متعدد الحدود

في الرياضيات ، كثيرة الحدود هي تعبير رياضي يتكون من متغيرات غير محددة (وتسمى أيضًا متغيرات ) ومعاملات ، والتي تنطوي فقط على عمليات الجمع والطرح والضرب والرفع إلى قوى صحيحة غير سالبة ، ولها عدد محدود من الحدود. [ ^1]^[2]^[3]^[4]^[5] مثال على كثيرة حدود ذات قيمة غير محددة واحدة $x$ هو $x$ $2$ $- 4$ $x$ $+ 7.$ مثال بثلاث قيم غير محددة هو $x$ $3$ $+ 2$ $xyz$ $2$ $-$ $yz$ $+ 1$ .

تظهر الحدوديات في العديد من مجالات الرياضيات والعلوم. على سبيل المثال، تُستخدم لتشكيل معادلات حدودية ، والتي تشفر مجموعة واسعة من المشكلات، من مشكلات الكلمات الأولية إلى المشكلات العلمية المعقدة؛ تُستخدم لتحديد الدوال الحدودية، والتي تظهر في إعدادات تتراوح من الكيمياء والفيزياء الأساسية إلى الاقتصاد والعلوم الاجتماعية ؛ وتُستخدم في حساب التفاضل والتكامل والتحليل العددي لتقريب الدوال الأخرى. في الرياضيات المتقدمة، تُستخدم الحدوديات لبناء حلقات حدودية وأصناف جبرية ، وهي مفاهيم أساسية في الجبر والهندسة الجبرية .

علم أصول الكلمات

تتكون كلمة كثير الحدود من جذرين مختلفين : الجذر اليوناني poly ، الذي يعني "العديد"، والكلمة اللاتينية nomen ، أو "الاسم". وقد اشتُقت من مصطلح ثنائي الحدين عن طريق استبدال الجذر اللاتيني bi- بالكلمة اليونانية poly- . وهذا يعني مجموع العديد من المصطلحات (العديد من أحاديات الحدود ). وقد استُخدمت كلمة كثير الحدود لأول مرة في القرن السابع عشر. ^[6]

التدوين والمصطلحات

رسم بياني لدالة متعددة الحدود من الدرجة 3

يُطلق على x الموجود في كثير الحدود عادةً اسم متغير أو غير محدد . عندما يتم اعتبار كثير الحدود تعبيرًا، يكون x رمزًا ثابتًا ليس له أي قيمة (قيمته "غير محددة"). ومع ذلك، عندما نفكر في الدالة المحددة بواسطة كثير الحدود، فإن x يمثل وسيطة الدالة، وبالتالي يُطلق عليه اسم "متغير". يستخدم العديد من المؤلفين هاتين الكلمتين بالتبادل.

يُشار عادةً إلى كثيرة الحدود P في x غير المحددة إما بـ P أو بـ P ( x ). رسميًا، اسم كثيرة الحدود هو P وليس P ( x )، لكن استخدام التدوين الوظيفي P ( x ) يعود إلى وقت لم يكن فيه التمييز بين كثيرة الحدود والدالة المرتبطة بها واضحًا. علاوة على ذلك، غالبًا ما يكون التدوين الوظيفي مفيدًا لتحديد كثيرة الحدود وغير المحددة في عبارة واحدة. على سبيل المثال، "دع P ( x ) تكون كثيرة حدود" هو اختصار لـ "دع P تكون كثيرة حدود في x غير المحددة ". من ناحية أخرى، عندما لا يكون من الضروري التأكيد على اسم غير المحدد، تكون العديد من الصيغ أبسط وأسهل في القراءة إذا لم تظهر أسماء غير المحددة في كل ظهور لكثيرة الحدود.

يمكن حل الغموض المتمثل في وجود ترميزين لكائن رياضي واحد رسميًا من خلال النظر في المعنى العام للترميز الوظيفي للحدوديات. إذا كان a يدل على رقم أو متغير أو حدودية أخرى أو بشكل عام أي تعبير، فإن P ( a ) يدل، حسب الاتفاقية، على نتيجة استبدال a بـ x في P. وبالتالي، فإن الحدودية P تحدد الدالة التي هي دالة الحدودية المرتبطة بـ P. في كثير من الأحيان، عند استخدام هذا الترميز، يفترض المرء أن a هو رقم. ومع ذلك، يمكن للمرء استخدامه على أي مجال يتم فيه تعريف الجمع والضرب (أي أي حلقة ). على وجه الخصوص، إذا كانت a متعددة حدودية، فإن P ( a ) هي أيضًا متعددة حدود. $a\mapsto P(a),$

وبشكل أكثر تحديدًا، عندما يكون a هو x غير المحدد ، فإن صورة x بواسطة هذه الدالة هي الحدودية P نفسها (استبدال x بـ x لا يغير أي شيء). بعبارة أخرى، هذا يبرر رسميًا وجود تدوينين لنفس الحدودية. $P(x)=P,$

تعريف

التعبيرات الحدودية هي تعبيرات يمكن بناؤها من ثوابت ورموز تسمى متغيرات أو غير محددة عن طريق الجمع والضرب والأس إلى قوة صحيحة غير سالبة . الثوابت هي أرقام بشكل عام ، ولكن يمكن أن تكون أي تعبير لا يتضمن غير محددات، ويمثل كائنات رياضية يمكن إضافتها وضربها . يُعتبر تعبيران حدوديان أنهما يحددان نفس الحدود إذا كان من الممكن تحويلهما، أحدهما إلى الآخر، من خلال تطبيق الخصائص المعتادة للتبديل والترابط والتوزيع للجمع والضرب. على سبيل المثال وهما تعبيران حدوديان يمثلان نفس الحدود؛ لذا، فإن أحدهما له المساواة . $(x-1)(x-2)$ $x^{2}-3x+2$ $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$

يمكن دائمًا كتابة كثيرة حدود في $x$ غير محددة واحدة (أو إعادة كتابتها) في النموذج حيث هي ثوابت تسمى معاملات كثيرة الحدود، و هي غير محددة. ^[7] تعني كلمة "غير محدد" أنه لا يمثل أي قيمة معينة، على الرغم من أنه يمكن استبدال أي قيمة بها. التعيين الذي يربط نتيجة هذا الاستبدال بالقيمة البديلة هو دالة تسمى دالة كثيرة الحدود . $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$ $a_{0},\ldots ,a_{n}$ $x$ $x$

يمكن التعبير عن ذلك بشكل أكثر إيجازًا باستخدام تدوين الجمع : أي أن كثيرة الحدود يمكن أن تكون إما صفرًا أو يمكن كتابتها كمجموع عدد محدود من الحدود غير الصفرية . يتكون كل حد من حاصل ضرب رقم - يسمى معامل الحد ^[a] - وعدد محدود من القيم غير المحددة، مرفوعة إلى قوى صحيحة غير سالبة. $\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$

تصنيف

يُطلق على الأس الموجود على حد غير محدد في حد ما اسم درجة ذلك الحد غير المحدد في ذلك الحد؛ ودرجة الحد هي مجموع درجات الحدود غير المحددة في ذلك الحد، ودرجة كثير الحدود هي أكبر درجة لأي حد له معامل غير صفري. ^[8] ولأن $x = x 1$ ، فإن درجة الحد غير المحدد بدون أس مكتوب هي واحد.

يُطلق على الحد الذي لا يحتوي على حدود غير محددة ومتعددة حدود لا تحتوي على حدود غير محددة، على التوالي، حد ثابت ومتعددة حدود ثابتة . ^[ب] درجة الحد الثابت ومتعددة الحدود الثابتة غير الصفرية هي 0. تُعامل درجة متعددة الحدود الصفرية 0 (التي لا تحتوي على حدود على الإطلاق) بشكل عام على أنها غير محددة (ولكن انظر أدناه). ^[9]

على سبيل المثال: هو حد. المعامل هو $-5$ ، والمحددات هي $x$ و $y$ ، ودرجة $x$ هي اثنان، بينما درجة $y$ هي واحد. درجة الحد بالكامل هي مجموع درجات كل محدد فيه، لذا في هذا المثال تكون الدرجة $2 + 1 = 3$ . $-5x^{2}y$

إن تكوين مجموع عدة حدود ينتج عنه حدود كثيرة. على سبيل المثال، الحدود التالية هي حدود كثيرة: تتكون من ثلاثة حدود: الأول من الدرجة الثانية، والثاني من الدرجة الأولى، والثالث من الدرجة صفر. $\underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}}.$

تم إعطاء كثيرات الحدود من الدرجة الصغيرة أسماء محددة. كثيرات الحدود من الدرجة صفر هي كثيرات حدود ثابتة ، أو ببساطة ثابت . كثيرات الحدود من الدرجة الأولى أو الثانية أو الثالثة هي على التوالي كثيرات حدود خطية، وكثيرات حدود تربيعية ، وكثيرات حدود مكعبة . ^[8] بالنسبة للدرجات الأعلى، لا تُستخدم الأسماء المحددة بشكل شائع، على الرغم من استخدام كثيرات الحدود من الدرجة الرابعة (للدرجة الرابعة) وكثيرات الحدود الخماسية (للدرجة الخامسة) في بعض الأحيان. يمكن تطبيق أسماء الدرجات على كثيرات الحدود أو على حدودها. على سبيل المثال، المصطلح $2 x$ في $x 2 + 2 x + 1$ هو مصطلح خطي في كثيرات الحدود التربيعية.

