وظيفة مستمرة

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الدالة المتصلة هي دالة لا يُحدث تغيير طفيف في وسيطها سوى تغيير طفيف في قيمتها . وهذا يعني عدم وجود تغيرات مفاجئة في القيمة، تُعرف بالانقطاعات . بتعبير أدق، تكون الدالة متصلة إذا أمكن ضمان تغيرات صغيرة جدًا في قيمتها بتقييدها بتغيرات صغيرة كافية في وسيطها. أما الدالة غير المتصلة فهي دالة غير متصلة . حتى القرن التاسع عشر، اعتمد علماء الرياضيات بشكل كبير على المفاهيم البديهية للاتصال، واقتصروا على دراسة الدوال المتصلة فقط. وقد طُرح تعريف إبسيلون-دلتا للنهاية لإضفاء الطابع الرسمي على تعريف الاتصال.

يُعدّ الاتصال أحد المفاهيم الأساسية في حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي ، حيث تكون وسائط الدوال وقيمها أعدادًا حقيقية ومركبة . وقد عُمِّم هذا المفهوم ليشمل الدوال بين الفضاءات المترية وبين الفضاءات الطوبولوجية . وتُعتبر الأخيرة أكثر الدوال المتصلة عمومية، ويُشكّل تعريفها أساس الطوبولوجيا .

يُعدّ الاستمرار المنتظم شكلاً أقوى من أشكال الاستمرارية . وفي نظرية الترتيب ، وخاصة في نظرية المجال ، يُعدّ مفهوم استمرارية سكوت مفهوماً ذا صلة بالاستمرارية .

كمثال عملي، تُعتبر الدالة H ( t ) التي تُمثل ارتفاع زهرة نامية عند الزمن t دالة متصلة. في المقابل، تُعتبر الدالة M ( t ) التي تُمثل رصيد حساب مصرفي عند الزمن t دالة غير متصلة، لأنها "تقفز" عند كل لحظة يتم فيها إيداع أو سحب الأموال.

تاريخ

قدّم برنارد بولزانو في عام 1817 صيغةً لتعريف إبسيلون-دلتا للاستمرارية. عرّف أوغسطين لويس كوشي استمراريةy=و(x){\displaystyle y=f(x)}على النحو التالي: زيادة متناهية الصغرα{\displaystyle \alpha }المتغير المستقلx{\displaystyle x}ينتج دائماً تغييراً صغيراً للغايةو(x+α)-و(x){\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}المتغير التابعy{\displaystyle y}(انظر على سبيل المثال Cours d'Analyse ، ص  34). عرّف كوشي الكميات الصغيرة جدًا بدلالة الكميات المتغيرة، وتعريفه للاستمرارية يوازي إلى حد كبير التعريف المتناهي الصغر المستخدم اليوم (انظر الاستمرارية الميكروية ).

وضع بولزانو التعريفات الرسمية للاستمرارية النقطية والاستمرارية المنتظمة ، وميّز بينهما ، لأول مرة في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، لكن العمل لم يُنشر إلا في ثلاثينيات القرن العشرين . ومثل بولزانو، اعتبر كارل فايرشتراس [ 1 ] أن الدالةy=و(x){\displaystyle y=f(x)}في نقطةx=ج{\displaystyle x=c}، إنهو(x)|x=ج{\displaystyle f(x){\big |}_{x=c}} تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كانت قيمو(ج){\displaystyle f(c)}،و(x)|x→ج+{\displaystyle f(x){\big |}_{x\to c^{+}}}، وو(x)|x→ج-{\displaystyle f(x){\big |}_{x\to c^{-}}}جميعها مُعرَّفة ومتساوية. افترض إدوارد غورسات [ 3 ] استمرارية الدالة بشرط أن تكون الدالة مُعرَّفة عندو(ج){\displaystyle f(c)}ويساوي على الأقل أحد جانبي النهايةو(x)|x→ج{\displaystyle f(x){\big |}_{x\to c}} بينما سمحت كاميل جوردان [ 4 ] بذلك حتى لو تم تعريف الدالة فقط عندx=ج{\displaystyle x=c}لا تزال التعريفات الثلاثة غير المتكافئة للاستمرارية النقطية مستخدمة حتى اليوم. [ 5 ] قدم إدوارد هاين أول تعريف منشور للاستمرارية المنتظمة في عام 1872، ولكنه استند في هذه الأفكار إلى محاضرات ألقاها بيتر غوستاف ليجون ديريشليه في عام 1854. [ 6 ]

الدوال الحقيقية

تعريف

الوظيفةو(x)=1x{\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}دالة متصلة على مجالها (R∖{0}{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}), ولكنه غير متصل عندx=0،{\displaystyle x=0,}عند اعتبارها دالة جزئية معرفة على الأعداد الحقيقية. [ 7 ]

يمكن تمثيل الدالة الحقيقية، أي الدالة التي تربط الأعداد الحقيقية بالأعداد الحقيقية، برسم بياني في المستوى الإحداثي الديكارتي ؛ وتكون هذه الدالة متصلة إذا كان الرسم البياني، بشكل عام، منحنىً واحدًا متصلًا مجاله هو خط الأعداد الحقيقية بأكمله. ويرد أدناه تعريف أكثر دقة من الناحية الرياضية.

يُعرَّف استمرار الدوال الحقيقية عادةً بدلالة النهايات . تكون الدالة f ذات المتغير x مستمرة عند العدد الحقيقي c ، إذا كانت نهاية f(x) عندما x تؤول إلى ما لا نهاية.و(x)،{\displaystyle f(x),}عندما يقترب x من c ، يكون مساوياً لـو(ج).{\displaystyle f(c).}

توجد عدة تعريفات مختلفة لاستمرارية الدالة (العالمية)، والتي تعتمد على طبيعة مجالها .

تكون الدالة متصلة على فترة مفتوحة إذا كانت تلك الفترة محتواة في مجال الدالة وكانت الدالة متصلة عند كل نقطة في تلك الفترة. الدالة المتصلة على الفترة(-∞،+∞){\displaystyle (-\infty ,+\infty )}يُطلق على خط الأعداد الحقيقية بأكمله اسم الدالة المتصلة؛ ويُقال أيضاً إن هذه الدالة متصلة في كل مكان . على سبيل المثال، جميع الدوال متعددة الحدود متصلة في كل مكان.

تكون الدالة متصلة على فترة شبه مفتوحة أو مغلقة إذا كانت هذه الفترة محتواة في مجال تعريف الدالة، وكانت الدالة متصلة عند كل نقطة داخلية في الفترة، وكانت قيمة الدالة عند كل نقطة طرفية تنتمي إلى الفترة هي نهاية قيم الدالة عندما يؤول المتغير إلى تلك النقطة الطرفية من داخل الفترة. على سبيل المثال، الدالةو(x)=x{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}تكون متصلة على كامل نطاقها، وهو الفترة شبه المفتوحة[0،+∞).{\displaystyle [0,+\infty ).}

العديد من الدوال الشائعة هي دوال جزئية، أي أن مجال تعريفها يتكون من جميع الأعداد الحقيقية، باستثناء بعض النقاط المعزولة . ومن الأمثلة على ذلك دالة المقلوب.x↦1x{\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}ودالة الظلx↦لون برونزي⁡x.{\displaystyle x\mapsto \tan x.}عندما تكون الدوال متصلة على نطاقها، يُقال في بعض السياقات إنها متصلة، مع أنها ليست متصلة في كل مكان. وفي سياقات أخرى، لا سيما عند الاهتمام بسلوكها قرب النقاط الاستثنائية، يُقال إنها غير متصلة.

تكون الدالة الجزئية غير متصلة عند نقطة ما إذا كانت تلك النقطة تنتمي إلى الإغلاق الطوبولوجي لمجالها، وإذا كانت تلك النقطة إما لا تنتمي إلى مجال الدالة أو أن الدالة غير متصلة عند تلك النقطة. على سبيل المثال، الدوالx↦1x{\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}وx↦الخطيئة⁡(1x){\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}تكون الدوال غير متصلة عند الصفر ، وتبقى كذلك بغض النظر عن القيمة المختارة لتعريفها عند الصفر . تُسمى النقطة التي تكون عندها الدالة غير متصلة "نقطة انقطاع ". عند النقطة التي تكون عندها الدالة غير مُعرَّفة، وبالتالي غير متصلة، يُقال إن نقطة الانقطاع قابلة للإزالة إذا أمكن اختيار قيمة للدالة عند تلك النقطة لجعلها متصلة. على سبيل المثال، الدالة ⁠x↦xالخطيئة⁡1x{\displaystyle x\mapsto x\sin {\tfrac {1}{x}}}يوجد انقطاع قابل للإزالة عند الصفر، لأنليمx→0xالخطيئة⁡1x=0{\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}x\sin {\frac {1}{x}}=0}، وعدم الاستمرارية عند 0 منx↦الخطيئة⁡1x{\displaystyle x\mapsto \sin {\tfrac {1}{x}}}لا يمكن إزالته ، لأنليمx→0الخطيئة⁡1x{\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}\sin {\frac {1}{x}}}غير موجود.

باستخدام الرموز الرياضية، توجد عدة طرق لتعريف الدوال المتصلة بالمعاني الثلاثة المذكورة أعلاه.

