبرينغر. ISBN 978-3-642-01044-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-03-2024 .
هالموس، بول ر. (1956). "المفاهيم الأساسية للمنطق الجبري". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 63 (6): 363-387 . doi : 10.2307/2309396 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2309396 .
هاريسون، مايكل؛ والدرون، باتريك (2011). الرياضيات للاقتصاد والتمويل . روتليدج. ISBN 978-1-136-81921-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 يناير 2024 .
هاوسبرغر، توماس (2020). "تدريس وتعلم الجبر المجرد". في ليرمان، ستيفن (محرر). موسوعة تعليم الرياضيات ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 9783030157883.
هاوسبرغر، توماس؛ زانديه، ميشيل؛ فليشمان، يائيل (2021). "الجبر المجرد والخطي". في دوراند-غيرييه، فيفيان؛ هوخموت، راينهارد؛ ناردي، إيلينا؛ وينسلو، كارل (محررون). البحث والتطوير في تعليم الرياضيات الجامعية: نظرة عامة. من إنتاج الشبكة الدولية للبحوث التعليمية في الرياضيات الجامعية . روتليدج. ISBN 978-1-000-36924-3.
هازوينكل، ميشيل (1994). موسوعة الرياضيات (مجموعة) . سبرينغر. رقم ISBN 978-1-55608-010-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
فريق هاربر كولينز (2022). "الحساب" . قاموس التراث الأمريكي . هاربر كولينز. مؤرشف من الأصل بتاريخ 8 نوفمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أكتوبر 2023 .
هيتل ، سايروس (2015). "التأثير الرمزي والرياضي لعلم الحساب لديوفانتس" . مجلة الرياضيات الإنسانية . 5 (1): 139– 166. دوى : 10.5642/jhummath.201501.08 .
هيغينز، بيتر م. (2015). الجبر: مقدمة موجزة جدًا . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-104746-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
هايام، نيكولاس ج. (2019). دليل الكتابة للعلوم الرياضية ( الطبعة الثالثة). سيام. ISBN 978-1-61197-610-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 17-03-2024 .
هواد، تي إف (1993). قاموس أكسفورد الموجز لأصل الكلمات الإنجليزية . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-283098-2.
هون، فرانز إي. (2013). الجبر المصفوفي الابتدائي . منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-14372-9.
هيوستن، ستيفن د. (2004). الكتابة الأولى: ابتكار الخط كتاريخ وعملية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-83861-0.
هول، توماس سي. (2021). فن طي الورق: الأساليب الرياضية في طي الورق . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-108-47872-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-08-07 .
إيغاراشي، يوشيهيدي؛ ألتمان، توم؛ فونادا، ماريكو؛ كامياما، باربرا (2014). الحوسبة: منظور تاريخي وتقني . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4822-2741-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 يناير 2024 .
إندورخيا، بيبين (2013). "6.5 الجبر والبنى" . الاستعارة والإدراك: منهج تفاعلي . سبرينغر. ISBN 978-94-017-2252-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 يناير 2024 .
إيرفينغ، رونالد س. (2004). الأعداد الصحيحة، كثيرات الحدود، والحلقات: دورة في الجبر . سبرينغر. ISBN 978-0-387-40397-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 يناير 2024 .
إيفانوفا، أ.أ.؛ سميرنوف، د.م. (2012). "التشاكل" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر. مؤرشف من الأصل بتاريخ 6 أغسطس 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مارس 2024 .
جانسانا، رامون (2022). "المنطق الافتراضي الجبري" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد. مؤرشف من الأصل بتاريخ 20 ديسمبر 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يناير 2024 .
جارفيس، فريزر (2014). نظرية الأعداد الجبرية . سبرينغر. ISBN 978-3-319-07545-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
جينكينز، إيفريت (2010). الشتات الإسلامي (المجلد 1، 570-1500): تسلسل زمني شامل لانتشار الإسلام في آسيا وأفريقيا وأوروبا والأمريكتين . ماكفارلاند. ISBN 978-0-7864-4713-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 يناير 2024 .
جوينر، ديفيد (2008). مغامرات في نظرية الزمر: مكعب روبيك، وآلة ميرلين، وأدوات رياضية أخرى ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة جونز هوبكنز. ISBN 978-0-8018-9012-3.
كابوت، جيمس ج. (2018). "ربط التمثيلات في أنظمة الرموز الجبرية" . في: فاغنر، سيغريد؛ كيران، كارولين (محرران). قضايا البحث في تعلم وتدريس الجبر: أجندة البحث لتعليم الرياضيات، المجلد 4. روتليدج. ISBN 978-1-135-43414-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-08-08 .
كارغابولوف، م. إ.؛ ميرزلياكوف، يو. إ. (2016). "المجموعة" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر. مؤرشف من الأصل بتاريخ 5 ديسمبر 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 يناير 2023 .
كاربيلوفسكي، ج. (1989). موضوعات في نظرية الحقول . إلسيفير. ISBN 978-0-08-087266-7.
كوفمان، جيروم E.؛ شويترز، كارين ل. (2011). الجبر الابتدائي . التعلم سينجاج. رقم ISBN 978-1-4390-4917-4.
ختار، دينيش؛ أغراوال، نيها (2023). نظرية الزمر . سبرينغر وآن بوكس المحدودة. ISBN 978-3-031-21307-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 يناير 2024 .
كيران، كارولين (2006). "بحوث حول تعلم وتدريس الجبر" . في: غوتيريز، أنجيل؛ بويرو، باولو (محرران). دليل البحوث في علم نفس تعليم الرياضيات: الماضي والحاضر والمستقبل . دار سينس للنشر. ISBN 978-90-77874-19-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-08-08 .
كيلتي، جويل؛ ماكاليستر، أليكس (2018). النمذجة الرياضية وحساب التفاضل والتكامل التطبيقي . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-255813-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
كلاينر، إسرائيل (2007). تاريخ الجبر المجرد . سبرينغر. ISBN 978-0-8176-4685-1.
كليموف، د.م. (2014). أساليب نظرية الزمر في الميكانيكا والرياضيات التطبيقية . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4822-6522-4.
كلاين، موريس (1990). الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى الحديثة: المجلد 3. مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-506137-6.
كنوبل، آرثر (2011). حزم الجبر فوق الفضاءات البوليانية . سبرينغر. ISBN 978-0-8176-4218-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
كريمر، يورغ. بيبيتش، آنا ماريا فون (2017). من الأعداد الطبيعية إلى الرباعيات . سبرينغر. رقم ISBN 978-3-319-69429-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 يناير 2024 .
كرومر، رالف (2007). الأداة والشيء: تاريخ وفلسفة نظرية الفئات . سبرينغر. ISBN 978-3-7643-7524-9.
كفاس، ل. (2006). "تاريخ الجبر وتطور شكل لغته" . مجلة فلسفة الرياضيات . 14 (3): 287-317 . doi : 10.1093/philmat/nkj017 . ISSN 1744-6406 .
لال، رامجي (2017). الجبر 2: الجبر الخطي، نظرية غالوا، نظرية التمثيل، امتدادات الزمر، ومضاعف شور . سبرينغر. ISBN 978-981-10-4256-0.
لامانيا، إدموند أ. (2019). الجبر الحاسوبي: المفاهيم والتقنيات . دار نشر سي آر سي. رقم ISBN 978-1-351-60583-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 يناير 2024 .
لانج، سيرج (2005). الجبر . سبرينغر. رقم ISBN 978-0-387-95385-4.
لاوس، نيكولاس ك. (1998). موضوعات في التحليل الرياضي والهندسة التفاضلية . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-3180-4.
مكتبة الكونغرس. تصنيف مكتبة الكونغرس: الفئة Q - العلوم (ملف PDF) . مكتبة الكونغرس. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 5 أبريل 2024. تاريخ الاسترجاع: 17 مارس 2024 .
ليدل، رودولف. بيلز، غونتر (1997). الجبر التجريدي التطبيقي . سبرينغر. رقم ISBN 978-0-387-98290-8.
لوفيت، ستيفن (2015). الجبر المجرد: البنى والتطبيقات . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4822-4891-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 27-07-2024 .
لوكاس، أندريه (2022). الجبر الخطي لأكسفورد للعلماء . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-258347-5.
مادوك، الابن (2008). "الجبر". في: ليرنر، بريندا ويلموث؛ ليرنر، ك. لي (محرران). موسوعة غيل للعلوم ( الطبعة الرابعة). تومسون غيل. ISBN 978-1-4144-2877-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 12 يناير 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2024 .
ماجوسكي، ميروسلاف (2004). أساسيات الحوسبة MuPAD Pro (2 ed.). سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-21943-9.
مالسيف، أ. إ. (1973). "المتغيرات شبهية" . الأنظمة الجبرية . سبرينغر. ص 210-266 . doi : 10.1007/978-3-642-65374-2_5 . ISBN 978-3-642-65374-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 18 يونيو 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 يناير 2024 .
مانكوسو، باولو (1999). فلسفة الرياضيات والممارسة الرياضية في القرن السابع عشر . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-513244-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
ماركوشيفيتش، أ. إ. (2015). "متعدد الحدود" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر. مؤرشف من الأصل بتاريخ 6 أغسطس 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 يناير 2023 .
ماكسويل، إي. أ. (2009). البنية الجبرية والمصفوفات، الكتاب الثاني . مطبعة جامعة سيراكيوز. رقم ISBN 978-0-521-10905-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 يناير 2024 .
مكيك، تشارلز ب. (1986). الجبر الابتدائي . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 978-1-4832-6384-7.
مكيك، تشارلز ب. (2014). الجبر المتوسط: كتاب نصي/كتاب تمارين . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 978-1-4832-1417-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 يناير 2024 .
ماكويني، ر. (2002). التناظر: مقدمة في نظرية الزمر وتطبيقاتها . دار نشر كورير. رقم ISBN 978-0-486-42182-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 يناير 2024 .
مينيني، كلوديا؛ أويستاين، فريدي فان (2017). الجبر المجرد: معالجة شاملة . مطبعة سي آر سي . رقم ISBN 978-1-4822-5817-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
ميرزلياكوف، يو. آي.؛ شيرشوف، إيه آي (2020). "الجبر (2)" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر. مؤرشف من الأصل بتاريخ 7 أبريل 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 يناير 2023 .
ميراخور، عباس؛ كريشان، نور الدين (2014). مقدمة في الرياضيات والإحصاء للتمويل الإسلامي . جون وايلي وأولاده. رقم ISBN 978-1-118-77972-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-08-07 .
ميشرا، سانجاي (2016). أساسيات الرياضيات: الجبر . بيرسون الهند. ISBN 978-93-325-5891-5.
مياكي، كاتسويا (2002). "بعض جوانب التفاعلات بين نظرية الأعداد الجبرية ونظرية الأعداد التحليلية" . في: كانيميتسو، شيغيرو؛ جيا، تشاوهوا (محرران). أساليب نظرية الأعداد: اتجاهات مستقبلية . سبرينغر. ISBN 978-1-4419-5239-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-08-07 .
موه، تي تي (1992). الجبر . وورلد ساينتيفيك. رقم ISBN 978-981-02-1195-0.
مورتنسن، سي إي (2013). الرياضيات غير المتسقة . سبرينغر. ISBN 978-94-015-8453-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 يناير 2024 .