الحدودية 0، والتي يمكن اعتبارها ليس لها حدود على الإطلاق، تسمى الحدودية الصفرية . وعلى عكس الحدوديات الثابتة الأخرى، فإن درجتها ليست صفرًا. بل إن درجة الحدودية الصفرية إما أن تكون غير محددة صراحةً، أو محددة على أنها سلبية (إما −1 أو −∞). ^[10] الحدودية الصفرية فريدة أيضًا من حيث أنها الحدودية الوحيدة في غير محدد واحد لها عدد لا نهائي من الجذور . الرسم البياني للحدودية الصفرية، $f (x) = 0$ ، هو المحور x .

في حالة الحدوديات في أكثر من حد غير محدد، تسمى الحدودية متجانسة من الدرجة $n$ إذا كانت جميع حدودها غير الصفرية من الدرجة $n$ . الحدودية الصفرية متجانسة، وباعتبارها حدودية متجانسة، تكون درجتها غير محددة. ^[ج] على سبيل المثال، $x 3 y 2 + 7 x 2 y 3 - 3 x 5$ متجانسة من الدرجة 5. لمزيد من التفاصيل، انظر الحدودية المتجانسة .

يمكن استخدام قانون الجمع التبادلي لإعادة ترتيب الحدود إلى أي ترتيب مفضل. في كثيرات الحدود ذات الحد غير المحدد، يتم ترتيب الحدود عادةً وفقًا للدرجة، إما "بأس متناقص لـ $x$ "، مع الحد ذي الدرجة الأكبر أولاً، أو "بأس متصاعد لـ $x$ ". كثير الحدود $3 x 2 - 5 x + 4$ مكتوب بأسس متناقصة لـ $x$ . الحد الأول له المعامل $3 و$ $x$ غير المحدد والأس $2.$ في الحد الثاني، يكون المعامل $-5$ . الحد الثالث ثابت. نظرًا لأن درجة كثير الحدود غير الصفرية هي أكبر درجة لأي حد واحد، فإن هذا كثير الحدود له الدرجة الثانية. ^[11]

يُطلق على حدين لهما نفس المحددات غير المحددة مرفوعة لنفس القوى اسم "حدود متشابهة" أو "حدود متشابهة"، ويمكن دمجهما باستخدام قانون التوزيع ، في حد واحد يكون معامله هو مجموع معاملات الحدود التي تم دمجها. وقد يحدث أن يجعل هذا المعامل 0. ^[12] يمكن تصنيف كثيرات الحدود حسب عدد الحدود ذات المعاملات غير الصفرية، بحيث يُطلق على كثيرات الحدود ذات الحد الواحد اسم أحادي الحد ، ^[د] يُطلق على كثيرات الحدود ذات الحدين اسم ثنائي الحدين ، ويُطلق على كثيرات الحدود ذات الثلاثة حدود اسم ثلاثي الحدود .

الحدود الحقيقية هي حدود ذات معاملات حقيقية . وعندما تستخدم لتحديد دالة ، فإن المجال ليس مقيدًا بهذا الشكل. ومع ذلك، فإن دالة الحدود الحقيقية هي دالة من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الحقيقية والتي يتم تعريفها بواسطة حدود حقيقية. وبالمثل، فإن الحدود الصحيحة هي حدود ذات معاملات صحيحة ، والحدود المركبة هي حدود ذات معاملات معقدة .

تُسمى كثيرة الحدود في غير محدد واحد كثيرة حدود أحادية المتغير ، وتُسمى كثيرة الحدود في أكثر من غير محدد واحدة كثيرة حدود متعددة المتغيرات . وتُسمى كثيرة الحدود التي تحتوي على غير محددين كثيرة حدود ثنائية المتغيرات . ^[7] تشير هذه المفاهيم إلى نوع كثيرات الحدود التي يعمل المرء عليها بشكل عام أكثر من كثيرات الحدود الفردية؛ على سبيل المثال، عند العمل مع كثيرات الحدود أحادية المتغير، لا يستبعد المرء كثيرات الحدود الثابتة (والتي قد تنتج عن طرح كثيرات الحدود غير الثابتة)، على الرغم من أن كثيرات الحدود الثابتة لا تحتوي على أي غير محدد على الإطلاق. ومن الممكن تصنيف كثيرات الحدود المتعددة المتغيرات على أنها ثنائية المتغير ، وثلاثية المتغيرات ، وما إلى ذلك، وفقًا للحد الأقصى لعدد غير المحددات المسموح بها. مرة أخرى، لكي تكون مجموعة الكائنات قيد النظر مغلقة تحت الطرح، فإن دراسة كثيرات الحدود ثلاثية المتغيرات تسمح عادةً بكثيرات الحدود ثنائية المتغيرات، وهكذا. ومن الشائع أيضًا أن نقول ببساطة "كثيرات الحدود في $x و y$ و $z$ "، مع سرد الحدود غير المحددة المسموح بها.

العمليات

الجمع والطرح

يمكن جمع كثيرات الحدود باستخدام قانون الجمع الترابطي (تجميع كل حدودها معًا في مجموع واحد)، وربما يتبع ذلك إعادة الترتيب (باستخدام قانون التبديل ) والجمع بين الحدود المتشابهة. ^[12]^[13] على سبيل المثال، إذا و ، فيمكن إعادة ترتيب المجموع وإعادة تجميعه على النحو التالي و، ثم تبسيطه إلى عندما يتم جمع كثيرات الحدود معًا، تكون النتيجة كثيرة حدود أخرى. ^[14] $P=3x^{2}-2x+5xy-2$ $س=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8$ $P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8$ $P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)$ $P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.$

طرح كثيرات الحدود هو أمر مشابه.

الضرب

يمكن أيضًا ضرب كثيرات الحدود. لتوسيع حاصل ضرب كثيرتي حدود إلى مجموع حدود، يتم تطبيق قانون التوزيع بشكل متكرر، مما يؤدي إلى ضرب كل حد من حدود كثيرة حدود واحدة بكل حد من الحدود الأخرى. ^[12] على سبيل المثال، إذا كان إجراء الضرب في كل حد ينتج عنه الجمع بين الحدود المتشابهة ينتج عنه ما يمكن تبسيطه إلى كما في المثال، يكون حاصل ضرب كثيرات الحدود دائمًا كثير حدود. ^[14]^[9] ${\begin{aligned}\color {Red}P&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q&\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}\end{aligned}}$ ${\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}$ ${\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}$ ${\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}$ $PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.$

تعبير

إذا كان هناك كثيرة حدود ذات متغير واحد وكثيرة حدود أخرى $g$ ذات أي عدد من المتغيرات، فإن التركيبة يتم الحصول عليها عن طريق استبدال كل نسخة من متغير كثيرة الحدود الأولى بكثيرة الحدود الثانية. ^[9] على سبيل المثال ، إذا وثم يمكن توسيع التركيبة إلى مجموع حدود باستخدام قواعد ضرب وقسمة كثيرات الحدود. التركيبة المكونة من كثيرتي حدود هي كثيرة حدود أخرى. ^[15] $f$ $f\circ g$ $f(x)=x^{2}+2x$ $g(x)=3x+2$ $(f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).$

قسم

إن قسمة كثير حدود على آخر لا يعد عادة كثير حدود. وبدلاً من ذلك، فإن هذه النسب هي عائلة أكثر عمومية من الكائنات، تسمى الكسور النسبية ، أو التعبيرات النسبية ، أو الدوال النسبية ، اعتمادًا على السياق. ^[16] وهذا مشابه لحقيقة أن نسبة عددين صحيحين هي عدد نسبي ، وليس بالضرورة عددًا صحيحًا. ^[17]^[18] على سبيل المثال، الكسر $1/(x 2 + 1)$ ليس كثير حدود، ولا يمكن كتابته كمجموع منتهٍ لقوى المتغير $x$ .