يتركو:د→R{\textstyle f:D\to \mathbb {R} }لتكن دالة مجالهاد{\displaystyle D}هي مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقيةR.{\displaystyle \mathbb {R} .}

بعض الاحتمالات (وليس كلها) لـد{\displaystyle D}نكون:

  • د{\displaystyle D}هو الخط الحقيقي بأكمله ؛ أيد=R{\displaystyle D=\mathbb {R} }
  • د{\displaystyle D}هي فترة مغلقة من الشكلد=[أ،ب]={x∈R|أ≤x≤ب}،{\displaystyle D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\},}حيث أن a و b أعداد حقيقية
  • د{\displaystyle D}هي فترة مفتوحة من الشكلد=(أ،ب)={x∈R|أ<x<ب}،{\displaystyle D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},} حيث أن a و b أعداد حقيقية

في حالة وجود فترة مفتوحة،أ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}لا ينتمي إلىد{\displaystyle D}والقيمو(أ){\displaystyle f(a)}وو(ب){\displaystyle f(b)}غير مُعرَّفة، وإن عُرِّفت، فلا تُؤثِّر على الاستمرارية.د{\displaystyle D}.

التعريف من حيث حدود الوظائف

تكون الدالة f متصلة عند نقطة ما c من مجالها إذا كانت نهايةو(x)،{\displaystyle f(x),}عندما يقترب x من c عبر مجال الدالة f ، يكون موجودًا ويساويو(ج).{\displaystyle f(c).}[ 8 ] في الترميز الرياضي، يُكتب هذا على النحو التالي ليمx→جو(x)=و(ج).{\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=f(c).} يعني هذا بالتفصيل ثلاثة شروط: أولاً، يجب أن تكون الدالة f معرفة عند النقطة c (وهذا مضمون بشرط أن تكون c ضمن مجال تعريف f ). ثانياً، يجب أن تكون نهاية هذه المعادلة موجودة. ثالثاً، يجب أن تساوي قيمة هذه النهايةو(ج).{\displaystyle f(c).}

(هنا، افترضنا أن مجال f لا يحتوي على أي نقاط معزولة .)

التعريف من حيث الأحياء

جوار النقطة c هو مجموعة تحتوي، على الأقل، على جميع النقاط الواقعة ضمن مسافة ثابتة من c . وبشكل بديهي، تكون الدالة متصلة عند النقطة c إذا كان مدى f في جوار c يتقلص إلى نقطة واحدة .و(ج){\displaystyle f(c)}عندما يتقلص عرض الجوار حول النقطة c إلى الصفر. وبشكل أدق، تكون الدالة f متصلة عند نقطة c من مجالها إذا، لأي جوارشمال1(و(ج)){\displaystyle N_{1}(f(c))}يوجد حيشمال2(ج){\displaystyle N_{2}(c)}في نطاقها بحيثو(x)∈شمال1(و(ج)){\displaystyle f(x)\in N_{1}(f(c))}حينماx∈شمال2(ج).{\displaystyle x\in N_{2}(c).}

بما أن الجوارات تُعرَّف في أي فضاء طوبولوجي ، فإن هذا التعريف للدالة المتصلة لا ينطبق فقط على الدوال الحقيقية، بل ينطبق أيضًا عندما يكون المجال والمجال المقابل فضاءات طوبولوجية، وبالتالي فهو التعريف الأكثر عمومية. ويترتب على ذلك أن الدالة تكون متصلة تلقائيًا عند كل نقطة معزولة من مجالها. على سبيل المثال، كل دالة حقيقية القيمة على مجموعة الأعداد الصحيحة هي دالة متصلة.

التعريف من حيث حدود المتتاليات

تتقارب المتتالية exp(1/ n ) إلى exp(0) = 1 .

يمكن للمرء بدلاً من ذلك أن يشترط ذلك لأي تسلسل(xن)ن∈شمال{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}عدد النقاط في المجال التي تتقارب إلى c ، والمتتالية المقابلة(و(xن))ن∈شمال{\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}يتقارب إلىو(ج).{\displaystyle f(c).} بالرموز الرياضية،∀(xن)ن∈شمال⊂د:ليمن→∞xن=ج⇒ليمن→∞و(xن)=و(ج).{\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}

تعريفات وييرشتراس وجوردان (إبسيلون-دلتا) للدوال المتصلة

رسم توضيحي لتعريف ε - δ : عند x = 2 ، فإن أي قيمة δ ≥ 0.5 تلبي شرط التعريف لـ ε = 0.5 .

بإضافة تعريف نهاية الدالة بشكل صريح، نحصل على تعريف مكتفٍ بذاته: بفرض دالةو:د→R{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }كما سبق وعنصرx0{\displaystyle x_{0}}من المجالد{\displaystyle D}،و{\displaystyle f}يقال إنها متصلة عند النقطةx0{\displaystyle x_{0}}عندما يتحقق ما يلي: لأي عدد حقيقي موجبε>0،{\displaystyle \varepsilon >0,}مهما كان صغيرًا، يوجد عدد حقيقي موجبدلتا>0{\displaystyle \delta >0}بحيث يكون ذلك لجميعx{\displaystyle x}في مجالو{\displaystyle f}معx0-دلتا<x<x0+دلتا،{\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta ,}قيمةو(x){\displaystyle f(x)}يرضي و(x0)-ε<و(x)<و(x0)+ε.{\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}

أو بصيغة أخرى، استمراريةو:د→R{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }فيx0∈د{\displaystyle x_{0}\in D}يعني ذلك أنه لكلε>0،{\displaystyle \varepsilon >0,}يوجددلتا>0{\displaystyle \delta >0}بحيث يكون ذلك لجميعx∈د{\displaystyle x\in D}: |x-x0|<دلتا   يشير إلى   |و(x)-و(x0)|<ε.{\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta ~~{\text{ implies }}~~|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}

بشكل أكثر بديهية، يمكننا القول أنه إذا أردنا الحصول على كلو(x){\displaystyle f(x)}القيم للبقاء في حي صغير حولو(x0)،{\displaystyle f\left(x_{0}\right),}نحتاج إلى اختيار حي صغير بما يكفي لـx{\displaystyle x}القيم حولx0.{\displaystyle x_{0}.}إذا استطعنا فعل ذلك مهما كان حجمه صغيراًو(x0){\displaystyle f(x_{0})}إذن، الحي هوو{\displaystyle f}متصل عندx0.{\displaystyle x_{0}.}

وبمصطلحات حديثة، يتم تعميم هذا من خلال تعريف استمرارية الدالة بالنسبة إلى أساس الطوبولوجيا ، وهنا الطوبولوجيا المترية .

اشترط فايرشتراس أن تكون الفترةx0-دلتا<x<x0+دلتا{\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta }أن يكون بالكامل ضمن النطاقد{\displaystyle D}لكن الأردن أزال هذا القيد.

التعريف من حيث السيطرة على الباقي

في البراهين والتحليل العددي، نحتاج غالبًا إلى معرفة مدى سرعة تقارب النهايات، أو بعبارة أخرى، التحكم في الباقي. يمكننا صياغة ذلك رسميًا بتعريف الاستمرارية. دالةج:[0،∞)→[0،∞]{\displaystyle C:[0,\infty )\to [0,\infty ]}تُسمى دالة تحكم إذا

  • ج غير متناقصة
  • معلوماتدلتا>0ج(دلتا)=0{\displaystyle \inf _{\delta >0}C(\delta )=0}

وظيفةو:د→R{\displaystyle f:D\to R}هي دالة متصلة من النوع C عندx0{\displaystyle x_{0}}إذا كان هناك مثل هذا الحيشمال(x0){\textstyle N(x_{0})}الذي - التي |و(x)-و(x0)|≤ج(|x-x0|) للجميع x∈د∩شمال(x0){\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right){\text{ for all }}x\in D\cap N(x_{0})}

الدالة متصلة فيx0{\displaystyle x_{0}}إذا كانت متصلة من النوع C بالنسبة لدالة تحكم معينة C.

يؤدي هذا النهج بشكل طبيعي إلى تحسين مفهوم الاستمرارية من خلال تقييد مجموعة دوال التحكم المسموح بها. بالنسبة لمجموعة معينة من دوال التحكمج{\displaystyle {\mathcal {C}}}الدالة هيج{\displaystyle {\mathcal {C}}}-مستمر إذا كانج{\displaystyle C}-مستمر لبعض الوقتج∈ج.{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}على سبيل المثال، تُعرَّف الدوال المتصلة من نوع ليبشيتز وهولدر ذات الأس α ، والدوال المتصلة بانتظام أدناه، بواسطة مجموعة دوال التحكم. جلأناصsجحأناتz={ج:ج(دلتا)=ك|دلتا|، ك>0}{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}}جهولدر-α={ج:ج(دلتا)=ك|دلتا|α، ك>0}{\displaystyle {\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}}جموحد مستمر={ج:ج(0)=0}{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{uniform cont.}}=\{C:C(0)=0\}} على التوالى.

التعريف باستخدام التذبذب

يتم تحديد عدم استمرارية الدالة عند نقطة ما من خلال تذبذبها .

يمكن تعريف الاستمرارية أيضًا من حيث التذبذب : الدالة f تكون مستمرة عند نقطة ماx0{\displaystyle x_{0}}إذا وفقط إذا كان تذبذبها عند تلك النقطة يساوي صفرًا؛ [ 9 ] بالرموز،ωو(x0)=0.{\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}تتمثل إحدى فوائد هذا التعريف في أنه يحدد عدم الاستمرارية كمياً: فالتذبذب يعطي مقدار عدم استمرارية الدالة عند نقطة معينة.

