دالة نسبية

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( سبتمبر 2015 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

في الرياضيات ، الدالة الكسرية هي أي دالة يمكن تعريفها بكسر كسري ، وهو كسر جبري بحيث يكون كل من البسط والمقام كثيرات حدود . لا يلزم أن تكون معاملات كثيرات الحدود أعدادًا نسبية ؛ يمكن أخذها في أي مجال K. في هذه الحالة، نتحدث عن دالة كسرية وكسر نسبي على K. يمكن أخذ قيم المتغيرات في أي مجال L يحتوي على K. ثم يكون مجال الدالة هو مجموعة قيم المتغيرات التي لا يكون المقام لها صفرًا، والمجال المشترك هو L.

مجموعة الدوال النسبية على المجال K هي مجال، مجال كسور حلقة الدوال كثيرة الحدود على K.

تُسمى الدالة دالة نسبية إذا كان من الممكن كتابتها في النموذج${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

حيث و هما دوال متعددة الحدود لـ و ليست دالة صفرية . مجال هو مجموعة كل قيم التي لا يكون المقام لها صفرًا. ${\displaystyle P}$${\displaystyle س}$${\displaystyle x}$${\displaystyle س}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Q(x)}$

ومع ذلك، إذا كان لـ و قاسم مشترك أعظم متعدد الحدود غير ثابت ، فإن وضع و ينتج دالة نسبية ${\displaystyle \textstyle P}$${\displaystyle \textstyle س}$ ${\displaystyle \textstyle ر}$${\displaystyle \textstyle P=P_{1}R}$${\displaystyle \textstyle Q=Q_{1}R}$

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},}$

والتي قد يكون لها مجال أكبر من ، وتساوي في مجال من الشائع استخدام تعريف و ، أي لتوسيع "بالاستمرارية" مجال إلى مجال في الواقع، يمكن للمرء أن يعرف الكسر النسبي كفئة تكافؤ لكسور كثيرات الحدود، حيث يُعتبر الكسران و متكافئين إذا . في هذه الحالة يكون مكافئًا لـ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {A(x)}{B(x)}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {C(x)}{D(x)}}}$${\displaystyle A(x)D(x)=B(x)C(x)}$${\displaystyle \textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}.}$

الدالة الكسرية الصحيحة هي دالة كسرية تكون درجة كل منهما أقل من درجة كل منهما حدود حقيقية ، يتم تسميتها قياسًا على الكسر الصحيح في ^[1]${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

هناك عدة تعريفات غير متكافئة لدرجة الدالة الكسرية.

في أغلب الأحيان، تكون درجة الدالة الكسرية هي الحد الأقصى لدرجات متعددات الحدود المكونة لها P و Q ، عندما يتم تقليص الكسر إلى أدنى حد . إذا كانت درجة f هي d ، فإن المعادلة

${\displaystyle f(z)=w\,}$

تحتوي على حلول مميزة في z باستثناء قيم معينة لـ w ، تسمى القيم الحرجة ، حيث يتطابق حلين أو أكثر أو حيث يتم رفض بعض الحلول عند اللانهاية (أي عندما تقل درجة المعادلة بعد مسح المقام ).

في حالة المعاملات المركبة ، فإن الدالة الكسرية من الدرجة الأولى هي تحويل موبيوس .

درجة رسم الدالة الكسرية ليست الدرجة كما هو محدد أعلاه: بل هي الحد الأقصى لدرجة البسط وواحد زائد درجة المقام .

في بعض السياقات، مثل التحليل المقارب ، تكون درجة الدالة الكسرية هي الفرق بين درجات البسط والمقام. ^{[2] : §13.6.1  [3] : الفصل الرابع}

في تركيب الشبكة وتحليل الشبكة ، غالبًا ما تسمى الدالة النسبية من الدرجة الثانية (أي نسبة كثيرتي حدود من الدرجة الثانية على الأكثر)دالة تربيعية ثنائية .^[4]

الدالة المنطقية

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

لم يتم تعريفه في

${\displaystyle x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.}$

إنه مقارب لـ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$${\displaystyle x\to \infty .}$

الدالة المنطقية

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}$

يتم تعريفه لجميع الأعداد الحقيقية ، ولكن ليس لجميع الأعداد المركبة ، لأنه إذا كان x هو الجذر التربيعي لـ (أي الوحدة التخيلية أو سالبها)، فإن التقييم الرسمي سيؤدي إلى القسمة على الصفر: ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},}$

وهو غير محدد.

