0

بحسب السياق، قد تُستخدم كلمات مختلفة للدلالة على العدد صفر أو مفهوم الصفر. وللدلالة على مفهوم النقص، تُستخدم كلمتا " لا شيء " ( مع أن هذا غير دقيق ) و"لا شيء". كما تُعتبر الكلمات الإنجليزية "nought" أو "naught" و" nil " و " null " مرادفةً لهذا المفهوم . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

يُطلق عليه غالبًا اسم "أوه" عند قراءة سلسلة من الأرقام، مثل أرقام الهواتف ، وعناوين الشوارع ، وأرقام بطاقات الائتمان ، والتوقيت العسكري ، أو السنوات. على سبيل المثال، قد يُنطق رمز المنطقة 201 "اثنان أو واحد"، وغالبًا ما يُنطق عام 1907 "تسعة عشر أو سبعة". إن وجود أرقام أخرى، مما يدل على أن السلسلة تحتوي على أرقام فقط، يمنع الخلط بينه وبين الحرف O. لهذا السبب، قد تستبعد الأنظمة التي تتضمن سلاسل تحتوي على أحرف وأرقام (مثل الرموز البريدية في المملكة المتحدة ) استخدام الحرف O. ^{[ 7 ]}

تشمل الكلمات العامية للصفر "zip" و"zilch" و"nada" و"scratch". ^{[ 8 ]} في سياق الرياضة، يُستخدم مصطلح "nil" أحيانًا، خاصةً في اللغة الإنجليزية البريطانية . توجد في العديد من الرياضات كلمات خاصة للدلالة على نتيجة الصفر، مثل " love " في التنس - ربما من الكلمة الفرنسية l'œuf ، أي "البيضة" - و" duck " في الكريكيت ، وهي اختصار لـ "duck's egg". "Goose egg" مصطلح عامي آخر يُستخدم للدلالة على الصفر. ^{[ 8 ]}

في أنظمة العد الموضعية (مثل الترميز العشري المعتاد لتمثيل الأعداد)، يؤدي الرقم صفر دور رمز المكان، مشيرًا إلى أن بعض قوى الأساس لا تُضاف. على سبيل المثال، العدد العشري 205 هو مجموع مئتين وخمسة آحاد، حيث يشير الرقم صفر إلى عدم إضافة أي عشرات. ويؤدي الرقم صفر الدور نفسه في الكسور العشرية وفي التمثيل العشري للأعداد الحقيقية الأخرى (مشيرًا إلى وجود أجزاء من عشرة، أو أجزاء من مئة، أو أجزاء من ألف، إلخ) وفي أنظمة العد الأخرى غير العشرية (على سبيل المثال، في النظام الثنائي، حيث يشير إلى قوى العدد 2 التي تم حذفها). ^{[ 9 ]}

العدد صفر هو أصغر عدد صحيح غير سالب، وأكبر عدد صحيح غير موجب. العدد الطبيعي الذي يلي الصفر هو 1، ولا يوجد عدد طبيعي يسبق الصفر. قد يُعتبر العدد صفر عددًا طبيعيًا أو لا ، ^{[ 10 ] [ 11 ]} ولكنه عدد صحيح ، وبالتالي فهو عدد نسبي وعدد حقيقي . ^{[ 12 ]} الصفر عدد زوجي ^{[ 13 ]} (أي أنه من مضاعفات العدد 2)، وهو أيضًا مضاعف صحيح لأي عدد صحيح آخر. ^{[ 14 ]} وهو ليس عددًا أوليًا ولا عددًا مركبًا . ^{[ 15 ]}

يُعتبر العدد صفر لا موجباً ولا سالباً، ^{[ 16 ]} وعادةً ما يُعرض كنقطة بداية لخط الأعداد . ^{[ 17 ]} وعندما تُمدد الأعداد الحقيقية لتكوين الأعداد المركبة ، يصبح الصفر نقطة بداية المستوى المركب. ^{[ 18 ]}

فيما يلي بعض القواعد الأساسية للتعامل مع العدد 0. تنطبق هذه القواعد على أي عدد حقيقي أو مركب x ، ما لم يُذكر خلاف ذلك.