يُعد هذا التعريف مفيدًا في نظرية المجموعات الوصفية لدراسة مجموعة الانقطاعات والنقاط المتصلة - فالنقاط المتصلة هي تقاطع المجموعات حيث يكون التذبذب أقل منε{\displaystyle \varepsilon }(ومن ثم أجيدلتا{\displaystyle G_{\delta }}(مجموعة ) – ويقدم برهانًا سريعًا لأحد اتجاهات شرط التكامل لـ Lebesgue . [ 10 ]

التذبذب يعادلε-دلتا{\displaystyle \varepsilon -\delta }تعريف التذبذب بإعادة ترتيب بسيطة وباستخدام النهاية ( lim sup , lim inf ) لتعريف التذبذب: إذا (عند نقطة معينة) لقيمة معينةε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}لا يوجددلتا{\displaystyle \delta }الذي يرضيε-دلتا{\displaystyle \varepsilon -\delta }إذا كان التعريف صحيحًا، فإن التذبذب يكون على الأقلε0،{\displaystyle \varepsilon _{0},}والعكس صحيح إذا كان لكلε{\displaystyle \varepsilon }هناك رغبةدلتا،{\displaystyle \delta ,}التذبذب يساوي صفرًا. يمكن تعميم تعريف التذبذب بشكل طبيعي ليشمل الخرائط من فضاء طوبولوجي إلى فضاء متري .

التعريف باستخدام الواقع المفرط

عرّف كوشي استمرارية الدالة بالعبارات البديهية التالية: أي تغيير متناهي الصغر في المتغير المستقل يقابله تغيير متناهي الصغر في المتغير التابع (انظر كتاب "دروس في التحليل" ، صفحة 34). يُعدّ التحليل غير القياسي طريقةً لجعل هذا التعريف دقيقًا رياضيًا. يُضاف إلى خط الأعداد الحقيقية أعدادٌ لانهائية ومتناهية الصغر لتكوين الأعداد الفائقة الحقيقية . في التحليل غير القياسي، يمكن تعريف الاستمرارية كما يلي.

تكون الدالة الحقيقية f متصلة عند x إذا كان امتدادها الطبيعي إلى الأعداد الحقيقية الفائقة يتمتع بالخاصية التالية: لكل قيمة متناهية الصغر dx ،و(x+دx)-و(x){\displaystyle f(x+dx)-f(x)}هو متناهي الصغر [ 11 ]

(انظر الاستمرارية الجزئية ). بعبارة أخرى، تؤدي الزيادة المتناهية الصغر في المتغير المستقل دائمًا إلى تغيير متناهي الصغر في المتغير التابع، مما يعطي تعبيرًا حديثًا لتعريف أوغستين لويس كوشي للاستمرارية.

قواعد الاستمرارية

لا يحتوي الرسم البياني للدالة التكعيبية على أي قفزات أو فجوات. الدالة متصلة.

إثبات استمرارية دالة ما بتطبيق تعريفها مباشرةً ليس بالأمر السهل عمومًا. لحسن الحظ، في الواقع العملي، تُبنى معظم الدوال من دوال أبسط، ويمكن استنتاج استمراريتها مباشرةً من طريقة تعريفها، بتطبيق القواعد التالية:

  • كل دالة ثابتة متصلة
  • دالة التطابق​و(x)=x{\displaystyle f(x)=x}متصل​
  • الجمع والضرب : إذا كانت الدوالو{\displaystyle f}و​​ز{\displaystyle g}تكون الدوال متصلة على نطاقاتها الخاصة .دو{\displaystyle D_{f}}و​​دز{\displaystyle D_{g}}ثم مجموعهم​و+ز{\displaystyle f+g}ومنتجاتهم​​و⋅ز{\displaystyle f\cdot g}متصلة عند نقطة التقاطعدو∩دز{\displaystyle D_{f}\cap D_{g}}، حيث​و+ز{\displaystyle f+g}و​​و⋅ز{\displaystyle f\cdot g}يتم تعريفها بواسطة(و+ز)(x)=و(x)+ز(x){\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}و​​(و⋅ز)(x)=و(x)⋅ز(x){\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}⁠ .
  • المقلوب : إذا كانت الدالةو{\displaystyle f}الدالة متصلة على المجالدو{\displaystyle D_{f}}ثم مقلوبه​1و{\displaystyle {\tfrac {1}{f}}}، كما هو محدد بواسطة(1و)(x)=1و(x){\displaystyle ({\tfrac {1}{f}})(x)={\tfrac {1}{f(x)}}}الدالة متصلة على المجالدو∖و-1(0){\displaystyle D_{f}\setminus f^{-1}(0)}أي المجال​دو{\displaystyle D_{f}}ومنها النقاط​x{\displaystyle x}بحيث​​و(x)=0{\displaystyle f(x)=0}تتم إزالتها.
  • تركيب الدوال : إذا كانت الدوالو{\displaystyle f}و​​ز{\displaystyle g}تكون الدوال متصلة على نطاقاتها الخاصة .دو{\displaystyle D_{f}}و​​دز{\displaystyle D_{g}}ثم التركيب​ز∘و{\displaystyle g\circ f}⁠ مُعرَّف بواسطة ⁠1{\displaystyle {1}}متصلة على​دو∩و-1(دز){\displaystyle D_{f}\cap f^{-1}(D_{g})}، أي جزء مندو{\displaystyle D_{f}}يتم رسمها بواسطةو{\displaystyle f}في الداخل​دز{\displaystyle D_{g}}⁠ .
  • دالتا الجيب وجيب التمام ( ⁠الخطيئة⁡x{\displaystyle \sin x}و​​كوس⁡x{\displaystyle \cos x}) متصلة في كل مكان.
  • الدالة الأسية​هـx{\displaystyle e^{x}}متصلة في كل مكان.
  • اللوغاريتم الطبيعي​ln⁡x{\displaystyle \ln x}الدالة متصلة على المجال المكون من جميع الأعداد الحقيقية الموجبة .{x|x>0}{\displaystyle \{x\mid x>0\}}⁠ .
رسم بياني لدالة كسرية متصلة . الدالة غير معرفة لـx=-2.{\displaystyle x=-2.}الخطوط الرأسية والأفقية هي خطوط تقارب .

تُشير هذه القواعد إلى أن كل دالة متعددة الحدود متصلة في كل مكان، وأن الدالة الكسرية متصلة في كل مكان تُعرَّف فيه، إذا لم يكن للبسط والمقام أصفار مشتركة . وبشكل أعم، فإن خارج قسمة دالتين متصلتين يكون متصلاً خارج أصفار المقام.

دالتي الجيب وجيب التمام

ومن الأمثلة على الدوال التي لا تكفيها القواعد المذكورة أعلاه دالة sinc ، والتي تُعرَّف بواسطةمنذ⁡(0)=1{\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}و​​منذ⁡(x)=الخطيئة⁡xx{\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\tfrac {\sin x}{x}}}لـ​​x≠0{\displaystyle x\neq 0}تُظهر القواعد المذكورة أعلاه مباشرةً أن الدالة متصلة لـx≠0{\displaystyle x\neq 0}لكن ، لإثبات الاستمرارية عند0{\displaystyle 0}، يجب على المرء أن يثبت ليمx→0الخطيئة⁡xx=1.{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.} وبما أن هذا صحيح، فإن المرء يستنتج أن دالة sinc هي دالة متصلة على جميع الأعداد الحقيقية.

أمثلة على الدوال غير المتصلة

رسم بياني لدالة الإشارة. يوضح ذلك أنليمن→∞علامة⁡(1ن)≠علامة⁡(ليمن→∞1ن){\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{n}}\right)\neq \operatorname {sgn} \left(\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}\right)}وبالتالي، فإن دالة الإشارة غير متصلة عند 0 (انظر القسم 2.1.3 ).

من أمثلة الدوال غير المتصلة دالة هيفسايد المتدرجةح{\displaystyle H}، كما هو محدد بواسطة ح(x)={1 لو x≥00 لو x<0{\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}

اختر على سبيل المثالε=1/2{\displaystyle \varepsilon =1/2}إذن لا يوجددلتا{\displaystyle \delta }- الحي المحيطx=0{\displaystyle x=0}أي لا توجد فترة مفتوحة(-دلتا،دلتا){\displaystyle (-\delta ,\;\delta )}معدلتا>0،{\displaystyle \delta >0,}سيجبر ذلك الجميعح(x){\displaystyle H(x)}القيم التي يجب أن تكون ضمنε{\displaystyle \varepsilon }-حي​ح(0){\displaystyle H(0)}أي في غضون(1/2،3/2){\displaystyle (1/2,\;3/2)}بشكل بديهي، يمكننا أن نفكر في هذا النوع من عدم الاستمرارية على أنه قفزة مفاجئة في قيم الدالة.

وبالمثل، فإن وظيفة الإشارة أو الإشارة علامة⁡(x)={ 1 لو x>0 0 لو x=0-1 لو x<0{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}} غير متصل عندx=0{\displaystyle x=0}لكنها متصلة في كل مكان آخر. مثال آخر: الدالة و(x)={الخطيئة⁡(x-2) لو x≠00 لو x=0{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}} متصل في كل مكان باستثناءx=0{\displaystyle x=0}.

رسم بياني نقطي لدالة توماي على الفترة (0،1). تُظهر النقطة العلوية في المنتصف أن f(1/2) = 1/2.