مورثي، سوامي وآخرون (2012). الجبر: المجرد والحديث . بيرسون للتعليم الهند. ISBN 978-93-325-0993-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-08-05 .
موسر، غاري ل.؛ بيترسون، بليك إي.؛ برغر، ويليام ف. (2013). الرياضيات لمعلمي المرحلة الابتدائية: منهج معاصر . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-1-118-48700-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مارس 2024 .
فريق ميريام-ويبستر (2023). "تعريف الحساب" . ميريام-ويبستر . مؤرشف من الأصل بتاريخ 14 نوفمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أكتوبر 2023 .
ناكاهارا، ميكيو (2018). الهندسة، والطوبولوجيا، والفيزياء . تايلور وفرانسيس. ISBN 978-1-4200-5694-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
نيري، فيرانتي (2019). الجبر الخطي لعلوم الحاسوب والهندسة . سبرينغر. ISBN 978-3-030-21321-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
نيكلسون، دبليو. كيث (2012). مقدمة في الجبر المجرد . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-1-118-13535-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 30-08-2024 .
أوكس، جيفري أ.؛ الخطيب، هيثم م. (2007). "تبسيط المعادلات في الجبر العربي". هيستوريا ماتيماتيكا . 34 (1): 45-61 . doi : 10.1016/j.hm.2006.02.006 .
أولفر، بيتر ج. (1999). نظرية الثوابت الكلاسيكية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-55821-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-03-2024 .
أونو، هيرواكيرا (2019). نظرية البرهان والجبر في المنطق . سبرينغر. ISBN 978-981-13-7997-0.
فريق عمل مطبعة جامعة أكسفورد. "الجبر" . ليكسيكو . مطبعة جامعة أكسفورد . مؤرشف من الأصل بتاريخ 20-11-2013.
أوفشينيكوف، سيرجي (2015). أنظمة الأعداد . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-1-4704-2018-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 يناير 2024 .
بيكوفر، كليفورد أ. (2009). كتاب الرياضيات: من فيثاغورس إلى البعد السابع والخمسين، 250 معلمًا بارزًا في تاريخ الرياضيات . شركة ستيرلينغ للنشر. رقم ISBN 978-1-4027-5796-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 يناير 2024 .
بلوتكين، ب. (2012). الجبر الشامل، والمنطق الجبري، وقواعد البيانات . سبرينغر. ISBN 978-94-011-0820-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
برات، فوغان (2022). "الجبر" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد. مؤرشف من الأصل بتاريخ 29 يناير 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 يناير 2024 .
رابادان، راؤول؛ بلومبرغ، أندرو ج. (2019). تحليل البيانات الطوبولوجية لعلم الجينوم والتطور: الطوبولوجيا في علم الأحياء . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-15954-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
ريكاردو، هنري (2009). مقدمة حديثة في الجبر الخطي . دار نشر سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4398-9461-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2024 .
رود، أولريش ل.؛ جاين، جي سي؛ بودار، أجاي ك.؛ غوش، إيه كيه (2012). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل: دراسات منهجية مع تطبيقات هندسية للمبتدئين . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-1-118-13014-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 يناير 2024 .
رومانوفسكي، بيري (2008). "الحساب". في: ليرنر، بريندا ويلموث؛ ليرنر، ك. لي (محرران). موسوعة غيل للعلوم ( الطبعة الرابعة). تومسون غيل. ISBN 978-1-4144-2877-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 1 نوفمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2024 .
روزن، كينيث (2012). الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها، الطبعة العالمية السابعة . ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-715151-5.
روان، لويس هالي (2006). الجبر المتقدم: المنظور التبادلي . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-0570-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 14-06-2024 .
ساهاي، فيفيك؛ بيست، فيكاس (2002). الجبر الخطي . الصحافة اتفاقية حقوق الطفل. رقم ISBN 978-0-8493-2426-0.
سايكيا، برومود كومار (2008). الجبر الخطي . بيرسون للتعليم الهند. ISBN 978-81-317-4276-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-08-05 .
سيروفاجسكي، سيمون (2020). هندسة الرياضيات . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-0-429-89353-7.
سيشادري، سي إس (2010). دراسات في تاريخ الرياضيات الهندية . سبرينغر. ISBN 978-93-86279-49-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
سيالاروس، ميخاليس (2018). الثورات والاستمرارية في الرياضيات اليونانية . والتر دي جرويتر جي إم بي إتش وشركاه كي جي. رقم ISBN 978-3-11-056527-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
سيلفرمان، جوزيف هـ. (2022). الجبر المجرد: منهج متكامل . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-1-4704-6860-6.
سميرنوف، د.م. (2020). "الجبر الشامل" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر. مؤرشف من الأصل بتاريخ 1 مارس 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 أغسطس 2024 .
سميث، جوناثان د.هـ. (2015). مقدمة في الجبر المجرد . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4987-3162-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 14-06-2024 .
سمورينسكي، كريغ (2007). تاريخ الرياضيات: ملحق . سبرينغر. ISBN 978-0-387-75481-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
سنيد، جيمس؛ فيوستر، راشيل م.؛ ماكجيليفراي، دنكان (2022). الرياضيات والإحصاء للعلوم . سبرينغر. ISBN 978-3-031-05318-4.
سوبوليف، إس كيه (2015). "الثابت" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر. مؤرشف من الأصل بتاريخ 24 يناير 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أكتوبر 2023 .
سولومون، بروس (2014). الجبر الخطي والهندسة والتحويلات . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4822-9930-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2024 .
سوريل، توم (2000). ديكارت: مقدمة موجزة جدًا . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-285409-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مارس 2024 .
ستار، جون ر.؛ فوغن، آن؛ لارسون، ماثيو ر.؛ ماكالوم، ويليام ج.؛ بورات، جين؛ زبيك، روز ماري (2015). استراتيجيات تدريس لتحسين معرفة الجبر لدى طلاب المرحلتين المتوسطة والثانوية . وزارة التعليم الأمريكية / معهد علوم التربية. OCLC 5867417164 .
سترافين، فيليب د. (1980). "الجبر الخطي في الجغرافيا: المتجهات الذاتية للشبكات" . مجلة الرياضيات . 53 (5): 269-276 . doi : 10.2307/2689388 . ISSN 0025-570X . JSTOR 2689388 .
سوليفان، مايكل (2010). الرياضيات المحدودة: مدخل تطبيقي . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-470-87639-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 يناير 2024 .
تان، كيات شي؛ ستيب، ويلي-هانز؛ هاردي، يوريك (2012). SymbolicC++: مقدمة في الجبر الحاسوبي باستخدام البرمجة كائنية التوجه . سبرينغر. ISBN 978-1-4471-0405-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 يناير 2024 .
تانتون، جيمس (2005). موسوعة الرياضيات . فاكتس أون فايل. ISBN 978-0-8160-5124-3.
تيراس، أودري (2019). الجبر المجرد مع التطبيقات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-16407-9.
تسوكوس، كريس ب.؛ ووتن، ريبيكا د. (2015). متعة الرياضيات المحدودة: لغة وفن الرياضيات . دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-802985-5.
فالينزا، روبرت ج. (2012). الجبر الخطي: مقدمة في الرياضيات المجردة . سبرينغر. ISBN 978-1-4612-0901-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2024 .
فينس، جون (2007). تحليل المتجهات لرسومات الحاسوب . سبرينغر. ISBN 978-1-84628-803-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-08-05 .
فيتربو، إيمانويل؛ هونغ، يي (2011). "3.4 نظرية الأعداد الجبرية" . في هلاواتش، فرانز؛ ماتز، جيرالد (محرران). الاتصالات اللاسلكية عبر قنوات متغيرة بسرعة مع الزمن . دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-08-092272-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يناير 2024 .
فويتسيكوفسكي، إم آي (2011). "المعادلة الخطية" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر. مؤرشف من الأصل بتاريخ 23 نوفمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 يناير 2024 .
واردن، بارتل إل فان دير (2003). الجبر . المجلد. 1. سبرينغر. رقم ISBN 0-387-40624-7.
واردن، بارتل ل. فان دير (2013). تاريخ الجبر: من الخوارزمي إلى إيمي نوثر . سبرينغر. ISBN 978-3-642-51599-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
فاغنر، سيغريد؛ كيران، كارولين (2018). قضايا البحث في تعلم وتدريس الجبر: أجندة البحث لتعليم الرياضيات . المجلد 4. روتليدج. ISBN 978-1-135-43421-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2024 .
والز، جويدو (2016). "الجبر". Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Eif [ موسوعة الرياضيات: المجلد 1: A إلى Eif ] (باللغة الألمانية). سبرينغر. رقم ISBN 978-3-662-53498-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 12 يناير 2024. تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2024 .
ويبل، تشارلز أ. (1995). مقدمة في الجبر التماثلي . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-139-64307-8.
وايسشتاين، إريك و. (2003). موسوعة سي آر سي الموجزة للرياضيات ( الطبعة الثانية). تشابمان آند هول/سي آر سي. رقم ISBN 978-1-58488-347-0.
ويلر، جيفري بول (2023). مقدمة في التحسين مع تطبيقات في التعلم الآلي وتحليل البيانات . دار نشر سي آر سي. رقم ISBN 978-1-003-80359-1.
وايتلو، تي إيه (1995). مقدمة في الجبر المجرد، الطبعة الثالثة . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-0-7514-0147-9.
ويليامز، جي. أرنيل (2022). الجبر الجميل: قصيدة لأقل مواد الرياضيات شعبية . دار بيسيك بوكس. رقم ISBN 978-1-5416-0070-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مارس 2024 .
ويلسون، روبرت أ. (2009). الزمر البسيطة المنتهية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 251. سبرينغر-فيرلاغ . doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 . ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl 1203.20012 .
يونغ، سينثيا ي. (2010). حساب التفاضل والتكامل التمهيدي . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-75684-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 يناير 2024 .
يونغ، سينثيا ي. (2023). حساب التفاضل والتكامل التمهيدي . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-1-119-86940-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 يناير 2024 .
zbMATH Open (2024). "التصنيف" . zbMATH Open . المراجعات الرياضية و zbMATH Open. مؤرشف من الأصل بتاريخ 19 يوليو 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 مارس 2024 .
زويلينجر، دانيال (2002). جداول وصيغ رياضية قياسية من سي آر سي . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4200-3534-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .

روابط خارجية

[4] عند فهمها بأوسع معانيها، فإن العملية الجبرية هي دالة من قوة ديكارتية لمجموعة ما إلى تلك المجموعة ، ويتم التعبير عنها رسميًا على النحو التالي : $\omega :A^{n}\to A$ تُعدّ عملية جمع الأعداد الحقيقية مثالاً على العمليات الجبرية: فهي تأخذ عددين كمدخلات وتُنتج عددًا واحدًا كمخرجات. ولها الشكل التالي: $+:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ [ ³^]

[9] يُغطى علم الجبر بالقسم 512 في تصنيف ديوي العشري ^{[ 5 ]} والفئة الفرعية QA 150 - 272.5 في تصنيف مكتبة الكونغرس .^{[ 6 ]} ويشمل عدة مجالات في تصنيف موضوعات الرياضيات .^{[ 7 ]}

[20] يُختلف على المعنى الدقيق لمصطلح "الجبر" في كتابات الخوارزمي. ففي بعض المواضع، يُشير المصطلح إلى أن الكمية التي نقصت بالطرح تُعاد إلى قيمتها الأصلية، على غرار كيفية قيام مُجبّر العظام بتقويم العظام المكسورة وإعادتها إلى وضعها الصحيح.^{[ 17 ]}

[24] وقد نتجت هذه التغييرات جزئياً عن اكتشافات حلت العديد من المشكلات القديمة في الجبر. فعلى سبيل المثال، أثبت برهان النظرية الأساسية للجبر وجود حلول معقدة لكثيرات الحدود^{[ 19 ]} ، كما أن تقديم نظرية غالوا حدد كثيرات الحدود التي لها حلول عامة .^{[ 20 ]}

[29] تمثل الثوابت أعدادًا ثابتة لا تتغير أثناء دراسة مشكلة معينة.^{[ 24 ]}

[53] على سبيل المثال، المعادلات $x_{1}-3x_{2}=0$ و $x_{1}-3x_{2}=7$ تتعارض هذه القيم مع بعضها البعض، حيث لا توجد قيم لـ $x_{1}$ و $x_{2}$ توجد حلول للمعادلتين في نفس الوقت. ^{[ 47 ]}

[55] يعتمد وجود حل وحيد لنظام معادلات متسق على عدد المتغيرات والمعادلات المستقلة . تكون المعادلات مستقلة إذا لم تُقدّم المعلومات نفسها، ولا يُمكن استنتاجها من بعضها البعض. يوجد حل وحيد إذا كان عدد المتغيرات مساويًا لعدد المعادلات المستقلة. في المقابل ، تحتوي الأنظمة غير المحددة على عدد متغيرات أكبر من عدد المعادلات المستقلة، ولها عدد لا نهائي من الحلول إذا كانت متسقة.^[⁴⁸^]

[65] المجموعة هي تجمع غير مرتب لعناصر متميزة، مثل الأعداد أو المتجهات أو المجموعات الأخرى. تصف نظرية المجموعات قوانين وخصائص المجموعات.^{[ 57 ]}

[67] وفقًا لبعض التعريفات، تتضمن البنى الجبرية عنصرًا مميزًا كمكون إضافي، مثل عنصر الوحدة في حالة الضرب.^{[ 58 ]}

[69] تتضمن بعض البنى الجبرية التي يدرسها الجبر المجرد عمليات أحادية بالإضافة إلى العمليات الثنائية. على سبيل المثال،تحتوي فضاءات المتجهات المعيارية على معيار ، وهو عملية أحادية تُستخدم غالبًا لربط متجه بطوله.^{[ 59 ]}

[74] الرموز $\circ$ و $\star$ تُستخدم في هذه المقالة لتمثيل أي عملية قد تشبه أو لا تشبه العمليات الحسابية. ^{[ 63 ]}

[82] لا يشترط بعض المؤلفين وجود عناصر محايدة ضربية. وتُسمى الحلقة التي لا تحتوي على عنصر محايد ضربي أحيانًا حلقة عشوائية .^{[ 70 ]}

[86] هذا يعني أن الضرب والجمع يستخدمان عناصر محايدة مختلفة.^{[ 73 ]}

[98] وفقًا لبعض التعريفات، من الممكن أيضًا أن تحتوي الجبر الفرعي على عدد أقل من العمليات.^{[ 84 ]}

[100] هذا يعني أن جميع عناصر المجموعة الأولى هي أيضاً عناصر في المجموعة الثانية، ولكن قد تحتوي المجموعة الثانية على عناصر غير موجودة في المجموعة الأولى.^{[ 85 ]}

[103] يُفهم الجبر الشامل، من منظور مختلف قليلاً، على أنه دراسة نوع واحد من البنى الجبرية المعروفة بالجبر الشامل. يُعرَّف الجبر الشامل تعريفاً عاماً ليشمل معظم البنى الجبرية الأخرى. على سبيل المثال، تُعدّ الزمر والحلقات أنواعاً خاصة من الجبر الشامل.^{[ 87 ]}

[107] لا تُشكّل كل أنواع البنية الجبرية تنوعًا. على سبيل المثال، تُشكّل كل من المجموعات والحلقات تنوعات، لكن الحقول لا تُشكّلها.^{[ 90 ]}

[110] إلى جانب الهويات، يهتم الجبر الشامل أيضًا بالخصائص البنيوية المرتبطة بشبه الهويات . شبه الهوية هي هوية لا يلزم وجودها إلا في ظل شروط معينة (تأخذ شكل شرط هورن ^{[ 91 ]} ). وهي تعميم للهوية بمعنى أن كل هوية هي شبه هوية، ولكن ليس كل شبه هوية هوية. أما شبه التنوع فهو فئة من جميع البنى الجبرية التي تحقق بعض شبه الهويات.^{[ 92 ]}

