Coding theory

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة
A two-dimensional visualisation of the Hamming distance, a critical measure in coding theory

Coding theory is the study of the properties of codes and their respective fitness for specific applications. Codes are used for data compression, cryptography, error detection and correction, data transmission and data storage. Codes are studied by various scientific disciplines—such as information theory, electrical engineering, mathematics, linguistics, and computer science—for the purpose of designing efficient and reliable data transmission methods. This typically involves the removal of redundancy and the correction or detection of errors in the transmitted data.

There are four types of coding:[1]

  1. Data compression (or source coding)
  2. Error control (or channel coding)
  3. Cryptographic coding
  4. Line coding

Data compression attempts to remove unwanted redundancy from the data from a source in order to transmit it more efficiently. For example, DEFLATE data compression makes files smaller, for purposes such as to reduce Internet traffic. Data compression and error correction may be studied in combination.

Error correction adds useful redundancy to the data from a source to make the transmission more robust to disturbances present on the transmission channel. The ordinary user may not be aware of many applications using error correction. A typical music compact disc (CD) uses the Reed–Solomon code to correct for scratches and dust. In this application the transmission channel is the CD itself. Cell phones also use coding techniques to correct for the fading and noise of high frequency radio transmission. Data modems, telephone transmissions, and the NASA Deep Space Network all employ channel coding techniques to get the bits through, for example the turbo code and LDPC codes.

History of coding theory

The study of information theory began with the publication of Claude E. Shannon's classic paper "A Mathematical Theory of Communication" in the Bell System Technical Journal in July and October 1948, although Shannon had substantially completed the paper at Bell Labs by the end of 1944,

Shannon introduced the qualitative and quantitative model of communication as a statistical process, opening with the assertion that

"The fundamental problem of communication is that of reproducing at one point, either exactly or approximately, a message selected at another point."

With it came the ideas of

Shannon’s paper focuses on the problem of how to best encode the information a sender wants to transmit. In this fundamental work he used tools in probability theory, developed by Norbert Wiener, which were in their nascent stages of being applied to communication theory at that time. Shannon developed information entropy as a measure for the uncertainty in a message while essentially inventing the field of information theory.

The binary Golay code was developed in 1949. It is an error-correcting code capable of correcting up to three errors in each 24-bit word, and detecting a fourth.

Richard Hamming won the Turing Award in 1968 for his work at Bell Labs in numerical methods, automatic coding systems, and error-detecting and error-correcting codes. He invented the concepts known as Hamming codes, Hamming windows, Hamming numbers, and Hamming distance.

In 1972, Nasir Ahmed proposed the discrete cosine transform (DCT), which he developed with T. Natarajan and K. R. Rao in 1973.[2] The DCT is the most widely used lossy compression algorithm, the basis for multimedia formats such as JPEG, MPEG and MP3.

Source coding

The aim of source coding is to take the source data and make it smaller.

Definition

Data can be seen as a random variableX:Ω→X{\displaystyle X:\Omega \to {\mathcal {X}}}, where x∈X{\displaystyle x\in {\mathcal {X}}} appears with probability P[X=x]{\displaystyle \mathbb {P} [X=x]}.

Data are encoded by strings (words) over an alphabetΣ{\displaystyle \Sigma }.

A code is a function

C:X→Σ∗{\displaystyle C:{\mathcal {X}}\to \Sigma ^{*}} (or Σ+{\displaystyle \Sigma ^{+}} if the empty string is not part of the alphabet).

C(x){\displaystyle C(x)} is the code word associated with x{\displaystyle x}.

Length of the code word is written as

l(C(x)).{\displaystyle l(C(x)).}

Expected length of a code is

l(C)=∑x∈Xl(C(x))P[X=x].{\displaystyle l(C)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}l(C(x))\mathbb {P} [X=x].}

The concatenation of code words C(x1,…,xk)=C(x1)C(x2)⋯C(xk){\displaystyle C(x_{1},\ldots ,x_{k})=C(x_{1})C(x_{2})\cdots C(x_{k})}.

The code word of the empty string is the empty string itself:

C(ϵ)=ϵ{\displaystyle C(\epsilon )=\epsilon }

Properties

  1. C:X→Σ∗{\displaystyle C:{\mathcal {X}}\to \Sigma ^{*}} is non-singular if injective.
  2. C:X∗→Σ∗{\displaystyle C:{\mathcal {X}}^{*}\to \Sigma ^{*}} is uniquely decodable if injective.
  3. C:X→Σ∗{\displaystyle C:{\mathcal {X}}\to \Sigma ^{*}} is instantaneous if C(x1){\displaystyle C(x_{1})} is not a proper prefix of C(x2){\displaystyle C(x_{2})} (and vice versa).