بالنسبة لكثيرات الحدود في متغير واحد، هناك مفهوم القسمة الإقليدية لكثيرات الحدود ، وهو تعميم للقسمة الإقليدية للأعداد الصحيحة. ^[e] ينتج عن مفهوم القسمة $a (x)/ b (x)$ كثيرتا حدود، حاصل قسمة q (x) وباقي r $(x) ،$ بحيث $يكون$ $a$ $=$ $b$ q $+$ $r$ $و$ $degree$ $($ $r$ ) $<$ $degree$ $($ $b$ $)$ . يمكن حساب الحاصل والباقي بواسطة أي من الخوارزميات العديدة، بما في ذلك القسمة الطويلة لكثيرات الحدود والقسمة التركيبية . ^[19]

عندما يكون المقام $b (x)$ أحاديًا وخطيًا، أي $b (x) = x - c$ لبعض الثوابت $c$ ، فإن نظرية الباقي المتعدد الحدود تؤكد أن باقي قسمة $a (x)$ على $b (x)$ هو التقييم $a (c)$ . ^[18] في هذه الحالة، يمكن حساب الحاصل بواسطة قاعدة روفيني ، وهي حالة خاصة من القسمة التركيبية. ^[20]

التحليل إلى عوامل

جميع الحدوديات ذات المعاملات في مجال تحليل فريد للعوامل (على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة أو الحقل ) لها أيضًا شكل معامل حيث تُكتب الحدوديات على أنها حاصل ضرب حدوديات غير قابلة للاختزال وثابت. هذا الشكل المعامل فريد حتى رتبة العوامل وضربها بثابت قابل للعكس. في حالة مجال الأعداد المركبة ، تكون العوامل غير القابلة للاختزال خطية. على الأعداد الحقيقية ، يكون لها الدرجة إما واحد أو اثنان. على الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية، يمكن أن يكون للعوامل غير القابلة للاختزال أي درجة. ^[21] على سبيل المثال، الشكل المعامل لـ هو على الأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية، وعلى الأعداد المركبة. $5x^{3}-5$ $5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)$ $5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)$

إن حساب الشكل العاملي، والذي يسمى التحليل إلى عوامل ، صعب بشكل عام بحيث لا يمكن إجراؤه باستخدام الحساب المكتوب يدويًا. ومع ذلك، تتوفر خوارزميات تحليل العوامل المتعددة الحدود الفعّالة في معظم أنظمة الجبر الحاسوبية .

حساب التفاضل والتكامل

إن حساب المشتقات والتكاملات لكثيرات الحدود بسيط بشكل خاص، مقارنة بأنواع أخرى من الدوال. المشتق لكثيرة الحدود بالنسبة إلى $x$ هو كثير الحدود وبالمثل، فإن المشتقة العكسية العامة (أو التكامل غير المحدد) لـ هي حيث $c$ هو ثابت تعسفي. على سبيل المثال، المشتقات العكسية لـ $x$ $2$ $+ 1$ لها الشكل $⁠$ $P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ $na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.$ $P$ ${\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c=c+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}x^{i+1}}{i+1}}$ $1 / 3 x 3 + x + c$ . $$

بالنسبة للمتعددات الحدودية التي تأتي معاملاتها من إعدادات أكثر تجريدًا (على سبيل المثال، إذا كانت المعاملات أعدادًا صحيحة modulo بعض الأعداد الأولية $p$ ، أو عناصر حلقة عشوائية)، لا يزال من الممكن تفسير صيغة المشتق رسميًا، مع فهم المعامل $ka k$ على أنه يعني مجموع $k$ نسخة من $k$ . على سبيل المثال، على الأعداد الصحيحة modulo $p$ ، فإن مشتقة المتعددة الحدود $x p +$ $x$ هي المتعددة الحدود $1.$ $[$ ^22]

الدوال متعددة الحدود

الدالة كثيرة الحدود هي دالة يمكن تعريفها من خلال تقييم كثيرة حدود. وبشكل أكثر دقة، فإن الدالة $f ذات وسيطة واحدة من مجال معين هي دالة كثيرة حدود إذا كان هناك كثيرة حدود يتم تقييمها إلى لجميع x في مجال f$ $($ هنا ، n هو عدد $صحيح$ غير سلبي و a $0$ و $a$ $1$ $و$ $a$ $2$ $و$ $...$ $و$ $n$ $هي$ $معاملات$ ثابتة). ^[23] بشكل عام، ما لم يُنص على خلاف ذلك، فإن الدوال كثيرة الحدود لها معاملات ووسيطات وقيم معقدة . وعلى وجه الخصوص، فإن كثيرة الحدود، المقيدة بأن يكون لها معاملات حقيقية، تحدد دالة من الأعداد المركبة إلى الأعداد المركبة. إذا كان مجال هذه الدالة مقيدًا أيضًا بالأعداد الحقيقية، فإن الدالة الناتجة هي دالة حقيقية تربط الأعداد الحقيقية بالأعداد الحقيقية. $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ $f(x)$

على سبيل المثال، الدالة $f$ ، المحددة بواسطة هي دالة متعددة الحدود لمتغير واحد. يتم تعريف الدوال المتعددة الحدود لعدة متغيرات بشكل مشابه، باستخدام متعددات الحدود في أكثر من غير محدد، كما في وفقًا لتعريف الدوال المتعددة الحدود، قد تكون هناك تعبيرات ليست متعددة الحدود بشكل واضح ولكنها مع ذلك تحدد دوال متعددة الحدود. أحد الأمثلة هو التعبير الذي يأخذ نفس قيم متعددة الحدود على الفترة ، وبالتالي فإن كلا التعبيرين يحددان نفس دالة متعددة الحدود على هذه الفترة. $f(x)=x^{3}-x,$ $f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}y+xy^{5}+y^{2}-7.$ $\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2},$ $1-x^{2}$ $[-1,1]$

كل دالة متعددة الحدود هي دالة متصلة ، سلسة ، وكاملة .

تقييم كثير الحدود هو حساب دالة كثير الحدود المقابلة؛ أي أن التقييم يتكون من استبدال قيمة عددية لكل غير محدد وإجراء عمليات الضرب والإضافة المشار إليها.

بالنسبة للحدوديات في غير محدد واحد، يكون التقييم عادةً أكثر كفاءة (عدد أقل من العمليات الحسابية التي يجب إجراؤها) باستخدام طريقة هورنر ، والتي تتكون من إعادة كتابة الحدوديات على النحو التالي: $(((((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dotsb +a_{3})x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.$

الرسوم البيانية

حدودية من الدرجة 0:
$f (x) = 2$
حدود من الدرجة 1:
$f (x) = 2 x + 1$
حدود من الدرجة 2:
$f (x) = x 2 - x - 2$
$= (x + 1)(x - 2)$
حدود الدرجة 3:
$f (x) = x 3 / 4 + 3 x 2 / 4 - 3 x / 2 - 2$
$= 1/4 (x + 4)(x + 1)(x - 2)$
حدود الدرجة 4:
$f (x) = 1/14 (x + 4)(x + 1)(x - 1)(x - 3) + 0.5$
حدود الدرجة 5:
$f (x) = 1/20 (x + 4)(x + 2)(x + 1)(x - 1) (x - 3) + 2$
حدود الدرجة 6:
$f (x) = 1/100 (x 6 - 2 x 5 - 26 x 4 + 28 x 3$
$+ 145 x 2 - 26 x - 80)$
حدود من الدرجة 7:
$f (x) = (x - 3)(x - 2)(x - 1)(x)(x + 1)(x + 2)$
$(x + 3)$

يمكن تمثيل دالة متعددة الحدود في متغير حقيقي واحد من خلال رسم بياني .