• الجمع : س + ٠ = ٠ + س = س . أي أن ٠ هو العنصر المحايد (أو العنصر المحايد) بالنسبة لعملية الجمع. ^{[ ١٩ ]}
• الطرح : س - ٠ = س و ٠ - س = -س . ^{[ ٢٠ ]}
• الضرب : x · 0 = 0 · x = 0. ^{[ 21 ]} والعكس صحيح أيضًا: إذا كان x · y = 0 فإن x = 0 أو y = 0.

• القسمة : 0 / x = 0، لقيم x غير الصفرية . لكن x / 0 غير معرفة ، لأن الصفر ليس له معكوس ضربي (لا يوجد ^عدد حقيقي مضروب في 0 ينتج عنه 1)، وهذا نتيجة للقاعدة السابقة . ^{[ 22} ]
• الأس : x⁰ ⁼ x / x = 1 ^، باستثناء الحالة x = 0 التي تُعتبر غير مُعرَّفة في بعض السياقات. لكل عدد حقيقي موجب x ، فإن 0x = 0. ^{[ 23 ]}

إنّ التعبير ⁠ 0 / 0 ⁠ ، الذي يمكن الحصول عليه عند محاولة تحديد نهاية تعبير من الشكل ⁠ f ( x ) / g ( x ) ⁠ نتيجة تطبيق عامل النهاية بشكل مستقل على كلا معاملي الكسر، هو ما يُسمى " الصيغة غير المحددة ". هذا لا يعني بالضرورة أن النهاية المطلوبة غير مُعرّفة؛ بل يعني أنه إذا وُجدت نهاية ⁠ f ( x ) / g ( x ) ⁠ ، فيجب إيجادها بطريقة أخرى، مثل قاعدة لوبيتال . ^{[ 24 ]}

مجموع صفر من الأعداد ( المجموع الفارغ ) يساوي صفرًا، وحاصل ضرب صفر من الأعداد ( الحاصل الضرب الفارغ ) يساوي واحدًا. مضروب 0! يساوي واحدًا، كحالة خاصة من حاصل الضرب الفارغ. ^{[ 25 ]}

يمكن تعميم أو توسيع دور الصفر باعتباره أصغر عدد للعد بطرق مختلفة. في نظرية المجموعات ، يمثل الصفر عدد عناصر المجموعة الفارغة (ويرمز له بـ "{ }").${\textstyle \emptyset }$"، أو "∅": إذا لم يكن لدى المرء أي تفاح، فإنه يملك صفرًا من التفاح. في الواقع، في بعض التطورات البديهية للرياضيات من نظرية المجموعات، يُعرَّف الصفر بأنه المجموعة الفارغة. ^{[ 26 ]} عند القيام بذلك، تكون المجموعة الفارغة هي تعيين فون نيومان للعناصر الأساسية لمجموعة لا تحتوي على أي عناصر، وهي المجموعة الفارغة. ^{[ 27 ]}

في نظرية المجموعات أيضًا، يُمثل الصفر أصغر عدد ترتيبي ، وهو ما يُقابل المجموعة الفارغة عند النظر إليها كمجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا . وفي نظرية الترتيب (وخاصةً نظرية الشبكة الفرعية التابعة لها )، قد يُشير الصفر إلى أصغر عنصر في شبكة أو مجموعة أخرى مرتبة ترتيبًا جزئيًا .

