رمز قابل للاسترداد محليًا

تعتمد طريقة تامو-بارج على كثيرات حدود جيدة. ^{[ 9 ]}

• لنفترض أن أ${\displaystyle (r,\ell )}$- متعدد الحدود الجيد${\displaystyle f(x)}$زيادة${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$يُقدم مع غطاء مقسم${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,\ell \}}$.

• يترك${\displaystyle s\leq \ell -1}$ليكن عددًا صحيحًا موجبًا .

• ضع في اعتبارك ما يلي${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$- فضاء متجهات كثيرات الحدود$${\displaystyle V=\left\{\sum _{i=0}^{s}g_{i}(x)f(x)^{i}:\deg(g_{i}(x))\leq \deg(f(x))-2\right\}.}$$

• يترك${\textstyle T=\bigcup _{i=1}^{\ell }A_{i}}$.

• الشفرة${\displaystyle \{\operatorname {ev} _{T}(g):g\in V\}}$هو${\displaystyle ((r+1)\ell ,(s+1)r,d,r)}$الكود الأمثل القابل للتغطية محليًا، حيث${\displaystyle \operatorname {ev} _{T}}$يشير إلى تقييم${\displaystyle g}$في جميع نقاط المجموعة${\displaystyle T}$.

• الطول. الطول هو عدد نقاط التقييم. لأن المجموعات${\displaystyle A_{i}}$منفصلة لـ​${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,\ell \}}$، طول الكود هو${\displaystyle |T|=(r+1)\ell }$.

• البُعد . بُعد الكود هو${\displaystyle (s+1)r}$، ل${\displaystyle s}$≤${\displaystyle \ell -1}$، كما هو الحال مع كل${\displaystyle g_{i}}$حاصل على درجة علمية على الأكثر${\displaystyle \deg(f(x))-2}$، تغطي فضاء متجهي ذو بُعد${\displaystyle \deg(f(x))-1=r}$وبناء${\displaystyle V}$، هناك${\displaystyle s+1}$متميز${\displaystyle g_{i}}$.

• المسافة . تُحدد المسافة من خلال حقيقة أن${\displaystyle V\subseteq \mathbb {F} _{q}[x]_{\leq k}}$، أين${\displaystyle k=r+1-2+s(r+1)}$والرمز الناتج هو رمز ريد-سولومون من الدرجة على الأكثر${\displaystyle k}$إذن، المسافة الدنيا تساوي${\displaystyle (r+1)\ell -((r+1)-2+s(r+1))}$.

• الموقع. بعد محو المكون الفردي، يتم التقييم عند${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$، أين${\displaystyle |A_{i}|=r+1}$، غير معروف، لكن التقييمات لجميع الآخرين${\displaystyle a\in A_{i}}$معروفة، لذا على الأكثر${\displaystyle r}$هناك حاجة إلى إجراء تقييمات لتحديد المكون الممحو بشكل فريد، مما يعطينا موضعية${\displaystyle r}$.

لرؤية هذا،${\displaystyle g}$يقتصر على${\displaystyle A_{j}}$يمكن وصفها بواسطة متعددة الحدود${\displaystyle h}$درجة علمية على الأكثر${\displaystyle \deg(f(x))-2=r+1-2=r-1}$بفضل شكل العناصر في${\displaystyle V}$(أي بفضل حقيقة أن${\displaystyle f}$ثابت على​${\displaystyle A_{j}}$و${\displaystyle g_{i}}$لا يملكون شهادة جامعية على الأكثر${\displaystyle \deg(f(x))-2}$). على الجانب الآخر${\displaystyle |A_{j}\backslash \{a_{j}\}|=r}$، و${\displaystyle r}$تحدد التقييمات بشكل فريد متعددة حدود من الدرجة${\displaystyle r-1}$. لذلك${\displaystyle h}$يمكن بناؤها وتقييمها في${\displaystyle a_{j}}$للتعافي${\displaystyle g(a_{j})}$.