رسم بياني للحدود الصفرية
$ف (س) = 0$
هو المحور $x$ .
رسم بياني لمتعددة حدود من الدرجة 0
$f (x) = a 0$ ، حيث $a 0 \neq 0$ ،
هو خط أفقي مع نقطة قطع $y$ $تساوي 0$
رسم بياني لدالة حدودية من الدرجة الأولى (أو دالة خطية)
$f (x) = a 0 + a 1 x$ ، حيث $a 1 \neq 0$ ،
هو خط مائل مع $نقطة$ قطع $y$ $تساوي$ $0$ وميل تساوي $1$ .
رسم بياني لمتعددة حدود من الدرجة الثانية
$f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2$ ، حيث $a 2 \neq 0$
هو قطع مكافئ .
رسم بياني لمتعددة حدود من الدرجة الثالثة
$f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3$ ، حيث $a 3 \neq 0$
هو منحنى مكعب .
الرسم البياني لأي كثيرة حدود بدرجة 2 أو أكبر
$f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + \dots + a n x n$ ، حيث $a n \neq 0 و n \geq 2$
هو منحنى غير خطي مستمر.

تتجه الدالة متعددة الحدود غير الثابتة إلى اللانهاية عندما يزداد المتغير إلى ما لا نهاية ( بالقيمة المطلقة ). إذا كانت الدرجة أكبر من واحد، فإن الرسم البياني لا يحتوي على أي مقارب . يحتوي على فرعين مكافئين باتجاه رأسي (فرع واحد لـ x الموجب وواحد لـ x السالب ).

يتم تحليل الرسوم البيانية متعددة الحدود في حساب التفاضل والتكامل باستخدام نقاط التقاطع، والمنحدرات، والتقعر، وسلوك النهاية.

المعادلات

المعادلة كثيرة الحدود ، والتي تسمى أيضًا بالمعادلة الجبرية ، هي معادلة من النموذج ^[24] على سبيل المثال، هي معادلة كثيرة الحدود. $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.$ $3x^{2}+4x-5=0$

عند النظر في المعادلات، تسمى المتغيرات غير المحددة في كثيرات الحدود أيضًا بالمجهولات ، والحلول هي القيم المحتملة للمجهولات التي تكون المساواة صحيحة بالنسبة لها (بشكل عام، قد يوجد أكثر من حل واحد). تتناقض معادلة كثيرة الحدود مع هوية كثيرة الحدود مثل $(x + y)(x - y) = x 2 - y 2$ ، حيث يمثل كلا التعبيرين نفس كثيرة الحدود في أشكال مختلفة، ونتيجة لذلك فإن أي تقييم لكلا العنصرين يعطي مساواة صحيحة.

في الجبر الابتدائي ، يتم تدريس طرق مثل الصيغة التربيعية لحل جميع معادلات الحدود من الدرجة الأولى والثانية في متغير واحد. هناك أيضًا صيغ للمعادلات التكعيبية والرباعية . بالنسبة للدرجات الأعلى، تؤكد نظرية آبل-روفيني أنه لا يمكن أن توجد صيغة عامة للجذور. ومع ذلك، يمكن استخدام خوارزميات إيجاد الجذور لإيجاد تقريبات عددية لجذور تعبير حدودي من أي درجة.

لا يجوز لعدد حلول المعادلة متعددة الحدود ذات المعاملات الحقيقية أن يتجاوز الدرجة، ويساوي الدرجة عندما يتم حساب الحلول المعقدة مع مضاعفاتها . وتسمى هذه الحقيقة النظرية الأساسية في الجبر .

حل المعادلات

جذر كثيرة الحدود أحادية المتغير غير صفرية $P$ هو قيمة $a$ لـ $x$ بحيث $P (a) = 0.$ بعبارة أخرى، جذر $P$ هو حل لمعادلة كثيرة الحدود $P (x) = 0$ أو صفر للدالة كثيرة الحدود المحددة بواسطة $P.$ في حالة كثيرة الحدود الصفرية، يكون كل رقم صفرًا للدالة المقابلة، ونادرًا ما يتم النظر في مفهوم الجذر.

الرقم $a$ هو جذر متعدد الحدود $P$ إذا وفقط إذا كان متعدد الحدود الخطي $x - a$ يقسم $P$ ، أي إذا كان هناك متعدد حدود آخر $Q$ بحيث يكون $P = (x - a) Q.$ قد يحدث أن يقسم قوة (أكبر من $1$ ) لـ $x - a$ $P$ ؛ في هذه الحالة، يكون $a$ جذرًا متعددًا لـ $P$ ، وإلا يكون $a$ جذرًا بسيطًا لـ $P.$ إذا كانت $P$ متعدد حدود غير صفري، فهناك أعلى قوة $m$ بحيث يقسم $(x - a) m$ $P$ ، وهو ما يسمى مضاعفات $a$ كجذر لـ $P.$ لا يمكن لعدد جذور متعدد الحدود غير الصفري $P$ ، المحسوبة بمضاعفاتها الخاصة، أن يتجاوز درجة $P$ ، ^[25] ويساوي هذه الدرجة إذا تم اعتبار جميع الجذور المركبة (هذه نتيجة للنظرية الأساسية في الجبر ). ترتبط معاملات كثيرة الحدود وجذورها بصيغة فييتا .

بعض كثيرات الحدود، مثل $x 2 + 1$ ، ليس لها أي جذور بين الأعداد الحقيقية . ومع ذلك، إذا تم توسيع مجموعة الحلول المقبولة إلى الأعداد المركبة ، فإن كل كثير حدود غير ثابت له جذر واحد على الأقل؛ هذه هي النظرية الأساسية في الجبر . من خلال القسمة المتتالية للعوامل $x - a$ ، نرى أنه يمكن كتابة أي كثير حدود بمعاملات مركبة على هيئة ثابت (معامله الرئيسي) مضروبًا في حاصل ضرب عوامل كثيرات الحدود هذه من الدرجة 1؛ ونتيجة لذلك، فإن عدد الجذور (المركبة) المحسوبة مع مضاعفاتها يساوي تمامًا درجة كثير الحدود.

قد يكون هناك عدة معاني لـ "حل المعادلة" . قد يرغب المرء في التعبير عن الحلول كأرقام صريحة؛ على سبيل المثال، الحل الوحيد لـ $2 \times - 1 = 0$ هو $1/2$ . هذا، بشكل عام، مستحيل بالنسبة لمعادلات الدرجة الأكبر من واحد، ومنذ العصور القديمة، بحث علماء الرياضيات عن التعبير عن الحلول كتعبيرات جبرية ؛ على سبيل المثال، النسبة الذهبية هي الحل الإيجابي الوحيد لـ في العصور القديمة، نجحوا فقط في الدرجتين الأولى والثانية. بالنسبة للمعادلات التربيعية ، توفر الصيغة التربيعية مثل هذه التعبيرات عن الحلول. منذ القرن السادس عشر، عُرفت صيغ مماثلة (باستخدام الجذور التكعيبية بالإضافة إلى الجذور التربيعية)، على الرغم من أنها أكثر تعقيدًا، لمعادلات الدرجة الثالثة والرابعة (انظر المعادلة التكعيبية والمعادلة الرباعية ). لكن الصيغ للدرجة الخامسة وما فوق ظلت بعيدة المنال لدى الباحثين لعدة قرون. في عام 1824، أثبت نيلز هنريك آبل النتيجة المذهلة التي مفادها أن هناك معادلات من الدرجة 5 لا يمكن التعبير عن حلولها بصيغة (منتهية)، تنطوي فقط على عمليات حسابية وجذور (انظر نظرية آبل-روفيني ). في عام 1830، أثبت إيفاريست جالوا أن معظم المعادلات من الدرجة الأعلى من أربعة لا يمكن حلها بالجذور، وأظهر أنه بالنسبة لكل معادلة، يمكن للمرء أن يقرر ما إذا كانت قابلة للحل بالجذور، وإذا كانت كذلك، فيحلها. كانت هذه النتيجة بمثابة بداية نظرية جالوا ونظرية المجموعة ، وهما فرعان مهمان من الجبر الحديث . لاحظ جالوا نفسه أن العمليات الحسابية التي تنطوي عليها طريقته كانت غير عملية. ومع ذلك، فقد نُشرت صيغ للمعادلات القابلة للحل من الدرجتين 5 و6 (انظر الدالة الخماسية والمعادلة السداسية ). $(1+{\sqrt {5}})/2$ $x^{2}-x-1=0.$

عندما لا يوجد تعبير جبري للجذور، وعندما يوجد مثل هذا التعبير الجبري ولكنه معقد للغاية بحيث لا يكون مفيدًا، فإن الطريقة الفريدة لحله هي حساب التقريبات العددية للحلول. ^[26] هناك العديد من الطرق لذلك؛ بعضها يقتصر على كثيرات الحدود والبعض الآخر قد ينطبق على أي دالة مستمرة . تسمح الخوارزميات الأكثر كفاءة بحل معادلات كثيرات الحدود بسهولة (على الكمبيوتر ) من الدرجة الأعلى من 1000 (انظر خوارزمية إيجاد الجذر ).

