الدوال المرافقة

بمعنى ما، يُعدّ المؤثر المرافق طريقةً لإيجاد الحل الأمثل لمسألةٍ ما عبر أسلوبٍ صيغيّ . على سبيل المثال، تتمثل إحدى المسائل الأساسية في نظرية الحلقات في كيفية تحويل مولد أرقام عشوائية (وهو أشبه بحلقة قد لا تحتوي على عنصر محايد ضربي) إلى حلقة . تتمثل الطريقة الأمثل في إضافة العنصر '1' إلى مولد الأرقام العشوائية، وإضافة جميع (فقط) العناصر الضرورية لتحقيق بديهيات الحلقة (مثل r + 1 لكل r في الحلقة)، وعدم فرض أي علاقات في الحلقة المُشكّلة حديثًا غير تلك التي تفرضها البديهيات. علاوة على ذلك، فإن هذا البناء صيغيّ بمعنى أنه يعمل بنفس الطريقة تقريبًا لأي مولد أرقام عشوائية.

هذا تعريفٌ غامضٌ نوعًا ما، وإن كان مُوحيًا، ويمكن توضيحه بدقةٍ باستخدام لغة نظرية الفئات: يكون البناء أكثر كفاءةً إذا حقق خاصيةً شاملة ، ويكون صيغيًا إذا عرّف دالة . تأتي الخصائص الشاملة في نوعين: الخصائص الأولية والخصائص النهائية. ولأن هذين المفهومين متلازمان ، يكفي مناقشة أحدهما فقط.

تتمثل فكرة استخدام خاصية أولية في صياغة المسألة بدلالة فئة مساعدة E ، بحيث تتوافق المسألة المطروحة مع إيجاد عنصر أولي من E. وتكمن ميزة هذا الأسلوب في أن التحسين - أي إيجاد الحل الأمثل - يحمل دلالة دقيقة وواضحة، أشبه بتحقيق قيمة عليا . كما أن الفئة E في هذا السياق صيغة رياضية، لأنها تمثل دائمًا فئة عناصر الدالة التي يُنشأ لها دالة مرافقة.

بالعودة إلى مثالنا: لنأخذ حلقة R المُعطاة ، ونُنشئ فئة E عناصرها عبارة عن تشاكلات R → S ، حيث S حلقة ذات عنصر محايد ضربي. التشاكلات في E بين R → S₁ و R → S₂ هي مثلثات تبديلية على الصورة (R → S₁, R → S₂, S₁ → S₂ ) ، حيث S₁ → S₂ دالة حلقية ( تحافظ على العنصر المحايد ) _. ( _لاحظ أن هذا هو _تعريف فئة الفاصلة لـ R على تضمين _{الحلقات الوحدوية} في _{rng )} . وجود _تشاكل بين R → S₁ و R → S₂ يعني _أن S₁ حل فعال على الأقل مثل S₂ لمشكلتنا: _{إذ يمكن أن تحتوي} S₂ على عناصر مُلحقة أكثر و/أو علاقات غير مفروضة بواسطة بديهيات أكثر _من S₁ _. لذلك، فإن التأكيد على أن الكائن R → R ^∗ هو أولي في E ، أي أن هناك تشاكل منه إلى أي عنصر آخر من E ، يعني أن الحلقة R * هي الحل الأكثر كفاءة لمشكلتنا.

يمكن التعبير عن حقيقتي أن هذه الطريقة لتحويل الأعداد العشوائية إلى حلقات هي الأكثر كفاءةً وصيغةً في آنٍ واحد بالقول إنها تُعرّف دالةً مُرافقة . بتعبيرٍ أدق: لنرمز بـ F إلى عملية إضافة عنصر محايد إلى عدد عشوائي، أي F ( R ) = R ^* . ولنرمز بـ G إلى عملية "تجاهل" ما إذا كانت الحلقة S تحتوي على عنصر محايد، واعتبارها ببساطة عددًا عشوائيًا، أي G ( S ) = S. عندئذٍ، F هي الدالة المُرافقة اليسرى لـ G.

لاحظ مع ذلك أننا لم نقم فعليًا بإنشاء R ^∗ بعد؛ إنها حقيقة جبرية مهمة وليست تافهة تمامًا أن مثل هذا المؤثر المساعد الأيسر R → R ^∗ موجود بالفعل.

