دالة

📅 آخر تحديث: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 77 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الفئات ، يُعرَّف المؤثر بأنه دالة تربط بين الفئات . وقد استُخدمت المؤثرات لأول مرة في الطوبولوجيا الجبرية ، حيث تُربط الكائنات الجبرية (مثل المجموعة الأساسية ) بالفضاءات الطوبولوجية ، وتُربط الدوال بين هذه الكائنات الجبرية بدوال متصلة بين الفضاءات. أما اليوم، فتُستخدم المؤثرات على نطاق واسع في الرياضيات الحديثة لربط مختلف الفئات. لذا، تُعد المؤثرات ذات أهمية بالغة في كل مجال من مجالات الرياضيات التي تُطبَّق فيها نظرية الفئات .

استعار علماء الرياضيات مصطلحي " الفئة" و "الدالة" من الفيلسوفين أرسطو ورودولف كارناب على التوالي. [ 1 ] وقد استخدم كارناب مصطلح "الدالة" في سياق لغوي ؛ [ 2 ] انظر كلمة الدالة .

تعريف

فئة تحتوي على كائنات X و Y و Z ومورفيزمات f و g و g ∘ f
دالةF{\displaystyle F}يجب الحفاظ على تركيب التشكلاتز{\displaystyle g}وو{\displaystyle f}

يتركج{\displaystyle C}ود{\displaystyle D}فئات . دالة​F{\displaystyle F}منج{\displaystyle C}لد{\displaystyle D}هي عملية ربط تقوم بما يلي: [ 3 ]

  • يربط كل كائنX{\displaystyle X}فيج{\displaystyle C}إلى كائنF(X){\displaystyle F(X)}فيد{\displaystyle D}،
  • يربط كل شكل من أشكال التشاكلو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}فيج{\displaystyle C}إلى شكل مورفيزمF(و):F(X)→F(Y){\displaystyle F(f):F(X)\to F(Y)}فيد{\displaystyle D}بحيث يتحقق الشرطان التاليان:
    • F(أنادX)=أنادF(X){\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}لكل كائنX{\displaystyle X}فيج{\displaystyle C}،
    • F(ز∘و)=F(ز)∘F(و){\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}لجميع التشكلاتو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y\,\!}وز:Y→Z{\displaystyle g:Y\to Z}فيج{\displaystyle C}.

أي أن الدوال يجب أن تحافظ على التشكلات المطابقة وتكوين التشكلات.

التغاير والتغاير العكسي

توجد العديد من البنى في الرياضيات التي يمكن اعتبارها دوالًا لولا أنها "تقلب التشكلات" و"تعكس التركيب". ثم نُعرّف دالة متغايرة.F{\displaystyle F}منج{\displaystyle C}لد{\displaystyle D}كخريطة

  • يربط كل كائنX{\displaystyle X}فيج{\displaystyle C}مع كائنF(X){\displaystyle F(X)}فيد{\displaystyle D}،
  • يربط كل شكل من أشكال التشاكلو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}فيج{\displaystyle C}مع التشكلF(و):F(Y)→F(X){\displaystyle F(f):F(Y)\to F(X)}فيد{\displaystyle D}بحيث يتحقق الشرطان التاليان:
    • F(أنادX)=أنادF(X){\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}لكل كائنX{\displaystyle X}فيج{\displaystyle C}،
    • F(ز∘و)=F(و)∘F(ز){\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}لجميع التشكلاتو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}وز:Y→Z{\displaystyle g:Y\to Z}فيج{\displaystyle C}.

تباين الدوال (المركبة): [ 4 ]

  • مركب من دالتين لهما نفس التباين:
    • جovأرأناأنت∘جovأرأناأنت→جovأرأناأنت{\displaystyle \mathrm {Covariant} \circ \mathrm {Covariant} \to \mathrm {Covariant} }
    • جoنترأvأرأناأنت∘جoنترأvأرأناأنت→جovأرأناأنت{\displaystyle \mathrm {Contravariant} \circ \mathrm {Contravariant} \to \mathrm {Covariant} }
  • مركب من دالتين لهما تباين متعاكس:
    • جovأرأناأنت∘جoنترأvأرأناأنت→جoنترأvأرأناأنت{\displaystyle \mathrm {Covariant} \circ \mathrm {Contravariant} \to \mathrm {Contravariant} }
    • جoنترأvأرأناأنت∘جovأرأناأنت→جoنترأvأرأناأنت{\displaystyle \mathrm {Contravariant} \circ \mathrm {Covariant} \to \mathrm {Contravariant} }

لاحظ أن الدوال المتغايرة تعكس اتجاه التركيب.

