رقم

الرقم هو كائن رياضي يستخدم للعد والقياس والتسمية]]. الأمثلة الأكثر أساسية هي الأرقام الطبيعية 1 و2 و3 و4 وما إلى ذلك. ^[1] يمكن تمثيل الأرقام في اللغة بكلمات رقمية]. وبشكل أكثر عمومية، يمكن تمثيل الأرقام الفردية برموز تسمى الأرقام ؛ على سبيل المثال، "5" هو رقم يمثل الرقم خمسة. ونظرًا لأنه لا يمكن حفظ سوى عدد صغير نسبيًا من الرموز، فإن الأرقام الأساسية تُنظم عادةً في نظام رقمي ، وهي طريقة منظمة لتمثيل أي رقم. نظام الأرقام الأكثر شيوعًا هو نظام الأرقام الهندوسي العربي ، والذي يسمح بتمثيل أي عدد صحيح غير سلبي باستخدام مجموعة من عشرة رموز رقمية أساسية تسمى الأرقام . ^{[2] [أ]} بالإضافة إلى استخدامها في العد والقياس، غالبًا ما تُستخدم الأرقام للتسميات (كما هو الحال مع أرقام الهواتف)، وللترتيب (كما هو الحال مع الأرقام التسلسلية )، وللرموز (كما هو الحال مع أرقام ISBN ). في الاستخدام الشائع، لا يتم التمييز بشكل واضح بين الرقم والرقم الذي يمثله.

في الرياضيات، تم توسيع مفهوم العدد على مر القرون ليشمل الصفر (0)، ^[3] والأعداد السالبة ، ^[4] والأعداد النسبية مثل النصف ، والأعداد الحقيقية مثل الجذر التربيعي لـ 2 و π ، ^[5] والأعداد المركبة ^[6] التي توسع الأعداد الحقيقية بجذر تربيعي لـ −1 (وتوليفاتها مع الأعداد الحقيقية عن طريق إضافة أو طرح مضاعفاتها). [ ^4] تتم العمليات الحسابية بالأعداد من خلال العمليات الحسابية، وأكثرها شيوعًا هي الجمع والطرح والضرب والقسمة والأس . تُسمى دراستها أو استخدامها الحساب ، وهو مصطلح قد يشير أيضًا إلى نظرية الأعداد ، دراسة خصائص الأعداد .${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\sqrt {2}}\right)}$

بالإضافة إلى استخداماتها العملية، فإن الأرقام لها أهمية ثقافية في جميع أنحاء العالم. ^{[7] [8]} على سبيل المثال، في المجتمع الغربي، غالبًا ما يُنظر إلى الرقم 13 على أنه رقم سيئ الحظ ، وقد يشير " مليون " إلى "الكثير" بدلاً من الكمية الدقيقة. ^[7] على الرغم من اعتباره الآن علمًا زائفًا ، إلا أن الاعتقاد بالأهمية الصوفية للأرقام، والمعروفة باسم علم الأعداد ، قد تغلغل في الفكر القديم والعصور الوسطى. ^[9] أثر علم الأعداد بشكل كبير على تطور الرياضيات اليونانية ، مما حفز التحقيق في العديد من المشاكل في نظرية الأعداد والتي لا تزال موضع اهتمام اليوم. ^[9]

خلال القرن التاسع عشر، بدأ علماء الرياضيات في تطوير العديد من التجريدات المختلفة التي تشترك في خصائص معينة للأعداد، ويمكن اعتبارها امتدادًا للمفهوم. ومن بين أولها الأعداد الفائقة التعقيد ، والتي تتكون من امتدادات أو تعديلات مختلفة لنظام الأعداد المركبة . في الرياضيات الحديثة، تعتبر أنظمة الأعداد أمثلة خاصة مهمة للهياكل الجبرية الأكثر عمومية مثل الحلقات والحقول ، وتطبيق مصطلح "العدد" هو مسألة اتفاقية، دون أهمية أساسية. [ ^10]

تم اكتشاف عظام وتحف أخرى عليها علامات محفورة يعتقد الكثيرون أنها علامات إحصاء . ^[11] ربما تم استخدام هذه العلامات الإحصاءية لحساب الوقت المنقضي، مثل عدد الأيام أو الدورات القمرية أو الاحتفاظ بسجلات الكميات، مثل الحيوانات.

لا يتضمن نظام العد مفهوم القيمة المكانية (كما هو الحال في التدوين العشري الحديث )، مما يحد من تمثيله للأعداد الكبيرة. ومع ذلك، تعتبر أنظمة العد أول نوع من أنظمة الأرقام المجردة.

كان أول نظام معروف للقيمة المكانية هو نظام بلاد ما بين النهرين الأساسي 60 ( حوالي  3400  قبل الميلاد) وأقدم نظام أساسي معروف يعود تاريخه إلى 3100 قبل الميلاد في مصر . ^[12]

يجب التمييز بين الأرقام والأرقام الرقمية، وهي الرموز المستخدمة لتمثيل الأرقام. اخترع المصريون أول نظام أرقام مشفر، وتبعهم اليونانيون من خلال رسم أرقام العد الخاصة بهم على الأبجدية الأيونية والدورية. ^[13] ظلت الأرقام الرومانية، وهو نظام يستخدم مجموعات من الأحرف من الأبجدية الرومانية، مهيمنًا في أوروبا حتى انتشار نظام الأرقام الهندوسي العربي المتفوق في أواخر القرن الرابع عشر، ويظل نظام الأرقام الهندوسي العربي هو النظام الأكثر شيوعًا لتمثيل الأرقام في العالم اليوم. ^{[14] [ مصدر أفضل مطلوب ]} كان مفتاح فعالية النظام هو رمز الصفر ، الذي طوره علماء الرياضيات الهنود القدماء حوالي عام 500 بعد الميلاد. ^[14]

This section needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this section. Unsourced material may be challenged and removed. (November 2022) (Learn how and when to remove this message)

يعود أول استخدام موثق معروف للصفر إلى عام 628 م، وظهر في كتاب براهماسفوتاسيدانتا ، وهو العمل الرئيسي لعالم الرياضيات الهندي براهماجوبتا . وقد تعامل مع الصفر باعتباره رقمًا وناقش العمليات التي تتضمنه، بما في ذلك القسمة . وبحلول هذا الوقت (القرن السابع) وصل المفهوم بوضوح إلى كمبوديا كأرقام خميرية ، وتُظهر الوثائق أن الفكرة انتشرت لاحقًا إلى الصين والعالم الإسلامي .