من الممكن أيضًا البدء بالدالة F ، وطرح السؤال (الغامض) التالي: هل هناك مشكلة يكون فيها F هو الحل الأكثر كفاءة؟

إن فكرة أن F هو الحل الأكثر كفاءة للمشكلة التي يطرحها G هي ، بمعنى دقيق معين، تعادل فكرة أن G يطرح أصعب مشكلة يحلها F.

وهذا يعطي الحدس وراء حقيقة أن الدوال المرافقة تحدث في أزواج: إذا كانت F مرافقة يسارية لـ G ، فإن G تكون مرافقة يمينية لـ F.

تعتمد نظرية العناصر المرافقة على مفهومي اليسار واليمين ، وهناك العديد من العناصر التي تندرج ضمن إحدى الفئتين C و D قيد الدراسة. لذا ، يُنصح باختيار الأحرف بالترتيب الأبجدي وفقًا لانتمائها إلى الفئة "اليسرى" C أو الفئة "اليمنى" D ، وكتابتها بهذا الترتيب كلما أمكن.

في هذه المقالة، على سبيل المثال، ستشير الأحرف X و F و f وε باستمرار إلى العناصر التي تنتمي إلى الفئة C ، بينما ستشير الأحرف Y و G و g وη باستمرار إلى العناصر التي تنتمي إلى الفئة D. وكلما أمكن، سيتم الإشارة إلى هذه العناصر بالترتيب من اليسار إلى اليمين ( يمكن اعتبار الدالة F  : D → C "موجودةً" حيث توجد مخرجاتها، أي في الفئة C ). إذا رُسمت أسهم الدالة المرافقة اليسرى F، فستشير إلى اليسار؛ وإذا رُسمت أسهم الدالة المرافقة اليمنى G، فستشير إلى اليمين.

بحسب التعريف، الدالة ${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$يكون دالة مرافقة يسارية إذا كان لكل عنصر${\displaystyle X}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يوجد تشاكل شامل من${\displaystyle F}$ل${\displaystyle X}$وبعبارة أخرى، هذا يعني أنه لكل عنصر${\displaystyle X}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يوجد كائن ${\displaystyle G(X)}$في${\displaystyle {\mathcal {D}}}$وتشكل${\displaystyle \varepsilon _{X}:F(G(X))\to X}$بحيث يكون لكل كائن ${\displaystyle Y}$في${\displaystyle {\mathcal {D}}}$وكل شكل من أشكال التشاكل${\displaystyle f:F(Y)\to X}$يوجد تشاكل فريد ${\displaystyle g:Y\to G(X)}$مع${\displaystyle \varepsilon _{X}\circ F(g)=f}$.

يتم التعبير عن المعادلة الأخيرة بواسطة المخطط التبادلي التالي :

في هذه الحالة، يمكن للمرء أن يوضح أن${\displaystyle G}$يمكن تحويلها إلى دالة${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$بطريقة فريدة بحيث ${\displaystyle \varepsilon _{X}\circ F(G(f))=f\circ \varepsilon _{X'}}$ لجميع التشكلات${\displaystyle f:X'\to X}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$;${\displaystyle F}$ويُطلق عليه حينها اسم المرافق الأيسر لـ${\displaystyle G}$.

وبالمثل، يمكننا تعريف الدوال المرافقة اليمنى. الدالة${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$يكون دالة مرافقة يمنى إذا كان لكل عنصر${\displaystyle Y}$في${\displaystyle {\mathcal {D}}}$، يوجد تشاكل شامل من${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle G}$وبعبارة أخرى، هذا يعني أنه لكل عنصر${\displaystyle Y}$في${\displaystyle {\mathcal {D}}}$يوجد كائن${\displaystyle F(Y)}$في${\displaystyle C}$وتشكل${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to G(F(Y))}$بحيث يكون لكل كائن${\displaystyle X}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ وكل شكل من أشكال التشاكل${\displaystyle g:Y\to G(X)}$يوجد تشاكل فريد${\displaystyle f:F(Y)\to X}$مع${\displaystyle G(f)\circ \eta _{Y}=g}$.

مرة أخرى، هذا${\displaystyle F}$يمكن تحويلها بشكل فريد إلى دالة${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$بحيث${\displaystyle G(F(g))\circ \eta _{Y}=\eta _{Y'}\circ g}$ل${\displaystyle g:Y\to Y'}$التشكل في${\displaystyle {\mathcal {D}}}$;${\displaystyle G}$ويُطلق عليه حينها اسم المرافق الأيمن لـ${\displaystyle F}$.

صحيح، كما تشير المصطلحات، أن${\displaystyle F}$يُترك مجاورًا لـ${\displaystyle G}$إذا وفقط إذا${\displaystyle G}$هو المجاور الأيمن لـ${\displaystyle F}$.