Principle

Entropy of a source is the measure of information. Basically, source codes try to reduce the redundancy present in the source, and represent the source with fewer bits that carry more information.

Data compression which explicitly tries to minimize the average length of messages according to a particular assumed probability model is called entropy encoding.

Various techniques used by source coding schemes try to achieve the limit of entropy of the source. C(x) ≥ H(x), where H(x) is entropy of source (bitrate), and C(x) is the bitrate after compression. In particular, no source coding scheme can be better than the entropy of the source.

Example

Facsimile transmission uses a simple run length code. Source coding removes all data superfluous to the need of the transmitter, decreasing the bandwidth required for transmission.

Channel coding

The purpose of channel coding theory is to find codes which transmit quickly, contain many valid code words and can correct or at least detect many errors. While not mutually exclusive, performance in these areas is a trade-off. So, different codes are optimal for different applications. The needed properties of this code mainly depend on the probability of errors happening during transmission. In a typical CD, the impairment is mainly dust or scratches.

CDs use cross-interleaved Reed–Solomon coding to spread the data out over the disk.[3]

على الرغم من أن رمز التكرار البسيط ليس مثاليًا، إلا أنه يُعد مثالًا واضحًا. لنفترض أننا نأخذ مجموعة من بتات البيانات (تمثل الصوت) ونرسلها ثلاث مرات. عند جهاز الاستقبال، نفحص التكرارات الثلاث بتًا بتًا ونعتمد على الأغلبية. يكمن الاختلاف في أننا لا نرسل البتات بالترتيب فحسب، بل ندمجها. تُقسّم مجموعة بتات البيانات أولًا إلى أربع مجموعات أصغر. ثم نمرّ على كل مجموعة ونرسل بتًا واحدًا من الأولى، ثم الثانية، وهكذا. تُكرر هذه العملية ثلاث مرات لتوزيع البيانات على سطح القرص. قد لا يبدو هذا فعالًا في سياق رمز التكرار البسيط، ولكن توجد رموز أكثر قوة معروفة وفعالة جدًا في تصحيح خطأ "الاندفاع" الناتج عن خدش أو بقعة غبار عند استخدام تقنية الدمج هذه.

تُعدّ بعض الرموز أكثر ملاءمةً لتطبيقاتٍ مختلفة. فالاتصالات في الفضاء السحيق محدودةٌ بالضوضاء الحرارية لجهاز الاستقبال، والتي تتسم بطبيعتها المستمرة أكثر من كونها متقطعة. وبالمثل، فإن أجهزة المودم ذات النطاق الضيق محدودةٌ بالضوضاء الموجودة في شبكة الهاتف، والتي تُنمذج بشكلٍ أفضل كاضطرابٍ مستمر. وتتعرض الهواتف المحمولة لتلاشيٍ سريع . إذ يمكن للترددات العالية المستخدمة أن تُسبب تلاشيًا سريعًا للإشارة حتى لو تم تحريك جهاز الاستقبال بضع بوصات. وهناك فئةٌ من رموز القنوات مصممةٌ لمقاومة التلاشي.

الرموز الخطية

يشير مصطلح نظرية الترميز الجبري إلى المجال الفرعي لنظرية الترميز حيث يتم التعبير عن خصائص الرموز بمصطلحات جبرية ثم يتم البحث فيها بشكل أكبر.

تنقسم نظرية الترميز الجبري أساسًا إلى نوعين رئيسيين من الرموز:

  • رموز الكتل الخطية
  • رموز الالتفاف

يحلل هذا البرنامج الخصائص الثلاث التالية للبرنامج - بشكل رئيسي:

  • طول الكلمة المشفرة
  • إجمالي عدد الكلمات المشفرة الصالحة
  • المسافة الدنيا بين كلمتين رمزيتين صالحتين، باستخدام مسافة هامينغ بشكل أساسي ، وأحيانًا باستخدام مسافات أخرى مثل مسافة لي.