يعتبر كتاب براهما جوبتا "براهما سفوتا سيدهانتا" أول كتاب يذكر الصفر كرقم، وبالتالي يعتبر براهما جوبتا عادةً أول من صاغ مفهوم الصفر. وقد وضع قواعد لاستخدام الصفر مع الأرقام السالبة والموجبة، مثل "الصفر زائد رقم موجب هو رقم موجب، والرقم السالب زائد الصفر هو رقم سالب". يعتبر كتاب براهما سفوتا سيدهانتا أقدم نص معروف يعامل الصفر كرقم في حد ذاته، وليس مجرد رقم بديل يمثل رقمًا آخر كما فعل البابليون أو كرمز لعدم وجود كمية كما فعل بطليموس والرومان.

يجب التمييز بين استخدام 0 كرقم واستخدامه كرقم بديل في أنظمة القيمة المكانية . استخدمت العديد من النصوص القديمة الرقم 0. استخدمته النصوص البابلية والمصرية. استخدم المصريون كلمة nfr للإشارة إلى الرصيد الصفري في المحاسبة ذات القيد المزدوج . استخدمت النصوص الهندية كلمة سنسكريتية Shunye أو shunya للإشارة إلى مفهوم الفراغ . في نصوص الرياضيات، تشير هذه الكلمة غالبًا إلى الرقم صفر. ^[15] وعلى نحو مماثل، استخدم بانيني (القرن الخامس قبل الميلاد) عامل الصفر (الصفر) في Ashtadhyayi ، وهو مثال مبكر لقواعد اللغة الجبرية للغة السنسكريتية (انظر أيضًا Pingala ).

هناك استخدامات أخرى للصفر قبل براهماجوبتا، على الرغم من أن الوثائق ليست كاملة كما هي في براهماسوبوتاسيدانتا .

تشير السجلات إلى أن الإغريق القدماء بدوا غير متأكدين من وضع الصفر كرقم: فقد سألوا أنفسهم "كيف يمكن لـ"لا شيء" أن يكون شيئًا؟" مما أدى إلى نقاشات فلسفية مثيرة للاهتمام ، وبحلول العصور الوسطى، نقاشات دينية حول طبيعة ووجود الصفر والفراغ. وتعتمد مفارقات زينون الإيلي جزئيًا على التفسير غير المؤكد للصفر. (حتى أن الإغريق القدماء شككوا في كون  الواحد عددًا).

بدأ شعب الأولمك المتأخر في جنوب وسط المكسيك في استخدام رمز للصفر، وهو رمز صدفي ، في العالم الجديد، ربما بحلول القرن الرابع قبل الميلاد ولكن بالتأكيد بحلول عام 40 قبل الميلاد، والذي أصبح جزءًا لا يتجزأ من أرقام المايا وتقويم المايا . استخدم علم الحساب المايا القاعدة 4 والقاعدة 5 المكتوبة على أنها القاعدة 20. أبلغ جورج الأول سانشيز في عام 1961 عن وجود عداد "إصبع" قاعدته 4 وقاعدة 5. ^{[16] [ بحاجة لمصدر أفضل ]}

بحلول عام 130 بعد الميلاد، كان بطليموس ، متأثرًا بهيبارخوس والبابليين، يستخدم رمزًا للرقم 0 (دائرة صغيرة بخط طويل) داخل نظام رقمي ستيني أو يستخدم أرقامًا يونانية أبجدية . ولأنه استُخدم بمفرده، وليس مجرد عنصر نائب، كان هذا الصفر الهلنستي هو أول استخدام موثق لصفر حقيقي في العالم القديم. في المخطوطات البيزنطية اللاحقة لكتابه Syntaxis Mathematica ( Almagest )، تحول الصفر الهلنستي إلى الحرف اليوناني Omicron (الذي يعني بخلاف ذلك 70).

تم استخدام صفر حقيقي آخر في الجداول جنبًا إلى جنب مع الأرقام الرومانية بحلول عام 525 (أول استخدام معروف من قبل ديونيسيوس إكسيجوس )، ولكن ككلمة، nulla وتعني لا شيء ، وليس كرمز. عندما أنتج القسمة 0 كباقي، تم استخدام nihil ، والتي تعني أيضًا لا شيء . تم استخدام هذه الأصفار في العصور الوسطى من قبل جميع حاسبي العصور الوسطى المستقبليين (حاسبات عيد الفصح). تم استخدام استخدام معزول لحرفهم الأولي، N، في جدول للأرقام الرومانية بواسطة بيدي أو زميل له حوالي عام 725، وهو رمز صفر حقيقي.

تم التعرف على المفهوم المجرد للأرقام السالبة في وقت مبكر من 100-50 قبل الميلاد في الصين. تحتوي الفصول التسعة في الفن الرياضي على طرق لإيجاد مساحات الأشكال؛ تم استخدام قضبان حمراء للإشارة إلى المعاملات الإيجابية ، والأسود للسلبية. ^[17] كان أول مرجع في عمل غربي في القرن الثالث الميلادي في اليونان. أشار ديوفانتوس إلى المعادلة المكافئة لـ 4 × + 20 = 0 (الحل سلبي) في Arithmetica ، قائلاً إن المعادلة أعطت نتيجة سخيفة.