تُعدّ هذه التعريفات، التي تُعرَّف باستخدام التشكلات الشاملة، مفيدةً في كثير من الأحيان لتحديد ما إذا كان مُؤثرٌ ما مُرافقًا يساريًا أو يمينيًا، نظرًا لبساطة متطلباتها. كما أنها ذات دلالة بديهية، إذ يُشبه إيجاد تشكل شامل حلّ مسألة تحسين.

باستخدام مجموعات التماثل ، وهي عملية ربط بين فئتين${\displaystyle {\mathcal {C}}}$و${\displaystyle {\mathcal {D}}}$يمكن تعريفها بأنها تتكون من دالتين${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$و${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$وتماثل طبيعي$${\displaystyle \Phi$$ :\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(F-,-)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(-,G-).} يحدد هذا عائلة من الاقترانات $${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$$ لجميع الكائنات${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$و${\displaystyle Y\in {\mathcal {D}}.}$

في هذه الحالة،${\displaystyle F}$يُترك مجاورًا لـ${\displaystyle G}$و${\displaystyle G}$هو المجاور الأيمن لـ${\displaystyle F}$.

يُعدّ هذا التعريف حلاً وسطاً منطقياً، إذ يصعب إثبات تحققه مقارنةً بتعريفات التشكل الشامل، كما أن له آثاراً مباشرة أقل من تعريف الوحدة المشتركة. تكمن فائدته في تناظره الواضح، وفي كونه حلقة وصل بين التعريفات الأخرى.

من أجل التفسير${\displaystyle \Phi }$باعتباره تماثلًا طبيعيًا ، يجب على المرء أن يدرك${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(F-,-)}$و${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(-,G-)}$كدوال. في الواقع، كلاهما دالتان ثنائيتان من${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}}$ل${\displaystyle \mathbf {Set} }$( فئة المجموعات ). لمزيد من التفاصيل، انظر مقالة الدوال المتجانسة . وبعبارة أخرى، فإن طبيعة${\displaystyle \Phi }$هذا يعني أنه بالنسبة لجميع التشكلات${\displaystyle f:X\to X'}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$وجميع التشكلات${\displaystyle g:Y'\to Y}$في${\displaystyle {\mathcal {D}}}$المخطط التالي يتبادل :

الأسهم الرأسية في هذا الرسم التخطيطي (${\displaystyle {\text{Hom}}(g,Gf)}$و${\displaystyle {\text{Hom}}(Fg,f)}$) هي تلك الناتجة عن التركيب. رسميًا،${\displaystyle {\text{Hom}}(Fg,f):{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY,X)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY',X')}$يُعطى بواسطة${\displaystyle h\mapsto f\circ h\circ Fg}$لكل${\displaystyle h\in {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY,X).}$${\displaystyle {\text{Hom}}(g,Gf)}$متشابه.

طريقة ثالثة لتعريف الاقتران بين فئتين${\displaystyle {\mathcal {C}}}$و${\displaystyle {\mathcal {D}}}$يتكون من دالتين${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$و${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$وتحولان طبيعيان$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}}$$ يُطلق عليهما على التوالي الوحدة المرافقة ووحدة الإضافة (مصطلحات من الجبر الشامل )، بحيث تكون التركيبات $${\displaystyle F\xrightarrow {\overset {}{\;F\eta \;}} FGF\xrightarrow {\overset {}{\;\varepsilon F\,}} F}$$$${\displaystyle G\xrightarrow {\overset {}{\;\eta G\;}} GFG\xrightarrow {\overset {}{\;G\varepsilon \,}} G}$$ هي التشكلات التطابقية${\displaystyle 1_{F}}$و${\displaystyle 1_{G}}$على F و G على التوالي.

في هذه الحالة نقول إن F هي المرافقة اليسرى لـ G و G هي المرافقة اليمنى لـ F ، ويمكننا الإشارة إلى هذه العلاقة بكتابة${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ أو ببساطة${\displaystyle F\dashv G}$ .

بصيغة معادلة، الشروط المذكورة أعلاه على${\displaystyle (\varepsilon ,\eta )}$هي معادلات الوحدة-الوحدة$${\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}}$$ مما يعني أنه بالنسبة لكل${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$وكل${\displaystyle Y\in {\mathcal {D}},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}.\end{aligned}}}$$

لاحظ أن${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$يشير إلى دالة التعريف على الفئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$،${\displaystyle 1_{F}}$يشير إلى التحويل الطبيعي للهوية من الدالة F إلى نفسها، و${\displaystyle 1_{FY}}$يشير إلى التماثل المطابق للكائن${\displaystyle FY}$.