بالنسبة للمتعددات الحدودية التي تحتوي على أكثر من قيمة غير محددة، فإن مجموعات القيم للمتغيرات التي تأخذ لها الدالة المتعددة الحدود القيمة صفر تسمى عمومًا بالأصفار بدلاً من "الجذور". دراسة مجموعات الأصفار للمتعددات الحدودية هي موضوع الهندسة الجبرية . بالنسبة لمجموعة من المعادلات المتعددة الحدودية التي تحتوي على عدة مجهولات، توجد خوارزميات لتحديد ما إذا كانت تحتوي على عدد محدود من الحلول المعقدة ، وإذا كان هذا العدد محدودًا، لحساب الحلول. انظر نظام المعادلات المتعددة الحدودية .

الحالة الخاصة حيث تكون جميع الحدوديات من الدرجة الأولى تسمى نظام المعادلات الخطية ، والتي يوجد لها نطاق آخر من طرق الحل المختلفة، بما في ذلك الإزالة الغاوسية الكلاسيكية .

تُسمى المعادلة متعددة الحدود التي يهتم المرء فقط بالحلول التي تكون أعدادًا صحيحة بمعادلة ديوفانتين . يُعد حل معادلات ديوفانتين عمومًا مهمة صعبة للغاية. وقد ثبت أنه لا يمكن أن تكون هناك أي خوارزمية عامة لحلها، أو حتى لتحديد ما إذا كانت مجموعة الحلول فارغة (انظر مشكلة هيلبرت العاشرة ). ترتبط بعض أشهر المشكلات التي تم حلها خلال الخمسين عامًا الماضية بمعادلات ديوفانتين، مثل مبرهنة فيرما الأخيرة .

تعبيرات متعددة الحدود

غالبًا ما يتم اعتبار كثيرات الحدود حيث يتم استبدال القيم غير المحددة ببعض الكائنات الرياضية الأخرى، وفي بعض الأحيان يكون لها اسم خاص.

الحدود المثلثية

الحدود المثلثية هي تركيبة خطية محدودة من الدوال sin( nx ) وcos( nx ) حيث تأخذ n قيم عدد طبيعي واحد أو أكثر . ^[27] يمكن اعتبار المعاملات أرقامًا حقيقية للدوال ذات القيمة الحقيقية.

إذا تم توسيع sin( nx ) وcos( nx ) من حيث sin( x ) وcos( x )، تصبح كثيرة الحدود المثلثية كثيرة حدود في المتغيرين sin( x ) وcos( x ) (باستخدام قائمة المتطابقات المثلثية#صيغ متعددة الزوايا ). وعلى العكس من ذلك، يمكن تحويل كل كثيرة حدود في sin( x ) وcos( x )، باستخدام متطابقات حاصل الضرب إلى المجموع ، إلى تركيبة خطية من الدوال sin( nx ) وcos( nx ). يفسر هذا التكافؤ سبب تسمية التركيبات الخطية بكثيرات الحدود.

بالنسبة للمعاملات المركبة ، لا يوجد فرق بين هذه الدالة ومتسلسلة فورييه المحدودة .

تُستخدم كثيرات الحدود المثلثية على نطاق واسع، على سبيل المثال في الاستيفاء المثلثي المطبق على استيفاء الدوال الدورية . كما تُستخدم أيضًا في تحويل فورييه المنفصل .

مصفوفات الحدود

الحدود المصفوفية هي حدود ذات مصفوفات مربعة كمتغيرات. ^[28] إذا كان هناك حدود عادية ذات قيمة عددية، فإن الحدود المقيمة عند مصفوفة A تكون حيث I هي مصفوفة الهوية . ^[29] $P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},$ $P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},$

معادلة حدود المصفوفة هي معادلة بين حدود مصفوفتين، والتي تنطبق على المصفوفات المحددة المعنية. متطابقة حدود المصفوفة هي معادلة حدود مصفوفة تنطبق على جميع المصفوفات A في حلقة مصفوفة محددة M _n ( R ).

الحدود الأسية

يمكن تسمية كثيرة الحدود ثنائية المتغيرات حيث يتم استبدال المتغير الثاني بدالة أسية مطبقة على المتغير الأول، على سبيل المثال $P (x, e x) ،$ كثيرة حدود أسية .

المفاهيم ذات الصلة

الدوال النسبية

الكسر النسبي هو حاصل قسمة ( كسر جبري ) بين كثيرتي حدود. أي تعبير جبري يمكن إعادة كتابته على هيئة كسر نسبي هو دالة نسبية .

في حين يتم تعريف الدوال كثيرة الحدود لجميع قيم المتغيرات، يتم تعريف الدالة الكسرية فقط لقيم المتغيرات التي لا يكون المقام فيها صفرًا.

تتضمن الكسور النسبية كثيرات حدود لوران، ولكنها لا تحد المقامات إلى قوى غير محددة.

حدوديات لوران

تعتبر كثيرات الحدود لوران مثل كثيرات الحدود، ولكنها تسمح بحدوث قوى سلبية للمتغيرات.

سلسلة الطاقة

إن المتسلسلة الأسية الرسمية تشبه كثيرات الحدود، ولكنها تسمح بحدوث عدد لا نهائي من الحدود غير الصفرية، وبالتالي ليس لها درجة محدودة. وعلى عكس كثيرات الحدود، لا يمكن كتابتها بشكل صريح وكامل (تمامًا مثل الأعداد غير النسبية )، ولكن قواعد التلاعب بحدودها هي نفسها بالنسبة لكثيرات الحدود. كما تعمم المتسلسلة الأسية غير الرسمية كثيرات الحدود، ولكن قد لا يتقارب ضرب سلسلتين من القوى.

حلقة متعددة الحدود

الحدودية $f$ على حلقة تبديلية $R$ هي حدودية تنتمي جميع معاملاتها إلى $R.$ من السهل التحقق من أن الحدوديات في مجموعة معينة من الحدود غير المحددة على $R$ تشكل حلقة تبديلية، تسمى حلقة الحدودية في هذه الحدود غير المحددة، والتي يشار إليها في حالة المتغير الواحد وفي حالة المتغيرات المتعددة. $R[x]$ $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$

وبالتالي ، فإن معظم نظرية الحالة المتعددة المتغيرات يمكن تقليصها إلى حالة أحادية المتغير متكررة. $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\left(R[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]\right)[x_{n}].$

الخريطة من $R$ إلى $R [x]$ التي ترسل $r$ إلى نفسها باعتبارها كثيرة حدود ثابتة هي تماثل حلقي حقني ، حيث يُنظر إلى $R$ باعتبارها حلقة فرعية من $R [x]$ . وعلى وجه الخصوص، R $[x] عبارة$ عن جبر على $R.$

يمكننا أن نفكر في الحلقة $R [x]$ على أنها تنشأ من $R$ عن طريق إضافة عنصر جديد x إلى R ، والتوسع بطريقة بسيطة إلى حلقة لا يلبي فيها $x$ أي علاقات أخرى غير العلاقات الإلزامية، بالإضافة إلى التبديل مع جميع عناصر $R$ (أي $xr = rx$ ). للقيام بذلك، يجب على المرء إضافة جميع قوى $x$ ومجموعاتها الخطية أيضًا.

إن تكوين حلقة الحدود، جنبًا إلى جنب مع حلقات عوامل التكوين عن طريق تحليل المثاليات ، هي أدوات مهمة لبناء حلقات جديدة من الحلقات المعروفة. على سبيل المثال، حلقة (حقل في الواقع) الأعداد المركبة، والتي يمكن إنشاؤها من حلقة الحدود $R [x]$ على الأعداد الحقيقية عن طريق تحليل المثالي لمضاعفات كثيرة الحدود $x 2 + 1.$ مثال آخر هو بناء الحقول المحدودة ، والتي تستمر على نحو مماثل، بدءًا بحقل الأعداد الصحيحة modulo بعض الأعداد الأولية كحلقة المعامل $R$ (انظر الحساب النمطي ).