إلى جانب الاستمراريات والانقطاعات المعقولة كما هو مذكور أعلاه، توجد أيضًا وظائف ذات سلوك معين، وغالبًا ما يطلق عليها اسم "السلوك المرضي" ، على سبيل المثال، وظيفة توماي . و(x)={1 لو x=01q لو x=صq(في أبسط صورة) هو عدد نسبي0 لو x غير منطقي.{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}} تكون الدالة متصلة عند جميع الأعداد غير النسبية وغير متصلة عند جميع الأعداد النسبية. وبالمثل، فإن دالة ديريشليه ، وهي دالة المؤشر لمجموعة الأعداد النسبية، د(x)={0 لو x غير منطقي (∈R∖سؤال)1 لو x عقلاني (∈سؤال){\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational }}(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ if }}x{\text{ is rational }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}} لا يوجد اتصال في أي مكان.

ملكيات

معضلة مفيدة

يتركو(x){\displaystyle f(x)}لتكن دالة متصلة عند نقطةx0،{\displaystyle x_{0},}وy0{\displaystyle y_{0}}لتكن قيمة مثلو(x0)≠y0.{\displaystyle f\left(x_{0}\right)\neq y_{0}.}ثمو(x)≠y0{\displaystyle f(x)\neq y_{0}}في بعض الأحياءx0.{\displaystyle x_{0}.}[ 12 ]

البرهان: بحسب تعريف الاستمرارية، خذε=|y0-و(x0)|2>0{\displaystyle \varepsilon ={\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0}إذن يوجددلتا>0{\displaystyle \delta >0}بحيث |و(x)-و(x0)|<|y0-و(x0)|2 حينما |x-x0|<دلتا{\displaystyle \left|f(x)-f(x_{0})\right|<{\frac {\left|y_{0}-f(x_{0})\right|}{2}}\quad {\text{ whenever }}\quad |x-x_{0}|<\delta } لنفترض أن هناك نقطة في الجوار|x-x0|<دلتا{\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }والتيو(x)=y0؛{\displaystyle f(x)=y_{0};}ثم لدينا التناقض |و(x0)-y0|<|و(x0)-y0|2.{\displaystyle \left|f(x_{0})-y_{0}\right|<{\frac {\left|f(x_{0})-y_{0}\right|}{2}}.}

نظرية القيمة المتوسطة

تُعدّ نظرية القيمة المتوسطة نظرية وجود ، تستند إلى خاصية الاكتمال في الأعداد الحقيقية ، وتنص على ما يلي:

إذا كانت الدالة الحقيقية f متصلة على الفترة المغلقة[أ،ب]،{\displaystyle [a,b],}و k هو عدد ما بينو(أ){\displaystyle f(a)}وو(ب)،{\displaystyle f(b),}ثم هناك عدد ماج∈[أ،ب]،{\displaystyle c\in [a,b],}بحيثو(ج)=ك.{\displaystyle f(c)=k.}

على سبيل المثال، إذا نما الطفل من  متر واحد إلى  متر ونصف بين سن الثانية والسادسة، فإن طول الطفل في وقت ما بين سن الثانية والسادسة يجب أن يكون 1.25  متر.

وبالتالي، إذا كانت f متصلة على[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}وو(أ){\displaystyle f(a)}وو(ب){\displaystyle f(b)}إذن، يختلفان في الإشارة ، عند نقطة ماج∈[أ،ب]،{\displaystyle c\in [a,b],}و(ج){\displaystyle f(c)}يجب أن يساوي صفرًا .

نظرية القيمة المتطرفة

تنص نظرية القيمة القصوى على أنه إذا كانت الدالة f معرفة على فترة مغلقة[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}(أو أي مجموعة مغلقة ومحدودة) وتكون متصلة هناك، فإن الدالة تصل إلى قيمتها القصوى، أي يوجدج∈[أ،ب]{\displaystyle c\in [a,b]}معو(ج)≥و(x){\displaystyle f(c)\geq f(x)}للجميعx∈[أ،ب].{\displaystyle x\in [a,b].}وينطبق الأمر نفسه على القيمة الصغرى للدالة f . لكن هذه العبارات ليست صحيحة عمومًا إذا كانت الدالة معرفة على فترة مفتوحة.(أ،ب){\displaystyle (a,b)}(أو أي مجموعة ليست مغلقة ومحدودة في نفس الوقت)، مثل الدالة المتصلة على سبيل المثالو(x)=1x،{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},}المعرفة على الفترة المفتوحة (0،1)، لا تصل إلى قيمة عظمى، كونها غير محدودة من الأعلى.

العلاقة بالتفاضل والتكامل

كل دالة قابلة للتفاضلو:(أ،ب)→R{\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} } هي دالة متصلة، كما يمكن إثبات ذلك. أما العكس فلا يصح: على سبيل المثال، دالة القيمة المطلقة

و(x)=|x|={ x لو x≥0-x لو x<0{\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}

هي دالة متصلة في كل مكان. ومع ذلك، فهي غير قابلة للتفاضل عندx=0{\displaystyle x=0}(لكنها كذلك في كل مكان آخر). دالة فايرشتراس متصلة في كل مكان ولكنها غير قابلة للتفاضل في أي مكان.

لا يشترط أن تكون مشتقة الدالة f(x) القابلة للتفاضل f′(x) متصلة. إذا كانت f ′ ( x ) متصلة ، يُقال إن f ( x ) قابلة للتفاضل باستمرار . ويُرمز لمجموعة هذه الدوال بـج1((أ،ب)).{\displaystyle C^{1}((a,b)).}وبشكل أعم، مجموعة الدوال و:Ω→R{\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} } (من فترة مفتوحة (أو مجموعة فرعية مفتوحة منR{\displaystyle \mathbb {R} })Ω{\displaystyle \Omega }(إلى الأعداد الحقيقية) بحيث يكون fن{\displaystyle n}قابلة للتفاضل مرات وبحيث أنن{\displaystyle n}يُرمز إلى أن المشتقة من الرتبة n للدالة f متصلة.جن(Ω).{\displaystyle C^{n}(\Omega ).}انظر فئة التفاضل . في مجال رسومات الحاسوب، توجد خصائص ذات صلة (ولكنها ليست متطابقة) بـج0،ج1،ج2{\displaystyle C^{0},C^{1},C^{2}}يُطلق عليه أحيانًا اسمجي0{\displaystyle G^{0}}(استمرارية الوضع)،جي1{\displaystyle G^{1}}(استمرارية التماس)، وجي2{\displaystyle G^{2}}(استمرارية الانحناء)؛ انظر نعومة المنحنيات والأسطح .

كل دالة متصلة و:[أ،ب]→R{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } قابلة للتكامل (على سبيل المثال بمعنى تكامل ريمان ). لا يصح العكس، كما توضح دالة الإشارة (القابلة للتكامل ولكنها غير متصلة).

حدود نقطية وموحدة

سلسلة من الدوال المتصلةون(x){\displaystyle f_{n}(x)}دالة النهاية (النقطية) الخاصة بهاو(x){\displaystyle f(x)}غير متصلة. التقارب غير منتظم.

بالنظر إلى متتاليةو1،و2،...:أنا→R{\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc :I\to \mathbb {R} } من الدوال بحيث تكون النهاية و(x):=ليمن→∞ون(x){\displaystyle f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)} موجود للجميعx∈د،{\displaystyle x\in D,}، الدالة الناتجةو(x){\displaystyle f(x)}يُشار إليها باسم النهاية النقطية لتسلسل الدوال (ون)ن∈شمال.{\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n\in N}.}لا يشترط أن تكون دالة النهاية النقطية متصلة، حتى لو كانت جميع الدوالون{\displaystyle f_{n}}تكون الدوال متصلة، كما يوضح الرسم المتحرك على اليمين. ومع ذلك، تكون الدالة f متصلة إذا كانت جميع الدوالون{\displaystyle f_{n}}تكون الدوال متصلة، وتتقارب المتتالية بانتظام ، وفقًا لنظرية التقارب المنتظم . ويمكن استخدام هذه النظرية لإثبات أن الدوال الأسية واللوغاريتمات ودالة الجذر التربيعي والدوال المثلثية متصلة.

الاستمرارية الاتجاهية

قد تكون الدوال غير المتصلة غير متصلة بطريقة محدودة، مما يُؤدي إلى ظهور مفهوم الاتصال الاتجاهي (أو الدوال المتصلة من اليمين واليسار) وشبه الاتصال . وبشكل عام، تكون الدالة متصلة من اليمين إذا لم يحدث أي قفزة عند الاقتراب من نقطة النهاية من اليمين. رسميًا، يُقال إن f متصلة من اليمين عند النقطة c إذا تحقق ما يلي: لأي عددε>0{\displaystyle \varepsilon >0}مهما كان العدد صغيراً، فإنه موجوددلتا>0{\displaystyle \delta >0}بحيث يكون لكل x في المجال معج<x<ج+دلتا،{\displaystyle c<x<c+\delta ,}قيمةو(x){\displaystyle f(x)}يرضي |و(x)-و(ج)|<ε{\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }

هذا هو نفس شرط الدوال المتصلة، إلا أنه مطلوب فقط عندما تكون قيمة x أكبر تمامًا من c .|و(x)-و(ج)|<ε{\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }بدلاً من ذلك، يتم تطبيق ذلك على جميع قيم x معج-دلتا<x<ج{\displaystyle c-\delta <x<c}ينتج عن ذلك مفهوم الدوال المتصلة من اليسار . تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كانت متصلة من اليمين ومن اليسار.

شبه استمرارية

تكون الدالة f شبه متصلة من الأسفل عند النقطة c إذا كانت أي قفزات قد تحدث، تقريبًا، تتجه للأسفل فقط، وليس للأعلى. أي، لأيε>0،{\displaystyle \varepsilon >0,}يوجد عدد مادلتا>0{\displaystyle \delta >0}بحيث يكون لكل x في المجال مع|x-ج|<دلتا،{\displaystyle |x-c|<\delta ,}قيمةو(x){\displaystyle f(x)}يرضي و(x)≥و(ج)-ε.{\displaystyle f(x)\geq f(c)-\varepsilon .} أما الحالة العكسية فهي شبه الاستمرارية العليا .