تُفيد هذه المعادلات في اختزال البراهين المتعلقة بالدوال المرافقة إلى عمليات جبرية. تُسمى أحيانًا متطابقات المثلث ، أو معادلات الزجزاج نظرًا لتشابهها مع مخططات السلاسل . إحدى طرق تذكرها هي كتابة المعادلة غير المنطقية أولًا.${\displaystyle 1=\varepsilon \circ \eta }$ثم املأ إما F أو G بإحدى الطريقتين البسيطتين اللتين تحددان التركيبات.

ملاحظة: استخدام البادئة "co" في counit هنا لا يتوافق مع مصطلحات النهايات والنهايات المشتركة، لأن النهاية المشتركة تحقق خاصية أولية بينما تحقق مورفيزمات counit خصائص نهائية ، وينطبق الأمر نفسه على النهاية مقابل الوحدة. مصطلح الوحدة هنا مُستعار من نظرية المونادات ، حيث يبدو كإدخال العنصر المحايد 1 في مونيد .

يُعد بناء المجموعات الحرة مثالاً شائعاً ومفيداً.

ليكن F  : Set → Grp الدالة التي تُسند لكل مجموعة Y المجموعة الحرة المولدة من عناصر Y ، وليكن G  : Grp → Set الدالة النسيانية التي تُسند لكل مجموعة X مجموعتها الأساسية. عندئذٍ، يكون F هو المرافق الأيسر لـ G.

التشكلات الأولية.

لكل مجموعة Y ، فإن المجموعة GFY هي ببساطة المجموعة الأساسية للمجموعة الحرة FY المولدة بواسطة Y.${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$ليكن تطبيق المجموعة المعطى بواسطة "تضمين المولدات". هذا تشاكل أولي من Y إلى G ، لأن أي تطبيق مجموعة من Y إلى المجموعة الأساسية GW لبعض الزمر W سيخضع للتحليل.${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$عن طريق تماثل زمر فريد من FY إلى W. هذه هي تحديداً الخاصية العامة للزمرة الحرة على Y.

التشكلات الطرفية.

لكل مجموعة X ، فإن المجموعة FGX هي المجموعة الحرة المولدة بحرية بواسطة GX ، عناصر X.${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$ليكن FGX تماثلًا زمرًا يُرسل مولدات FGX إلى عناصر X التي تُقابلها، وهو موجود بفضل الخاصية العامة للزمر الحرة. عندئذٍ كل${\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})}$هو تشاكل نهائي من F إلى X ، لأن أي تشاكل زمرة من زمرة حرة FZ إلى X سيحلل إلى عوامل.${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$عبر خريطة مجموعة فريدة من Z إلى GX . هذا يعني أن ( F ، G ) زوج مترافق.

ملحق مجموعة متجانسة.

تُقابل التشاكلات بين الزمر الحرة FY والزمرة X بدقةٍ التطبيقات من المجموعة Y إلى المجموعة GX : كل تشاكل من FY إلى X مُحددٌ تمامًا بفعله على المولدات، وهو تأكيدٌ آخر للخاصية العامة للزمر الحرة. يمكن التحقق مباشرةً من أن هذا التطابق هو تحويل طبيعي، أي أنه اقتران مجموعة تجانس للزوج ( F , G ) .

وحدة سكنية - ملحق الوحدة.

يمكن أيضًا التحقق مباشرةً من أن ε و η طبيعيتان. ثم، يمكن التحقق مباشرةً من أنهما تشكلان اقترانًا بين وحدتين متجاورتين.${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$وهو كالتالي:

المعادلة الأولى بين الوحدات

${\displaystyle 1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta }$يقول ذلك أنه لكل مجموعة Y يكون التركيب $${\displaystyle FY\xrightarrow {\overset {}{\;F(\eta _{Y})\;}} FGFY\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,} FY}$$ ينبغي أن تكون المجموعة هي العنصر المحايد. المجموعة الوسيطة FGFY هي المجموعة الحرة المولدة بحرية بواسطة كلمات المجموعة الحرة FY . (تخيل هذه الكلمات موضوعة بين قوسين للإشارة إلى أنها مولدات مستقلة). السهم${\displaystyle F(\eta _{Y})}$هو تماثل المجموعة من FY إلى FGFY الذي يرسل كل مولد y من FY إلى الكلمة المقابلة ذات الطول واحد ( y ) كمولد لـ FGFY . السهم${\displaystyle \varepsilon _{FY}}$إن التشاكل الجماعي من FGFY إلى FY يُرسل كل مولد إلى الكلمة المقابلة له في FY (لذا فإن هذه الخريطة "تحذف الأقواس"). تركيب هذه الخرائط هو في الواقع عنصر التطابق على FY .