تُسمى الدوال العادية أيضًا بالدوال المتغيرة المشتركة لتمييزها عن الدوال المتغيرة عكسيًا. تجدر الإشارة إلى أنه يمكن تعريف الدالة المتغيرة عكسيًا بأنها دالة متغيرة مشتركة على الفئة المقابلة.جoص{\displaystyle C^{\mathrm {op} }}[ 5 ] يفضل بعض المؤلفين كتابة جميع التعبيرات بشكل متغاير . أي بدلاً من قولF:ج→د{\displaystyle F:C\to D}هو دالة متغايرة، يكتبون ببساطةF:جoص→د{\displaystyle F:C^{\mathrm {op} }\to D}(أو في بعض الأحيان)F:ج→دoص{\displaystyle F:C\to D^{\mathrm {op} }}) ونسميها دالة.

تُسمى الدوال المتغايرة أحيانًا بالدوال المساعدة . [ 6 ]

هناك اصطلاح يشير إلى "المتجهات" - أي حقول المتجهات ، عناصر فضاء المقاطعΓ(تيم){\displaystyle \Gamma (TM)}من حزمة مماسيةتيم{\displaystyle TM}—باعتبارها "متغايرة عكسيًا" و"مترافقة"—أي، أشكال من الدرجة الأولى ، عناصر فضاء المقاطعΓ(تي*م){\displaystyle \Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}}من حزمة الظل التمامتي*م{\displaystyle T^{*}M}—بوصفها "متغايرة". يعود أصل هذا المصطلح إلى الفيزياء، ويرتبط أساسه بموقع المؤشرات ("العلوي" و"السفلي") في تعابير مثلx′أنا=Λجأناxج{\displaystyle {x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}}لx′=Λx{\displaystyle \mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} }، أوωأنا′=Λأناجωج{\displaystyle \omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}}لω′=ωΛتي.{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.}في هذا الشكل الرسمي، يُلاحظ أن رمز تحويل الإحداثياتΛأناج{\displaystyle \Lambda _{i}^{j}}(تمثيل المصفوفة)Λتي{\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}}) يؤثر على "إحداثيات المتجه المشترك" "بنفس الطريقة" كما هو الحال مع متجهات الأساس:هـأنا=Λأناجهـج{\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}}—بينما يعمل "بطريقة معاكسة" على "إحداثيات المتجهات" (ولكن "بنفس الطريقة" كما هو الحال على المتجهات الأساسية):هـأنا=Λجأناهـج{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}}يُخالف هذا المصطلح المصطلح المُستخدم في نظرية الفئات، لأن المتجهات المرافقة هي التي تمتلك خاصية السحب العكسي بشكل عام، وبالتالي فهي متغايرة عكسيًا ، بينما المتجهات بشكل عام متغايرة لأنها قابلة للدفع للأمام . انظر أيضًا: التغاير والتغاير العكسي للمتجهات .

دالة معاكسة

كل دالةF:ج→د{\displaystyle F:C\to D}يحفز الدالة المعاكسةFoص:جoص→دoص{\displaystyle F^{\mathrm {op} }:C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }}، أينجoص{\displaystyle C^{\mathrm {op} }}ودoص{\displaystyle D^{\mathrm {op} }}هي الفئات المعاكسة لـج{\displaystyle C}ود{\displaystyle D}[ 7 ]​

بحسب التعريف،Foص{\displaystyle F^{\mathrm {op} }}تُطبّق الخرائط على الكائنات والتشكلات بنفس الطريقة التي تُطبّق بهاF{\displaystyle F}. منذجoص{\displaystyle C^{\mathrm {op} }}لا يتطابق معج{\displaystyle C}كفئة، وبالمثل بالنسبة لـد{\displaystyle D}،Foص{\displaystyle F^{\mathrm {op} }}يتميز عنF{\displaystyle F}على سبيل المثال، عند التأليفF:ج0→ج1{\displaystyle F:C_{0}\to C_{1}}معجي:ج1oص→ج2{\displaystyle G:C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}}ينبغي استخدام أي منهماجي∘Foص{\displaystyle G\circ F^{\mathrm {op} }}أوجيoص∘F{\displaystyle G^{\mathrm {op} }\circ F}. لاحظ أن(Foص)oص=F{\displaystyle \left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F}.