يتجاوز دور الصفر كعنصر محايد جمعي نطاق الجبر الابتدائي. ففي الجبر المجرد ، يُستخدم الصفر عادةً للدلالة على العنصر الصفري ، وهو العنصر المحايد للجمع (إذا عُرِّف على البنية قيد الدراسة) وعنصر امتصاص للضرب (إذا عُرِّف). ومن الأمثلة على ذلك العناصر المحايدة للمجموعات الجمعية والفضاءات المتجهة . مثال آخر هو الدالة الصفرية (أو تطبيق الصفر ) على المجال D. وهي دالة ثابتة يكون الصفر هو قيمتها الوحيدة الممكنة، أي أنها الدالة f المعرفة بالعلاقة f ( x ) = 0 لجميع قيم x في D. وباعتبارها دالة من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الحقيقية، فإن الدالة الصفرية هي الدالة الوحيدة التي تكون زوجية وفردية في آنٍ واحد .

يُستخدم الرقم 0 أيضاً بعدة طرق أخرى في فروع مختلفة من الرياضيات:

• الصفر للدالة f هو نقطة x في مجال الدالة بحيث f ( x ) = 0 .
• في منطق القضايا ، يمكن استخدام 0 للدلالة على قيمة الصواب الخاطئة.
• في نظرية الاحتمالات ، الصفر هو أصغر قيمة مسموح بها لاحتمالية وقوع أي حدث. ^{[ 28 ]}
• تقدم نظرية الفئات فكرة الكائن الصفري ، والذي يُرمز إليه غالبًا بالرمز 0، والمفهوم المرتبط به وهو التشكلات الصفرية ، والتي تعمم الدالة الصفرية. ^{[ 29 ]}

nfr	قلب مع قصبة هوائية جميل، لطيف، جيد

كانت الأرقام المصرية القديمة ذات أساس 10. ^{[ 30 ]} استخدموا الهيروغليفية للأرقام ولم تكن تعتمد على الموقع . في إحدى البرديات المكتوبة حوالي عام 1770 قبل الميلاد ، سجل ناسخ الإيرادات والنفقات اليومية لبلاط الفرعون ، مستخدمًا الهيروغليفية nfr للإشارة إلى الحالات التي كانت فيها كمية الطعام المستلمة مساوية تمامًا للكمية المصروفة. اقترح عالم المصريات آلان غاردينر أن الهيروغليفية nfr كانت تُستخدم كرمز للصفر. ^{[ 31 ]} استُخدم الرمز نفسه أيضًا للإشارة إلى مستوى القاعدة في رسومات المقابر والأهرامات، وقُيست المسافات بالنسبة إلى خط القاعدة باعتبارها أعلى أو أسفل هذا الخط. ^{[ 32 ]}

بحلول منتصف الألفية الثانية قبل الميلاد، امتلكت الرياضيات البابلية نظامًا عدديًا متطورًا قائمًا على أساس 60 ، ولكن القيمة الموضعية للصفر كانت تُشار إليها بمسافة بين الأرقام . في لوح تم اكتشافه في كيش (يعود تاريخه إلى 700 قبل الميلاد )، استخدم الكاتب بيل بن أبلو ثلاثة خطافات كفاصل مكاني. ^{[ 33 ]} وبحلول عام 300 قبل الميلاد ، أُعيد استخدام رمز ترقيم (وتدان مائلان) كفاصل مكاني. ^{[ 34 ] [ 35 ]} والجدير بالذكر أن هذه العلامات الفاصلة المكانية لم تُعتبر قيمة عددية، ولم تُستخدم منفردة قط. "لذلك، لا يمكن تفسيرها على أنها تمثيلات لمفهوم الصفر أو العدد صفر." ^{[ 36 ]} كما أنها لم تُكتب في نهاية العدد (لذا كُتب كل من 1 و60 و60×60 على النحو التالي: صفر ). ^{[ 37 ]}

تطلّب تقويم العد الطويل في أمريكا الوسطى، الذي طُوّر في جنوب وسط المكسيك وأمريكا الوسطى، استخدام الصفر كرمز مكاني ضمن نظامه العددي العشري (الأساس 20). استُخدمت العديد من الرموز المختلفة، بما في ذلك الشكل الرباعي الجزئي ، كرمز للصفر في تواريخ هذا العد الطويل، وأقدمها (على اللوحة 2 في تشياباس دي كورزو، تشياباس ) يعود تاريخه إلى 36  قبل الميلاد. ^{[ أ ] [ 38 ]}