الدوال المتصلة بين الفضاءات المترية

يمكن تعميم مفهوم الدوال الحقيقية المتصلة ليشمل الدوال بين الفضاءات المترية . الفضاء المتري هو مجموعةX{\displaystyle X}مزود بوظيفة (تسمى القياس المتري )دX،{\displaystyle d_{X},}يمكن اعتبار ذلك مقياسًا للمسافة بين أي عنصرين في X. رسميًا، المقياس هو دالة دX:X×X→R{\displaystyle d_{X}:X\times X\to \mathbb {R} } التي تستوفي عددًا من المتطلبات، ولا سيما متباينة المثلث . بالنظر إلى فضاءين متريين(X،دX){\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}و(Y،دY){\displaystyle \left(Y,d_{Y}\right)}ووظيفة و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y} ثمو{\displaystyle f}تكون متصلة عند النقطةج∈X{\displaystyle c\in X}(بالنسبة للمقاييس المعطاة) إذا كان لأي عدد حقيقي موجبε>0،{\displaystyle \varepsilon >0,}يوجد عدد حقيقي موجبدلتا>0{\displaystyle \delta >0}بحيث يكون كلx∈X{\displaystyle x\in X}مُرضٍدX(x،ج)<دلتا{\displaystyle d_{X}(x,c)<\delta }سيرضي ذلك أيضًادY(و(x)،و(ج))<ε.{\displaystyle d_{Y}(f(x),f(c))<\varepsilon .}كما هو الحال مع الدوال الحقيقية المذكورة أعلاه، فإن هذا يكافئ الشرط الذي ينص على أنه لكل متتالية(xن){\displaystyle \left(x_{n}\right)}فيX{\displaystyle X}مع حدليمxن=ج،{\displaystyle \lim x_{n}=c,}لديناليمو(xن)=و(ج).{\displaystyle \lim f\left(x_{n}\right)=f(c).}يمكن تخفيف الشرط الأخير على النحو التالي:و{\displaystyle f}تكون متصلة عند النقطةج{\displaystyle c}إذا وفقط إذا كان لكل متتالية متقاربة(xن){\displaystyle \left(x_{n}\right)}فيX{\displaystyle X}مع حدج{\displaystyle c}، التسلسل(و(xن)){\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}هي متتالية كوشي ، وج{\displaystyle c}يقع ضمن نطاقو{\displaystyle f}.

مجموعة النقاط التي تكون عندها الدالة بين الفضاءات المترية متصلة هيجيدلتا{\displaystyle G_{\delta }}مجموعة  - وهذا يتبع منε-دلتا{\displaystyle \varepsilon -\delta }تعريف الاستمرارية.

يُطبَّق مفهوم الاستمرارية هذا، على سبيل المثال، في التحليل الوظيفي . وتنص عبارة أساسية في هذا المجال على أن المؤثر الخطيتي:V→دبليو{\displaystyle T:V\to W} بين فضاءات المتجهات المعياريةV{\displaystyle V}ودبليو{\displaystyle W}(وهي فضاءات متجهة مزودة بمعيار متوافق ، يُرمز إليه بـ‖x‖{\displaystyle \|x\|}تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كانت محدودة ، أي أن هناك ثابتًاك{\displaystyle K}بحيث ‖تي(x)‖≤ك‖x‖{\displaystyle \|T(x)\|\leq K\|x\|} للجميعx∈V.{\displaystyle x\in V.}

الاستمرارية الموحدة، هولدر، وليبشيتز

بالنسبة للدالة المتصلة من نوع Lipschitz، يوجد مخروط مزدوج (موضح باللون الأبيض) يمكن نقل رأسه على طول الرسم البياني بحيث يظل الرسم البياني دائمًا خارج المخروط تمامًا.

يمكن تعزيز مفهوم استمرارية الدوال بين الفضاءات المترية بطرق مختلفة عن طريق الحد من الطريقةدلتا{\displaystyle \delta }يعتمد علىε{\displaystyle \varepsilon }و c في التعريف أعلاه. وبشكل بديهي، تكون الدالة f كما سبق متصلة بانتظام إذا كانتدلتا{\displaystyle \delta }لا يعتمد على النقطة c . بتعبير أدق، يُشترط أن يكون لكل عدد حقيقيε>0{\displaystyle \varepsilon >0}يوجددلتا>0{\displaystyle \delta >0}بحيث يكون لكلج،ب∈X{\displaystyle c,b\in X}معدX(ب،ج)<دلتا،{\displaystyle d_{X}(b,c)<\delta ,}لدينا ذلكدY(و(ب)،و(ج))<ε.{\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))<\varepsilon .}وبالتالي، فإن أي دالة متصلة بانتظام تكون متصلة. ولا يصح العكس عمومًا، ولكنه يصح عندما يكون فضاء المجال X متراصًا . ويمكن تعريف الدوال المتصلة بانتظام في الحالة الأكثر عمومية للفضاءات المنتظمة . [ 13 ]

تكون الدالة متصلة هولدر ذات الأس α (عدد حقيقي) إذا كان هناك ثابت K بحيث يكون لكلب،ج∈X،{\displaystyle b,c\in X,}عدم المساواة دY(و(ب)،و(ج))≤ك⋅(دX(ب،ج))α{\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }} صحيح. أي دالة متصلة وفقًا لمعيار هولدر تكون متصلة بانتظام. الحالة الخاصةα=1{\displaystyle \alpha =1}يُشار إلى ذلك باسم استمرارية ليبشيتز . أي أن الدالة تكون مستمرة وفقًا لشرط ليبشيتز إذا كان هناك ثابت K بحيث تكون المتباينة دY(و(ب)،و(ج))≤ك⋅دX(ب،ج){\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)} يحتفظ بها لأيب،ج∈X.{\displaystyle b,c\in X.}[ 14 ] يظهر شرط ليبشيتز، على سبيل المثال، فينظرية بيكارد-ليندلوفالمتعلقة بحلولالمعادلات التفاضلية العادية.

الدوال المتصلة بين الفضاءات الطوبولوجية

مفهوم آخر، أكثر تجريدًا، للاستمرارية هو استمرارية الدوال بين الفضاءات الطوبولوجية التي لا يوجد فيها عادةً مفهوم رسمي للمسافة، كما هو الحال في الفضاءات المترية . الفضاء الطوبولوجي هو مجموعة X مع طوبولوجيا عليها ، وهي مجموعة من المجموعات الجزئية من X التي تحقق بعض الشروط فيما يتعلق باتحاداتها وتقاطعاتها، مما يعمم خصائص الكرات المفتوحة في الفضاءات المترية مع السماح في الوقت نفسه بالحديث عن جوارات نقطة معينة. تُسمى عناصر الطوبولوجيا مجموعات جزئية مفتوحة من X (بالنسبة للطوبولوجيا).

وظيفة و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y} تكون العلاقة بين فضاءين طوبولوجيين X و Y متصلة إذا كان لكل مجموعة مفتوحةV⊆Y،{\displaystyle V\subseteq Y,}الصورة المعكوسةو-1(V)={x∈X|و(x)∈V}{\displaystyle f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}} هي مجموعة جزئية مفتوحة من X. أي أن f دالة بين المجموعتين X و Y (وليس على عناصر الطوبولوجيا).تيX{\displaystyle T_{X}}) , لكن استمرارية f تعتمد على الطوبولوجيا المستخدمة على X و Y.

وهذا يعادل الشرط القائل بأن الصور العكسية للمجموعات المغلقة (وهي مكملات المجموعات الفرعية المفتوحة) في Y مغلقة في X.

مثال متطرف: إذا أعطيت مجموعة X الطوبولوجيا المنفصلة (حيث تكون كل مجموعة جزئية مفتوحة)، فإن جميع الدوال و:X→تي{\displaystyle f:X\to T} تكون الدوال متصلة في أي فضاء طوبولوجي T. من جهة أخرى، إذا كان X مزودًا بطوبولوجيا غير منفصلة (حيث تكون المجموعات الجزئية المفتوحة الوحيدة هي المجموعة الفارغة و X ) وكان الفضاء T أكبر من أو يساوي T ≥ 0 ، فإن الدوال المتصلة الوحيدة هي الدوال الثابتة. على العكس من ذلك، فإن أي دالة يكون مجالها المقابل غير منفصل تكون متصلة.

الاستمرارية عند نقطة

الاستمرارية عند نقطة: لكل جوار V منو(x){\displaystyle f(x)}يوجد جوار U لـ x بحيثو(يو)⊆V{\displaystyle f(U)\subseteq V}.

ترجمة بلغة الأحياء لـ(ε،دلتا){\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}يؤدي تعريف الاستمرارية إلى التعريف التالي للاستمرارية عند نقطة ما:

وظيفةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}متصلة عند نقطةx∈X{\displaystyle x\in X}إذا وفقط إذا، لأي جوار V منو(x){\displaystyle f(x)}في Y ، يوجد حي U منx{\displaystyle x}بحيثو(يو)⊆V{\displaystyle f(U)\subseteq V}.