الدوال الثنائية والدوال المتعددة

الدالة الثنائية (المعروفة أيضًا بالدالة الثنائية ) هي دالة يكون مجالها فئة ضربية . على سبيل المثال، دالة Hom هي من النوعجoص×ج→Sهـت{\displaystyle C^{\mathrm {op} }\times C\to \mathbf {Set} }. يمكن اعتبارها دالة في وسيطين ؛ فهي متغيرة عكسياً في وسيط واحد، ومتغيرة معاً في الآخر.

الدالة المتعددة هي تعميم لمفهوم الدالة إلىن{\displaystyle n}المتغيرات. على سبيل المثال، الدالة الثنائية هي دالة متعددة ذات متغيرات.ن=2{\displaystyle n=2}.

ملكيات

من أهم نتائج بديهيات الدالة ما يلي:

  • F{\displaystyle F}يحوّل كل مخطط تبادلي إلىج{\displaystyle C}في مخطط تبادلي فيد{\displaystyle D}؛
  • لوو{\displaystyle f}هو تماثل فيج{\displaystyle C}، ثمF(و){\displaystyle F(f)}هو تماثل فيد{\displaystyle D}.

يمكن تركيب الدوال، أي إذاF{\displaystyle F}هو دالة منأ{\displaystyle A}لب{\displaystyle B}وجي{\displaystyle G}هو دالة منب{\displaystyle B}لج{\displaystyle C}عندها يمكن للمرء تكوين الدالة المركبةجي∘F{\displaystyle G\circ F}منأ{\displaystyle A}لج{\displaystyle C}تركيب الدوال يكون ترابطيًا حيثما تم تعريفه. دالة الهوية لتركيب الدوال هي دالة الهوية. هذا يدل على أنه يمكن اعتبار الدوال بمثابة تشاكلات في فئات الفئات، على سبيل المثال في فئة الفئات الصغيرة .

الفئة الصغيرة ذات العنصر الواحد تُعتبر مرادفةً للمونويد : يمكن اعتبار تشاكلات الفئة ذات العنصر الواحد عناصرَ للمونويد، ويُعتبر التركيب في الفئة عملية المونويد. تتوافق الدوال بين الفئات ذات العنصر الواحد مع تشاكلات المونويد . لذا، يمكن القول إن الدوال بين الفئات المختلفة تُعدّ تعميمًا لتشاكلات المونويد لتشمل الفئات ذات أكثر من عنصر.