المعادلة الثانية بين الوحدات

${\displaystyle 1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G}$يقول ذلك أن لكل مجموعة X التركيب $${\displaystyle GX\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;} GFGX\xrightarrow {\overset {}{\;G(\varepsilon _{X})\,}} GX}$$ ينبغي أن تكون المجموعة المحايد. المجموعة الوسيطة GFGX هي ببساطة المجموعة الأساسية لـ FGX . السهم${\displaystyle \eta _{GX}}$هي خريطة مجموعة "تضمين المولدات" من المجموعة GX إلى المجموعة GFGX . السهم${\displaystyle G(\varepsilon _{X})}$هي دالة المجموعة من GFGX إلى GX ، والتي تُشكّل أساس تماثل المجموعة الذي يُرسل كل مولد من FGX إلى العنصر المقابل له في X (مع حذف الأقواس). تركيب هذه الدوال هو في الواقع دالة التطابق على GX .

تُعدّ الكائنات الحرة أمثلةً على المرافق الأيسر لدالة نسيان ، والتي تُسند إلى كائن جبري مجموعته الأساسية. وتتشابه هذه الدوال الجبرية الحرة عمومًا في وصفها مع الوصف التفصيلي لحالة المجموعة الحرة المذكور أعلاه.

تُعدّ المنتجات ، والسحب العكسي ، والمعادلات ، والنوى أمثلةً على المفهوم الفئوي للنهاية . أي دالة نهاية تكون مترافقة يمينًا مع دالة قطرية مقابلة (شريطة أن يكون للفئة نوع النهايات المعنية)، وتُوفّر الوحدة المرافقة للاقتران الخرائط المُحدِّدة من كائن النهاية (أي من الدالة القطرية على النهاية، في فئة الدوال). فيما يلي بعض الأمثلة المحددة.

تُعدّ المنتجات المشتركة ، والدفعات الخارجية ، والمعادلات المشتركة ، والنوى المشتركة أمثلةً على المفهوم الفئوي للنهاية المشتركة . أي دالة نهاية مشتركة تكون مترافقة يسارية مع دالة قطرية مقابلة (شريطة أن يكون للفئة نوع النهايات المشتركة المعنية)، وتُوفّر وحدة الاقتران الخرائط المُحدِّدة إلى كائن النهاية المشتركة. فيما يلي بعض الأمثلة المحددة.

• المنتجات المشتركة . إذا كانت الدالة F  : Ab ² → Ab تُسند إلى كل زوج ( X ₁ , X ₂ ) من الزمر الأبيلية مجموعها المباشر ، وإذا كانت الدالة G  : Ab → Ab ² هي الدالة التي تُسند إلى كل زمرة أبيلية Y الزوج ( Y , Y ) ، فإن F تكون مترافقة يسارية مع G ، وهذا نتيجة للخاصية العامة للمجاميع المباشرة. وحدة هذا الزوج المترافق هي زوج تعريفات التضمين من X ₁ و X ₂ إلى المجموع المباشر، ووحدته المشتركة هي الدالة الجمعية من المجموع المباشر لـ ( X , X ) إلى X (إرسال عنصر ( a , b ) من المجموع المباشر إلى العنصر a + b من X ).
  تُعطى أمثلة مماثلة من خلال المجموع المباشر للفضاءات المتجهة والوحدات النمطية ، ومن خلال الضرب الحر للمجموعات، ومن خلال الاتحاد المنفصل للمجموعات.

بالنظر إلى دالة المرافق الأيمن G  : C → D ، بمعنى التشكلات الأولية ، يمكن للمرء إنشاء اقتران مجموعة التماثل المستحثة من خلال القيام بالخطوات التالية.