رموز الكتل الخطية

تتميز رموز الكتل الخطية بخاصية الخطية ، أي أن مجموع أي كلمتين رمزيتين يُشكل كلمة رمزية واحدة، وتُطبق هذه الرموز على بتات المصدر في كتل، ومن هنا جاءت تسميتها برموز الكتل الخطية. توجد رموز كتل غير خطية، ولكن يصعب إثبات جودة رمز ما دون هذه الخاصية. [ 4 ]

تُلخّص رموز الكتل الخطية بواسطة أبجديات الرموز الخاصة بها (مثل الثنائي أو الثلاثي) ومعاملاتها ( n ، m ، d min ) [ 5 ] حيث

  1. يمثل n طول كلمة التشفير، بالرموز.
  2. يمثل m عدد رموز المصدر التي سيتم استخدامها للترميز في وقت واحد،
  3. يمثل d min الحد الأدنى لمسافة هامينغ للرمز.

توجد أنواع عديدة من رموز الكتل الخطية، مثل

  1. Cyclic codes (e.g., Hamming codes)
  2. Repetition codes
  3. Parity codes
  4. Polynomial codes (e.g., BCH codes)
  5. Reed–Solomon codes
  6. Algebraic geometric codes
  7. Reed–Muller codes
  8. Perfect codes
  9. Locally recoverable code

Block codes are tied to the sphere packing problem, which has received some attention over the years. In two dimensions, it is easy to visualize. Take a bunch of pennies flat on the table and push them together. The result is a hexagon pattern like a bee's nest. But block codes rely on more dimensions which cannot easily be visualized. The powerful (24,12) Golay code used in deep space communications uses 24 dimensions. If used as a binary code (which it usually is) the dimensions refer to the length of the codeword as defined above.

The theory of coding uses the N-dimensional sphere model. For example, how many pennies can be packed into a circle on a tabletop, or in 3 dimensions, how many marbles can be packed into a globe. Other considerations enter the choice of a code. For example, hexagon packing into the constraint of a rectangular box will leave empty space at the corners. As the dimensions get larger, the percentage of empty space grows smaller. But at certain dimensions, the packing uses all the space and these codes are the so-called "perfect" codes. The only nontrivial and useful perfect codes are the distance-3 Hamming codes with parameters satisfying (2r – 1, 2r – 1 – r, 3), and the [23,12,7] binary and [11,6,5] ternary Golay codes.[4][5]

Another code property is the number of neighbors that a single codeword may have.[6] Again, consider pennies as an example. First we pack the pennies in a rectangular grid. Each penny will have 4 near neighbors (and 4 at the corners which are farther away). In a hexagon, each penny will have 6 near neighbors. When we increase the dimensions, the number of near neighbors increases very rapidly. The result is the number of ways for noise to make the receiver choose a neighbor (hence an error) grows as well. This is a fundamental limitation of block codes, and indeed all codes. It may be harder to cause an error to a single neighbor, but the number of neighbors can be large enough so the total error probability actually suffers.[6]

Properties of linear block codes are used in many applications. For example, the syndrome-coset uniqueness property of linear block codes is used in trellis shaping,[7] one of the best-known shaping codes.

Convolutional codes

تعتمد فكرة الترميز التلافيفي على جعل كل رمز من رموز الكلمات المشفرة عبارة عن مجموع مرجح لرموز رسائل الإدخال المختلفة. يشبه هذا الالتفاف المستخدم في أنظمة LTI لإيجاد مخرج النظام، عندما تكون المدخلات واستجابة النبضة معروفة.

لذلك نجد بشكل عام ناتج مشفر النظام التلافيفي، وهو عبارة عن التفاف بت الإدخال، مقابل حالات مشفر التلافيفي، السجلات.

في الأساس، لا توفر الشفرات الالتفافية حمايةً أكبر ضد التشويش مقارنةً بشفرة الكتلة المكافئة. في كثير من الحالات، تتميز الشفرات الالتفافية ببساطة تنفيذها مقارنةً بشفرة الكتلة ذات القدرة المتساوية. عادةً ما يكون المُشفِّر عبارة عن دائرة بسيطة مزودة بذاكرة حالة ومنطق تغذية راجعة، عادةً ما يكون بوابات XOR . يمكن تنفيذ المُفكِّك برمجياً أو باستخدام البرامج الثابتة.

تُعدّ خوارزمية فيتربي الخوارزمية الأمثل لفك تشفير الشفرات الالتفافية. وقد أُجريت عليها بعض التبسيطات لتقليل العبء الحسابي، حيث تعتمد على البحث في المسارات الأكثر احتمالاً فقط. ورغم أنها ليست الأمثل، فقد أثبتت عمومًا أنها تُعطي نتائج جيدة في بيئات ذات ضوضاء منخفضة.