أمثلة

رسم بياني
للفئاتج{\displaystyle C}وج{\displaystyle J}رسم تخطيطي من النوعج{\displaystyle J}فيج{\displaystyle C}دالة متغيرةد:ج→ج{\displaystyle D:J\to C}.
(نظري الفئة) حزمة مسبقة
للفئاتج{\displaystyle C}وج{\displaystyle J}، أج{\displaystyle J}-presheaf onج{\displaystyle C}دالة متغايرةد:ج→ج{\displaystyle D:C\to J}في الحالة الخاصة عندماج{\displaystyle J}يكونSهـت{\displaystyle \mathbf {Set} }، فئة المجموعات والدوال،د{\displaystyle D}يُطلق عليه اسم حزمة مسبقةج{\displaystyle C}.
الحزم المسبقة (على فضاء طوبولوجي)
إذا كان X فضاءً طوبولوجيًا ، فإن المجموعات المفتوحة في X تُشكّل مجموعةً مرتبةً جزئيًا Open( X ) تحت الاحتواء. ومثل أي مجموعة مرتبة جزئيًا، تُشكّل Open( X ) فئةً صغيرةً بإضافة سهم واحد U → V إذا وفقط إذايو⊆V{\displaystyle U\subseteq V}تُسمى الدوال المتغيرة عكسيًا على Open( X ) بالحزم المسبقة على X. على سبيل المثال، من خلال إسناد الجبر الترابطي للدوال المتصلة ذات القيم الحقيقية على U إلى كل مجموعة مفتوحة U ، نحصل على حزمة مسبقة من الجبر على X.
دالة ثابتة
الدالةج→د{\displaystyle C\to D}الذي يحدد كل كائن منج{\displaystyle C}إلى جسم ثابتX{\displaystyle X}فيد{\displaystyle D}وكل تشاكل فيج{\displaystyle C}إلى التماثل المحايد علىX{\displaystyle X}يُطلق على هذا النوع من الدوال اسم دالة ثابتة أو دالة اختيار .
الوظيفة النهائية
دالة تربط فئة بفئة أخرى؛ على سبيل المثال، دالة متعددة الحدود .
دالة الهوية
دالة الهوية في فئةج{\displaystyle C}، المشار إليه1ج{\displaystyle 1_{C}}أوأنادج{\displaystyle \mathrm {id} _{C}}تقوم هذه الدالة بتحويل الكائن إلى نفسه، وتحويل التشكل إلى نفسه. دالة الهوية هي دالة داخلية.
الدالة القطرية
يُعرَّف المؤثر القطري بأنه المؤثر مند{\displaystyle D}إلى فئة الدوالدج{\displaystyle D^{C}}والذي يرسل كل كائن إلىد{\displaystyle D}إلى الدالة الثابتة عند ذلك الكائن.
دالة الحد
بالنسبة لفئة فهرس ثابتة J ، إذا كان لكل دالة J → C نهاية (على سبيل المثال، إذا كانت C كاملة)، فإن دالة النهاية C J → C تُسند لكل دالة نهايتها. يمكن إثبات وجود هذه الدالة بإدراك أنها الدالة المرافقة اليمنى للدالة القطرية، واستدعاء نظرية فريد للدالة المرافقة . يتطلب هذا صيغة مناسبة لبديهية الاختيار . تنطبق ملاحظات مماثلة على دالة النهاية المشتركة (التي تُسند لكل دالة نهايتها المشتركة، وهي دالة متغيرة).
دالة مجموعات القوى
دالة مجموعة القوى P  : Set → Set تربط كل مجموعة بمجموعة قواها وكل دالةو:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}إلى الخريطة التي ترسليو∈P(X){\displaystyle U\in {\mathcal {P}}(X)}إلى صورتهاو(يو)∈P(Y){\displaystyle f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)}يمكن أيضًا النظر في دالة مجموعة القوى المتغيرة عكسيًا التي ترسلو:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}إلى الخريطة التي ترسلV⊆Y{\displaystyle V\subseteq Y}إلى صورتها المعكوسةو-1(V)⊆X.{\displaystyle f^{-1}(V)\subseteq X.}
على سبيل المثال، إذاX={0،1}{\displaystyle X=\{0,1\}}، ثمF(X)=P(X)={{}،{0}،{1}،X}{\displaystyle F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}}. يفترضو(0)={}{\displaystyle f(0)=\{\}}وو(1)=X{\displaystyle f(1)=X}. ثمF(و){\displaystyle F(f)}هي الدالة التي ترسل أي مجموعة فرعيةيو{\displaystyle U}لX{\displaystyle X}إلى صورتهاو(يو){\displaystyle f(U)}في هذه الحالة{}↦و({})={}{\displaystyle \{\}\mapsto f(\{\})=\{\}}أما بالنسبة للقيم الأخرى،
{0}↦و({0})={و(0)}={{}}،{1}↦و({1})={و(1)}={X}،{0،1}↦و({0،1})={و(0)،و(1)}={{}،X}.{\displaystyle {\begin{aligned}\{0\}\mapsto f(\{0\})&=\{f(0)\}=\{\{\}\},\\\{1\}\mapsto f(\{1\})&=\{f(1)\}=\{X\},\\\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})&=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.\end{aligned}}}

لاحظ أنو({0،1}){\displaystyle f(\{0,1\})}وبالتالي ينتج عنه بنية تافهة علىX{\displaystyle X}لاحظ أيضًا أنه على الرغم من أن الوظيفةو{\displaystyle f}في هذا المثال، يتم ربطها بمجموعة القوى لـX{\displaystyle X}، لكن هذا ليس بالضرورة هو الحال بشكل عام.