• قم بإنشاء دالة F  : D → C وتحويل طبيعي η .
  • لكل كائن Y في D ، اختر تشاكلاً ابتدائياً ( F ( Y ) , ηY ) من Y إلى G ، بحيث يكون ηY : _Y → G ( F ( Y ))  . لدينا تطبيق F _على الكائنات ومجموعة التشاكلات η .
  • لكل دالة f  : Y ₀ → Y ₁ ، بما أن ( F ( Y ₀ ), η _{Y 0} ) تشاكل ابتدائي، فإن η _{Y 1} ∘ F بـ η _{Y 0} ينتج عنه F ( f )  : F ( Y ₀ ) → F ( Y ₁ ) . هذه هي دالة F على التشاكلات.
  • إن مخطط التبادل لهذا التحليل يستلزم مخطط التبادل للتحويلات الطبيعية، لذا فإن η  : 1 _D → G ∘ F هو تحويل طبيعي .
  • إن تفرد هذا التحليل وكون G دالة يعني أن تطبيق F على التشكلات يحافظ على التركيبات والهويات.
• قم بإنشاء تماثل طبيعي Φ  : hom _C ( F − , − ) → hom _D ( − , G − ) .
  • لكل كائن X في C ، ولكل كائن Y في D ، بما أن ₍ F ( Y ) , ηY ) هو تشاكل أولي، فإن _ΦY , _{X هو} تقابل، حيث ΦY , _{X (} f :  F ( Y ) → X ) = _G ( F ) ∘ ηY _.
  • إذا كانت η تحويلاً طبيعياً، و G دالة، فإنه لأي كائنين X ₀ و X ₁ في C ، وأي كائنين Y ₀ و Y ₁ في  D، وأي x  : X ₀ → X ₁ ، وأي y  : Y ₁ → Y ₀ ، لدينا Φ _{Y 1 , X 1} ( x ∘ f ∘ F ( y )) = G( x ) ∘ G ( f ) ∘ G ( f ( y )) ∘ η _{Y 1} = G ( x ) ∘ G ( f ) ∘ η _{Y 0} ∘ y = G ( x ) ∘ Φ _{Y 0 , X 0} ( ∘ ) ∘ y ، وبالتالي فإن Φ تحويل طبيعي في كلا الوسيطين.

تسمح حجة مماثلة بإنشاء اقتران مجموعة تماثلية من التشكلات الطرفية إلى دالة مرافقة يسارية. (يُعدّ البناء الذي يبدأ بمرافقة يمينية أكثر شيوعًا، لأن المرافقة اليمينية في العديد من أزواج المرافقات هي دالة تضمين أو دالة نسيان مُعرّفة بشكل بديهي).

بالنظر إلى الدوال F  : D → C و G  : C → D ، واقتران الوحدة المشتركة (ε, η)  : F ⊣ G ، يمكننا إنشاء اقتران مجموعة التماثل من خلال إيجاد التحويل الطبيعي Φ  : hom _C ( F − , − ) → hom _D ( − , G − ) في الخطوات التالية:

• لكل f  : FY → X ولكل g  : Y → GX ، عرّف$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$$التحولات Φ و Ψ طبيعية لأن η و ε طبيعية.
• باستخدام، بالترتيب، كون F دالة، وأن ε دالة طبيعية، ومعادلة الوحدة المرافقة 1 _FY = ε _FY ∘ F (η _Y ) ، نحصل على$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}}$$وبالتالي فإن ΨΦ هو التحويل المحايد.
• وبالمثل، باستخدام كون G دالة، وأن η دالة طبيعية، ومعادلة الوحدة المرافقة _GX = G ( ε _X ) ∘ η _GX ، نحصل على$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}}$$وبالتالي فإن ΦΨ هو التحويل المحايد. ومن ثم فإن Φ هو تماثل طبيعي مع معكوسه Φ ⁻¹ = Ψ .

بفرض وجود الدوال F  : D → C و G  : C → D ، واقتران مجموعة التماثل Φ  : hom _C ( F − , − ) → hom _D ( − , G − ) ، يمكن للمرء إنشاء اقتران وحدة-وحدة.

$${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G,}$$

والتي تحدد عائلات من التشكلات الأولية والنهائية، في الخطوات التالية:

• يترك${\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)}$لكل X في C ، حيث${\displaystyle 1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)}$هو التشكل التطابقي.
• يترك${\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)}$لكل Y في D ، حيث${\displaystyle 1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)}$هو التشكل التطابقي.
• إن التقابل والطبيعية لـ Φ يعنيان أن كل ( GX ، εX ₎ هو تشاكل نهائي من F إلى X في C ، وكل ( FY ، ηY ₎ هو تشاكل أولي من Y إلى G في D.
• إن طبيعية Φ تستلزم طبيعية ε و η ، والصيغتين$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$$لكل f : FY → X و g : Y → GX (والتي تحدد Φ بشكل كامل ).
• باستبدال FY بـ X و η _Y = Φ _{Y ، فإن استبدال FY} (1 _FY ) بـ g في الصيغة الثانية يعطي معادلة الوحدة الأولى$${\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}),}$$وباستبدال GX بـ Y و ε _X = Φ ⁻¹ _{GX, X} (1 _GX )}} بـ f في الصيغة الأولى، نحصل على معادلة الوحدة الثانية.$${\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}.}$$