سنستخدم${\displaystyle x^{5}\in \mathbb {F} _{41}[x]}$لبناء${\displaystyle [15,8,6,4]}$لاحظ أن درجة هذه كثيرة الحدود هي 5، وهي ثابتة على${\displaystyle A_{i}}$ل${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,8\}}$، أين${\displaystyle A_{1}=\{1,10,16,18,37\}}$،${\displaystyle A_{2}=2A_{1}}$،${\displaystyle A_{3}=3A_{1}}$،${\displaystyle A_{4}=4A_{1}}$،${\displaystyle A_{5}=5A_{1}}$،${\displaystyle A_{6}=6A_{1}}$،${\displaystyle A_{7}=11A_{1}}$، و${\displaystyle A_{8}=15A_{1}}$:${\displaystyle A_{1}^{5}=\{1\}}$،${\displaystyle A_{2}^{5}=\{32\}}$،${\displaystyle A_{3}^{5}=\{38\}}$،${\displaystyle A_{4}^{5}=\{40\}}$،${\displaystyle A_{5}^{5}=\{9\}}$،${\displaystyle A_{6}^{5}=\{27\}}$،${\displaystyle A_{7}^{5}=\{3\}}$،${\displaystyle A_{8}^{5}=\{14\}}$. لذلك،${\displaystyle x^{5}}$هو${\displaystyle (4,8)}$-دالة حدود جيدة على${\displaystyle \mathbb {F} _{41}}$بحسب التعريف. الآن، سنستخدم هذه المعادلة متعددة الحدود لإنشاء رمز ذي بُعد${\displaystyle k=8}$والطول${\displaystyle n=15}$زيادة${\displaystyle \mathbb {F} _{41}}$. موضع هذا الكود هو 4، مما سيسمح لنا باستعادة فشل خادم واحد من خلال النظر إلى المعلومات الموجودة في 4 خوادم أخرى على الأكثر .

بعد ذلك، دعونا نحدد متعددة الحدود المشفرة :${\displaystyle f_{a}(x)=\sum _{i=0}^{r-1}f_{i}(x)x^{i}}$، أين${\displaystyle f_{i}(x)=\sum _{i=0}^{{\frac {k}{r}}-1}a_{i,j}g(x)^{j}}$. لذا،${\displaystyle f_{a}(x)=}$${\displaystyle a_{0,0}+}$${\displaystyle a_{0,1}x^{5}+}$${\displaystyle a_{1,0}x+}$${\displaystyle a_{1,1}x^{6}+}$${\displaystyle a_{2,0}x^{2}+}$${\displaystyle a_{2,1}x^{7}+}$${\displaystyle a_{3,0}x^{3}+}$${\displaystyle a_{3,1}x^{8}}$.

وبالتالي، يمكننا استخدام متعددة الحدود المشفرة التي تم الحصول عليها إذا أخذنا بياناتنا المراد تشفيرها كمتجه صف.${\displaystyle a=}$${\displaystyle (a_{0,0},a_{0,1},a_{1,0},a_{1,1},a_{2,0},a_{2,1},a_{3,0},a_{3,1})}$ترميز المتجه${\displaystyle m}$إلى متجه رسالة بطول 15${\displaystyle c}$عن طريق الضرب${\displaystyle m}$بواسطة مصفوفة المولد

${\displaystyle G={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&32&32&32&32&32&38&38&38&38&38\\1&10&16&18&37&2&20&32&33&36&3&7&13&29&30\\1&10&16&18&37&23&25&40&31&4&32&20&2&36&33\\1&18&10&37&16&4&31&40&23&25&9&8&5&21&39\\1&18&10&37&16&5&8&9&39&21&14&17&26&19&6\\1&16&37&10&18&8&5&9&21&39&27&15&24&35&22\\1&16&37&10&18&10&37&1&16&18&1&37&10&18&16\end{pmatrix}}.}$

على سبيل المثال، ترميز متجه المعلومات${\displaystyle m=(1,1,1,1,1,1,1,1)}$يعطي كلمة السر${\displaystyle c=mG=(8,8,5,9,21,3,36,31,32,12,2,20,37,33,21)}$.

لاحظ أننا أنشأنا رمز LRC مثاليًا؛ لذلك، باستخدام حد Singleton ، فإن مسافة هذا الرمز هي${\displaystyle d=n-k-\left\lceil {\frac {k}{r}}\right\rceil +2=15-8-2+2=7}$وبالتالي، يمكننا استعادة أي 6 عمليات محو من كلمة المرور الخاصة بنا من خلال النظر إلى 8 مكونات أخرى على الأكثر.