هذا التعريف مكافئ للعبارة نفسها مع اقتصار الجوارات على الجوارات المفتوحة، ويمكن إعادة صياغته بعدة طرق باستخدام الصور الأصلية بدلًا من الصور. إحدى هذه الطرق هي التالية: بما أن كل مجموعة تحتوي على جوار هي أيضًا جوار، وو-1(V)=يو{\displaystyle f^{-1}(V)=U}هي أكبر مجموعة فرعيةيو⊆X{\displaystyle U\subseteq X}بحيثو(يو)⊆V،{\displaystyle f(U)\subseteq V,}يمكن تبسيط التعريف أعلاه إلى:

وظيفةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}متصلة عند نقطةx∈X{\displaystyle x\in X}إذا وفقط إذا، لكل جوار V منو(x){\displaystyle f(x)}في Y ،و-1(V){\displaystyle f^{-1}(V)}هو حي منx{\displaystyle x}.

بما أن المجموعة المفتوحة هي مجموعة تمثل جوارًا لجميع نقاطها، فإن الدالةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تكون الدالة متصلة عند كل نقطة من X إذا وفقط إذا كانت دالة متصلة.

إذا كان X و Y فضاءين متريين، فإن النظر إلى نظام الجوار للكرات المفتوحة المتمركزة عند x و f ( x ) يكافئ النظر إلى جميع الجوارات. وهذا يعيد ما سبق ذكره.ε-دلتا{\displaystyle \varepsilon -\delta }تعريف الاستمرارية في سياق الفضاءات المترية. في الفضاءات الطوبولوجية العامة، لا يوجد مفهوم للقرب أو البعد. مع ذلك، إذا كان الفضاء المستهدف فضاء هاوسدورف ، فإنه يظل صحيحًا أن الدالة f مستمرة عند النقطة a إذا وفقط إذا كانت نهاية f عندما يقترب x من a هي f ( a ). عند نقطة معزولة، تكون كل دالة مستمرة.

منحx∈X،{\displaystyle x\in X,}خريطةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}متصل عندx{\displaystyle x}إذا وفقط إذا كانب{\displaystyle {\mathcal {B}}}هو فلتر علىX{\displaystyle X}ذلك يتقارب إلىx{\displaystyle x}فيX،{\displaystyle X,}والذي يتم التعبير عنه بالكتابةب→x،{\displaystyle {\mathcal {B}}\to x,}ثم بالضرورةو(ب)→و(x){\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x)}فيY.{\displaystyle Y.} لوشمال(x){\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}يشير إلى مرشح الجوار عندx{\displaystyle x}ثمو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}متصل عندx{\displaystyle x}إذا وفقط إذاو(شمال(x))→و(x){\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)}فيY.{\displaystyle Y.}[ 15 ] علاوة على ذلك، يحدث هذا فقط إذا كانالمرشح المسبقو(شمال(x)){\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))}هي قاعدة تصفية لمرشح الجوار الخاص بـو(x){\displaystyle f(x)}فيY.{\displaystyle Y.}[ 15 ]

تعريفات بديلة

توجد عدة تعريفات متكافئة للبنية الطوبولوجية ؛ وبالتالي، توجد عدة طرق متكافئة لتعريف دالة متصلة.

المتتاليات والشبكات

في العديد من السياقات، تُحدد طوبولوجيا الفضاء بسهولة بدلالة نقاط النهاية . ويتحقق ذلك غالبًا بتحديد متى تكون نقطة ما نهاية متتالية . مع ذلك، بالنسبة لبعض الفضاءات الكبيرة جدًا، يُحدد أيضًا متى تكون نقطة ما نهاية مجموعات أعم من النقاط المفهرسة بمجموعة موجهة ، تُعرف بالشبكات . تكون الدالة متصلة (هاين-) فقط إذا كانت تأخذ نهايات المتتاليات إلى نهايات متتاليات أخرى. في الحالة الأولى، يكفي الحفاظ على النهايات؛ أما في الحالة الثانية، فقد تحافظ الدالة على جميع نهايات المتتاليات ومع ذلك تظل غير متصلة، ويُعد الحفاظ على الشبكات شرطًا ضروريًا وكافيًا.

بتفصيل أكثر، وظيفةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تكون متتالية متصلة إذا كان كلما(xن){\displaystyle \left(x_{n}\right)}فيX{\displaystyle X}يتقارب إلى حد معينx،{\displaystyle x,}التسلسل(و(xن)){\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}يتقارب إلىو(x).{\displaystyle f(x).} وبالتالي، فإن الدوال المتصلة بالتتابع "تحافظ على النهايات المتتابعة". كل دالة متصلة هي دالة متصلة بالتتابع. إذاX{\displaystyle X}إذا كان فضاءً قابلاً للعد من الدرجة الأولى، وكان الاختيار قابلاً للعد ، فإن العكس صحيح أيضاً: أي دالة تحافظ على النهايات المتتابعة تكون متصلة. على وجه الخصوص، إذاX{\displaystyle X}في الفضاءات المترية، يكون كل من الاستمرارية المتسلسلة والاستمرارية متكافئين. أما في الفضاءات غير القابلة للعد من الدرجة الأولى، فقد تكون الاستمرارية المتسلسلة أضعف من الاستمرارية. (تُسمى الفضاءات التي تتكافئ فيها الخاصيتان بالفضاءات المتسلسلة ). وهذا ما يحفز دراسة الشبكات بدلًا من المتتاليات في الفضاءات الطوبولوجية العامة. تحافظ الدوال المستمرة على نهايات الشبكات، وهذه الخاصية تميز الدوال المستمرة.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك حالة الدوال ذات القيم الحقيقية لمتغير حقيقي واحد: [ 16 ]

نظرية — دالةو:أ⊆R→R{\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }متصل عندx0{\displaystyle x_{0}}إذا وفقط إذا كانت متصلة بشكل متسلسل عند تلك النقطة.

دليل

افترض أنو:أ⊆R→R{\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }متصل عندx0{\displaystyle x_{0}}(بمعنىε-دلتا{\displaystyle \varepsilon -\delta }الاستمرارية ). ليكن(xن)ن≥1{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\geq 1}}لتكن متتالية تتقارب عندx0{\displaystyle x_{0}}(يوجد مثل هذا التسلسل دائمًا، على سبيل المثال،xن=x0، للجميع ن{\displaystyle x_{n}=x_{0},{\text{ for all }}n})؛ منذو{\displaystyle f}متصل عندx0{\displaystyle x_{0}}∀ε>0∃دلتاε>0:0<|x-x0|<دلتاε⟹|و(x)-و(x0)|<ε.(*){\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists \delta _{\varepsilon }>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{\varepsilon }\implies |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .\quad (*)} لأي من هذا القبيلدلتاε{\displaystyle \delta _{\varepsilon }}يمكننا إيجاد عدد طبيعيνε>0{\displaystyle \nu _{\varepsilon }>0}بحيث يكون ذلك لجميعن>νε،{\displaystyle n>\nu _{\varepsilon },}|xن-x0|<دلتاε،{\displaystyle |x_{n}-x_{0}|<\delta _{\varepsilon },} منذ(xن){\displaystyle \left(x_{n}\right)}يتقارب عندx0{\displaystyle x_{0}}؛ بدمج هذا مع(*){\displaystyle (*)}نحصل على ∀ε>0∃νε>0:∀ن>νε|و(xن)-و(x0)|<ε.{\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists \nu _{\varepsilon }>0:\forall n>\nu _{\varepsilon }\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|<\varepsilon .} لنفترض على العكس من ذلك أنو{\displaystyle f}هي متسلسلة متصلة وتعتمد على التناقض: لنفترضو{\displaystyle f}ليست متصلة عندx0{\displaystyle x_{0}}∃ε>0:∀دلتاε>0،∃xدلتاε:0<|xدلتاε-x0|<دلتاε⟹|و(xدلتاε)-و(x0)|>ε{\displaystyle \exists \varepsilon >0:\forall \delta _{\varepsilon }>0,\,\exists x_{\delta _{\varepsilon }}:0<|x_{\delta _{\varepsilon }}-x_{0}|<\delta _{\varepsilon }\implies |f(x_{\delta _{\varepsilon }})-f(x_{0})|>\varepsilon } ثم يمكننا أن نأخذدلتاε=1/ن،∀ن>0{\displaystyle \delta _{\varepsilon }=1/n,\,\forall n>0}وحدد النقطة المقابلةxدلتاε=:xن{\displaystyle x_{\delta _{\varepsilon }}=:x_{n}}وبهذه الطريقة نكون قد حددنا متتالية(xن)ن≥1{\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}بحيث ∀ن>0|xن-x0|<1ن،|و(xن)-و(x0)|>ε{\displaystyle \forall n>0\quad |x_{n}-x_{0}|<{\frac {1}{n}},\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|>\varepsilon } عن طريق البناءxن→x0{\displaystyle x_{n}\to x_{0}}لكنو(xن)↛و(x0){\displaystyle f(x_{n})\not \to f(x_{0})}وهذا يتناقض مع فرضية الاستمرارية التسلسلية.◼{\displaystyle \blacksquare }

تعريفات مشغل الإغلاق والمشغل الداخلي

فيما يتعلق بمشغلي العمليات الداخلية والإغلاق ، لدينا المعادلات التالية،

نظرية — ليكنو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}إذا كانت دالة بين فضاءات طوبولوجية، فإن ما يلي متكافئ.