لا تقبل كل دالة G  : C → D دالة مرافقة يسارية. إذا كانت C فئة كاملة ، فيمكن وصف الدوال ذات الدوال المرافقة اليسارية بنظرية الدالة المرافقة لبيتر ج. فريد : تمتلك G دالة مرافقة يسارية إذا وفقط إذا كانت متصلة ، وتحقق شرط صغر معين: لكل عنصر Y من D توجد عائلة من التشكلات.

حيث تأتي المؤشرات i من مجموعة I ، وليست من فئة مناسبة ، بحيث يكون كل تشاكل

يمكن كتابتها على النحو التالي

h = G ( t )${\displaystyle \circ }$f _i

لبعض i في I وبعض التشاكلات

يصف بيان مماثل تلك الدوال ذات المرافق الأيمن.

ومن الحالات الخاصة المهمة حالة الفئات القابلة للعرض محلياً . إذا${\displaystyle F:C\to D}$إذا كان دالة بين فئات قابلة للعرض محليًا،

• يكون لـ F مرافق أيمن إذا وفقط إذا حافظت F على النهايات المشتركة الصغيرة
• يكون لـ F دالة مرافقة يسارية إذا وفقط إذا كانت F تحافظ على النهايات الصغيرة ودالة يمكن الوصول إليها

إذا كان للدالة F  : D → C دالتان مرافقتان يمينيّتان G و G ′ ، فإن G و G ′ متماثلتان طبيعيًا . وينطبق الأمر نفسه على الدوال المرافقة اليسارية.

على العكس، إذا كانت F مترافقة يسارية مع G ، وكانت G متماثلة طبيعيًا مع G ′، فإن F تكون أيضًا مترافقة يسارية مع G ′ . وبشكل أعم، إذا كان ⟨F , G , ε, η⟩ عبارة عن اقتران (مع وحدة مشتركة – وحدة ( ε , η ) )، وكانت {{block indent| σ  : F → F ′ {{block indent| τ  : G → G ′ متماثلتين طبيعيتين، فإن ⟨F′ , G ′ , ε ′ , η′⟩ عبارة عن اقتران حيث $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta '&=(\tau \ast \sigma )\circ \eta \\\varepsilon '&=\varepsilon \circ (\sigma ^{-1}\ast \tau ^{-1}).\end{aligned}}}$$ هنا${\displaystyle \circ }$يشير إلى التركيب الرأسي للتحولات الطبيعية، و${\displaystyle \ast }$يشير إلى التكوين الأفقي.

يمكن تركيب الوصلات بطريقة طبيعية. تحديدًا، إذا كانت ⟨F , G , ε , η⟩ وصلة بين C و D، وكانت ⟨F ′ , G ′ , ε ′ , η′⟩ وصلة بين D و E ، فإن الدالة$${\displaystyle F\circ F':E\rightarrow C}$$ يُترك مجاورًا لـ $${\displaystyle G'\circ G:C\to E.}$$ وبشكل أدق، هناك اقتران بين FF ′ و G ′ G حيث يتم تحديد الوحدة والوحدة المرافقة على التوالي من خلال التركيبات: $${\displaystyle {\begin{aligned}&1_{\mathcal {E}}{\xrightarrow {\eta '}}G'F'{\xrightarrow {G'\eta F'}}G'GFF'\\&FF'G'G{\xrightarrow {F\varepsilon 'G}}FG{\xrightarrow {\varepsilon }}1_{\mathcal {C}}.\end{aligned}}}$$ يُطلق على هذا الملحق الجديد اسم تركيب الملحقين المعطاة.

بما أن هناك أيضًا طريقة طبيعية لتعريف اقتران الهوية بين فئة C ونفسها، فإنه يمكن للمرء بعد ذلك تشكيل فئة تكون كائناتها كلها فئات صغيرة وتكون مورفيزماتها عبارة عن اقترانات.

أهم خاصية للمرافقين هي استمراريتهم: كل دالة لها مرافق أيسر (وبالتالي مرافق أيمن) تكون مستمرة (أي تتبادل مع النهايات بالمعنى النظري للفئات)؛ كل دالة لها مرافق أيمن (وبالتالي مرافق أيسر) تكون مستمرة مشتركة (أي تتبادل مع النهايات المشتركة ).