بما أن أقدم ثمانية تواريخ للعدّ الطويل تظهر خارج موطن المايا، ^{[ 39 ]} فمن المعتقد عمومًا أن استخدام الصفر في الأمريكتين سبق المايا، وربما كان من اختراع الأولمك . [ ^{40 ] وقد} عُثر على العديد من أقدم تواريخ العدّ الطويل في قلب موطن الأولمك، على الرغم من أن حضارة الأولمك انتهت بحلول القرن الرابع قبل الميلاد ، ^{[ 41 ]} أي قبل عدة قرون من أقدم تواريخ العدّ الطويل المعروفة. ^{[ 42 ]}

على الرغم من أن الصفر أصبح جزءًا لا يتجزأ من الأرقام الماياوية ، مع استخدام شكل صدفة مختلف يشبه السلحفاة في العديد من تصويرات الرقم "الصفر"، إلا أنه يُفترض أنه لم يؤثر على أنظمة الأرقام في العالم القديم . ^{[ 43 ]}

الكيبو ، وهو جهاز حبل معقود، استُخدم في إمبراطورية الإنكا والمجتمعات السابقة لها في منطقة الأنديز لتسجيل البيانات المحاسبية وغيرها من البيانات الرقمية، مُشفّر في نظام عشري موضعي . يُمثّل الصفر بعدم وجود عقدة في الموضع المناسب. ^{[ 44 ]}

أقدم مثال موثوق به لاستخدام اليونانيين للصفر الهلنستي يظهر في كتاب هيبارخوس عام 140 ميلادي.

لم يكن لدى اليونان القديمة رمز للصفر (μηδέν، يُنطق mēdén )، ولم تستخدم خانة رقمية بديلة له. ^{[ 45 ]} ووفقًا لعالم الرياضيات تشارلز سيف ، بعد ظهور الصفر البابلي كخانة رقمية بديلة في وقت ما بعد عام 500 قبل الميلاد بقليل، بدأ علماء الفلك اليونانيون باستخدام الحرف اليوناني الصغير ό ( όμικρον : أوميكرون ) كخانة رقمية بديلة أو تمثيل لقيمة الدرجة الصفرية. ^{[ 46 ]} ومع ذلك، بعد استخدام الصفر البابلي كخانة رقمية بديلة في الحسابات الفلكية، كانوا عادةً ما يحولون الأرقام مرة أخرى إلى الأرقام اليونانية . وكما هو الحال مع رفض فيثاغورس للمتناهيات في الصغر، يبدو أن اليونانيين يتمسكون بمعارضة فلسفية لاستخدام الصفر كرقم. ^{[ 47 ]} "كان الكون اليوناني بأكمله قائمًا على هذا الركن: لا فراغ." ^{[ 48 ]} ​​يؤرخ نيدر ظهور الصفر في النصوص الفلكية اليونانية إلى ما بعد عام 400 قبل الميلاد، ويحدد عالم الرياضيات روبرت كابلان كذلك أنه لا بد أن يكون ذلك بعد فتوحات الإسكندر . ^{[ 49 ] [ 50 ]}

بدا اليونانيون غير متأكدين من مكانة الصفر كرقم. تساءل بعضهم: "كيف يمكن للعدم أن يكون موجودًا؟"، مما أدى إلى جدالات فلسفية، وبحلول العصور الوسطى ، إلى جدالات دينية حول طبيعة الصفر والفراغ ووجودهما . وتعتمد مفارقات زينون الإيلي إلى حد كبير على التفسير غير المؤكد للصفر. ^{[ 51 ]}