  1. و{\displaystyle f}متصل؛
  2. لكل مجموعة جزئيةب⊆Y،{\displaystyle B\subseteq Y,}و-1(عدد صحيحY⁡ب)⊆عدد صحيحX⁡(و-1(ب))؛{\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {int} _{Y}B\right)\subseteq \operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(B)\right);}
  3. لكل مجموعة جزئيةأ⊆X،{\displaystyle A\subseteq X,}و(clX⁡أ)⊆clY⁡(و(أ)).{\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}\left(f(A)\right).}

إذا أعلنا أن هذه نقطةx{\displaystyle x}قريب من مجموعة جزئيةأ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}لوx∈clX⁡أ،{\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}ثم تسمح هذه المصطلحات بوصف الاستمرارية بلغة إنجليزية بسيطة :و{\displaystyle f}تكون متصلة إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة جزئيةأ⊆X،{\displaystyle A\subseteq X,}و{\displaystyle f}نقاط الخرائط القريبة منأ{\displaystyle A}إلى نقاط قريبة منو(أ).{\displaystyle f(A).}بصورة مماثلة،و{\displaystyle f}تكون متصلة عند نقطة معينة ثابتةx∈X{\displaystyle x\in X}إذا وفقط إذا كانx{\displaystyle x}قريب من مجموعة جزئيةأ⊆X،{\displaystyle A\subseteq X,}ثمو(x){\displaystyle f(x)}قريب منو(أ).{\displaystyle f(A).}

بدلاً من تحديد الفضاءات الطوبولوجية من خلال مجموعاتها الفرعية المفتوحة ، فإن أي طوبولوجيا علىX{\displaystyle X}يمكن تحديدها بدلاً من ذلك بواسطة عامل الإغلاق أو بواسطة عامل داخلي . على وجه التحديد، الخريطة التي ترسل مجموعة فرعيةأ{\displaystyle A}فضاء طوبولوجيX{\displaystyle X}إلى إغلاقها الطوبولوجيclX⁡أ{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}يُحقق بديهيات إغلاق كوراتوفسكي . وعلى العكس من ذلك، بالنسبة لأي عامل إغلاقأ↦cl⁡أ{\displaystyle A\mapsto \operatorname {cl} A}توجد بنية فريدةτ{\displaystyle \tau }علىX{\displaystyle X}(خاصة،τ:={X∖cl⁡أ:أ⊆X}{\displaystyle \tau :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}} ) بحيث يكون لكل مجموعة جزئيةأ⊆X،{\displaystyle A\subseteq X,}cl⁡أ{\displaystyle \operatorname {cl} A}يساوي الإغلاق الطوبولوجيcl(X،τ)⁡أ{\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A}لأ{\displaystyle A}في(X،τ).{\displaystyle (X,\tau ).}إذا كانت المجموعاتX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}يرتبط كل منهما بمعاملات إغلاق (يرمز لكليهما بـcl{\displaystyle \operatorname {cl} }ثم خريطةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تكون متصلة إذا وفقط إذاو(cl⁡أ)⊆cl⁡(و(أ)){\displaystyle f(\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}لكل مجموعة جزئيةأ⊆X.{\displaystyle A\subseteq X.}

وبالمثل، الخريطة التي ترسل مجموعة فرعيةأ{\displaystyle A}لX{\displaystyle X}إلى بنيتها الطوبولوجية الداخليةعدد صحيحX⁡أ{\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}يُعرّف عاملًا داخليًا . وعلى العكس من ذلك، أي عامل داخليأ↦عدد صحيح⁡أ{\displaystyle A\mapsto \operatorname {int} A}يُنتج بنية فريدةτ{\displaystyle \tau }علىX{\displaystyle X}(خاصة،τ:={عدد صحيح⁡أ:أ⊆X}{\displaystyle \tau :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}} ) بحيث يكون لكلأ⊆X،{\displaystyle A\subseteq X,}عدد صحيح⁡أ{\displaystyle \operatorname {int} A}يساوي الداخل الطوبولوجيعدد صحيح(X،τ)⁡أ{\displaystyle \operatorname {int} _{(X,\tau )}A}لأ{\displaystyle A}في(X،τ).{\displaystyle (X,\tau ).}إذا كانت المجموعاتX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}يرتبط كل منهما بعوامل داخلية (يرمز لكليهما بـعدد صحيح{\displaystyle \operatorname {int} }ثم خريطةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تكون متصلة إذا وفقط إذاو-1(عدد صحيح⁡ب)⊆عدد صحيح⁡(و-1(ب)){\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} B)\subseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)}لكل مجموعة جزئيةب⊆Y.{\displaystyle B\subseteq Y.}[ 17 ]

المرشحات والمرشحات الأولية

يمكن أيضًا وصف الاستمرارية من حيث المرشحات . دالةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تكون متصلة إذا وفقط إذا كان كلما مرشحب{\displaystyle {\mathcal {B}}}علىX{\displaystyle X}يتقارب فيX{\displaystyle X}إلى حد ماx∈X،{\displaystyle x\in X,}ثم المرشح المسبقو(ب){\displaystyle f({\mathcal {B}})}يتقارب فيY{\displaystyle Y}لو(x).{\displaystyle f(x).}يظل هذا الوصف صحيحًا إذا تم استبدال كلمة "filter" بكلمة "prefilter". [ 15 ]

ملكيات

لوو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}وز:Y→Z{\displaystyle g:Y\to Z}إذا كانت متصلة، فإن التركيب يكون كذلكز∘و:X→Z.{\displaystyle g\circ f:X\to Z.}لوو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}متصل و

تكون التكوينات الممكنة على مجموعة ثابتة X مرتبة جزئيًا : تكوينτ1{\displaystyle \tau _{1}}يقال إنها أكثر خشونة من بنية طوبولوجية أخرىτ2{\displaystyle \tau _{2}}(ملاحظة:τ1⊆τ2{\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}) إذا كانت كل مجموعة جزئية مفتوحة بالنسبة إلىτ1{\displaystyle \tau _{1}}وهو منفتح أيضاً فيما يتعلق بـτ2.{\displaystyle \tau _{2}.}ثم خريطة الهويةبطاقة تعريفX:(X،τ2)→(X،τ1){\displaystyle \operatorname {id} _{X}:\left(X,\tau _{2}\right)\to \left(X,\tau _{1}\right)} تكون متصلة إذا وفقط إذاτ1⊆τ2{\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}(انظر أيضًا مقارنة الطوبولوجيا ). وبشكل أعم، دالة متصلة (X،τX)→(Y،τY){\displaystyle \left(X,\tau _{X}\right)\to \left(Y,\tau _{Y}\right)} يظل متصلاً إذا كانت الطوبولوجياτY{\displaystyle \tau _{Y}}يتم استبدالها ببنية أكثر خشونة و/أوτX{\displaystyle \tau _{X}}يتم استبدالها ببنية أكثر دقة .

التشوهات المتماثلة

يُشابه مفهوم التطبيق المفتوح مفهوم التطبيق المتصل ، حيث تكون صور المجموعات المفتوحة مفتوحة. إذا كان للتطبيق المفتوح f دالة عكسية ، فإن هذه الدالة العكسية تكون متصلة، وإذا كان للتطبيق المتصل g دالة عكسية، فإن هذه الدالة العكسية تكون مفتوحة. وبالنظر إلى دالة تقابلية f بين فضاءين طوبولوجيين، فإن الدالة العكسية f(g) = f(g)و-1{\displaystyle f^{-1}}لا يشترط أن تكون الدالة متصلة. تُسمى الدالة المتصلة التقابلية ذات الدالة العكسية المتصلة بالتشاكل التشاكلي .

إذا كان مجال التقابل المستمر فضاءً مضغوطًا وكان مجاله المقابل هو هاوسدورف ، فإنه يكون تماثلًا شكليًا.

تحديد الطوبولوجيا عبر الدوال المتصلة

بالنظر إلى دالة و:X→S،{\displaystyle f:X\to S,} حيث X فضاء طوبولوجي و S مجموعة (بدون طوبولوجيا محددة)، يتم تعريف الطوبولوجيا النهائية على S بجعل المجموعات المفتوحة لـ S هي تلك المجموعات الجزئية A من S التيو-1(أ){\displaystyle f^{-1}(A)}إذا كانت S مفتوحة في X ، فإن f تكون متصلة بالنسبة لهذه الطوبولوجيا إذا وفقط إذا كانت الطوبولوجيا الموجودة أدق من الطوبولوجيا النهائية على S. وبالتالي، فإن الطوبولوجيا النهائية هي أدق طوبولوجيا على S تجعل f متصلة. إذا كانت f شاملة ، فإن هذه الطوبولوجيا تُعرَّف بشكل قانوني على أنها طوبولوجيا القسمة في ظل علاقة التكافؤ التي تُعرِّفها f .

وبالمثل، بالنسبة لدالة f من مجموعة S إلى فضاء طوبولوجي X ، يتم تعريف الطوبولوجيا الأولية على S من خلال تحديد كل مجموعة جزئية A من S كمجموعة مفتوحة بحيثأ=و-1(يو){\displaystyle A=f^{-1}(U)}لبعض المجموعات المفتوحة U من X. إذا كانت S تمتلك طوبولوجيا موجودة، فإن f تكون متصلة بالنسبة لهذه الطوبولوجيا إذا وفقط إذا كانت الطوبولوجيا الموجودة أدق من الطوبولوجيا الأولية على S. وبالتالي، فإن الطوبولوجيا الأولية هي أدق طوبولوجيا على S تجعل f متصلة. إذا كانت f أحادية، فإن هذه الطوبولوجيا تُعرَّف بشكل أساسي على أنها طوبولوجيا الفضاء الجزئي لـ S ، باعتبارها مجموعة جزئية من X.