فضاء المتجهات المزدوج
إن التطبيق الذي يخصص لكل فضاء متجه فضاءه المزدوج ولكل تطبيق خطي فضاءه المزدوج أو منقوله هو دالة متغايرة من فئة جميع الفضاءات المتجهة على حقل ثابت إلى نفسها.
المجموعة الأساسية
لننظر في فئة الفضاءات الطوبولوجية ذات النقاط المميزة. تتكون هذه الفئة من أزواج ( X , x₀ ) ، حيث X فضاء طوبولوجي و x₀ نقطة فيه . يُعطى التشكل من ( X , x₀ ) إلى ( Y , y₀ ) بواسطة دالة متصلة f : X → Y بحيث f ( x₀ ) = y₀ . 
لكل فضاء طوبولوجي X ذي نقطة مميزة x₀ ، يمكن تعريف المجموعة الأساسية التي تتمركز عند x₀ ، ويرمز لها بـ π₁ ( X , x₀ ) . هذه المجموعة هي مجموعة فئات التماثل الحلقي المتمركزة عند x₀ ، مع عملية التجميع. إذا كان f  : X → Y تشاكلًا بين الفضاءات ذات النقاط المحددة ، فإنه يمكن تركيب كل حلقة في X ذات نقطة أساسية x₀ مع f₀ للحصول على حلقة في Y ذات نقطة أساسية y₀ . تتوافق هذه العملية مع علاقة التكافؤ التماثلي وتركيب الحلقات، فنحصل على تشاكل زمّي من π( X , x₀ ) إلى π( Y , y₀ ) . وبذلك نحصل على دالة من فئة الفضاءات الطوبولوجية ذات النقاط المحددة إلى فئة الزمر .
في فئة الفضاءات الطوبولوجية (بدون نقطة مميزة)، تُدرس فئات التماثل للمنحنيات العامة، ولكن لا يمكن تركيبها إلا إذا اشتركت في نقطة نهاية. وبالتالي، نحصل على الزمرة الأساسية الجزئية بدلاً من الزمرة الأساسية، وهذا البناء دالي.
جبر الدوال المتصلة
يُعرَّف المؤثر المتغاير من فئة الفضاءات الطوبولوجية (مع الدوال المتصلة كتشاكلات) إلى فئة الجبر الترابطي الحقيقي بتعيين الجبر C( X ) لكل فضاء طوبولوجي X ، والذي يضم جميع الدوال المتصلة ذات القيم الحقيقية على ذلك الفضاء. كل دالة متصلة f : X → Y تُنشئ تشاكلًا جبريًا C( f ) : C( Y ) → C( X ) وفقًا للقاعدة C( f )( φ ) = φ ∘ f لكل φ في C( Y ).  
حزم الظل وظل التمام
إن الخريطة التي ترسل كل مشعب قابل للتفاضل إلى حزمة المماس الخاصة به وكل خريطة سلسة إلى مشتقها هي دالة متغيرة من فئة المشعبات القابلة للتفاضل إلى فئة حزم المتجهات .
بإجراء هذه الإنشاءات نقطة بنقطة، نحصل على الفضاء المماسي ، وهو دالة متغايرة من فئة المشعبات التفاضلية المدببة إلى فئة الفضاءات المتجهة الحقيقية. وبالمثل، فإن الفضاء المماسي المشترك هو دالة متغايرة عكسية، وهو في جوهره تركيب الفضاء المماسي مع الفضاء الثنائي أعلاه.
الإجراءات/التمثيلات الجماعية
يمكن اعتبار كل زمرة G فئةً تحتوي على عنصر واحد، وتكون تشاكلاتها هي عناصر G. وبالتالي، فإن الدالة من G إلى Set ليست سوى فعل زمرة G على مجموعة معينة ، أي مجموعة G. وبالمثل ، فإن الدالة من G إلى فئة الفضاءات المتجهة ، Vect K ، هي تمثيل خطي لـ G. وبشكل عام، يمكن اعتبار الدالة G → C بمثابة "فعل" لـ G على عنصر في الفئة C. إذا كانت C زمرة، فإن هذا الفعل هو تشاكل زمر.
جبر لي
إن إسناد جبر لي الحقيقي (المركب) إلى كل مجموعة لي حقيقية (مركبة) يحدد دالة .
منتجات التوتر
إذا كانت C ترمز إلى فئة الفضاءات المتجهة على حقل ثابت، مع اعتبار التطبيقات الخطية بمثابة تشاكلات، فإن حاصل الضرب الموتريV⊗دبليو{\displaystyle V\otimes W}[ 8 ] يُعرّف دالة C × C → C وهي متغيرة في كلا الوسيطين.
الدوال النسيانية
الدالة U  : Grp → Set التي تربط الزمرة بمجموعتها الأساسية، وتشاكل الزمر بدالة المجموعات الأساسية، هي دالة. [ 9 ] تُسمى الدوال من هذا النوع، التي "تتجاهل" بعض البنية، بالدوال التجاهلية . مثال آخر هو الدالة Rng → Ab التي تربط الحلقة بزمرتها الأبيلية الجمعية الأساسية . تصبح التشاكلات في Rng ( تشاكلات الحلقات ) تشاكلات في Ab (تشاكلات الزمر الأبيلية).
الدوال الحرة
على النقيض من الدوال النسيانية، توجد الدوال الحرة. تُرسل الدالة الحرة F  : Set → Grp كل مجموعة X إلى المجموعة الحرة المولدة بواسطة X. تُحوّل الدوال إلى تشاكلات بين المجموعات الحرة. توجد بنيات حرة للعديد من الفئات القائمة على المجموعات المهيكلة. انظر الكائن الحر .
مجموعات التماثل
لكل زوج A و B من الزمر الأبيلية، يمكن إسناد الزمرة الأبيلية Hom( A , B ) التي تتكون من جميع تشاكلات الزمر من A إلى B. هذه دالة متغيرة عكسيًا في وسيطها الأول ومتغيرة مع وسيطها الثاني، أي أنها دالة Ab op × Ab → Ab (حيث Ab ترمز إلى فئة الزمر الأبيلية ذات تشاكلات الزمر). إذا كان f :  A₁ → A₂ و g :  B₁ → B₂ تشاكلين في Ab ، فإن تشاكل الزمر Hom( f , g ) : Hom ( A₂ , B₁ ) → Hom( A₁ , B₂ ) يُعطى بالعلاقة φ ↦ g ∘ φ ∘ f . انظر دالة Hom .
الدوال القابلة للتمثيل
يمكننا تعميم المثال السابق على أي فئة C. لكل زوج X و Y من الكائنات في C ، يمكن إسناد المجموعة Hom( X , Y ) من التشكلات من X إلى Y. يُعرّف هذا دالة لـ Set تكون متغايرة عكسيًا في الوسيط الأول ومتغايرة مشتركة في الوسيط الثاني ، أي أنها دالة C op × C → Set . إذا كان f : X1  → X2 و g : Y1  → Y2 تشكلين في C ، فإن الخريطة Hom( f , g )  : Hom ( X2 , Y1 ) → Hom ( X1 , Y2 ) تُعطى بالعلاقة φ ↦ g ∘ φ ∘ f .
تُسمى الدوال من هذا النوع بالدوال القابلة للتمثيل . ومن الأهداف المهمة في العديد من السياقات تحديد ما إذا كانت دالة معينة قابلة للتمثيل.