تُستخدم رموز الالتفاف في أجهزة مودم النطاق الصوتي (V.32، V.17، V.34) وفي الهواتف المحمولة GSM، بالإضافة إلى أجهزة الاتصالات عبر الأقمار الصناعية والعسكرية.

التشفير

علم التشفير، أو الترميز التشفيري، هو ممارسة ودراسة تقنيات الاتصال الآمن في وجود أطراف ثالثة (تُسمى الخصوم ). [ 8 ] وبشكل أعم، يتعلق الأمر ببناء وتحليل البروتوكولات التي تحجب الخصوم؛ [ 9 ] وتُعدّ جوانب مختلفة في أمن المعلومات ، مثل سرية البيانات ، وسلامة البيانات ، والمصادقة ، وعدم الإنكار [ 10 ]، أساسية في علم التشفير الحديث. يقع علم التشفير الحديث عند تقاطع تخصصات الرياضيات ، وعلوم الحاسوب ، والهندسة الكهربائية . وتشمل تطبيقاته بطاقات الصراف الآلي ، وكلمات مرور الحاسوب ، والتجارة الإلكترونية .

قبل العصر الحديث، كان علم التشفير مرادفًا فعليًا للتشفير ، أي تحويل المعلومات من حالة قابلة للقراءة إلى ما يبدو بلا معنى . وكان مُنشئ الرسالة المشفرة يشارك تقنية فك التشفير اللازمة لاستعادة المعلومات الأصلية مع المستلمين المقصودين فقط، مانعًا بذلك الأشخاص غير المرغوب فيهم من فعل الشيء نفسه. ومنذ الحرب العالمية الأولى وظهور الحاسوب ، أصبحت أساليب التشفير أكثر تعقيدًا وانتشارًا.

تعتمد التشفيرات الحديثة بشكل كبير على النظرية الرياضية وتطبيقات علوم الحاسوب؛ إذ تُصمَّم خوارزميات التشفير بناءً على افتراضات صعوبة الحساب ، مما يجعل اختراقها عمليًا أمرًا بالغ الصعوبة لأي مُهاجم. من الناحية النظرية، يُمكن اختراق مثل هذا النظام، لكن من المستحيل عمليًا القيام بذلك بأي وسيلة معروفة. ولذلك تُسمى هذه الأنظمة بالأنظمة الآمنة حسابيًا؛ وتتطلب التطورات النظرية، مثل تحسينات خوارزميات تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية ، وتقنيات الحوسبة الأسرع، تكييف هذه الحلول باستمرار. توجد أنظمة آمنة من الناحية المعلوماتية، والتي يُمكن إثبات استحالة اختراقها حتى مع قوة حاسوبية غير محدودة - ومن أمثلتها مفتاح التشفير لمرة واحدة - لكن تنفيذ هذه الأنظمة أصعب من أفضل الآليات الآمنة حسابيًا والقابلة للاختراق نظريًا.

ترميز الخطوط

رمز الخط (يسمى أيضًا تعديل النطاق الأساسي الرقمي أو طريقة إرسال النطاق الأساسي الرقمي ) هو رمز يتم اختياره للاستخدام داخل نظام الاتصالات لأغراض إرسال النطاق الأساسي .

يُستخدم ترميز الخط غالبًا لنقل البيانات الرقمية. ويتمثل في تمثيل الإشارة الرقمية المراد نقلها بإشارة منفصلة السعة والزمن، مُعدّة خصيصًا لتناسب خصائص القناة الفيزيائية (وأجهزة الاستقبال). يُطلق على نمط شكل الموجة للجهد أو التيار المستخدم لتمثيل الأصفار والآحاد في البيانات الرقمية على وصلة الإرسال اسم ترميز الخط . ومن أنواع ترميز الخط الشائعة: أحادي القطب ، والقطبي ، وثنائي القطب ، وترميز مانشستر .

تطبيقات أخرى لنظرية الترميز

من بين اهتمامات نظرية الترميز الأخرى تصميم رموز تساعد على التزامن . يمكن تصميم الرمز بحيث يمكن اكتشاف وتصحيح أي انزياح في الطور بسهولة، ويمكن إرسال إشارات متعددة على نفس القناة.