[114] التاريخ الدقيق محل خلاف، ويقترح بعض المؤرخين تاريخًا لاحقًا حوالي عام 1550 قبل الميلاد.^{[ 95 ]}

[123] يعتبره بعض المؤرخين "أبو الجبر" بينما ينسب آخرون هذا اللقب إلى ديوفانتوس.^{[ 103 ]}

[125] هذه النماذج هي $bx=c$ ، $ax^{2}=bx$ ، $ax^{2}=c$ ، $ax^{2}+bx=c$ ، $ax^{2}+c=bx$ ، و $ax^{2}=bx+c$ [ ¹⁰⁴^]

[147] تختلف الأصناف الجبرية التي تُدرس في الهندسة عن الأصناف الأكثر عمومية التي تُدرس في الجبر الشامل.^{[ 125 ]}

[1] 
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، القسم الرئيسي
جيلبرت ونيكلسون 2004 ، ص 4

[mwBqY] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، القسم الرئيسي

[mwBqk] جيلبرت ونيكلسون 2004 ، ص 4

[2] 
فيشي وهيبوتيرن 2013 ، ص. 326
Merzlyakov & Shirshov 2020 , § موضوع الجبر وفروعه الرئيسية وعلاقته بفروع الرياضيات الأخرى.
جيلبرت ونيكلسون 2004 ، ص 4

[mwBrU] فيشي وهيبوتيرن 2013 ، ص. 326

[mwBro] Merzlyakov & Shirshov 2020 , § موضوع الجبر وفروعه الرئيسية وعلاقته بفروع الرياضيات الأخرى.

[mwBr0] جيلبرت ونيكلسون 2004 ، ص 4

[3] بارانوفيتش 2023 ، القسم الرئيسي

[5] 
برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 1. الجبر الابتدائي، § 2. الجبر المجرد، § 3. الجبر الشامل
Merzlyakov & Shirshov 2020 , § موضوع الجبر وفروعه الرئيسية وعلاقته بفروع الرياضيات الأخرى.

[mwBs0] برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 1. الجبر الابتدائي، § 2. الجبر المجرد، § 3. الجبر الشامل

[mwBs8] Merzlyakov & Shirshov 2020 , § موضوع الجبر وفروعه الرئيسية وعلاقته بفروع الرياضيات الأخرى.

[6] هايام 2019 ، ص 296

[7] مكتبة الكونغرس ، ص 3

[8] مسابقة zbMATH المفتوحة 2024

[10] 
مادوك 2008 ، ص 129
بورجين 2022 ، ص 45

[mwBug] مادوك 2008 ، ص 129

[mwBus] بورجين 2022 ، ص 45

[auto1-11] 1 2
رومانوفسكي 2008 ، ص 302-303
طاقم HC 2022
فريق عمل MW 2023
بوخشتاب وبيتشاييف 2020

[mwBvg] رومانوفسكي 2008 ، ص 302-303

[mwBvs] طاقم HC 2022

[mwBv0] فريق عمل MW 2023

[mwBv8] بوخشتاب وبيتشاييف 2020

[12] 
مادوك 2008 ، الصفحات 129-130
برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 1. الجبر الابتدائي
واغنر وكيران 2018 ، ص 225

[mwBwk] مادوك 2008 ، الصفحات 129-130

[mwBww] برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 1. الجبر الابتدائي

[mwBw4] واغنر وكيران 2018 ، ص 225

[13] 
مادوك 2008 ، الصفحات 131-132
برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد
واغنر وكيران 2018 ، ص 225

[mwBxo] مادوك 2008 ، الصفحات 131-132

[mwBx0] برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد

[mwBx8] واغنر وكيران 2018 ، ص 225

[14] 
برات 2022 ، § 3. الجبر الشامل
غريليت 2007 ، ص 559
دينيك وويسميث 2018 ، ص. 5
كوهن 2012 ، ص. 13

[mwBys] برات 2022 ، § 3. الجبر الشامل

[mwBy0] غريليت 2007 ، ص 559

[mwBzE] دينيك وويسميث 2018 ، ص. 5

[mwBzY] كوهن 2012 ، ص. 13

[15] 
كريسويل 2010 ، ص 11
فريق عمل مطبعة جامعة أكسفورد
مينيني وأويستايين 2017 ، ص. 722

[mwB0E] كريسويل 2010 ، ص 11

[mwB0U] فريق عمل مطبعة جامعة أكسفورد

[mwB0c] مينيني وأويستايين 2017 ، ص. 722

[16] 
وايسشتاين 2003 ، ص 46
والز 2016 ، الجبر

[mwB1I] وايسشتاين 2003 ، ص 46

[mwB1U] والز 2016 ، الجبر

[17] 
وايسشتاين 2003 ، ص 46
بريشار 2014 ، ص. xxxiii
جولان 1995 ، الصفحات 219-227

[mwB18] وايسشتاين 2003 ، ص 46

[mwB2I] بريشار 2014 ، ص. xxxiii

[mwB2Y] جولان 1995 ، الصفحات 219-227

[18] فريق عمل EoM 2017

[19] 
أوكس والخطيب 2007 ، الصفحات 45-46، 58
غاندز 1926 ، ص 437

[mwB3Q] أوكس والخطيب 2007 ، الصفحات 45-46، 58

[mwB3g] غاندز 1926 ، ص 437

[21] 
كريسويل 2010 ، ص 11
فريق عمل مطبعة جامعة أكسفورد
مينيني وأويستايين 2017 ، ص. 722
هواد 1993 ، ص 10

[mwB4I] كريسويل 2010 ، ص 11

[mwB4Y] فريق عمل مطبعة جامعة أكسفورد

[mwB4g] مينيني وأويستايين 2017 ، ص. 722

[mwB4w] هواد 1993 ، ص 10

[auto7-22] 1 2
تانتون 2005 ، ص 10
كفاس 2006 ، ص 308
كوري 2024 ، § النظرية الأساسية للجبر

[mwB5c] تانتون 2005 ، ص 10

[mwB5o] كفاس 2006 ، ص 308

[mwB50] كوري 2024 ، § النظرية الأساسية للجبر

[auto2-23] 1 2
كفاس 2006 ، الصفحات 314-345
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
كوري 2024 ، § نظرية غالوا، § تطبيقات نظرية الزمر

[mwB6c] كفاس 2006 ، الصفحات 314-345

[mwB6o] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwB60] كوري 2024 ، § نظرية غالوا، § تطبيقات نظرية الزمر

[25] 
تانتون 2005 ، ص 10
كوري 2024 ، § الجبر الهيكلي
هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74

[mwB7Y] تانتون 2005 ، ص 10

[mwB7k] كوري 2024 ، § الجبر الهيكلي

[mwB7s] هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74

[26] 
أركافي، دريجفرز وستيسي 2016 ، ص. 2
بنسون 2003 ، الصفحات 111-112

[mwB8Y] أركافي، دريجفرز وستيسي 2016 ، ص. 2

[mwB8s] بنسون 2003 ، الصفحات 111-112

[auto4-27] 1 2
مادوك 2008 ، ص 129
بيرغرين 2015 ، القسم الرئيسي
برات 2022 ، § 1. الجبر الابتدائي
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § 1. مسح تاريخي

[mwB9g] مادوك 2008 ، ص 129

[mwB9s] بيرغرين 2015 ، القسم الرئيسي

[mwB90] برات 2022 ، § 1. الجبر الابتدائي

[mwB98] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § 1. مسح تاريخي

[28] سوبوليف 2015

[30] 
مادوك 2008 ، الصفحات 129-130
يونغ 2010 ، ص 999
ماجيفسكي 2004 ، ص 347
برات 2022 ، § 1. الجبر الابتدائي
سوريل 2000 ، ص 19

[mwB-w] مادوك 2008 ، الصفحات 129-130

[mwB-8] يونغ 2010 ، ص 999

[mwB_M] ماجيفسكي 2004 ، ص 347

[mwB_Y] برات 2022 ، § 1. الجبر الابتدائي

[mwB_g] سوريل 2000 ، ص 19

[31] 
مادوك 2008 ، الصفحات 129-130
تسوكوس ووتين 2015 ، ص 451
ميشرا 2016 ، ص 1.2

[mwCAM] مادوك 2008 ، الصفحات 129-130

[mwCAY] تسوكوس ووتين 2015 ، ص 451

[mwCAs] ميشرا 2016 ، ص 1.2

[32] 
موسر، بيترسون وبرغر 2013 ، ص 16
غودمان 2001 ، ص 5
ويليامز 2022

[mwCBU] موسر، بيترسون وبرغر 2013 ، ص 16

[mwCBk] غودمان 2001 ، ص 5

[mwCB0] ويليامز 2022

[33] 
مادوك 2008 ، ص 130
ماكيج 1986 ، الصفحات 51-54
برات 2022 ، § 1. الجبر الابتدائي
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § 1. مسح تاريخي