إذا كانت $R$ تبديلية، فيمكن للمرء أن يربط مع كل متعددة حدود $P$ في $R [x]$ دالة متعددة حدود $f$ ذات مجال ونطاق يساوي $R.$ (بشكل عام، يمكن للمرء أن يأخذ المجال والنطاق ليكونا أي جبر ترابطي وحدوي متماثل على $R.$ ) نحصل على القيمة $f$ $($ $r$ $)$ عن طريق استبدال القيمة $r$ بالرمز $x$ في $P.$ أحد أسباب التمييز بين متعددات الحدود والدوال متعددة الحدود هو أنه على بعض الحلقات، قد تؤدي متعددات الحدود المختلفة إلى نفس دالة متعددة الحدود (انظر نظرية فيرما الصغيرة للحصول على مثال حيث $R$ هي الأعداد الصحيحة modulo $p$ ). هذه ليست الحالة عندما تكون $R$ هي الأعداد الحقيقية أو المركبة، وبالتالي لا يتم التمييز بين المفهومين دائمًا في التحليل . هناك سبب أكثر أهمية للتمييز بين كثيرات الحدود والدوال كثيرة الحدود وهو أن العديد من العمليات على كثيرات الحدود (مثل القسمة الإقليدية ) تتطلب النظر إلى ما يتكون منه كثير الحدود كتعبير بدلاً من تقييمه عند قيمة ثابتة لـ $x$ .

قابلية القسمة

إذا كان $R$ مجالًا صحيحًا و $f$ و $g$ حدودان في $R [x]$ ، فيقال إن $f$ يقسم $g$ أو $f$ مقسوم على $g$ إذا كان هناك حدود $q$ في $R [x]$ بحيث $f q = g$ . إذا ، فإن $a$ هو جذر $f$ إذا و فقط يقسم $f$ . في هذه الحالة، يمكن حساب الحاصل باستخدام القسمة الطويلة الحدودية . ^[30]^[31] $a\in R,$ $x-a$

إذا كان $F$ حقلًا و $f$ و $g$ كثيرتا حدود في $F [x]$ مع $g \neq 0$ ، فهناك كثيرتا حدود فريدتان $q$ و $r$ في $F [x]$ مع و بحيث تكون درجة $r$ أصغر من درجة $g$ (باستخدام الاتفاقية التي تنص على أن كثيرة الحدود 0 لها درجة سالبة). يتم تحديد كثيرتي الحدود $q$ و $r بشكل فريد بواسطة$ $f$ و $g$ . يُسمى هذا القسمة الإقليدية أو القسمة مع الباقي أو القسمة الطويلة كثيرة الحدود ويُظهر أن الحلقة $F$ $[$ $x$ $]$ هي مجال إقليدي . $f=q\,g+r$

على نحو مماثل، يمكن تعريف كثيرات الحدود الأولية (أو بالأحرى كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال ) بأنها كثيرات حدود غير صفرية لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب كثيرتي حدود غير ثابتتين . وفي حالة المعاملات في حلقة، يجب استبدال "غير ثابت" بـ "غير ثابت أو غير وحدة " (يتفق كلا التعريفين في حالة المعاملات في مجال). يمكن تحليل أي كثير حدود إلى حاصل ضرب ثابت قابل للعكس بواسطة حاصل ضرب كثيرات حدود غير قابلة للاختزال. إذا كانت المعاملات تنتمي إلى مجال أو مجال تحليل فريد، يكون هذا التحليل فريدًا حتى ترتيب العوامل وضرب أي عامل غير وحدوي في وحدة (وقسمة عامل الوحدة على نفس الوحدة). عندما تنتمي المعاملات إلى أعداد صحيحة أو أعداد نسبية أو حقل محدود، توجد خوارزميات لاختبار عدم القابلية للاختزال وحساب التحليل إلى عوامل متعددة الحدود غير قابلة للاختزال (انظر تحليل عوامل متعددة الحدود ). هذه الخوارزميات غير عملية للحسابات المكتوبة بخط اليد، ولكنها متاحة في أي نظام جبر حاسوبي . يمكن أيضًا استخدام معيار آيزنشتاين في بعض الحالات لتحديد عدم القابلية للاختزال.

التطبيقات

التدوين الموضعي

في أنظمة الأعداد الموضعية الحديثة، مثل النظام العشري ، فإن الأرقام ومواضعها في تمثيل عدد صحيح، على سبيل المثال، 45، هي تدوين مختصر لكثيرة حدود في الأساس أو القاعدة، في هذه الحالة، 4 × 10 ¹ + 5 × 10 ^0. كمثال آخر، في الأساس 5، تشير سلسلة من الأرقام مثل 132 إلى الرقم (العشري) 1 × 5 ² + 3 × 5 ¹ + 2 × 5 ⁰ = 42. هذا التمثيل فريد. دع b يكون عددًا صحيحًا موجبًا أكبر من 1. إذن يمكن التعبير عن كل عدد صحيح موجب a بشكل فريد في الشكل

$a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},$ حيث m هو عدد صحيح غير سالب و r's هي أعداد صحيحة بحيث

$0 < r m < b$ و $0 \leq r i < b$ لـ $i = 0, 1, . . . , m - 1$ . ^[32]

الاستيفاء والتقريب

البنية البسيطة للدوال متعددة الحدود تجعلها مفيدة جدًا في تحليل الدوال العامة باستخدام تقريبات متعددة الحدود. ومن الأمثلة المهمة في حساب التفاضل والتكامل نظرية تايلور ، التي تنص تقريبًا على أن كل دالة قابلة للاشتقاق محليًا تبدو مثل دالة متعددة الحدود، ونظرية ستون-فايرشتراس ، التي تنص على أنه يمكن تقريب كل دالة مستمرة محددة على فترة مضغوطة من المحور الحقيقي على الفترة بأكملها عن قرب كما تريد دالة متعددة الحدود. تشمل الطرق العملية للتقريب الاستيفاء متعدد الحدود واستخدام المنحنيات المنحنية . ^[33]

تطبيقات أخرى

تُستخدم الحدوديات بشكل متكرر لتشفير معلومات حول كائن آخر. تحتوي الحدوديات المميزة لمصفوفة أو عامل خطي على معلومات حول القيم الذاتية للعامل . تسجل الحدوديات الدنيا لعنصر جبري أبسط علاقة جبرية يلبيها هذا العنصر. تحسب الحدوديات اللونية للرسم البياني عدد الألوان الصحيحة لهذا الرسم البياني.

يمكن أيضًا استخدام مصطلح "متعدد الحدود"، كصفة، للإشارة إلى الكميات أو الدوال التي يمكن كتابتها في شكل متعدد الحدود. على سبيل المثال، في نظرية التعقيد الحسابي، تعني عبارة " الوقت متعدد الحدود " أن الوقت المستغرق لإكمال خوارزمية محدد بدالة متعددة الحدود لبعض المتغيرات، مثل حجم المدخلات.

تاريخ

إن تحديد جذور كثيرات الحدود، أو "حل المعادلات الجبرية"، من أقدم المسائل في الرياضيات. ومع ذلك، فإن التدوين الأنيق والعملي الذي نستخدمه اليوم لم يتطور إلا في بداية القرن الخامس عشر. قبل ذلك، كانت المعادلات تُكتب بالكلمات. على سبيل المثال، تبدأ مسألة الجبر من كتاب الحساب الصيني في تسعة أقسام ، حوالي عام 200 قبل الميلاد ، بـ "ثلاث حزم من المحصول الجيد، وحزمتان من المحصول المتوسط، وحزمة واحدة من المحصول السيئ تُباع مقابل 29 دو". سنكتب $3 x + 2 y + z = 29$ .