خلال القرن السابع، كانت الأرقام السالبة مستخدمة في الهند لتمثيل الديون. وقد ناقش عالم الرياضيات الهندي براهماجوبتا الإشارة السابقة لديوفانتوس بشكل أكثر وضوحًا ، في كتابه براهماسوبوتاسيدانتا عام 628، والذي استخدم الأرقام السالبة لإنتاج الصيغة التربيعية العامة التي لا تزال مستخدمة حتى اليوم. ومع ذلك، في القرن الثاني عشر في الهند، أعطى بهاسكارا جذورًا سالبة للمعادلات التربيعية لكنه قال إن القيمة السالبة "لا ينبغي أخذها في هذه الحالة، لأنها غير كافية؛ فالناس لا يوافقون على الجذور السالبة".

قاوم علماء الرياضيات الأوروبيون، في الغالب، مفهوم الأرقام السالبة حتى القرن السابع عشر، على الرغم من أن فيبوناتشي سمح بالحلول السلبية في المشاكل المالية حيث يمكن تفسيرها على أنها ديون (الفصل 13 من Liber Abaci ، 1202) ولاحقًا كخسائر (في Flos ). أطلق عليها رينيه ديكارت جذورًا زائفة حيث ظهرت في كثيرات الحدود الجبرية، لكنه وجد طريقة لمبادلة الجذور الحقيقية والجذور الزائفة أيضًا. في الوقت نفسه، كان الصينيون يشيرون إلى الأرقام السالبة عن طريق رسم خط قطري عبر الرقم الأيمن غير الصفري لرقم الرقم الموجب المقابل. ^[18] كان أول استخدام للأرقام السالبة في عمل أوروبي من قبل نيكولاس تشوكيت خلال القرن الخامس عشر. استخدمها كأسس ، لكنه أشار إليها على أنها "أرقام سخيفة".

حتى القرن الثامن عشر، كان من الشائع تجاهل أي نتائج سلبية تنتج عن المعادلات على افتراض أنها لا معنى لها.

من المرجح أن يعود مفهوم الأعداد الكسرية إلى عصور ما قبل التاريخ . استخدم المصريون القدماء تدوين الكسور المصرية للأعداد النسبية في النصوص الرياضية مثل بردية ريند الرياضية وبردية كاهون . أجرى علماء الرياضيات اليونانيون والهنود الكلاسيكيون دراسات على نظرية الأعداد النسبية، كجزء من الدراسة العامة لنظرية الأعداد . ^[19] وأشهرها هو كتاب العناصر لإقليدس ، والذي يرجع تاريخه إلى حوالي 300 قبل الميلاد. من بين النصوص الهندية، الأكثر صلة هو سوترا ستانانجا ، والذي يغطي أيضًا نظرية الأعداد كجزء من دراسة عامة للرياضيات.

يرتبط مفهوم الكسور العشرية ارتباطًا وثيقًا بتدوين القيمة المكانية العشرية؛ ويبدو أن الاثنين قد تطورا جنبًا إلى جنب. على سبيل المثال، من الشائع أن تتضمن سورة الرياضيات الجينية حسابات تقريبية للكسور العشرية إلى باي أو الجذر التربيعي لـ 2. ^{[ بحاجة لمصدر ]} وبالمثل، استخدمت نصوص الرياضيات البابلية الكسور الستينية (القاعدة 60) بتكرار كبير.

كان أقدم استخدام معروف للأعداد غير النسبية في كتاب سولبا سوترا الهندي الذي ألف بين عامي 800 و500 قبل الميلاد. ^{[20] [ بحاجة لمصدر أفضل ]} تُنسب أول أدلة وجود الأعداد غير النسبية عادةً إلى فيثاغورس ، وبشكل أكثر تحديدًا إلى فيثاغورس هيباسوس من ميتابونتوم ، الذي قدم دليلاً (على الأرجح هندسيًا) لعدم منطقية الجذر التربيعي لـ 2. تقول القصة أن هيباسوس اكتشف الأعداد غير النسبية عندما حاول تمثيل الجذر التربيعي لـ 2 على هيئة كسر. ومع ذلك، كان فيثاغورس يؤمن بحقيقة الأعداد، ولم يستطع قبول وجود الأعداد غير النسبية. لم يستطع دحض وجودها من خلال المنطق، لكنه لم يستطع قبول الأعداد غير النسبية، وبالتالي، وفقًا لما يُزعم ويُقال كثيرًا، حكم على هيباسوس بالإعدام غرقًا، لمنع انتشار هذه الأخبار المزعجة. ^{[21] [ بحاجة لمصدر أفضل ]}

جلب القرن السادس عشر القبول الأوروبي النهائي للأعداد الصحيحة السالبة والكسرية. وبحلول القرن السابع عشر، استخدم علماء الرياضيات عمومًا الكسور العشرية مع التدوين الحديث. ومع ذلك، لم يكن حتى القرن التاسع عشر أن فصل علماء الرياضيات الأعداد غير النسبية إلى أجزاء جبرية ومتعالية، وقاموا مرة أخرى بالدراسة العلمية للأعداد غير النسبية. ظلت خاملة تقريبًا منذ إقليدس . في عام 1872، تم نشر نظريات كارل ويرستراس (من قبل تلميذه إي. كوساك)، وإدوارد هاينه ، ^[22] وجورج كانتور ، ^[23] وريتشارد ديديكيند ^[24] . في عام 1869، اتخذ تشارلز ميراي نفس نقطة الانطلاق التي انطلق منها هاينه، ولكن يُشار إلى النظرية عمومًا باسم عام 1872. وقد وضع سلفاتوري بينشرل (1880) طريقة فايرستراس بالكامل، وحظيت طريقة ديديكيند بشهرة إضافية من خلال عمل المؤلف اللاحق (1888) وتأييد بول تانيري (1894). يؤسس فايرستراس وكانتور وهاينه نظرياتهم على سلسلة لا نهائية، بينما يؤسس ديديكيند نظريته على فكرة القطع (شنيت) في نظام الأعداد الحقيقية ، وفصل جميع الأعداد النسبية إلى مجموعتين لهما خصائص مميزة معينة. تلقى الموضوع مساهمات لاحقة على أيدي فايرستراس وكرونيكر [ ^25] وميراي.