[mwCCY] مادوك 2008 ، ص 130

[mwCCk] ماكيج 1986 ، الصفحات 51-54

[mwCC0] برات 2022 ، § 1. الجبر الابتدائي

[mwCC8] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § 1. مسح تاريخي

[34] 
تان وستيب وهاردي 2012 ، ص. 306
لامانيا 2019 ، ص 150

[mwCDk] تان وستيب وهاردي 2012 ، ص. 306

[mwCD4] لامانيا 2019 ، ص 150

[35] 
بيرغرين 2015 ، § حل أنظمة المعادلات الجبرية
مكيكويج 2014 ، ص 386
مكيكويج 1986 ، ص 148

[mwCEk] بيرغرين 2015 ، § حل أنظمة المعادلات الجبرية

[mwCEs] مكيكويج 2014 ، ص 386

[mwCE8] مكيكويج 1986 ، ص 148

[36] 
مادوك 2008 ، الصفحات 130-131
رود وآخرون، 2012 ، ص 89
والز 2016 ، الجبر

[mwCFo] مادوك 2008 ، الصفحات 130-131

[mwCF0] رود وآخرون، 2012 ، ص 89

[mwCGE] والز 2016 ، الجبر

[37] 
براكن وميلر 2014 ، الصفحات 386-387
كوفمان وشويتر 2011 ، ص. 220
ماركوشيفيتش 2015

[mwCGs] براكن وميلر 2014 ، الصفحات 386-387

[mwCG8] كوفمان وشويتر 2011 ، ص. 220

[mwCHM] ماركوشيفيتش 2015

[38] 
ساهي وبيست 2002 ، ص 21
مادوك 2008 ، ص 131
باريرا مورا 2023 ، ص. التاسع ، 1-2

[mwCHw] ساهي وبيست 2002 ، ص 21

[mwCIE] مادوك 2008 ، ص 131

[mwCIQ] باريرا مورا 2023 ، ص. التاسع ، 1-2

[39] جيديس، تشابور ولاباهن 2007 ، ص 46

[40] 
لوكاس 2022 ، الصفحات 47-49
بيرغرين 2015 ، § التعبيرات الجبرية، § حل المعادلات الجبرية

[mwCJc] لوكاس 2022 ، الصفحات 47-49

[mwCJs] بيرغرين 2015 ، § التعبيرات الجبرية، § حل المعادلات الجبرية

[41] 
بيرغرين 2015 ، § حل المعادلات الجبرية
كوري 2024 ، § الجبر الكلاسيكي

[mwCKQ] بيرغرين 2015 ، § حل المعادلات الجبرية

[mwCKY] كوري 2024 ، § الجبر الكلاسيكي

[auto3-42] 1 2 3
تانتون 2005 ، ص 10
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
كوري 2024 ، § مأزق مع الأساليب الجذرية

[mwCLM] تانتون 2005 ، ص 10

[mwCLY] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwCLk] كوري 2024 ، § مأزق مع الأساليب الجذرية

[43] إيجاراشي وآخرون. 2014 ، ص. 103

[44] 
بيرغرين 2015 ، § حل المعادلات الجبرية
تانتون 2005 ، ص 10
كفاس 2006 ، ص 308
كوري 2024 ، § النظرية الأساسية للجبر

[mwCMk] بيرغرين 2015 ، § حل المعادلات الجبرية

[mwCMs] تانتون 2005 ، ص 10

[mwCM4] كفاس 2006 ، ص 308

[mwCNE] كوري 2024 ، § النظرية الأساسية للجبر

[45] 
مادوك 2008 ، ص 131
باريرا مورا 2023 ، ص. التاسع، 1-2 ،

[mwCNo] مادوك 2008 ، ص 131

[mwCN0] باريرا مورا 2023 ، ص. التاسع، 1-2 ،

[46] 
انطون وروريس 2013 ، ص 2-3
مادوك 2008 ، ص 131
فويتسيكوفسكي 2011

[mwCOg] انطون وروريس 2013 ، ص 2-3

[mwCOw] مادوك 2008 ، ص 131

[mwCO8] فويتسيكوفسكي 2011

[47] 
سايكيا 2008 ، ص. 1
لال 2017 ، ص 31
ميراخور وكريشين 2014 ، ص. 107

[mwCPg] سايكيا 2008 ، ص. 1

[mwCPw] لال 2017 ، ص 31

[mwCQA] ميراخور وكريشين 2014 ، ص. 107

[48] 
براون 2015 ، الصفحات 30-31
واردن 2003 ، الصفحات 70-72

[mwCQw] براون 2015 ، الصفحات 30-31

[mwCRA] واردن 2003 ، الصفحات 70-72

[49] 
يونغ 2010 ، الصفحات 697-698
مادوك 2008 ، ص 131
سوليفان 2010 ، الصفحات 53-54

[mwCRo] يونغ 2010 ، الصفحات 697-698

[mwCR4] مادوك 2008 ، ص 131

[mwCSE] سوليفان 2010 ، الصفحات 53-54

[50] 
انطون وروريس 2013 ، ص 7-8
سوليفان 2010 ، الصفحات 55-56
أتاناسيو وميكوسينسكي 2019 ، ص. 75

[mwCSw] انطون وروريس 2013 ، ص 7-8

[mwCTA] سوليفان 2010 ، الصفحات 55-56

[mwCTQ] أتاناسيو وميكوسينسكي 2019 ، ص. 75

[51] 
مادوك 2008 ، ص 131
انطون وروريس 2013 ، ص 7-8، 11، 491

[mwCUA] مادوك 2008 ، ص 131

[mwCUM] انطون وروريس 2013 ، ص 7-8، 11، 491

[auto10-52] 1 2
انطون وروريس 2013 ، ص 3-7
مورتنسن 2013 ، الصفحات 73-74
يونغ 2023 ، الصفحات 714-715

[mwCVA] انطون وروريس 2013 ، ص 3-7

[mwCVQ] مورتنسن 2013 ، الصفحات 73-74

[mwCVg] يونغ 2023 ، الصفحات 714-715

[auto11-54] 1 2
مادوك 2008 ، ص 131
هاريسون ووالدرون 2011 ، ص 464
أنطون 2013 ، ص 255

[mwCWU] مادوك 2008 ، ص 131

[mwCWg] هاريسون ووالدرون 2011 ، ص 464

[mwCW0] أنطون 2013 ، ص 255

[56] 
فالينزا 2012 ، ص. 7
تشاهال 2018 ، § 1.1 ما هو الجبر الخطي؟
سولومون 2014 ، الصفحات 57-58، 61-62
ريكاردو 2009 ، ص 389

[mwCXg] فالينزا 2012 ، ص. 7

[mwCXw] تشاهال 2018 ، § 1.1 ما هو الجبر الخطي؟

[mwCX8] سولومون 2014 ، الصفحات 57-58، 61-62

[mwCYM] ريكاردو 2009 ، ص 389

[57] 
سولومون 2014 ، ص 57
ريكاردو 2009 ، الصفحات 395-396

[mwCY4] سولومون 2014 ، ص 57

[mwCZI] ريكاردو 2009 ، الصفحات 395-396

[58] 
انطون وروريس 2013 ، ص 3-5
يونغ 2010 ، الصفحات 696-697
سنيد، فيوستر وماكجيليفراي 2022 ، ص 211

[mwCZ0] انطون وروريس 2013 ، ص 3-5

[mwCaE] يونغ 2010 ، الصفحات 696-697

[mwCaU] سنيد، فيوستر وماكجيليفراي 2022 ، ص 211

[59] 
انطون وروريس 2013 ، ص 3-5
يونغ 2010 ، ص 713
سنيد، فيوستر وماكجيليفراي 2022 ، ص 211

[mwCbE] انطون وروريس 2013 ، ص 3-5

[mwCbU] يونغ 2010 ، ص 713

[mwCbk] سنيد، فيوستر وماكجيليفراي 2022 ، ص 211

[60] 
جيلبرت ونيكلسون 2004 ، ص. 1
دومينيك 2008 ، ص 19

[mwCcU] جيلبرت ونيكلسون 2004 ، ص. 1

[mwCco] دومينيك 2008 ، ص 19

[61] 
مادوك 2008 ، الصفحات 131-132
برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد
جيلبرت ونيكلسون 2004 ، الصفحات 1-3
دومينيك 2008 ، ص 19

[mwCdU] مادوك 2008 ، الصفحات 131-132

[mwCdg] برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد

[mwCdo] جيلبرت ونيكلسون 2004 ، الصفحات 1-3

[mwCd8] دومينيك 2008 ، ص 19

[auto9-62] 1 2
برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد
Merzlyakov & Shirshov 2020 ، موضوع الجبر، وفروعه الرئيسية وعلاقته بفروع الرياضيات الأخرى.
بورباكي 1998 ، الصفحات 428-430، 446

[mwCew] برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد

[mwCe4] Merzlyakov & Shirshov 2020 ، موضوع الجبر، وفروعه الرئيسية وعلاقته بفروع الرياضيات الأخرى.