تاريخ التدوين

أقدم استخدام معروف لعلامة التساوي كان في كتاب روبرت ريكورد The Whetstone of Witte ، عام 1557. تظهر العلامات + للجمع، و- للطرح، واستخدام حرف لمجهول في كتاب مايكل ستيفل Arithemetica integra ، عام 1544. قدم رينيه ديكارت ، في كتابه La géometrie ، عام 1637، مفهوم الرسم البياني لمعادلة متعددة الحدود. لقد شاع استخدام الأحرف من بداية الأبجدية للإشارة إلى الثوابت والحروف من نهاية الأبجدية للإشارة إلى المتغيرات، كما يمكن رؤيته أعلاه، في الصيغة العامة متعددة الحدود في متغير واحد، حيث تشير الأحرف $a و$ s إلى الثوابت و $x$ إلى متغير. قدم ديكارت استخدام الحروف العلوية للإشارة إلى الأسس أيضًا. ^[34]

انظر أيضا

قائمة مواضيع الحدود المتعددة

ملحوظات

^ بيوريجارد وفرالي (1973، ص. 153)
^ العبء والعروض (1993، ص. 96)
^ فرالي (1976، ص 245)
^ ماكوي (1968، ص 190)
^ مويس (1967، ص 82)
^ انظر "متعدد الحدود" و"ثنائي الحدود"، قاموس أوكسفورد الإنجليزي المختصر
^ ab Weisstein, Eric W. "Polynomial". mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2020-08-28 .
^ ab "متعددات الحدود | ويكي الرياضيات والعلوم الرائعة". shiny.org . تم الاسترجاع في 2020-08-28 .
^ abc Barbeau 2003، ص 1-2
^ Weisstein, Eric W. "متعدد الحدود صفر". MathWorld .
^ إدواردز 1995، ص 78
^ abc Edwards, Harold M. (1995). Linear Algebra. Springer. ص 47. ISBN 978-0-8176-3731-6.
^ سالومون، ديفيد (2006). الترميز للبيانات والاتصالات الحاسوبية. سبرينغر. ص 459. ISBN 978-0-387-23804-3.
^ ab Introduction to Algebra. Yale University Press. 1965. p. 621. يمكن إضافة أو طرح أو ضرب أي من هذه الحدود. علاوة على ذلك، تكون النتيجة في كل حالة حدودية أخرى
^ كريتي ، هارتجي (20/05/1998). التقدم في ديناميات هولومورفيك. الصحافة اتفاقية حقوق الطفل. ص. 159. ردمك 978-0-582-32388-9. هذه الفئة من الأشكال الشكلية مغلقة تحت التركيب،
^ Marecek, Lynn; Mathis, Andrea Honeycutt (6 مايو 2020). الجبر المتوسط، الطبعة الثانية. OpenStax . §7.1.
^ هايلوك، ديريك؛ كوكبيرن، آن د. (2008-10-14). فهم الرياضيات للأطفال الصغار: دليل للمعلمين في المرحلة التأسيسية والمرحلة الابتدائية الدنيا. SAGE. ص. 49. ISBN 978-1-4462-0497-9. نجد أن مجموعة الأعداد الصحيحة ليست مغلقة تحت عملية القسمة هذه.
^ أب مارسيك وماتيس 2020، §5.4]
^ Selby, Peter H.; Slavin, Steve (1991). Practical Algebra: A Self-Teaching Guide (2nd ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-53012-1.
^ Weisstein, Eric W. "Ruffini's Rule". mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2020-07-25 .
^ باربو 2003، ص 80-2
^ باربو 2003، ص 64-5
^ فاربيرج، بورسيل وريجدون 2007، ص. 38.
^ بروسكورياكوف الرابع (1994). "معادلة جبرية". في هازوينكل، ميشيل (محرر). موسوعة الرياضيات . المجلد. 1. سبرينغر. رقم ISBN 978-1-55608-010-4.
^ Leung, Kam-tim; et al. (1992). Polynomials and Equations. Hong Kong University Press. p. 134. ISBN 9789622092716.
^ McNamee, JM (2007). Numerical Methods for Roots of Polynomials, Part 1. Elsevier. ISBN 978-0-08-048947-6.
^ باول، مايكل جيه دي (1981). نظرية التقريب والطرق . مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0-521-29514-7.
^ Gohberg, Israel; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2009) [1982]. Matrix Polynomials . Classics in Applied Mathematics. المجلد 58. Lancaster, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics . ISBN 978-0-89871-681-8. زبل 1170.15300.
^ هورن وجونسون 1990، ص 36.
^ إيرفينج، رونالد س. (2004). الأعداد الصحيحة، ومتعددات الحدود، والحلقات: دورة في الجبر. سبرينغر. ص 129. رقم ISBN 978-0-387-20172-6.
^ جاكسون، تيرينس إتش. (1995). من كثيرات الحدود إلى مجموع المربعات. دار نشر سي آر سي. ص. 143. رقم ISBN 978-0-7503-0329-3.
^ ماكوي 1968، ص 75
^ دي فيلييه ، يوهان (2012). رياضيات التقريب. سبرينغر. رقم ISBN 9789491216503.
^ إيفز، هوارد (1990). مقدمة لتاريخ الرياضيات (الطبعة السادسة). سوندرز. رقم ISBN 0-03-029558-0.

^ يمكن أن يكون معامل الحد أي رقم من مجموعة محددة. إذا كانت هذه المجموعة هي مجموعة الأعداد الحقيقية، فإننا نتحدث عن "كثيرات حدود على الأعداد الحقيقية". الأنواع الشائعة الأخرى من كثيرات الحدود هي كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة، وكثيرات الحدود ذات المعاملات المركبة، وكثيرات الحدود ذات المعاملات التي تكون أعدادًا صحيحة modulo بعض الأعداد الأولية $p$ .
^ يعود تاريخ هذا المصطلح إلى الوقت الذي لم يكن فيه التمييز واضحًا بين كثير الحدود والدالة التي يعرفها: فالمصطلح الثابت وكثير الحدود الثابت يحددان الدوال الثابتة . ^{[ بحاجة لمصدر ]}
^ في الواقع، باعتبارها دالة متجانسة ، فهي متجانسة في كل درجة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}
^ يستخدم بعض المؤلفين كلمة "أحادي الحد" بمعنى " أحادي الحد ". انظر Knapp, Anthony W. (2007). Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra . Springer. p. 457. ISBN 978-0-8176-4522-9.
^ تفترض هذه الفقرة أن كثيرات الحدود لها معاملات في حقل .

مراجع

باربو، إي جيه (2003). كثيرات الحدود. سبرينغر. رقم ISBN 978-0-387-40627-5.
بيوريجارد، رايموند أ.؛ فرالي، جون ب. (1973)، دورة أولى في الجبر الخطي: مع مقدمة اختيارية للمجموعات والحلقات والحقول ، بوسطن: شركة هوتون ميفلين ، رقم ISBN 0-395-14017-X
برونشتاين، مانويل؛ وآخرون، محررون (2006). حل المعادلات متعددة الحدود: الأسس والخوارزميات والتطبيقات. سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-27357-8.
Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993)، التحليل العددي (الطبعة الخامسة)، بوسطن: Prindle, Weber and Schmidt، ISBN 0-534-93219-3
كاهين، بول جان؛ شابيرت، جان لوك (1997). كثيرات الحدود ذات القيمة الصحيحة. جمعية الرياضيات الأمريكية. رقم ISBN 978-0-8218-0388-2.
فرالي، جون ب. (1976)، دورة أولى في الجبر المجرد (الطبعة الثانية)، القراءة: أديسون ويسلي ، رقم ISBN 0-201-01984-1
هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (1990). تحليل المصفوفة . مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0-521-38632-6..
لانج، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 211 (الطبعة الثالثة المنقحة)، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ، رقم ISBN 978-0-387-95385-4السيد 1878556 يغطي هذا الكتاب الكلاسيكي معظم محتوى هذه المقالة.
Leung, Kam-tim; et al. (1992). كثيرات الحدود والمعادلات. مطبعة جامعة هونج كونج. ISBN 9789622092716.
ماير، ك. (1937). “Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch Hypergeometrische Funktionen”. Monatshefte für الرياضيات والفيزياء . 45 : 280-313. دوى :10.1007/BF01707992. S2CID 197662587.
مكوي، نيل هـ. (1968)، مقدمة في الجبر الحديث، الطبعة المنقحة ، بوسطن: ألين وبيكون ، LCCN 68015225
مويس، إدوين إي. (1967)، حساب التفاضل والتكامل: كامل ، قراءة: أديسون ويسلي
براسولوف، فيكتور ف. (2005). كثيرات الحدود. سبرينغر. رقم ISBN 978-3-642-04012-2.
سيثورمان، بي أيه (1997). "متعددات الحدود". الحلقات والحقول ومساحات المتجهات: مقدمة إلى الجبر المجرد من خلال قابلية البناء الهندسي . سبرينغر. رقم ISBN 978-0-387-94848-5.
توث، جابور (2021). "تعبيرات متعددة الحدود". عناصر الرياضيات . نصوص جامعية في الرياضيات. ص 263-318. doi :10.1007/978-3-030-75051-0_6. ISBN 978-3-030-75050-3.
Umemura, H. (2012) [1984]. "حل المعادلات الجبرية بواسطة ثوابت ثيتا". في Mumford, David (محرر). محاضرات تاتا عن ثيتا II: دوال ثيتا جاكوبي والمعادلات التفاضلية . Springer. ص 261–. ISBN 978-0-8176-4578-6.
فاربيرج، ديل E.؛ بورسيل، إدوين J.؛ ريجدون ، ستيفن إي. (2007). حساب التفاضل والتكامل (الطبعة التاسعة). بيرسون برنتيس هول . رقم ISBN 978-0131469686.
فون ليندمان، ف. (1884). "Ueber die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen". Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen . 1884 : 245–8.
فون ليندمان، ف. (1892). "Ueber die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen. II". Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen . 1892 : 245–8.