كان البحث عن جذور المعادلات الخماسية والدرجات الأعلى تطورًا مهمًا، فقد أظهرت نظرية آبل-روفيني ( روفيني 1799، آبل 1824) أنه لا يمكن حلها بالجذور (الصيغ التي تنطوي فقط على العمليات الحسابية والجذور). وبالتالي كان من الضروري النظر في المجموعة الأوسع من الأرقام الجبرية (جميع حلول المعادلات متعددة الحدود). ربط جالوا (1832) المعادلات متعددة الحدود بنظرية المجموعة مما أدى إلى ظهور مجال نظرية جالوا .

حظيت الكسور المستمرة ، التي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالأعداد غير النسبية (وبسبب كاتالدي، 1613)، باهتمام على يد أويلر ، ^[26] وفي بداية القرن التاسع عشر برزت من خلال كتابات جوزيف لويس لاجرانج . كما قدم دروكنمولر (1837)، وكونزي (1857)، ولمكي (1870)، وجونتر (1872) مساهمات أخرى جديرة بالملاحظة. ربط راموس ^[27] الموضوع أولاً بالمحددات ، مما أدى، مع المساهمات اللاحقة لهينه، ^[28] وموبيوس ، وجونتر، ^[29] إلى نظرية محددات كيتنبروخ .

تم إثبات وجود الأعداد المتعالية ^{[30] لأول مرة بواسطة} ليوفيل (1844، 1851). أثبت هيرميت في عام 1873 أن e متعالية وأثبت ليندمان في عام 1882 أن π متعالية. أخيرًا، أظهر كانتور أن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية لا نهائية بشكل لا حصر له ولكن مجموعة جميع الأعداد الجبرية لا نهائية بشكل لا حصر له ، لذلك يوجد عدد لا حصر له من الأعداد المتعالية.

يظهر أقدم مفهوم معروف لللانهاية الرياضية في ياجور فيدا ، وهو نص هندي قديم، والذي ينص في إحدى النقاط على أنه "إذا أزلت جزءًا من اللانهاية أو أضفت جزءًا إلى اللانهاية، فما يبقى هو اللانهاية". كانت اللانهاية موضوعًا شائعًا للدراسة الفلسفية بين علماء الرياضيات الجينيين حوالي عام 400 قبل الميلاد. لقد ميزوا بين خمسة أنواع من اللانهاية: لانهائي في اتجاه واحد واتجاهين، ولانهائي في المنطقة، ولانهائي في كل مكان، ولانهائي إلى الأبد. غالبًا ما يستخدم الرمز لتمثيل كمية لا نهائية. ${\displaystyle {\text{∞}}}$

لقد عرّف أرسطو المفهوم الغربي التقليدي لللانهاية الرياضية. لقد ميز بين اللانهاية الفعلية واللانهاية المحتملة - وكان الإجماع العام على أن اللانهاية المحتملة فقط هي التي لها قيمة حقيقية. ناقش كتاب جاليليو جاليلي " علمان جديدان " فكرة التطابقات الفردية بين المجموعات اللانهائية. لكن التقدم الرئيسي التالي في النظرية كان من قبل جورج كانتور ؛ في عام 1895 نشر كتابًا عن نظريته الجديدة للمجموعات ، حيث قدم ، من بين أمور أخرى ، الأعداد غير المحدودة وصاغ فرضية المتصل .

في ستينيات القرن العشرين، أظهر أبراهام روبنسون كيف يمكن تعريف الأعداد اللانهائية الكبيرة والصغيرة بدقة واستخدامها لتطوير مجال التحليل غير القياسي. يمثل نظام الأعداد الفائقة الواقعية طريقة صارمة لمعالجة الأفكار حول الأعداد اللانهائية والصغيرة التي استخدمها علماء الرياضيات والعلماء والمهندسون بشكل عرضي منذ اختراع حساب التفاضل والتكامل اللانهائي بواسطة نيوتن ولايبنتز .

تُعطى نسخة هندسية حديثة من اللانهاية من خلال الهندسة الإسقاطية ، والتي تقدم "نقاطًا مثالية عند اللانهاية"، واحدة لكل اتجاه مكاني. يُفترض أن تتقارب كل عائلة من الخطوط المتوازية في اتجاه معين إلى النقطة المثالية المقابلة. يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا بفكرة نقاط التلاشي في الرسم المنظوري .

ظهرت أقدم إشارة عابرة للجذور التربيعية للأعداد السالبة في أعمال عالم الرياضيات والمخترع هيرون الإسكندري في القرن الأول الميلادي ، عندما درس حجم مجسم ناقص مستحيل للهرم . أصبحت أكثر بروزًا عندما اكتشف علماء الرياضيات الإيطاليون مثل نيكولو فونتانا تارتاجليا وجيرولامو كاردانو في القرن السادس عشر صيغًا مغلقة لجذور كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة والرابعة . سرعان ما أدرك الناس أن هذه الصيغ، حتى لو كان المرء مهتمًا بالحلول الحقيقية فقط، تتطلب أحيانًا التلاعب بالجذور التربيعية للأعداد السالبة.

كان هذا الأمر مزعجًا بشكل مضاعف لأنهم لم يعتبروا حتى الأرقام السالبة على أرض صلبة في ذلك الوقت. عندما صاغ رينيه ديكارت مصطلح "تخيلي" لهذه الكميات في عام 1637، كان يقصد به الازدراء. (انظر العدد الخيالي لمناقشة "حقيقة" الأعداد المركبة). كان مصدر آخر للارتباك هو أن المعادلة

${\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$

يبدو أنه غير متسق بشكل متقلب مع الهوية الجبرية

${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}$

وهو صالح للأعداد الحقيقية الموجبة a و b ، كما استُخدم أيضًا في حسابات الأعداد المركبة حيث يكون أحد الأعداد a و b موجبًا والآخر سالبًا. الاستخدام غير الصحيح لهذه الهوية، والهوية المرتبطة بها