العلاقة بالمفاهيم التصنيفية الأخرى

لتكن C و D فئتين. تشكل مجموعة جميع الدوال من C إلى D عناصر فئة: فئة الدوال . التشاكلات في هذه الفئة هي تحويلات طبيعية بين الدوال.

تُعرَّف الدوال غالبًا بخصائص شاملة ؛ ومن أمثلتها: الضرب الموتري ، والمجموع المباشر والضرب المباشر للمجموعات أو الفضاءات المتجهة، وبناء المجموعات والوحدات الحرة، والنهايات المباشرة والمعكوسة . وتُعمِّم مفاهيم النهاية والنهاية المشتركة العديد من الخصائص المذكورة أعلاه.

غالباً ما تؤدي البنى الشاملة إلى ظهور أزواج من الدوال المرافقة .

تطبيقات الحاسوب

تظهر الدوال أحيانًا في البرمجة الوظيفية . على سبيل المثال، تحتوي لغة البرمجة هاسكل على فئةFunctor حيث fmapتكون دالة متعددة الأنماط تُستخدم لربط الدوال ( التشكلات على هاسك ، فئة أنواع هاسكل) [ 10 ] بين الأنواع الموجودة بدوال بين بعض الأنواع الجديدة. [ 11 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ ماك لين (1998) ، ص 30.
  2. ^ كارناب (1937) ، ص 13-14.
  3. ↑ جاكوبسون (1989) ، ص. 19، تعريف 1.2.
  4. ↑ سيمونز (2011) ، ص 72-107، التمرين 3.1.4.
  5. ↑ جاكوبسون (1989) ، ص 19-20.
  6. ^ بوبيسكو وبوبيسكو (1979) ، ص. 12 . 
  7. ^ ماك لين ومورديجك (1992) .
  8. ^ هازوينكل وجوباريني وكيريشينكو (2004) .
  9. ↑ جاكوبسون (1989) ، ص 20، مثال 2.
  10. ↑ ليس من الواضح تمامًا ما إذا كانت أنواع بيانات هاسكل تُشكّل فئةً بحد ذاتها. راجع https://wiki.haskell.org/Hask لمزيد من التفاصيل.
  11. ↑ انظر https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell لمزيد من المعلومات.

مراجع