روابط خارجية

ماركوشيفيتش، أيه. آي. (2001) [1994]، "متعدد الحدود"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS
"تحقيقات أويلر حول جذور المعادلات". مؤرشف من الأصل في 24 سبتمبر 2012.

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[1] بيوريجارد وفرالي (1973، ص. 153)

[2] العبء والعروض (1993، ص. 96)

[3] فرالي (1976، ص 245)

[4] ماكوي (1968، ص 190)

[5] مويس (1967، ص 82)

[6] انظر "متعدد الحدود" و"ثنائي الحدود"، قاموس أوكسفورد الإنجليزي المختصر

[:1-7] Weisstein, Eric W. "Polynomial". mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2020-08-28 .

[:2-9] "متعددات الحدود | ويكي الرياضيات والعلوم الرائعة". shiny.org . تم الاسترجاع في 2020-08-28 .

[Barbeau-2003-pp1-2-11] Barbeau 2003، ص 1-2

[12] Weisstein, Eric W. "متعدد الحدود صفر". MathWorld .

[14] إدواردز 1995، ص 78

[Edwards-1995-p47-15] Edwards, Harold M. (1995). Linear Algebra. Springer. ص 47. ISBN 978-0-8176-3731-6.

[17] سالومون، ديفيد (2006). الترميز للبيانات والاتصالات الحاسوبية. سبرينغر. ص 459. ISBN 978-0-387-23804-3.

[:0-18] Introduction to Algebra. Yale University Press. 1965. p. 621. يمكن إضافة أو طرح أو ضرب أي من هذه الحدود. علاوة على ذلك، تكون النتيجة في كل حالة حدودية أخرى

[19] كريتي ، هارتجي (20/05/1998). التقدم في ديناميات هولومورفيك. الصحافة اتفاقية حقوق الطفل. ص. 159. ردمك 978-0-582-32388-9. هذه الفئة من الأشكال الشكلية مغلقة تحت التركيب،

[20] Marecek, Lynn; Mathis, Andrea Honeycutt (6 مايو 2020). الجبر المتوسط، الطبعة الثانية. OpenStax . §7.1.

[21] هايلوك، ديريك؛ كوكبيرن، آن د. (2008-10-14). فهم الرياضيات للأطفال الصغار: دليل للمعلمين في المرحلة التأسيسية والمرحلة الابتدائية الدنيا. SAGE. ص. 49. ISBN 978-1-4462-0497-9. نجد أن مجموعة الأعداد الصحيحة ليست مغلقة تحت عملية القسمة هذه.

[openstax-22] أب مارسيك وماتيس 2020، §5.4]

[24] Selby, Peter H.; Slavin, Steve (1991). Practical Algebra: A Self-Teaching Guide (2nd ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-53012-1.

[25] Weisstein, Eric W. "Ruffini's Rule". mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2020-07-25 .

[Barbeau-2003-pp80-82-26] باربو 2003، ص 80-2

[Barbeau-2003-pp64-65-27] باربو 2003، ص 64-5

[FOOTNOTEVarbergPurcellRigdon2007[httpsarchiveorgdetailsmatematika-a-purcell-calculus-9th-edpage38mode1upviewtheaterqpolynomial_38]-28] فاربيرج، بورسيل وريجدون 2007، ص. 38.

[29] بروسكورياكوف الرابع (1994). "معادلة جبرية". في هازوينكل، ميشيل (محرر). موسوعة الرياضيات . المجلد. 1. سبرينغر. رقم ISBN 978-1-55608-010-4.

[30] Leung, Kam-tim; et al. (1992). Polynomials and Equations. Hong Kong University Press. p. 134. ISBN 9789622092716.

[31] McNamee, JM (2007). Numerical Methods for Roots of Polynomials, Part 1. Elsevier. ISBN 978-0-08-048947-6.

[32] باول، مايكل جيه دي (1981). نظرية التقريب والطرق . مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0-521-29514-7.

[33] Gohberg, Israel; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2009) [1982]. Matrix Polynomials . Classics in Applied Mathematics. المجلد 58. Lancaster, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics . ISBN 978-0-89871-681-8. زبل 1170.15300.

[FOOTNOTEHornJohnson199036-34] هورن وجونسون 1990، ص 36.

[35] إيرفينج، رونالد س. (2004). الأعداد الصحيحة، ومتعددات الحدود، والحلقات: دورة في الجبر. سبرينغر. ص 129. رقم ISBN 978-0-387-20172-6.

[36] جاكسون، تيرينس إتش. (1995). من كثيرات الحدود إلى مجموع المربعات. دار نشر سي آر سي. ص. 143. رقم ISBN 978-0-7503-0329-3.

[37] ماكوي 1968، ص 75

[38] دي فيلييه ، يوهان (2012). رياضيات التقريب. سبرينغر. رقم ISBN 9789491216503.

[39] إيفز، هوارد (1990). مقدمة لتاريخ الرياضيات (الطبعة السادسة). سوندرز. رقم ISBN 0-03-029558-0.

[8] يمكن أن يكون معامل الحد أي رقم من مجموعة محددة. إذا كانت هذه المجموعة هي مجموعة الأعداد الحقيقية، فإننا نتحدث عن "كثيرات حدود على الأعداد الحقيقية". الأنواع الشائعة الأخرى من كثيرات الحدود هي كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة، وكثيرات الحدود ذات المعاملات المركبة، وكثيرات الحدود ذات المعاملات التي تكون أعدادًا صحيحة modulo بعض الأعداد الأولية $p$ .

[10] يعود تاريخ هذا المصطلح إلى الوقت الذي لم يكن فيه التمييز واضحًا بين كثير الحدود والدالة التي يعرفها: فالمصطلح الثابت وكثير الحدود الثابت يحددان الدوال الثابتة . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

[13] في الواقع، باعتبارها دالة متجانسة ، فهي متجانسة في كل درجة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

[16] يستخدم بعض المؤلفين كلمة "أحادي الحد" بمعنى " أحادي الحد ". انظر Knapp, Anthony W. (2007). Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra . Springer. p. 457. ISBN 978-0-8176-4522-9.

[23] تفترض هذه الفقرة أن كثيرات الحدود لها معاملات في حقل .

ف ت هـ الحدوديات والدوال الحدودية
حسب الدرجة	حدود صفرية (درجة غير محددة أو −1 أو −∞) دالة ثابتة (0) الدالة الخطية (1) معادلة خطية الدالة التربيعية (2) المعادلة التربيعية الدالة المكعبة (3) معادلة تكعيبية الدالة الرباعية (4) معادلة رباعية دالة خماسية (5) معادلة سداسية (6) معادلة الصرف الصحي (7)
حسب الخصائص	أحادي المتغير ثنائي المتغير متعدد المتغيرات أحادي الحد ثنائي الحدين ثلاثي الحدود غير قابل للاختزال خالية من المربعات متجانس شبه متجانس
الأدوات والخوارزميات	التحليل إلى عوامل القاسم المشترك الأعظم قسم طريقة هورنر للتقييم اختبار هوية متعددة الحدود النتيجة تمييزي قاعدة جروبنر

ف ت هـ وظيفة
تاريخ قائمة الوظائف المحددة
الأنواع حسب النطاق والنطاق المشترك	$س \to 𝔹$ $𝔹 \to X$ $𝔹ⁿ \to X$ $س \to ℤ$ $ℤ \to س$ $س \to ℝ$ $ℝ \to س$ $ℝⁿ \to X$ $س \to ℂ$ $ℂ \to س$ $ℂⁿ \to X$
الفئات/الخصائص	ثابت هوية خطي متعدد الحدود عاقِل جبري تحليلي سلس مستمر قابلة للقياس حقنة صفة ثنائي الاتجاه
الإنشاءات	تقييد تعبير λ معكوس
التعميمات	العلاقة ( علاقة ثنائية ) مجموعة القيمة متعدد القيم جزئي ضمني فضاء أعلى مرتبة الشكلية المُستخدِم
فئة

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