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$

في الحالة التي يكون فيها كل من a و b سلبيين، حتى أويلر يزعجه . ^[31] أدت هذه الصعوبة في النهاية إلى اتفاقية استخدام الرمز الخاص i بدلاً من للحماية من هذا الخطأ. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

شهد القرن الثامن عشر أعمال أبراهام دي موافر وليونهارد أويلر . تنص صيغة دي موافر (1730) على ما يلي:

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }$

في حين أن صيغة أويلر للتحليل المركب (1748) أعطتنا:

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.}$

لم يتم قبول وجود الأعداد المركبة بشكل كامل حتى وصف كاسبار ويسل التفسير الهندسي في عام 1799. أعاد كارل فريدريش جاوس اكتشافه ونشره بعد عدة سنوات، ونتيجة لذلك تلقت نظرية الأعداد المركبة توسعًا ملحوظًا. ومع ذلك، ظهرت فكرة التمثيل البياني للأعداد المركبة في وقت مبكر من عام 1685، في كتاب واليس De algebra tractatus .

في نفس العام، قدم غاوس أول دليل مقبول بشكل عام للنظرية الأساسية في الجبر ، حيث أظهر أن كل كثيرة حدود على الأعداد المركبة لها مجموعة كاملة من الحلول في هذا المجال. درس غاوس الأعداد المركبة من النموذج a + bi ، حيث a و b أعداد صحيحة (تسمى الآن الأعداد الصحيحة الغوسية ) أو أعداد نسبية. درس تلميذه، جوتهولد آيزنشتاين ، النوع a + bω ، حيث ω هو جذر مركب لـ x ³ − 1 = 0 (تسمى الآن أعداد آيزنشتاين الصحيحة ). تشتق فئات أخرى من الأعداد المركبة (تسمى الحقول الدائرية ) من جذور الوحدة x ^k − 1 = 0 للقيم الأعلى لـ k . يرجع هذا التعميم إلى حد كبير إلى إرنست كومر ، الذي اخترع أيضًا الأعداد المثالية ، والتي تم التعبير عنها ككيانات هندسية بواسطة فيليكس كلاين في عام 1893.

في عام 1850 اتخذ فيكتور ألكسندر بويزو الخطوة الأساسية في التمييز بين الأقطاب ونقاط الفروع، وقدم مفهوم النقاط المفردة الأساسية . ^{[ يحتاج إلى توضيح ]} أدى هذا في النهاية إلى مفهوم المستوى المركب الممتد .

لقد تمت دراسة الأعداد الأولية عبر التاريخ المسجل. ^{[ بحاجة لمصدر ]} وهي أعداد صحيحة موجبة لا تقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسها. خصص إقليدس كتابًا واحدًا من كتاب العناصر لنظرية الأعداد الأولية؛ حيث أثبت فيه لانهائيات الأعداد الأولية والنظرية الأساسية للحساب ، كما قدم خوارزمية إقليدس لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين.

في عام 240 قبل الميلاد، استخدم إراتوستينس منخل إراتوستينس لعزل الأعداد الأولية بسرعة. لكن معظم التطورات اللاحقة لنظرية الأعداد الأولية في أوروبا تعود إلى عصر النهضة والعصور اللاحقة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

في عام 1796، افترض أدريان ماري ليجاندر نظرية الأعداد الأولية ، التي تصف التوزيع المقارب للأعداد الأولية. تشمل النتائج الأخرى المتعلقة بتوزيع الأعداد الأولية إثبات أويلر أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية يتباعد، وتخمين جولدباخ ، الذي يدعي أن أي عدد زوجي كبير بما فيه الكفاية هو مجموع عددين أوليين. هناك تخمين آخر يتعلق بتوزيع الأعداد الأولية وهو فرضية ريمان ، التي صاغها برنهارد ريمان في عام 1859. أثبت جاك هادامارد وتشارلز دي لا فالي بوسان نظرية الأعداد الأولية أخيرًا في عام 1896. تظل تخمينات جولدباخ وريمان غير مثبتة وغير مدحضة.

يمكن تصنيف الأعداد إلى مجموعات تسمى مجموعات الأعداد أو أنظمة الأعداد ، مثل الأعداد الطبيعية والأعداد الحقيقية . أنظمة الأعداد الرئيسية هي كما يلي:

أنظمة الأعداد الرئيسية

رمز	اسم	أمثلة/شرح
${\displaystyle \mathbb {N} }$	الأعداد الطبيعية	0، 1، 2، 3، 4، 5، ... أو 1، 2، 3، 4، 5، ... ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$أو يتم استخدامها في بعض الأحيان. ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	الأعداد الصحيحة	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
${\displaystyle \mathbb {Q} }$	الأعداد النسبية	⁠أ/بحيث أن a و b عددان صحيحان و b ليس 0
${\displaystyle \mathbb {R} }$	الأعداد الحقيقية	حد المتوالية المتقاربة للأعداد النسبية
${\displaystyle \mathbb {C} }$	الأعداد المركبة	a + bi حيث a و b هما عددان حقيقيان و i هو الجذر التربيعي الرسمي لـ −1

كل من أنظمة الأعداد هذه عبارة عن مجموعة فرعية من النظام التالي. على سبيل المثال، العدد النسبي هو أيضًا عدد حقيقي، وكل عدد حقيقي هو أيضًا عدد مركب. ويمكن التعبير عن ذلك رمزيًا على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$.

تظهر قائمة أكثر اكتمالاً لمجموعات الأرقام في الرسم التخطيطي التالي.