الدالة الثابتة مثل f ( x ) = π هي دالة نسبية لأن الثوابت هي حدوديات. الدالة نفسها نسبية، حتى لو كانت قيمة f ( x ) غير نسبية لجميع x .

كل دالة متعددة الحدود هي دالة نسبية مع وجود دالة لا يمكن كتابتها بهذا الشكل، مثل ليست دالة نسبية. ومع ذلك، لا تُستخدم الصفة "غير نسبية" بشكل عام للدوال. ${\displaystyle f(x)=P(x)}$${\displaystyle Q(x)=1.}$${\displaystyle f(x)=\sin(x),}$

يمكن كتابة كل متعددة حدود لوران على هيئة دالة نسبية في حين أن العكس ليس بالضرورة صحيحًا، أي أن حلقة متعددة حدود لوران هي حلقة فرعية من الدوال النسبية.

الدالة الكسرية تساوي 1 لجميع x باستثناء 0، حيث يوجد تفرد قابل للإزالة . إن مجموع أو حاصل أو حاصل قسمة (باستثناء القسمة على متعددة الحدود الصفرية) لدالتين كسريتين هو في حد ذاته دالة كسرية. ومع ذلك، فإن عملية الاختزال إلى الشكل القياسي قد تؤدي عن غير قصد إلى إزالة مثل هذه التفردات ما لم يتم توخي الحذر. إن استخدام تعريف الدوال الكسرية كفئات تكافؤ يتغلب على هذا، لأن x / x يعادل 1/1. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{x}}}$

تُرضي معاملات سلسلة تايلور لأي دالة نسبية علاقة تكرار خطية ، والتي يمكن إيجادها عن طريق مساواة الدالة النسبية بمتسلسلة تايلور ذات معاملات غير محددة، وجمع الحدود المتشابهة بعد مسح المقام.

على سبيل المثال،

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

الضرب بالمقام والتوزيع،

${\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

بعد تعديل مؤشرات المجاميع للحصول على نفس قوى x ، نحصل على

${\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

الجمع بين المصطلحات المتشابهة يعطي

${\displaystyle 1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.}$

نظرًا لأن هذا ينطبق على جميع x في نصف قطر تقارب سلسلة تايلور الأصلية، فيمكننا الحساب على النحو التالي. نظرًا لأن الحد الثابت على اليسار يجب أن يساوي الحد الثابت على اليمين، فيترتب على ذلك أن

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}.}$

وبعد ذلك، بما أنه لا توجد قوى لـ x على اليسار، فإن جميع المعاملات على اليمين يجب أن تكون صفرًا، ومن ثم يتبع ذلك أن

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.}$

وعلى العكس من ذلك، فإن أي تسلسل يلبي التكرار الخطي يحدد دالة نسبية عند استخدامه كمعاملات لسلسلة تايلور. وهذا مفيد في حل مثل هذه التكرارات، لأنه باستخدام تحلل الكسور الجزئية يمكننا كتابة أي دالة نسبية مناسبة كمجموع عوامل من النموذج 1 / ( ax + b ) وتوسيعها كمتسلسلة هندسية ، مما يعطي صيغة صريحة لمعاملات تايلور؛ هذه هي طريقة توليد الدوال .

في الجبر المجرد، يمتد مفهوم كثيرة الحدود ليشمل التعبيرات الرسمية التي يمكن فيها أخذ معاملات كثيرة الحدود من أي حقل . في هذا الإعداد، نظرًا للحقل F وبعض X غير المحدد ، فإن التعبير الكسري (المعروف أيضًا باسم الكسر الكسري أو، في الهندسة الجبرية ، الدالة الكسرية ) هو أي عنصر من عناصر حقل الكسور في حلقة كثيرة الحدود F [ X ]. يمكن كتابة أي تعبير كسري كحاصل قسمة كثيرتي حدود P / Q مع Q ≠ 0، على الرغم من أن هذا التمثيل ليس فريدًا. P / Q يعادل R / S ، بالنسبة لكثيرات الحدود P و Q و R و S ، عندما PS = QR . ومع ذلك، نظرًا لأن F [ X ] هو مجال تحليل فريد ، فهناك تمثيل فريد لأي تعبير كسري P / Q مع كثيرات حدود P و Q من أدنى درجة و Q تم اختيارها لتكون أحادية . وهذا مشابه لكيفية كتابة جزء من الأعداد الصحيحة دائمًا بطريقة فريدة بأدنى حد عن طريق إلغاء العوامل المشتركة.