بما أن العديد من البنى الشائعة في الرياضيات هي النهايات أو النهايات المشتركة، فإن هذا يوفر ثروة من المعلومات. على سبيل المثال:

• إن تطبيق دالة مساعدة يمنى على حاصل ضرب كائنات ينتج عنه حاصل ضرب الصور؛
• تطبيق دالة مساعدة يسارية على ناتج مشترك من الكائنات ينتج عنه ناتج مشترك للصور؛
• كل دالة مساعدة يمنى بين فئتين أبيليتين تكون دالة مساعدة يسرى تامة ؛
• كل دالة مساعدة يسارية بين فئتين أبيليتين تكون دالة دقيقة يمينية .

إذا كانت C و D فئتين ما قبل الجمع، وكان F  : D → C دالة جمعية ذات مرافق أيمن G  : C → D ، فإن G هي أيضًا دالة جمعية، وتكون تقابلات مجموعة التماثل

$${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$$ هي في الواقع تماثلات بين الزمر الأبيلية. وبالمثل، إذا كانت G جمعية مع زمرة مساعدة يسارية F ، فإن F تكون جمعية أيضًا.

علاوة على ذلك، إذا كانت كل من C و D فئات جمعية (أي فئات ما قبل الجمعية مع جميع المنتجات الثنائية المحدودة )، فإن أي زوج من الدوال المرافقة بينهما يكون جمعيًا تلقائيًا.

كما ذُكر سابقاً، فإن الاقتران بين الفئتين C و D يُنتج عائلة من التشكلات الشاملة ، تشكل واحداً لكل عنصر في C وواحداً لكل عنصر في D. وعلى العكس من ذلك، إذا وُجد تشكل شامل إلى دالة G  : C → D من كل عنصر في D ، فإن G لها مُرافق أيسر.

ومع ذلك، فإن البنى الشاملة أكثر عمومية من الدوال المرافقة: فالبنية الشاملة تشبه مشكلة التحسين؛ فهي تؤدي إلى زوج مرافق إذا وفقط إذا كان لهذه المشكلة حل لكل كائن من D (بصورة مكافئة، كل كائن من C ).

إذا كان المؤثر F  : D → C نصف تكافؤ الفئات، فإنه يكون المرافق الأيسر في تكافؤ الفئات المرافق، أي الاقتران الذي تكون وحدته ووحدته المرافقة متماثلتين.

كل اقتران ⟨ F , G , ε , η ⟩ يُوسّع تكافؤًا لبعض الفئات الفرعية. لنُعرّف C ₁ على أنها الفئة الفرعية الكاملة من C التي تتكون من الكائنات X من C التي يكون ε _X تماثلًا لها، ولنُعرّف D ₁ على أنها الفئة الفرعية الكاملة من D التي تتكون من الكائنات Y من D التي يكون η _Y تماثلًا لها. عندئذٍ، يمكن حصر F و G في D ₁ و C _1، مما يُنتج تكافؤات عكسية لهذه الفئات الفرعية.

بمعنى ما، تُعدّ الدوال المرافقة معكوسات "معممة". مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن المعكوس الأيمن للدالة _{F (أي الدالة G التي يكون فيها FG متماثلاً طبيعياً مع 1D} ) ليس بالضرورة أن يكون مرافقاً أيمن ( أو أيسر) للدالة F. تُعمّم الدوال المرافقة المعكوسات ثنائية الجانب .

كل اقتران ⟨ F , G , ε , η ⟩ يُنتج مونادًا مرتبطًا به ⟨ T , η , μ ⟩ في الفئة D. الدالة $${\displaystyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$$ تُعطى بالعلاقة T = GF . وحدة الموناد $${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to T}$$ هي ببساطة الوحدة η لعملية الإضافة والضرب $${\displaystyle \mu :T^{2}\to T\,}$$ يُعطى بواسطة μ = GεF . وبالمثل، فإن الثلاثية ⟨ FG , ε , FηG ⟩ تُعرّف كوموناد في C.

ينشأ كل موناد من اقتران ما - في الواقع، عادةً من اقترانات متعددة - بالطريقة المذكورة أعلاه. يُعدّ كل من فئة جبر إيلنبرغ-مور وفئة كليسلي حلّين متطرفين لمشكلة بناء اقتران يُنتج مونادًا مُعطى.