أنظمة الأعداد معقد ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ حقيقي ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$ عاقِل ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$ عدد صحيح ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ طبيعي ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ صفر : 0 واحد : 1 الأعداد الأولية الأرقام المركبة الأعداد الصحيحة السالبة جزء عدد عشري منته ثنائي (منتهٍ) تكرار العشرية غير عقلاني جبري غير نسبي فترة غير منطقية متسامي خيالي

الأرقام الأكثر شيوعًا هي الأرقام الطبيعية (تسمى أحيانًا أرقامًا صحيحة أو أرقام عد): 1، 2، 3، وما إلى ذلك. تقليديًا، بدأت سلسلة الأرقام الطبيعية بالرقم 1 (لم يكن 0 يُعتبر رقمًا حتى بالنسبة لليونانيين القدماء). ومع ذلك، في القرن التاسع عشر، بدأ علماء نظرية المجموعات وعلماء الرياضيات الآخرون في تضمين 0 ( عدد عناصر المجموعة الفارغة ، أي 0 عناصر، حيث يكون 0 بالتالي أصغر عدد أساسي ) في مجموعة الأرقام الطبيعية. ^{[32] [33]} اليوم، يستخدم علماء الرياضيات المختلفون المصطلح لوصف كلتا المجموعتين، بما في ذلك 0 أم لا. الرمز الرياضي لمجموعة جميع الأرقام الطبيعية هو N ، ويُكتب أيضًا ، وأحيانًا أو عندما يكون من الضروري الإشارة إلى ما إذا كانت المجموعة يجب أن تبدأ بـ 0 أو 1 على التوالي. ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$

في نظام الأرقام الأساسي 10 ، والذي يُستخدم عالميًا تقريبًا اليوم في العمليات الحسابية، تُكتب رموز الأعداد الطبيعية باستخدام عشرة أرقام : 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، و9. الرقم الأساسي أو القاعدة هو عدد الأرقام الفريدة، بما في ذلك الصفر، التي يستخدمها نظام الأرقام لتمثيل الأرقام (بالنسبة للنظام العشري، الرقم الأساسي هو 10). في نظام الأرقام الأساسي 10 هذا، يكون للرقم الأيمن من الرقم الطبيعي قيمة مكانية تساوي 1، ويكون لكل رقم آخر قيمة مكانية تساوي عشرة أضعاف القيمة المكانية للرقم الموجود على يمينه.

في نظرية المجموعات ، والتي يمكن أن تعمل كأساس بديهي للرياضيات الحديثة، ^[34] يمكن تمثيل الأعداد الطبيعية بفئات من المجموعات المكافئة. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الرقم 3 كفئة لجميع المجموعات التي تحتوي على ثلاثة عناصر بالضبط. بدلاً من ذلك، في حسابيات بيانو ، يتم تمثيل الرقم 3 على أنه sss0، حيث s هي الدالة "الخليفة" (أي أن 3 هو الخليفة الثالث لـ 0). هناك العديد من التمثيلات المختلفة الممكنة؛ كل ما هو مطلوب لتمثيل 3 رسميًا هو نقش رمز معين أو نمط من الرموز ثلاث مرات.

يُعرَّف السالب للعدد الصحيح الموجب بأنه رقم ينتج 0 عند إضافته إلى العدد الصحيح الموجب المقابل. تُكتب الأعداد السالبة عادةً بعلامة سالبة ( علامة ناقص ). على سبيل المثال، يُكتب السالب للعدد 7 على هيئة −7، و 7 + (−7) = 0. عندما تُدمج مجموعة الأعداد السالبة مع مجموعة الأعداد الطبيعية (بما في ذلك 0)، تُعرَّف النتيجة بأنها مجموعة الأعداد الصحيحة ، Z تُكتب أيضًا . هنا يأتي الحرف Z من الكلمة الألمانية Zahl  "عدد". تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة حلقة مع عمليتي الجمع والضرب. ^[35]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

تشكل الأعداد الطبيعية مجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة. ونظرًا لعدم وجود معيار مشترك لإدراج الصفر أو عدم إدراجه في الأعداد الطبيعية، فإن الأعداد الطبيعية التي لا تحتوي على صفر تُسمى عادةً بالأعداد الصحيحة الموجبة ، والأعداد الطبيعية التي تحتوي على صفر تُسمى بالأعداد الصحيحة غير السلبية .

العدد النسبي هو عدد يمكن التعبير عنه ككسر له بسط صحيح ومقام صحيح موجب. يُسمح بالمقامات السالبة، ولكن يتم تجنبها عادةً، حيث أن كل عدد نسبي يساوي كسرًا له مقام موجب. تُكتب الكسور كعددين صحيحين، البسط والمقام، مع وجود شريط فاصل بينهما. الكسر ⁠م/نيمثل m جزءًا من الكل مقسمًا إلى n جزءًا متساويًا. قد يتوافق كسران مختلفان مع نفس العدد النسبي؛ على سبيل المثال1/2و ⁠​2/4متساويان ، أي:

${\displaystyle {1 \over 2}={2 \over 4}.}$

على العموم،

${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle {a\times d}={c\times b}.}$

إذا كانت القيمة المطلقة لـ m أكبر من n (من المفترض أن تكون موجبة)، فإن القيمة المطلقة للكسر تكون أكبر من 1. يمكن أن تكون الكسور أكبر من 1 أو أقل منه أو تساويه، ويمكن أن تكون موجبة أو سالبة أو 0. تتضمن مجموعة جميع الأعداد النسبية الأعداد الصحيحة حيث يمكن كتابة كل عدد صحيح ككسر بمقام 1. على سبيل المثال، يمكن كتابة  −7-7/1. الرمز للأعداد النسبية هو Q ( للحاصل )، ويكتب أيضًا .${\displaystyle \mathbb {Q} }$

الرمز للأعداد الحقيقية هو R ، ويُكتب أيضًا على النحو التالي: وهي تشمل جميع أرقام القياس. يتوافق كل عدد حقيقي مع نقطة على خط الأعداد . ستركز الفقرة التالية بشكل أساسي على الأعداد الحقيقية الموجبة. تتم معالجة الأعداد الحقيقية السالبة وفقًا للقواعد العامة للحساب، ودلالتها ببساطة هي وضع بادئة للرقم الموجب المقابل بعلامة ناقص ، على سبيل المثال −123.456. ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