بحلول عام  150 ميلادي، كان بطليموس ، متأثرًا بهيبارخوس والبابليين ، يستخدم رمزًا للصفر ( ° ) ^{[ 52} ] ^{[ 53 ]} في كتابه عن علم الفلك الرياضي المسمى "التركيب الرياضي" (Syntaxis Mathematica )، والمعروف أيضًا باسم " المجسطي " (Almagest ⁾ . ^{[ 54 ]} ولعل هذا الصفر الهلنستي هو أقدم استخدام موثق لرقم يمثل الصفر في العالم القديم . ^{[ 55 ]} استخدمه بطليموس مرات عديدة في كتابه "المجسطي " (VI.8) لوصف مقدار كسوف الشمس وخسوف القمر . وكان يمثل قيمة كل من الأرقام والدقائق عند أول وآخر تلامس بين القمر والشمس . وتتغير الأرقام باستمرار من 0 إلى 12 ثم تعود إلى 0 مع مرور القمر فوق الشمس (نبضة مثلثة)، حيث يمثل الرقم 12 القطر الزاوي للشمس. تم حساب دقائق الغمر من 0 ′ 0 ″ إلى 31 ′ 20 ″ إلى 0 ′ 0 ″ ، حيث استخدم الرمز 0 ′ 0 ″ كعنصر نائب في موضعين من نظامه العددي الستيني ، ^{[ ب ]} بينما كان الجمع يعني زاوية صفر. كانت دقائق الغمر أيضًا دالة متصلة ⁠ 1 / 12 ⁠ 31 ′ 20 ″ √ d(24−d) (نبضة مثلثة ذات جوانب محدبة )، حيث كانت d هي دالة الرقم و31 ′ 20 ″ هي مجموع نصف قطري قرصي الشمس والقمر. ^{[ 56 ]} كان رمز بطليموس عنصرًا نائبًا بالإضافة إلى كونه رقمًا تستخدمه دالتان رياضيتان متصلتان، إحداهما داخل الأخرى، لذلك كان يعني صفرًا، وليس لا شيء. بمرور الوقت، كان الصفر عند بطليموس يميل إلى الزيادة في الحجم وفقدان الخط العلوي ، وكان يُصوَّر أحيانًا على شكل أوميكرون كبير ممدود يشبه الصفر "O" أو على شكل أوميكرون مع خط علوي "ō" بدلاً من نقطة مع خط علوي. ^{[ 57 ]}

استُخدم الصفر لأول مرة في حساب عيد الفصح اليولياني قبل عام  311 ميلادي، في أول مدخل في جدول الإيباكتات المحفوظ في وثيقة إثيوبية للأعوام من 311 إلى 369، باستخدام كلمة جعزية تعني "لا شيء" (ترجمتها الإنجليزية هي "0" في مواضع أخرى) إلى جانب الأرقام الجعزية (المستندة إلى الأرقام اليونانية)، والتي تُرجمت من جدول مماثل نشرته كنيسة الإسكندرية باليونانية في العصور الوسطى . ^{[ 58 ]} تكرر هذا الاستخدام في عام 525 في جدول مماثل، تُرجم عبر الكلمة اللاتينية nulla ("لا شيء") بواسطة ديونيسيوس إكسيغوس ، إلى جانب الأرقام الرومانية . ^{[ 59 ]} عندما كانت نتيجة القسمة صفرًا، استُخدمت كلمة nihil ، التي تعني "لا شيء". استُخدمت هذه الأصفار التي تعود إلى العصور الوسطى في جميع حاسبات عيد الفصح اللاحقة في العصور الوسطى . تم استخدام الحرف "N" الأولي كرمز للصفر في جدول الأرقام الرومانية بواسطة بيدا - أو زملائه - حوالي عام  725 م. ^{[ 60 ]}