يُستخدم نظام الوصول المتعدد بتقسيم الشفرة (CDMA) في بعض أنظمة الهواتف المحمولة، ومن تطبيقاته الأخرى استخدام الشفرة . يُخصص لكل هاتف تسلسل شفرة غير مرتبط تقريبًا بشفرات الهواتف الأخرى. عند الإرسال، تُستخدم كلمة الشفرة لتعديل بتات البيانات التي تُمثل الرسالة الصوتية. عند جهاز الاستقبال، تُجرى عملية فك تشفير لاستعادة البيانات. تسمح خصائص هذا النوع من الشفرات للعديد من المستخدمين (بشفرات مختلفة) باستخدام نفس قناة الراديو في الوقت نفسه. بالنسبة لجهاز الاستقبال، ستظهر إشارات المستخدمين الآخرين لجهاز فك التشفير كضوضاء منخفضة المستوى فقط.

تُعدّ رموز طلب إعادة الإرسال التلقائي (ARQ) فئة عامة أخرى من الرموز . في هذه الرموز، يُضيف المُرسِل تكرارًا لكل رسالة للتحقق من الأخطاء، عادةً بإضافة بتات تحقق. إذا لم تكن بتات التحقق متسقة مع بقية الرسالة عند وصولها، سيطلب المُستقبِل من المُرسِل إعادة إرسال الرسالة. تستخدم جميع بروتوكولات الشبكات واسعة النطاق، باستثناء أبسطها ، رموز ARQ. تشمل البروتوكولات الشائعة SDLC (IBM)، وTCP (الإنترنت)، و X.25 (دولي)، وغيرها الكثير. يوجد مجال بحثي واسع حول هذا الموضوع نظرًا لمشكلة مطابقة حزمة مرفوضة مع حزمة جديدة. هل هي حزمة جديدة أم إعادة إرسال؟ عادةً ما تُستخدم أنظمة ترقيم، كما هو الحال في TCP. "RFC793" . RFCS . فريق عمل هندسة الإنترنت (IETF). سبتمبر 1981.

اختبار المجموعة

يستخدم اختبار المجموعات رموزًا بطريقة مختلفة. لنفترض وجود مجموعة كبيرة من العناصر، حيث يختلف عدد قليل جدًا منها بطريقة معينة (مثل المنتجات المعيبة أو الأشخاص المصابين بالعدوى). تكمن فكرة اختبار المجموعات في تحديد العناصر "المختلفة" باستخدام أقل عدد ممكن من الاختبارات. تعود جذور هذه المشكلة إلى الحرب العالمية الثانية، عندما احتاجت القوات الجوية للجيش الأمريكي إلى فحص جنودها للكشف عن مرض الزهري . [ 11 ]

الترميز التناظري

تُشفّر المعلومات بطريقة مماثلة في الشبكات العصبية للدماغ ، وفي معالجة الإشارات التناظرية ، والإلكترونيات التناظرية . تشمل جوانب التشفير التناظري تصحيح الأخطاء التناظرية، [ 12 ] وضغط البيانات التناظرية ، [ 13 ] والتشفير التناظري. [ 14 ]