تُحدد الطوبولوجيا على مجموعة S بشكل فريد بواسطة فئة جميع الدوال المتصلةS→X{\displaystyle S\to X}في جميع الفضاءات الطوبولوجية X. وبالمثل ، يمكن تطبيق فكرة مماثلة على الخرائط .X→S.{\displaystyle X\to S.}

لوو:S→Y{\displaystyle f\colon S\to Y}هي دالة متصلة من مجموعة جزئية ماS{\displaystyle S}فضاء طوبولوجيX{\displaystyle X}ثم أالامتداد المستمر لـو{\displaystyle f}لX{\displaystyle X}هي أي دالة متصلةF:X→Y{\displaystyle F\colon X\to Y}بحيثF(s)=و(s){\displaystyle F(s)=f(s)}لكلs∈S{\displaystyle s\in S}وهو شرط يُكتب غالبًا على النحو التالي:و=F|S{\displaystyle f=F{\big \vert }_{S}}بعبارة أخرى، هي أي دالة متصلةF:X→Y{\displaystyle F\colon X\to Y}هذا يقتصر علىو{\displaystyle f}علىS{\displaystyle S}يُستخدم هذا المفهوم، على سبيل المثال، في نظرية تيتز للتمديد ونظرية هان-باناخ . إذاو:S→Y{\displaystyle f\colon S\to Y}إذا لم تكن الدالة متصلة، فمن المستحيل أن يكون لها امتداد متصل.Y{\displaystyle Y}هو مساحة تابعة لشركة هاوسدورف وS{\displaystyle S}هي مجموعة فرعية كثيفة منX{\displaystyle X}ثم امتداد مستمر لـو:S→Y{\displaystyle f\colon S\to Y}لX{\displaystyle X}إذا وُجد واحد، فسيكون فريدًا. تنص نظرية بلومبرغ على أنه إذاو:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }إذا كانت دالة اختيارية، فإنه يوجد مجموعة جزئية كثيفةد{\displaystyle D}لR{\displaystyle \mathbb {R} }بحيث يكون التقييدو|د:د→R{\displaystyle f{\big \vert }_{D}\colon D\to \mathbb {R} }هي دالة متصلة؛ بمعنى آخر، كل دالةR→R{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }يمكن حصرها في مجموعة فرعية كثيفة تكون فيها متصلة.

تستخدم مجالات رياضية أخرى متنوعة مفهوم الاستمرارية بمعانٍ مختلفة ولكنها مترابطة. على سبيل المثال، في نظرية الترتيب ، الدالة التي تحافظ على الترتيبو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}بين أنواع معينة من المجموعات المرتبة جزئياX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}تكون متصلة إذا كان لكل مجموعة جزئية موجهةأ{\displaystyle A}لX،{\displaystyle X,}لدينارشفةو(أ)=و(رشفةأ).{\displaystyle \sup f(A)=f(\sup A).}هنارشفة{\displaystyle \,\sup \,}هو الأعلى فيما يتعلق بالترتيبات فيX{\displaystyle X}وY،{\displaystyle Y,}على التوالي. هذا المفهوم للاستمرارية هو نفسه الاستمرارية الطوبولوجية عندما تُعطى المجموعات المرتبة جزئيًا طوبولوجيا سكوت . [ 18 ] [ 19 ]

في نظرية الفئات ، الدالةF:ج→د{\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}يُطلق على العلاقة بين فئتين اسم العلاقة المتصلة إذا كانت تتبادل بحدود صغيرة . أي، ليم←أنا∈أنا⁡F(جأنا)≅F(ليم←أنا∈أنا⁡جأنا){\displaystyle \varprojlim _{i\in I}F(C_{i})\cong F\left(\varprojlim _{i\in I}C_{i}\right)} لأي مجموعة صغيرة (أي مفهرسة بواسطة مجموعةأنا،{\displaystyle I,}(على عكس مخطط الفئات ) للكائنات فيج{\displaystyle {\mathcal {C}}}.

فضاء الاستمرارية هو تعميم للفضاءات المترية والمجموعات المرتبة جزئياً، [ 20 ] [ 21 ] والذي يستخدم مفهوم الكميات ، ويمكن استخدامه لتوحيد مفاهيم الفضاءات المترية والمجالات . [ 22 ]

في نظرية القياس ، الدالةو:هـ→Rك{\displaystyle f:E\to \mathbb {R} ^{k}}معرفة على مجموعة قابلة للقياس من نوع ليبيغهـ⊆Rن{\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}يُطلق عليها اسم متصلة تقريبًا عند نقطةx0∈هـ{\displaystyle x_{0}\in E}إذا كان الحد التقريبي لـو{\displaystyle f}فيx0{\displaystyle x_{0}}موجود ويساويو(x0){\displaystyle f(x_{0})}يُعمم هذا المفهوم مفهوم الاستمرارية باستبدال النهاية العادية بالنهاية التقريبية . وتنص نتيجة أساسية تُعرف باسم نظرية ستيبانوف-دينجوي على أن الدالة قابلة للقياس إذا وفقط إذا كانت مستمرة تقريبًا في كل مكان . [ 23 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ بولزانو، برنارد (1817). "Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes daß zwischen je zwey Werthen، die ein entgegengesetzetes Resultat gewähren، wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege" . براغ: هاس.
  2. ↑ دوغاك، بيير (1973)، "عناصر تحليل كارل فايرشتراسه"، أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة ، 10 ( 1-2 ): 41-176 ، doi : 10.1007/bf00343406 ، S2CID 122843140 
  3. ^ جورسات، إي (1904)، دورة في التحليل الرياضي ، بوسطن: جين، ص. 2 
  4. ^ الأردن، MC (1893)، Cours d'analyse de l'École polytechnique ، المجلد. 1 ( الطبعة الثانية)، باريس: غوتييه فيلار، ص. 46   
  5. ↑ هاربر، جيه إف (2016)، "تعريف استمرارية الدوال الحقيقية للمتغيرات الحقيقية"، نشرة الجمعية البريطانية لتاريخ الرياضيات ، 31 (3): 1-16 ، doi : 10.1080/17498430.2015.1116053 ، S2CID 123997123 
  6. ↑ روسنوك، ب.؛ كير-لوسون، أ. (2005)، "بولزانو والاستمرارية المنتظمة"، هيستوريا ماثيماتيكا ، 32 (3): 303-311 ، doi : 10.1016/j.hm.2004.11.003
  7. ^ سترانج ، جيلبرت (1991). حساب التفاضل والتكامل . سيام. ص. 702. ردمك  0961408820.
  8. ↑ لانغ، سيرج (1997)، التحليل الجامعي ، نصوص جامعية في الرياضيات ( الطبعة الثانية)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN  978-0-387-94841-6القسم الثاني.4
  9. ↑ مقدمة في التحليل الحقيقي ، تم تحديثها في أبريل 2010، بقلم ويليام ف. ترينش، النظرية 3.5.2، صفحة 172
  10. ↑ مقدمة في التحليل الحقيقي ، تم تحديثها في أبريل 2010، بقلم ويليام ف. ترينش، 3.5 "نظرة أكثر تقدماً على وجود التكامل الريماني الصحيح"، الصفحات 171-177
  11. ↑ "حساب التفاضل والتكامل الابتدائي" . wisc.edu .
  12. ↑ براون، جيمس وارد (2009)، المتغيرات المركبة وتطبيقاتها ( الطبعة الثامنة)، ماكجرو هيل، ص 54، ISBN   978-0-07-305194-9
  13. ↑ غال، ستيفن أ. (2009)، طوبولوجيا مجموعات النقاط ، نيويورك: منشورات دوفر ، رقم ISBN 978-0-486-47222-5القسم الرابع.10
  14. ^ Searcóid، Mícheál Ó (2006)، المساحات المترية ، سلسلة سبرينغر للرياضيات الجامعية، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-1-84628-369-7القسم 9.4
  15. 1 2 3 دوجوندجي 1966 ، ص 211-221.
  16. ↑ شورمان، جيري (2016). حساب التفاضل والتكامل والتحليل في الفضاء الإقليدي ( طبعة مصورة). سبرينغر. ص 271-272 . ISBN   978-3-319-49314-5.
  17. ↑ "الطوبولوجيا العامة - الاستمرارية والداخلية" . موقع تبادل الأسئلة والأجوبة في الرياضيات .
  18. ↑ غوبولت-لاريك، جان (2013). طوبولوجيا غير هاوسدورف ونظرية المجال: مواضيع مختارة في طوبولوجيا المجموعات النقطية . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-1107034136.
  19. ↑ جيرز، ج.؛ هوفمان، ك.هـ.؛ كيمل، ك.؛ لوسون، ج.د.؛ ميسلوف، م.و.؛ سكوت، د.س. (2003). الشبكات والمجالات المتصلة . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 93. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN  0521803381.
  20. ↑ فلاغ، آر سي (1997). "الكميات وفضاءات الاستمرارية". الجبر الشامل . 37 (3): 257-276 . CiteSeerX 10.1.1.48.851 . doi : 10.1007/s000120050018 . S2CID 17603865 .  
  21. ↑ كوبيرمان، ر. (1988). "جميع الطوبولوجيات تنبع من المقاييس المعممة". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 95 (2): 89-97 . doi : 10.2307/2323060 . JSTOR 2323060 . 
  22. ↑ فلاغ، ب.؛ كوبرمان، ر. (1997). "فضاءات الاستمرارية: التوفيق بين المجالات والفضاءات المترية" . علوم الحاسوب النظرية . 177 (1): 111-138 . doi : 10.1016/S0304-3975(97)00236-3 .
  23. ^ فيدرر، هـ. (1969). نظرية القياس الهندسي . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد. 153. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. 

فهرس