لا يمكن تقريب أغلب الأعداد الحقيقية إلا باستخدام الأعداد العشرية ، حيث توضع نقطة عشرية على يمين الرقم الذي قيمته المكانية 1. كل رقم على يمين النقطة العشرية له قيمة مكانية تساوي عُشر القيمة المكانية للرقم على يساره. على سبيل المثال، يمثل 123.456123456/1000⁠ أو، بالكلمات، مائة، وعشرتان، وثلاثة آحاد، وأربعة أعشار، وخمسمائة، وستة آلاف. لا يمكن التعبير عن عدد حقيقي بعدد محدود من الأرقام العشرية إلا إذا كان عددًا نسبيًا وكان الجزء الكسري منه له مقام تكون عوامله الأولية 2 أو 5 أو كليهما، لأن هذه هي العوامل الأولية للعدد 10، وهو أساس النظام العشري. وبالتالي، على سبيل المثال، فإن النصف يساوي 0.5، والخمس يساوي 0.2، والعشر يساوي 0.1، والخمسون يساوي 0.02. يتطلب تمثيل الأعداد الحقيقية الأخرى كأعداد عشرية تسلسلًا لا نهائيًا من الأرقام إلى يمين الفاصلة العشرية. إذا اتبع هذا التسلسل اللانهائي من الأرقام نمطًا، فيمكن كتابته بنقاط حذف أو أي تدوين آخر يشير إلى النمط المتكرر. يُطلق على مثل هذا العدد العشري اسم العدد العشري المتكرر . وبالتالي ⁠1/3يمكن كتابتها على هيئة 0.333...، مع وضع علامة حذف للإشارة إلى استمرار النمط. كما تُكتب الأرقام 3 المتكررة إلى الأبد على هيئة 0. 3. [ ^36]

اتضح أن هذه الكسور العشرية المتكررة (بما في ذلك تكرار الأصفار ) تشير بالضبط إلى الأعداد النسبية، أي أن جميع الأعداد النسبية هي أيضًا أعداد حقيقية، ولكن ليس كل عدد حقيقي نسبي. يُطلق على العدد الحقيقي الذي ليس نسبيًا اسم غير نسبي. أحد الأعداد الحقيقية غير النسبية الشهيرة هو π ، نسبة محيط أي دائرة إلى قطرها . عندما يُكتب π على النحو التالي

${\displaystyle \pi =3.14159265358979\dots ,}$

كما هو الحال أحيانًا، فإن الحذف لا يعني تكرار الكسور العشرية (وهي لا تتكرر)، بل يعني أنه لا نهاية لها. وقد ثبت أن π عدد غير نسبي . وهناك رقم آخر معروف، ثبت أنه عدد حقيقي غير نسبي، وهو

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,}$

الجذر التربيعي لـ 2 ، أي العدد الحقيقي الموجب الوحيد الذي مربعه يساوي 2. تم تقريب هذين الرقمين (بواسطة الكمبيوتر) إلى تريليونات (1 تريليون = 10 ¹² = 1,000,000,000,000) من الأرقام.

لا تقتصر الأمثلة البارزة على هذه فحسب، بل إن جميع الأعداد الحقيقية تقريبًا غير نسبية وبالتالي ليس لها أنماط متكررة وبالتالي لا يوجد رقم عشري مقابل لها. ولا يمكن تقريبها إلا بالأرقام العشرية، التي تشير إلى الأعداد الحقيقية المقربة أو المقطوعة . أي رقم مقرب أو مقطوع هو بالضرورة رقم نسبي، ولا يوجد منه سوى عدد قابل للعد . جميع القياسات هي بطبيعتها تقريبًا، ولها دائمًا هامش خطأ . وبالتالي، يُعتبر 123.456 تقريبًا لأي رقم حقيقي أكبر من أو يساوي ⁠1234555/10000وأقل من ذلك تمامًا1234565/10000( تقريب إلى 3 أعداد عشرية)، أو أي عدد حقيقي أكبر أو يساوي123456/1000وأقل من ذلك تمامًا123457/1000⁠ (القطع بعد العلامة العشرية الثالثة). يجب إزالة الأرقام التي تشير إلى دقة أكبر من القياس نفسه. تسمى الأرقام المتبقية بعد ذلك أرقامًا مهمة . على سبيل المثال، نادرًا ما يمكن إجراء القياسات باستخدام المسطرة دون هامش خطأ لا يقل عن 0.001 م . إذا تم قياس أضلاع المستطيل على أنها 1.23 م و 4.56 م، فإن الضرب يعطي مساحة للمستطيل بين 5.614591 م ² و 5.603011 م ^2. نظرًا لأنه لا يتم الاحتفاظ حتى بالرقم الثاني بعد العلامة العشرية، فإن الأرقام التالية ليست مهمة . لذلك، يتم تقريب النتيجة عادةً إلى 5.61.

كما يمكن كتابة نفس الكسر بأكثر من طريقة، فإن نفس العدد الحقيقي قد يكون له أكثر من تمثيل عشري. على سبيل المثال، 0.999... ، 1.0، 1.00، 1.000، ...، كلها تمثل العدد الطبيعي 1. أي عدد حقيقي معين له التمثيلات العشرية التالية فقط: تقريب لعدد محدود من الأماكن العشرية، أو تقريب يتم فيه إنشاء نمط يستمر لعدد غير محدود من الأماكن العشرية أو قيمة دقيقة بعدد محدود فقط من الأماكن العشرية. في هذه الحالة الأخيرة، يمكن استبدال الرقم الأخير غير الصفري بالرقم الأصغر الذي يليه عدد غير محدود من 9، أو قد يتبع الرقم الأخير غير الصفري عدد غير محدود من الأصفار. وبالتالي، يمكن أيضًا كتابة العدد الحقيقي الدقيق 3.74 على النحو التالي: 3.73999999999... و3.74000000000.... وبالمثل، يمكن إعادة كتابة عدد عشري يحتوي على عدد غير محدود من الأصفار عن طريق إسقاط الأصفار إلى يمين الرقم غير الصفري الأبعد إلى اليمين، ويمكن إعادة كتابة عدد عشري يحتوي على عدد غير محدود من التسعة عن طريق زيادة الرقم الأيمن الأقل من 9 بمقدار واحد، وتغيير جميع التسعة إلى يمين ذلك الرقم إلى أصفار. وأخيرًا، يمكن إسقاط تسلسل غير محدود من الأصفار إلى يمين المكان العشري. على سبيل المثال، 6.849999999999... = 6.85 و6.850000000000... = 6.85. أخيرًا، إذا كانت جميع الأرقام في رقم ما تساوي 0، فإن الرقم يكون 0، وإذا كانت جميع الأرقام في رقم ما عبارة عن سلسلة لا تنتهي من الأرقام 9، فيمكنك حذف الأرقام 9 إلى يمين العلامة العشرية، وإضافة رقم واحد إلى سلسلة الأرقام 9 إلى يسار العلامة العشرية. على سبيل المثال، 99.999... = 100.