يصف كتاب "سونزي سوانجينغ" ، الذي لم يُعرف تاريخه بدقة ولكن يُرجّح أنه يعود إلى الفترة ما بين القرنين الأول والخامس الميلاديين ، كيف مكّن نظام قضبان العدّ الصيني في القرن الرابع قبل الميلاد من إجراء العمليات الحسابية العشرية الموضعية . ^{[ 62 ] [ 63 ]} وكما ورد في كتاب "شياو هو يانغ سوانجينغ " (425-468 ميلادي)، لضرب أو قسمة عدد على 10 أو 100 أو 1000 أو 10000، كل ما على المرء فعله، باستخدام القضبان على لوحة العدّ، هو تحريكها للأمام أو للخلف بمقدار 1 أو 2 أو 3 أو 4 خانات. ^{[ 64 ]} وقد أعطت القضبان التمثيل العشري للعدد، حيث تشير الخانة الفارغة إلى الصفر. ^{[ 61 ] [ 65 ]} يُقدّم دليلٌ يعود تاريخه إلى حوالي عام 190 ميلادي، بعنوان "ملاحظات إضافية حول فن الأرقام"، من تأليف شو يو ، شرحًا لتقنيات جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد التي تحتوي على قيم صفرية في قوى الأعداد العشرية، وذلك باستخدام أدوات العد ، بما في ذلك قضبان العد والمعداد. ^{[ 66 ] [ 67 ]} كان المؤلفون الصينيون على دراية بفكرة الأعداد السالبة والكسور العشرية بحلول عهد أسرة هان (القرن الثاني الميلادي) ، كما هو موضح في كتاب "الفصول التسعة في الفن الرياضي" . ^{[ 68 ]} يُعدّ كتاب "رسالة الرياضيات في تسعة أقسام" لتشين جيوشاو، الذي نُشر عام 1247، أقدم نص رياضي صيني باقٍ يستخدم الرمز الدائري "〇" للدلالة على الصفر. ^{[ 69 ]} أصل هذا الرمز غير معروف؛ ويُحتمل أنه ناتج عن تعديل رمز مربع. ^{[ 70 ]} لم يُعامل الصفر كرقم في ذلك الوقت، بل كـ"موقع شاغر". ^{[ 71 ]}

بينغالا ( حوالي القرن الثالث أو الثاني قبل الميلاد)، ^{[ 72 ]} عالم عروض اللغة السنسكريتية ، ^{[ 73 ]} استخدم متواليات ثنائية ، على شكل مقاطع قصيرة وطويلة (الأخيرة تساوي في طولها مقطعين قصيرين)، لتحديد الأوزان السنسكريتية الصحيحة الممكنة ، وهي طريقة تدوين مشابهة لشفرة مورس . ^{[ 74 ]} استخدم بينغالا كلمة "śūnya" السنسكريتية صراحةً للإشارة إلى الصفر. ^{[ 72 ]}

تم تطوير رسم بياني للقيمة المكانية العشرية للصفر في الهند . ^{[ 76 ]}

يستخدم نص لوكافيبهاغا ، وهو نص جايني عن علم الكونيات، والذي وصل إلينا في ترجمة سنسكريتية من العصور الوسطى للنص الأصلي البراكريتي ، والذي يُؤرَّخ داخليًا إلى عام 458 ميلادي ( 380 من العصر الساكا )، نظامًا عشريًا للقيمة المكانية ، بما في ذلك الصفر. في هذا النص، تُستخدم كلمة śūnya ("فارغ، فارغ") أيضًا للإشارة إلى الصفر. ^{[ 77 ]}

يذكر كتاب أريابهاتيا ( حوالي 499) أن "sthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syāt " أي "من مكان إلى آخر، كل مكان يزيد عشرة أضعاف عن سابقه". ^{[ 78 ] [ 79 ] [ 80 ]}

ظهرت القواعد التي تحكم استخدام الصفر في كتاب براهمغوبتا براهماسبوتا سيدانتا (القرن السابع)، والذي ينص على أن مجموع الصفر مع نفسه يساوي صفرًا، ويصف القسمة على الصفر بشكل غير صحيح بالطريقة التالية: ^{[ 81 ] [ 82 ]}

عند قسمة عدد موجب أو سالب على صفر، نحصل على كسر مقامه صفر. والصفر مقسومًا على عدد سالب أو موجب يساوي إما صفرًا أو يُكتب على شكل كسر بسطه صفر ومقامه عدد محدود. والصفر مقسومًا على صفر يساوي صفرًا.

