هوية إضافية

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، العنصر المحايد الجمعي لمجموعة مزودة بعملية الجمع هو عنصر إذا أُضيف إلى أي عنصر x في المجموعة، ينتج عنه x . أحد أكثر العناصر المحايدة الجمعية شيوعًا هو العدد 0 من الرياضيات الابتدائية ، ولكن العناصر المحايدة الجمعية تظهر في بنى رياضية أخرى تُعرَّف فيها عملية الجمع، مثل الزمر والحلقات .

أمثلة أولية

  • العنصر المحايد الجمعي المعروف من الرياضيات الابتدائية هو الصفر، ويرمز له بالرمز 0. على سبيل المثال،
    5+0=5=0+5.{\displaystyle 5+0=5=0+5.}
  • في الأعداد الطبيعيةشمال{\displaystyle \mathbb {N} }( إذا تم تضمين الصفر)، الأعداد الصحيحةZ،{\displaystyle \mathbb {Z} ,}الأعداد النسبية​​سؤال،{\displaystyle \mathbb {Q} ,}الأعداد الحقيقية​​R،{\displaystyle \mathbb {R} ,}والأعداد المركبة ​​ج،{\displaystyle \mathbb {C} ,}العنصر المحايد الجمعي هو 0. وهذا يعني أنه بالنسبة لعدد n ينتمي إلى أي من هذه المجموعات،
    ن+0=ن=0+ن.{\displaystyle n+0=n=0+n.}

التعريف الرسمي

لتكن N زمرة مغلقة تحت عملية الجمع ، ويرمز لها بـ + . العنصر المحايد الجمعي لـ N ، ويرمز له بـ e ، هو عنصر في N بحيث أنه لأي عنصر n في N ،

هـ+ن=ن=ن+هـ.{\displaystyle e+n=n=n+e.}

أمثلة أخرى

  • في المجموعة ، العنصر المحايد الجمعي هو العنصر المحايد للمجموعة، وغالبًا ما يُرمز له بالرقم 0، وهو فريد (انظر أدناه للإثبات).
  • الحلقة أو الحقل عبارة عن مجموعة تخضع لعملية الجمع، وبالتالي فإن لها عنصرًا محايدًا جمعيًا فريدًا هو صفر. ويُعرَّف هذا العنصر بأنه مختلف عن العنصر المحايد الضربي هو واحد إذا احتوت الحلقة (أو الحقل) على أكثر من عنصر واحد. إذا كان العنصر المحايد الجمعي والعنصر المحايد الضربي متطابقين، فإن الحلقة تكون تافهة (كما هو موضح أدناه).
  • في الحلقة M m × n ( R ) للمصفوفات من الرتبة m × n على حلقة R ، فإن العنصر المحايد الجمعي هو المصفوفة الصفرية، [ 1 ] ويرمز لها بـ O أو 0 ، وهي مصفوفة من الرتبة m × n تتكون عناصرها بالكامل من العنصر المحايد 0 في R. على سبيل المثال، في المصفوفات 2×2 على الأعداد الصحيحة ⁠م2⁡(Z){\displaystyle \operatorname {M} _{2}(\mathbb {Z} )}العنصر المحايد الجمعي هو
    0=[0000]{\displaystyle 0={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}
  • في الأعداد الرباعية ، يمثل الصفر العنصر المحايد الجمعي.
  • في حلقة الدوال من ⁠R→R{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }، الدالة التي تربط كل رقم بالصفر هي العنصر المحايد الجمعي.
  • في المجموعة الجمعية للمتجهات في​Rن،{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}المتجه الأصلي أو الصفري هو العنصر المحايد الجمعي.

ملكيات

الهوية الإضافية فريدة في المجموعة

ليكن ( G , +) زمرة، وليكن 0 و 0' في G كلاهما يدلان على العناصر المحايدّة الجمعية، لذلك لأي g في G ،

0+ز=ز=ز+0،0′+ز=ز=ز+0′.{\displaystyle 0+g=g=g+0,\qquad 0'+g=g=g+0'.}

ويترتب على ما سبق أن

0′=0′+0=0′+0=0.{\displaystyle {\color {green}0'}={\color {green}0'}+0=0'+{\color {red}0}={\color {red}0}.}

العنصر المحايد الجمعي يلغي عناصر الحلقة

في نظام يحتوي على عملية ضرب موزعة على الجمع، يكون العنصر المحايد الجمعي عنصرًا ممتصًا ضربيًا ، مما يعني أنه لأي عدد s في S ، فإن s · 0 = 0. وينتج هذا عن:

s⋅0=s⋅(0+0)=s⋅0+s⋅0⇒s⋅0=s⋅0-s⋅0⇒s⋅0=0.{\displaystyle {\begin{aligned}s\cdot 0&=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=s\cdot 0-s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=0.\end{aligned}}}

تختلف العناصر المحايدة الجمعية والضربية في حلقة غير تافهة

ليكن R حلقة، ولنفترض أن العنصر المحايد الجمعي 0 والعنصر المحايد الضربي 1 متساويان، أي 0  = 1. ليكن r أي عنصر من R. إذن

ر=ر×1=ر×0=0{\displaystyle r=r\times 1=r\times 0=0}

إثبات أن R تافهة، أي R = {0}. وبالتالي، يتم إثبات العكس الإيجابي ، وهو أنه إذا كانت R غير تافهة فإن 0 لا تساوي 1.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ وايسشتاين، إريك و. "الهوية الجمعية" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 7 سبتمبر 2020 .

فهرس

  • ديفيد إس. دوميت، ريتشارد إم. فوت، الجبر المجرد ، وايلي (الطبعة الثالثة): 2003، رقم ISBN 0-471-43334-9.