[mwCfE] بورباكي 1998 ، الصفحات 428-430، 446

[63] هاوسبرغر 2020 ، تدريس وتعلم الجبر المجرد

[64] 
تانتون 2005 ، ص 460
مورثي 2012 ، ص 1.3

[mwCgA] تانتون 2005 ، ص 460

[mwCgM] مورثي 2012 ، ص 1.3

[auto5-66] 1 2 أوفشينيكوف 2015 ، ص 27

[68] جريليه 2007 ، ص 247

[70] 
وايتلو 1995 ، ص 61
نيكلسون 2012 ، ص 70
فيشي وهيبوتيرن 2013 ، ص. 326
برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد

[mwChw] وايتلو 1995 ، ص 61

[mwCiA] نيكلسون 2012 ، ص 70

[mwCiQ] فيشي وهيبوتيرن 2013 ، ص. 326

[mwCik] برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد

[71] 
مادوك 2008 ، الصفحات 131-132
برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد

[mwCjI] مادوك 2008 ، الصفحات 131-132

[mwCjU] برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد

[72] 
أولفر 1999 ، الصفحات 55-56
عباس وسلمان 1994 ، ص 58-59
هابرلي 2009 ، ص 640

[mwCj4] أولفر 1999 ، الصفحات 55-56

[mwCkI] عباس وسلمان 1994 ، ص 58-59

[mwCkc] هابرلي 2009 ، ص 640

[73] جيلبرت ونيكلسون 2004 ، ص 4

[75] 
كارغابولوف وميرزلياكوف 2016 ، § التعريف
ختار وأغراوال 2023 ، الصفحات 4-6
مادوك 2008 ، الصفحات 131-132
برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد
نيري 2019 ، ص 258

[mwClk] كارغابولوف وميرزلياكوف 2016 ، § التعريف

[mwClw] ختار وأغراوال 2023 ، الصفحات 4-6

[mwCmE] مادوك 2008 ، الصفحات 131-132

[mwCmQ] برات 2022 ، القسم الرئيسي، § 2. الجبر المجرد

[mwCmY] نيري 2019 ، ص 258

[76] 
ختار وأغراوال 2023 ، الصفحات 6-7
مادوك 2008 ، الصفحات 131-132
أديكاري وأديكاري 2013 ، ص. 72

[mwCnA] ختار وأغراوال 2023 ، الصفحات 6-7

[mwCnU] مادوك 2008 ، الصفحات 131-132

[mwCng] أديكاري وأديكاري 2013 ، ص. 72

[77] 
ماكويني 2002 ، ص 6
كريمر وبيبتش 2017 ، ص 49

[mwCoQ] ماكويني 2002 ، ص 6

[mwCog] كريمر وبيبتش 2017 ، ص 49

[78] 
تانتون 2005 ، ص 242
بهاتاشاريا، جاين وناجبول 1994 ، ص. 141
وايسشتاين 2003 ، ص 1020

[mwCpQ] تانتون 2005 ، ص 242

[mwCpc] بهاتاشاريا، جاين وناجبول 1994 ، ص. 141

[mwCpw] وايسشتاين 2003 ، ص 1020

[79] 
إيلويس 2006
ويلسون 2009 ، ص. 2

[mwCqc] إيلويس 2006

[mwCqk] ويلسون 2009 ، ص. 2

[80] 
وايسشتاين 2003 ، ص 2579
ماكسويل 2009 ، الصفحات 73-74
برات 2022 ، § 2.3 الحلقات

[mwCrM] وايسشتاين 2003 ، ص 2579

[mwCrY] ماكسويل 2009 ، الصفحات 73-74

[mwCro] برات 2022 ، § 2.3 الحلقات

[81] سيلفرمان 2022 ، ص 64

[83] جيديس، تشابور ولاباهن 2007 ، ص 24

[84] سميث 2015 ، ص 161

[85] موه 1992 ، الصفحات 102-103

[87] 
جيديس، تشابور ولاباهن 2007 ، ص 24
فايسشتاين 2003 ، ص 1047 ، 2579
برات 2022 ، § 2.4 الحقول

[mwCt4] جيديس، تشابور ولاباهن 2007 ، ص 24

[mwCuM] فايسشتاين 2003 ، ص 1047 ، 2579

[mwCuY] برات 2022 ، § 2.4 الحقول

[88] 
إيرفينغ 2004 ، الصفحات 77، 236
فايسشتاين 2003 ، ص 1047 ، 2579
هون 2013 ، الصفحات 83-84

[mwCu8] إيرفينغ 2004 ، الصفحات 77، 236

[mwCvI] فايسشتاين 2003 ، ص 1047 ، 2579

[mwCvU] هون 2013 ، الصفحات 83-84

[89] 
سيروفاجسكي 2020 ، § الغرفة 4ب.5 الخواتم
كلاينر 2007 ، ص 63
كلاين 1990 ، ص 1153

[mwCwA] سيروفاجسكي 2020 ، § الغرفة 4ب.5 الخواتم

[mwCwI] كلاينر 2007 ، ص 63

[mwCwY] كلاين 1990 ، ص 1153

[90] 
وايردن 2003 ، ص 110-114، 231، 246
كاربيلوفسكي 1989 ، ص 45
كلاينر 2007 ، ص 63

[mwCxE] وايردن 2003 ، ص 110-114، 231، 246

[mwCxQ] كاربيلوفسكي 1989 ، ص 45

[mwCxg] كلاينر 2007 ، ص 63

[91] 
لانغ 2005 ، الصفحات 261-262
كوكس 2012 ، الصفحات 161-162

[mwCyM] لانغ 2005 ، الصفحات 261-262

[mwCyc] كوكس 2012 ، الصفحات 161-162

[92] كوبر 2011 ، ص 60

[93] 
روان 2006 ، ص 12
برات 2022 ، § 3.3 نظرية بيركوف
غراتزر 2008 ، ص 34

[mwCzk] روان 2006 ، ص 12

[mwCz0] برات 2022 ، § 3.3 نظرية بيركوف

[mwCz8] غراتزر 2008 ، ص 34

[94] 
برات 2022 ، § 3.3 نظرية بيركوف
روان 2006 ، ص 12
جوورز، بارو-جرين وليدر 2010 ، الصفحات 27-28
أدهيكاري 2016 ، الصفحات 5-6

[mwC0k] برات 2022 ، § 3.3 نظرية بيركوف

[mwC0s] روان 2006 ، ص 12

[mwC08] جوورز، بارو-جرين وليدر 2010 ، الصفحات 27-28

[mwC1Q] أدهيكاري 2016 ، الصفحات 5-6

[95] 
نيري 2019 ، الصفحات 278-279
إيفانوفا وسميرنوف 2012
ديو 2018 ، ص 295
أونو 2019 ، ص 84

[mwC18] نيري 2019 ، الصفحات 278-279

[mwC2M] إيفانوفا وسميرنوف 2012

[mwC2Y] ديو 2018 ، ص 295

[mwC2o] أونو 2019 ، ص 84

[auto8-96] 1 2
إندورخيا 2013 ، الصفحات 217-218
برات 2022 ، § 3.3 نظرية بيركوف
غراتزر 2008 ، ص 34

[mwC3c] إندورخيا 2013 ، الصفحات 217-218

[mwC3s] برات 2022 ، § 3.3 نظرية بيركوف

[mwC30] غراتزر 2008 ، ص 34

[auto6-97] 1 2 إندورخيا 2013 ، ص 217-218

[99] إيفيموف 2014

[101] 
برات 2022 ، § 3. الجبر الشامل
كوهن 2012 ، ص. 13

[mwC5M] برات 2022 ، § 3. الجبر الشامل

[mwC5U] كوهن 2012 ، ص. 13

[102] 
سميرنوف 2020
غراتزر 2008 ، الصفحات 7-8
باهتورين 2013 ، ص 346

[mwC58] سميرنوف 2020

[mwC6E] غراتزر 2008 ، الصفحات 7-8

[mwC6Q] باهتورين 2013 ، ص 346

[104] 
برات 2022 ، § 3.2 المنطق المعادلاتي
مالسيف 1973 ، ص 210-211

[mwC68] برات 2022 ، § 3.2 المنطق المعادلاتي

[mwC7E] مالسيف 1973 ، ص 210-211

[105] 
مالسيف 1973 ، ص 210-211
كوهن 2012 ، ص 162
روزن 2012 ، ص 779
هازوينكل 1994 ، ص 406

[mwC7s] مالسيف 1973 ، ص 210-211

[mwC74] كوهن 2012 ، ص 162

[mwC8I] روزن 2012 ، ص 779

[mwC8Y] هازوينكل 1994 ، ص 406

[106] كوهن 1995 ، ص 8

[108] مالسيف 1973 ، ص 211

[109] 
مالسيف 1973 ، ص 210-211
برات 2022 ، § 3. الجبر الشامل
أرتامونوف 2003 ، ص 873