يُشار إلى مجال التعبيرات النسبية بـ F ( X ). ويقال إن هذا المجال يتم إنشاؤه (كحقل) على F بواسطة ( عنصر متسام ) X ، لأن F ( X ) لا يحتوي على أي حقل فرعي مناسب يحتوي على كل من F والعنصر X.

• جوليا تضع خرائط عقلانية
• 
  ${\displaystyle {\frac {1}{az^{5}+z^{3}+bz}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {1}{z^{3}+z(-3-3i)}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {z^{2}-0.2+0.7i}{z^{2}+0.917}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {z^{2}}{z^{9}-z+0.025}}}$

في التحليل المركب ، دالة نسبية

${\displaystyle f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$

هي نسبة كثير حدود لهما معاملات معقدة، حيث Q ليست كثيرة حدود صفرية و P و Q ليس لهما عامل مشترك (هذا يتجنب أن يأخذ f القيمة غير المحددة 0/0).

مجال f هو مجموعة الأعداد المركبة بحيث . يمكن توسيع كل دالة نسبية بشكل طبيعي إلى دالة يكون مجالها ومداها عبارة عن كرة ريمان بأكملها ( خط إسقاطي مركب ). ${\displaystyle Q(z)\neq 0}$

الدوال الكسرية هي أمثلة تمثيلية للدوال متعددة الأشكال .

يؤدي تكرار الدوال النسبية (الخرائط) ^[5] على كرة ريمان إلى إنشاء أنظمة ديناميكية منفصلة .

كما هو الحال مع كثيرات الحدود ، يمكن أيضًا تعميم التعبيرات النسبية إلى n من القيم غير المحددة X ₁ ,..., X _n ، من خلال أخذ مجال الكسور في F [ X ₁ ,..., X _n ]، والتي يشار إليها بواسطة F ( X ₁ ,..., X _n ).

تُستخدم نسخة موسعة من الفكرة المجردة للدالة الكسرية في الهندسة الجبرية. هناك يتم تشكيل حقل الدالة لمجموعة جبرية V كحقل كسور لحلقة إحداثيات V (أو بالأحرى لمجموعة مفتوحة أفينية كثيفة زاريسكي في V ) . تعتبر عناصرها f دوال منتظمة بمعنى الهندسة الجبرية على مجموعات مفتوحة غير فارغة U ، ويمكن أيضًا اعتبارها تماثلات للخط الإسقاطي .

تُستخدم الدوال الكسرية في التحليل العددي لاستيفاء الدوال وتقريبها ، على سبيل المثال تقريبًات بادي التي قدمها هنري بادي . التقريبات من حيث الدوال الكسرية مناسبة تمامًا لأنظمة الجبر الحاسوبية وغيرها من البرامج العددية . ومثلها كمثل كثيرات الحدود، يمكن تقييمها بشكل مباشر، وفي الوقت نفسه تعبر عن سلوك أكثر تنوعًا من كثيرات الحدود.

تُستخدم الدوال النسبية لتقريب أو نمذجة معادلات أكثر تعقيدًا في العلوم والهندسة بما في ذلك المجالات والقوى في الفيزياء، والتحليل الطيفي في الكيمياء التحليلية، وحركية الإنزيمات في الكيمياء الحيوية، والدوائر الإلكترونية، والديناميكا الهوائية، وتركيزات الأدوية في الجسم الحي، ووظائف الموجة للذرات والجزيئات، والبصريات والتصوير الفوتوغرافي لتحسين دقة الصورة، والصوتيات والصوت. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

في معالجة الإشارات ، تحويل لابلاس (للأنظمة المستمرة) أو تحويل z (للأنظمة ذات الوقت المنفصل) لاستجابة النبضة للأنظمة الخطية الثابتة زمنياً المستخدمة بشكل شائع (المرشحات) ذات استجابة النبضة اللانهائية هي دوال نسبية على أعداد مركبة.

• مجال الكسور
• تحلل الكسور الجزئية
• الكسور الجزئية في التكامل
• حقل دالة من صنف جبري
• الكسور الجبرية  – تعميم للوظائف الكسرية التي تسمح بأخذ جذور صحيحة

• "الدالة الكسرية"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 3.4. Rational Function Interpolation and Extrapolation", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

• التصور الديناميكي للوظائف النسبية باستخدام JSXGraph