الترميز العصبي

يُعدّ الترميز العصبي مجالًا مرتبطًا بعلم الأعصاب، ويهتم بكيفية تمثيل المعلومات الحسية وغيرها في الدماغ بواسطة شبكات الخلايا العصبية . يتمثل الهدف الرئيسي لدراسة الترميز العصبي في تحديد العلاقة بين المُحفّز والاستجابات العصبية الفردية أو الجماعية، والعلاقة بين النشاط الكهربائي للخلايا العصبية في المجموعة. [ 15 ] يُعتقد أن الخلايا العصبية قادرة على ترميز المعلومات الرقمية والتناظرية على حد سواء، [ 16 ] وأنها تتبع مبادئ نظرية المعلومات وتضغط المعلومات، [ 17 ] وتكتشف وتصحح [ 18 ] الأخطاء في الإشارات المُرسلة عبر الدماغ والجهاز العصبي.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ جيمس إيرفين؛ ديفيد هارل (2002). "2.4.4 أنواع الترميز". اتصالات البيانات والشبكات . جون وايلي وأولاده. ص 18. ISBN  9780471808725هناك أربعة أنواع من الترميز
  2. ↑ ناصر أحمد . "كيف توصلت إلى تحويل جيب التمام المنفصل" . معالجة الإشارات الرقمية، المجلد 1، العدد 1، 1991، الصفحات 4-5.
  3. ↑ تود كامبل. "Answer Geek: أقراص قواعد تصحيح الأخطاء" .
  4. 1 2 تيراس، أودري ( 1999). تحليل فورييه على المجموعات المنتهية وتطبيقاته . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 195. ISBN  978-0-521-45718-7.
  5. 1 2 بلاهوت، ريتشارد إي. (2003). الرموز الجبرية لنقل البيانات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-55374-2.
  6. 1 2 كريستيان شليغل؛ لانس بيريز (2004). الترميز الشبكي والترميز التوربيني . وايلي-IEEE. ص 73. ISBN  978-0-471-22755-7.
  7. ↑ فورني، جي دي جونيور (مارس 1992). "تشكيل الشبكة". معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 38 (2 الجزء 2): 281-300 . doi : 10.1109/18.119687 . S2CID 37984132 . 
  8. ↑ ريفست، رونالد ل. (1990). "علم التشفير". في ج. فان ليوين (محرر). دليل علوم الحاسوب النظرية . المجلد 1. إلسيفير. 
  9. ^ بيلاري، ميهير. روغاواي ، فيليب (21 سبتمبر 2005). "مقدمة". مقدمة في التشفير الحديث . ص. 10. 
  10. ↑ مينيزيس، أ. ج.؛ فان أورشوت، ب. س.؛ فانستون، س. أ. (1997). دليل التشفير التطبيقي . تايلور وفرانسيس. ISBN 978-0-8493-8523-0.
  11. ↑ دورفمان، روبرت (1943). "الكشف عن الأفراد ذوي العيوب في المجتمعات الكبيرة" . حوليات الإحصاء الرياضي . 14 (4): 436-440 . doi : 10.1214/aoms/1177731363 .
  12. ↑ تشين، برايان؛ وورنيل، غريغوري و. (يوليو 1998). "رموز تصحيح الأخطاء التناظرية القائمة على الأنظمة الديناميكية الفوضوية" (ملف PDF) . معاملات IEEE في الاتصالات . 46 (7): 881-890 . CiteSeerX 10.1.1.30.4093 . doi : 10.1109/26.701312 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 27-09-2001 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30-06-2013 . 
  13. ↑ نوفاك، فرانك؛ هفالا، بويان؛ كلافزار، ساندي (1999). "حول تحليل التوقيع التناظري". وقائع مؤتمر التصميم والأتمتة والاختبار في أوروبا . CiteSeerX 10.1.1.142.5853 . ISBN  1-58113-121-6.
  14. ↑ شوجون لي؛ تشنغتشينغ لي؛ كوك-تونغ لو؛ غوانرونغ تشن (أبريل 2008). "تحليل تشفير نظام تشفير قائم على فصل المصادر العمياء" (ملف PDF) . معاملات IEEE في الدوائر والأنظمة I. 55 ( 4): 1055-1063 . arXiv : cs/0608024 . doi : 10.1109/TCSI.2008.916540 . S2CID 2224947 . 
  15. ↑ براون إي إن، كاس آر إي، ميترا بي بي (مايو 2004). "تحليل بيانات قطارات النبضات العصبية المتعددة: أحدث التقنيات والتحديات المستقبلية" ( ملف PDF) . مجلة نيتشر لعلم الأعصاب . 7 (5): 456-461 . doi : 10.1038/nn1228 . PMID 15114358. S2CID 562815 .  
  16. ↑ ثورب، إس. جيه. (1990). "أوقات وصول النبضات: مخطط ترميز عالي الكفاءة للشبكات العصبية" (ملف PDF) . في: إيكميلر، ر.؛ هارتمان، ج.؛ هاوسكه، ج. (محررون). المعالجة المتوازية في الأنظمة العصبية والحواسيب (ملف PDF) . نورث هولاند. الصفحات 91-94 . ISBN  978-0-444-88390-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 يونيو 2013 .
  17. ↑ جيديون، ت.؛ باركر، أ.إ.؛ ديميتروف، أ.ج. (ربيع 2002). "تشويه المعلومات والترميز العصبي" . المجلة الكندية للرياضيات التطبيقية . 10 (1): 10. CiteSeerX 10.1.1.5.6365 . مؤرشف من الأصل في 17 نوفمبر 2016. تم الاسترجاع في 30 يونيو 2013 . 
  18. ↑ ستيبر، م. (يوليو 2005). "دقة توقيت النبضات وتصحيح الأخطاء العصبية: السلوك المحلي". الحوسبة العصبية . 17 (7): 1577-1601 . arXiv : q-bio/0501021 . doi : 10.1162/ 0899766053723069 . PMID 15901408. S2CID 2064645 .  

مراجع