[mwC9s] مالسيف 1973 ، ص 210-211

[mwC94] برات 2022 ، § 3. الجبر الشامل

[mwC-A] أرتامونوف 2003 ، ص 873

[111] 
^ فايسشتاين 2003 ، ص 347-348
جوورز، بارو-جرين وليدر 2010 ، ص 6، 165
تشنغ 2023 ، ص 102

[mwC-s] فايسشتاين 2003 ، ص 347-348

[mwC-4] جوورز، بارو-جرين وليدر 2010 ، ص 6، 165

[mwC_M] تشنغ 2023 ، ص 102

[112] 
جوورز، بارو-جرين وليدر 2010 ، ص 6، 165
بورسي 1994 ، ص 20
لاوس 1998 ، ص 100
تشنغ 2023 ، الصفحات 128-131

[mwC_0] جوورز، بارو-جرين وليدر 2010 ، ص 6، 165

[mwDAI] بورسي 1994 ، ص 20

[mwDAY] لاوس 1998 ، ص 100

[mwDAo] تشنغ 2023 ، الصفحات 128-131

[113] 
كوري 2024 ، § حل المشكلات في مصر وبابل
بريزينسكي، ميرانت وريديفو -زاجليا 2022 ، ص. 34

[mwDBM] كوري 2024 ، § حل المشكلات في مصر وبابل

[mwDBU] بريزينسكي، ميرانت وريديفو -زاجليا 2022 ، ص. 34

[115] 
تانتون 2005 ، ص 9
كفاس 2006 ، ص 290
كوري 2024 ، § حل المشكلات في مصر وبابل

[mwDCE] تانتون 2005 ، ص 9

[mwDCQ] كفاس 2006 ، ص 290

[mwDCc] كوري 2024 ، § حل المشكلات في مصر وبابل

[116] 
تانتون 2005 ، ص 9
كفاس 2006 ، ص 290
كوري 2024 ، § الفيثاغوريون وإقليدس

[mwDDA] تانتون 2005 ، ص 9

[mwDDM] كفاس 2006 ، ص 290

[mwDDY] كوري 2024 ، § الفيثاغوريون وإقليدس

[117] 
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
سيالاروس 2018 ، ص 55
كوري 2024 ، § ديوفانتوس

[mwDD8] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwDEI] سيالاروس 2018 ، ص 55

[mwDEY] كوري 2024 ، § ديوفانتوس

[118] 
هيتل 2015 ، الصفحات 139-141، 160-161
كريستيانيديس وميجريمي 2019 ، ص 16-17

[mwDE8] هيتل 2015 ، الصفحات 139-141، 160-161

[mwDFI] كريستيانيديس وميجريمي 2019 ، ص 16-17

[119] بورجين 2022 ، ص 10

[120] هيغينز 2015 ، ص 89

[121] 
كفاس 2006 ، الصفحات 290-291
سيالاروس 2018 ، ص 55
بوير وميرزباخ 2011 ، ص 161
ديربيشاير 2006 ، ص 31

[mwDGs] كفاس 2006 ، الصفحات 290-291

[mwDG4] سيالاروس 2018 ، ص 55

[mwDHI] بوير وميرزباخ 2011 ، ص 161

[mwDHc] ديربيشاير 2006 ، ص 31

[122] 
بوير وميرزباخ 2011 ، ص 161
ديربيشاير 2006 ، ص 31

[mwDIE] بوير وميرزباخ 2011 ، ص 161

[mwDIY] ديربيشاير 2006 ، ص 31

[FOOTNOTEBradley2006[httpbooksgooglecombooksidEIdtVPeD7GcCpgPA95_95]-124] برادلي 2006 ، ص 95 .

[126] 
تانتون 2005 ، ص 10
كفاس 2006 ، الصفحات 291-293
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwDJc] تانتون 2005 ، ص 10

[mwDJo] كفاس 2006 ، الصفحات 291-293

[mwDJ0] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[127] 
وايردن 2013 ، ص 3، 15-16، 24-25
جينكينز 2010 ، ص 82
بيكوفر 2009 ، ص 90

[mwDKc] وايردن 2013 ، ص 3، 15-16، 24-25

[mwDKo] جينكينز 2010 ، ص 82

[mwDK4] بيكوفر 2009 ، ص 90

[128] 
تانتون 2005 ، الصفحات 9-10
كوري 2024 ، § المعادلة في الهند والصين

[mwDLk] تانتون 2005 ، الصفحات 9-10

[mwDLw] كوري 2024 ، § المعادلة في الهند والصين

[129] 
سيشادري 2010 ، ص 156
إمتش، سريدهاران وسرينيفاس 2005 ، ص 20

[mwDMU] سيشادري 2010 ، ص 156

[mwDMk] إمتش، سريدهاران وسرينيفاس 2005 ، ص 20

[130] 
سمورينسكي 2007 ، ص 137
زويلينجر 2002 ، ص 812

[mwDNU] سمورينسكي 2007 ، ص 137

[mwDNk] زويلينجر 2002 ، ص 812

[131] 
واردن 2013 ، الصفحات 32-35
تانتون 2005 ، ص 10
كفاس 2006 ، ص 293

[mwDOQ] واردن 2013 ، الصفحات 32-35

[mwDOc] تانتون 2005 ، ص 10

[mwDOo] كفاس 2006 ، ص 293

[132] 
تانتون 2005 ، ص 10
كفاس 2006 ، ص 293
كوري 2024 ، § كاردانو وحل المعادلات التكعيبية والرباعية
مياكي 2002 ، ص 268

[mwDPQ] تانتون 2005 ، ص 10

[mwDPc] كفاس 2006 ، ص 293

[mwDPo] كوري 2024 ، § كاردانو وحل المعادلات التكعيبية والرباعية

[mwDPw] مياكي 2002 ، ص 268

[133] 
تانتون 2005 ، ص 10
كفاس 2006 ، الصفحات 291-292، 297-298، 302
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
كوري 2024 ، § فييت والمعادلة الرسمية، § الهندسة التحليلية

[mwDQc] تانتون 2005 ، ص 10

[mwDQo] كفاس 2006 ، الصفحات 291-292، 297-298، 302

[mwDQ0] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwDRA] كوري 2024 ، § فييت والمعادلة الرسمية، § الهندسة التحليلية

[134] 
هازوينكل 1994 ، ص 73
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwDRk] هازوينكل 1994 ، ص 73

[mwDR0] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[135] 
كوري 2024 ، § تطبيقات نظرية الزمر
بوينو وفرينش 2018 ، الصفحات 73-75

[mwDSc] كوري 2024 ، § تطبيقات نظرية الزمر

[mwDSk] بوينو وفرينش 2018 ، الصفحات 73-75

[136] 
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
تانتون 2005 ، ص 10
كوري 2024 ، § الجبر الهيكلي
هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74

[mwDTU] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwDTg] تانتون 2005 ، ص 10

[mwDTs] كوري 2024 ، § الجبر الهيكلي

[mwDT0] هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74

[137] 
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
تانتون 2005 ، ص 10
كوري 2024 ، § المصفوفات، § الكواترنيونات والمتجهات

[mwDUg] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwDUs] تانتون 2005 ، ص 10

[mwDU4] كوري 2024 ، § المصفوفات، § الكواترنيونات والمتجهات

[138] 
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
كوري 2024 ، § هيلبرت وستينيتز، § نوثر وأرتين
هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74

[mwDVc] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwDVo] كوري 2024 ، § هيلبرت وستينيتز، § نوثر وأرتين

[mwDVw] هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74

[139] 
غراتزر 2008 ، ص. 7
تشانغ وكايسلر 1990 ، ص 603
كنوبل 2011 ، ص 5
هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75

[mwDWc] غراتزر 2008 ، ص. 7

[mwDWs] تشانغ وكايسلر 1990 ، ص 603

[mwDXA] كنوبل 2011 ، ص 5

[mwDXQ] هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75

[140] 
هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
كلاينر 2007 ، ص 100
كارلسون 2024 ، § تاريخ الطوبولوجيا

[mwDX8] هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75

[mwDYM] كلاينر 2007 ، ص 100

[mwDYc] كارلسون 2024 ، § تاريخ الطوبولوجيا

[141] 
هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
ويبل 1995 ، ص. 11، 4

[mwDZA] هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75

[mwDZQ] ويبل 1995 ، ص. 11، 4

[142] 
كرومر 2007 ، ص 61
لاوس 1998 ، ص 100

[mwDZ8] كرومر 2007 ، ص 61

[mwDaM] لاوس 1998 ، ص 100

[143] 
هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
برات 2022 ، § 6. الجبر الحر

[mwDa4] هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75

[mwDbI] برات 2022 ، § 6. الجبر الحر

[144] 
هيوستن 2004 ، ص 319
نيري 2019 ، ص. 12
ليدل وبيلز 1997 ، الصفحات من السابع إلى الثامن

[mwDbs] هيوستن 2004 ، ص 319

[mwDb8] نيري 2019 ، ص. 12

[mwDcM] ليدل وبيلز 1997 ، الصفحات من السابع إلى الثامن

[145] 
كلاينر 2007 ، ص 100
برات 2022 ، § 5. جبرية الرياضيات
مادوك 2008 ، ص 130
برات 2022 ، § 5. جبرية الرياضيات
مانكوسو 1999 ، الصفحات 84-85