اقترحت رسالة بهاسكارا الثاني التي تعود إلى القرن الثاني عشر بعنوان ليلافاتي بدلاً من ذلك أن القسمة على الصفر ينتج عنها كمية لا نهائية، ^{[ 83 ]}

الكمية المقسومة على صفر تُصبح كسرًا مقامه صفر. يُسمى هذا الكسر بالكمية اللانهائية. في هذه الكمية، التي تتكون مما قاسمه صفر، لا يوجد أي تغيير، مع أنه يمكن إدخال أو إخراج الكثير منها؛ كما لا يحدث أي تغيير في الله اللامتناهي الذي لا يتغير عندما تُخلق العوالم أو تُفنى، مع أن العديد من رتب الكائنات تُستوعب أو تُنشأ.

النقوش الآسيوية المبكرة

نقش سامبور

أقدم استخدام موثق ومؤرخ للصفر كرقم عشري، وُجد في نقش سامبور. كُتب الرقم "605" بالأرقام الخميرية (أعلى)، مشيرًا إلى سنة صنعه: 605 من العصر الساكا (683 ميلادي). كانت هذه القطعة، المنقوشة باللغة الخميرية القديمة ، جزءًا من مدخل معبد، وقد عُثر عليها في مقاطعة كراتي ، كمبوديا .

توجد العديد من النقوش على ألواح النحاس التي تحمل نفس الحرف الصغير o ، بعضها ربما يعود تاريخه إلى القرن السادس، لكن تاريخها أو صحتها قد يكون موضع شك. ^{[ 33 ]}

عُثر على لوح حجري في أطلال معبد بالقرب من سامبور على نهر ميكونغ ، في مقاطعة كراتي ، كمبوديا ، يحمل نقشًا للرقم "605" بالأرقام الخميرية (وهي مجموعة من الرموز العددية لنظام الأرقام الهندوسي العربي ). يُمثل هذا الرقم سنة النقش في عصر ساكا ، الموافق لتاريخ 683 ميلادي. ^{[ 84 ]}

أول استخدام معروف للرموز الخاصة للأرقام العشرية والذي يتضمن الظهور الواضح لرمز الرقم صفر، وهو دائرة صغيرة، يظهر على نقش حجري تم العثور عليه في معبد تشاتوربهوج، جواليور ، في الهند، ويعود تاريخه إلى عام 876 ميلادي. ^{[ 85 ] [ 86 ]}

يُستخدم رمز الصفر، وهو عبارة عن نقطة سوداء، في جميع أنحاء مخطوطة بخشالي ، وهي دليل عملي في الحساب للتجار. وقد أفادت مكتبة بودليان بنتائج التأريخ بالكربون المشع لست صفحات من المخطوطة، مما يشير إلى أنها تعود إلى قرون مختلفة، لكنها تؤرخ المخطوطة إلى الفترة ما بين 799 و1102 ميلادي. ^{[ 75 ]}

في علم الحيوان المقارن وعلم الإدراك ، يؤدي إدراك أن بعض الحيوانات تُظهر وعيًا بمفهوم الصفر إلى استنتاج مفاده أن القدرة على التجريد العددي نشأت في وقت مبكر من تطور الأنواع. ^{[ 114 ]}

في التقويم الميلادي ، يُعتبر عام 1 قبل الميلاد هو العام الأول قبل عام 1 ميلادي؛ فلا يوجد عام يُسمى صفر . وعلى النقيض من ذلك، في الترقيم الفلكي للسنوات ، يُرقم عام 1 قبل الميلاد بالرقم 0، وعام 2 قبل الميلاد بالرقم -1، وهكذا. ^{[ 115 ]}