[mwDc8] كلاينر 2007 ، ص 100

[mwDdM] برات 2022 ، § 5. جبرية الرياضيات

[mwDdU] مادوك 2008 ، ص 130

[mwDdg] برات 2022 ، § 5. جبرية الرياضيات

[mwDdo] مانكوسو 1999 ، الصفحات 84-85

[146] 
برات 2022 ، § 1.4 الهندسة الديكارتية، § 3. الجبر الشامل
دانيلوف 2006 ، ص 174

[mwDeQ] برات 2022 ، § 1.4 الهندسة الديكارتية، § 3. الجبر الشامل

[mwDeY] دانيلوف 2006 ، ص 174

[148] 
برات 2022 ، § 5.1 الهندسة الجبرية
دانيلوف 2006 ، الصفحات 172، 174

[mwDfE] برات 2022 ، § 5.1 الهندسة الجبرية

[mwDfM] دانيلوف 2006 ، الصفحات 172، 174

[149] فينس 2007 ، ص 133

[150] 
برات 2022 ، § 5.3 الطوبولوجيا الجبرية
رابادان وبلومبرغ 2019 ، الصفحات 49-50
ناكاهارا 2018 ، ص 121
وايسشتاين 2003 ، الصفحات 52-53

[mwDgU] برات 2022 ، § 5.3 الطوبولوجيا الجبرية

[mwDgc] رابادان وبلومبرغ 2019 ، الصفحات 49-50

[mwDgw] ناكاهارا 2018 ، ص 121

[mwDhA] وايسشتاين 2003 ، الصفحات 52-53

[151] 
برات 2022 ، § 5.2 نظرية الأعداد الجبرية
جارفيس 2014 ، ص. 1
فيتربو وهونغ 2011 ، ص 127

[mwDho] برات 2022 ، § 5.2 نظرية الأعداد الجبرية

[mwDhw] جارفيس 2014 ، ص. 1

[mwDiA] فيتربو وهونغ 2011 ، ص 127

[152] 
جوورز، بارو-جرين وليدر 2010 ، الصفحات 550، 561
جودسيل 2017 ، ص. 8
بيتن وآخرون، 2013 ، ص. 9

[mwDiw] جوورز، بارو-جرين وليدر 2010 ، الصفحات 550، 561

[mwDjE] جودسيل 2017 ، ص. 8

[mwDjU] بيتن وآخرون، 2013 ، ص. 9

[153] 
كيلتي وماكاليستر 2018 ، الصفحات x، 347، 589
بريسود 2021 ، ص 64

[mwDkA] كيلتي وماكاليستر 2018 ، الصفحات x، 347، 589

[mwDkQ] بريسود 2021 ، ص 64

[154] 
هالموس 1956 ، ص 363
بوريس وليجريس 2021 ، § 1. المقدمة

[mwDk8] هالموس 1956 ، ص 363

[mwDlI] بوريس وليجريس 2021 ، § 1. المقدمة

[155] أندريكا، نيميتي وسين 2001 ، ص 133-134

[156] 
Andréka, Madarász & Németi 2020 , § المنطق الجبري الملموس
برات 2022 ، § 5.4 المنطق الجبري
بلوتكين 2012 ، الصفحات 155-156
جانسانا 2022 ، القسم الرئيسي

[mwDmQ] Andréka, Madarász & Németi 2020 , § المنطق الجبري الملموس

[mwDmc] برات 2022 ، § 5.4 المنطق الجبري

[mwDmk] بلوتكين 2012 ، الصفحات 155-156

[mwDm0] جانسانا 2022 ، القسم الرئيسي

[157] 
Andréka, Madarász & Németi 2020 , § المنطق الجبري المجرد
جانسانا 2022 ، § 4. الجبر

[mwDnY] Andréka, Madarász & Németi 2020 , § المنطق الجبري المجرد

[mwDnk] جانسانا 2022 ، § 4. الجبر

[158] جوينر 2008 ، ص 92

[159] 
هيوستن 2004 ، ص 319
نيري 2019 ، ص. 12
أنطون وروريس 2010 ، ص 327

[mwDok] هيوستن 2004 ، ص 319

[mwDo0] نيري 2019 ، ص. 12

[mwDpE] أنطون وروريس 2010 ، ص 327

[160] 
نيري 2019 ، ص. 12
أليسكيروف، إرسيل وبيونتكوفسكي 2011 ، ص 1-9
سترافين 1980 ، ص 269
مينيني وأويستايين 2017 ، ص. ضد
لوفيت 2015 ، ص. 9
ليدل وبيلز 1997 ، الصفحات من السابع إلى الثامن

[mwDp0] نيري 2019 ، ص. 12

[mwDqE] أليسكيروف، إرسيل وبيونتكوفسكي 2011 ، ص 1-9

[mwDqY] سترافين 1980 ، ص 269

[mwDqo] مينيني وأويستايين 2017 ، ص. ضد

[mwDq8] لوفيت 2015 ، ص. 9

[mwDrM] ليدل وبيلز 1997 ، الصفحات من السابع إلى الثامن

[161] 
ويلر 2023 ، ص 29، 36-37
غالييه وكوينتانس 2020 ، الصفحات 1-2

[mwDr8] ويلر 2023 ، ص 29، 36-37

[mwDsM] غالييه وكوينتانس 2020 ، الصفحات 1-2

[162] 
كليموف 2014 ، ص. 9
بينغتسون & Życzkowski 2017 ، الصفحات من 313 إلى 353

[mwDs8] كليموف 2014 ، ص. 9

[mwDtM] بينغتسون & Życzkowski 2017 ، الصفحات من 313 إلى 353

[163] تيراس 2019 ، ص 63-64 ، 142

[164] هول 2021 ، ص 180

[165] 
ليدل وبيلز 1997 ، ص 183-184، 239-240
كارستنسن، فاين وروزنبرغر 2011 ، الصفحات 326-327

[mwDuw] ليدل وبيلز 1997 ، ص 183-184، 239-240

[mwDvA] كارستنسن، فاين وروزنبرغر 2011 ، الصفحات 326-327

[166] 
كيران 2006 ، ص 15
كابوت 2018 ، ص 186
جارديلا وديلوسيا 2020 ، ص 19-22

[mwDvw] كيران 2006 ، ص 15

[mwDwA] كابوت 2018 ، ص 186

[mwDwQ] جارديلا وديلوسيا 2020 ، ص 19-22

[167] 
أركافي، دريجفرز وستيسي 2016 ، ص. الثالث عشر
ديكر ودولك 2011 ، ص 69

[mwDxA] أركافي، دريجفرز وستيسي 2016 ، ص. الثالث عشر

[mwDxQ] ديكر ودولك 2011 ، ص 69

[168] 
أركافي، دريجفرز وستيسي 2016 ، ص 2-5
دريجفرز، جوددين وكيندت 2011 ، ص 8-10، 16-18

[mwDyA] أركافي، دريجفرز وستيسي 2016 ، ص 2-5

[mwDyQ] دريجفرز، جوددين وكيندت 2011 ، ص 8-10، 16-18

[169] 
كيران 2006 ، ص 15
كابوت 2018 ، ص 186
جارديلا وديلوسيا 2020 ، ص 19-22
ستار وآخرون. 2015 ، ص 16-17

[mwDzA] كيران 2006 ، ص 15

[mwDzQ] كابوت 2018 ، ص 186

[mwDzg] جارديلا وديلوسيا 2020 ، ص 19-22

[mwDz0] ستار وآخرون. 2015 ، ص 16-17

[170] 
أركافي، دريجفرز وستيسي 2016 ، ص 58-59
دريجفرز، جوددين وكيندت 2011 ، ص. 13

[mwD0Y] أركافي، دريجفرز وستيسي 2016 ، ص 58-59

[mwD0o] دريجفرز، جوددين وكيندت 2011 ، ص. 13

[171] هاوسبرجر، زانديه وفليشمان 2021 ، ص 147-148

[

[

يستكشف

[

[

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[

[

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[

[

[

[

[ 22 ]

[ 23 ]

هـ ] التعبير

25

[ 26 ]

[ 27 ]

28

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

37

[

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]،

[ 46 ]

[ 47 ] .

[ و ]

أما

48 ] .

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

54

55

[

[ h ]

[ i ]

[ j ]

[ 60 ]

[ 58 ]

61

[ 62 ]

[ k ]

[ 64 ]

[ 65 ]

[ 66 ]

[ 67 ]

[ 68 ]

69 ] [

1 ] لا

[ 71 ]

[ 72 ]

م

74

[ 75 ]

[ 76 ]

[ 77 ]

[ 78 ]

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

[ 83 ]

[ ن ]

[ o ]

[ 84 ]

[ 86 ]

[ ص ]

[ 88 ]

[ 89 ]

[ q ]

[ r ]

[ 93 ]

[ 94 ]

[

[

[ 97 ]

[ 98 ]

[ 99 ]

[ 100 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