الأعداد الحقيقية لها أيضًا خاصية مهمة ولكنها تقنية للغاية تسمى خاصية الحد الأعلى الأدنى .

يمكن إثبات أن أي حقل مرتب ، وهو أيضًا كامل ، متماثل مع الأعداد الحقيقية. ومع ذلك، فإن الأعداد الحقيقية ليست حقلًا مغلقًا جبريًا ، لأنها لا تتضمن حلًا (يُطلق عليه غالبًا الجذر التربيعي لـ -1 ) للمعادلة الجبرية . ${\displaystyle x^{2}+1=0}$

بالانتقال إلى مستوى أكبر من التجريد، يمكن توسيع الأعداد الحقيقية لتشمل الأعداد المركبة . نشأت هذه المجموعة من الأعداد تاريخيًا من محاولة إيجاد صيغ مغلقة لجذور كثيرات الحدود المكعبة والتربيعية . أدى هذا إلى ظهور تعبيرات تتضمن الجذور التربيعية للأعداد السالبة، وفي النهاية إلى تعريف رقم جديد: الجذر التربيعي لـ -1، والذي يُشار إليه بـ i ، وهو الرمز الذي عينه ليونهارد أويلر ، ويُسمى الوحدة التخيلية . تتكون الأعداد المركبة من جميع الأعداد من الشكل

${\displaystyle \,a+bi}$

حيث a و b أعداد حقيقية. ولهذا السبب، تتوافق الأعداد المركبة مع نقاط على المستوى المركب ، وهو فضاء متجه ذو بعدين حقيقيين . في التعبير a + bi ، يسمى العدد الحقيقي a الجزء الحقيقي ويسمى b الجزء التخيلي . إذا كان الجزء الحقيقي من العدد المركب يساوي 0، فإن العدد يسمى عددًا تخيليًا أو يشار إليه بأنه تخيلي بحت ؛ إذا كان الجزء التخيلي يساوي 0، فإن العدد يكون عددًا حقيقيًا. وبالتالي فإن الأعداد الحقيقية هي مجموعة فرعية من الأعداد المركبة. إذا كان الجزءان الحقيقي والتخيلي من العدد المركب عددًا صحيحًا، فإن العدد يسمى عددًا صحيحًا غاوسيًا . رمز الأعداد المركبة هو C أو . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

تؤكد النظرية الأساسية للجبر أن الأعداد المركبة تشكل حقلًا مغلقًا جبريًا ، مما يعني أن كل كثيرة حدود ذات معاملات مركبة لها جذر في الأعداد المركبة. مثل الأعداد الحقيقية، تشكل الأعداد المركبة حقلًا ، وهو حقل كامل ، ولكن على عكس الأعداد الحقيقية، فهو غير مرتب . أي أنه لا يوجد معنى ثابت يمكن إسناده لقول أن i أكبر من 1، ولا يوجد أي معنى لقول أن i أقل من 1. من الناحية الفنية، تفتقر الأعداد المركبة إلى ترتيب كلي متوافق مع عمليات الحقل .

العدد الزوجي هو عدد صحيح "قابل للقسمة بالتساوي" على اثنين، أي قابل للقسمة على اثنين دون باقي ؛ والعدد الفردي هو عدد صحيح غير زوجي. (المصطلح القديم "قابل للقسمة بالتساوي" يُختصر الآن دائمًا تقريبًا إلى " قابل للقسمة ".) يمكن إنشاء أي عدد فردي n بالصيغة n = 2 k + 1، للحصول على عدد صحيح مناسب k . بدءًا من k = 0، تكون أول الأعداد الفردية غير السالبة هي {1، 3، 5، 7، ...}. أي عدد زوجي m له الشكل m = 2 k حيث k هو عدد صحيح مرة أخرى . وبالمثل، تكون أول الأعداد الزوجية غير السالبة هي {0، 2، 4، 6، ...}.

العدد الأولي ، والذي يُختصر غالبًا إلى عدد أولي فقط ، هو عدد صحيح أكبر من 1 وليس حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين أصغر منه. أول بضعة أعداد أولية هي 2 و3 و5 و7 و11. لا توجد صيغة بسيطة مثل الأعداد الفردية والزوجية لتوليد الأعداد الأولية. تمت دراسة الأعداد الأولية على نطاق واسع لأكثر من 2000 عام وأدت إلى العديد من الأسئلة، والتي تمت الإجابة على بعضها فقط. تنتمي دراسة هذه الأسئلة إلى نظرية الأعداد . تخمين جولدباخ هو مثال على سؤال لم تتم الإجابة عليه بعد: "هل كل عدد زوجي هو مجموع عددين أوليين؟"

تم تأكيد الإجابة على سؤال واحد، وهو ما إذا كان كل عدد صحيح أكبر من واحد هو حاصل ضرب الأعداد الأولية بطريقة واحدة فقط، باستثناء إعادة ترتيب الأعداد الأولية؛ ويُطلق على هذا الادعاء المُثبت النظرية الأساسية للحساب . ويظهر دليل على ذلك في كتاب العناصر لإقليدس .

كانت العديد من المجموعات الفرعية للأعداد الطبيعية موضوعًا لدراسات محددة وتم تسميتها، غالبًا باسم أول عالم رياضيات قام بدراستها. ومن أمثلة هذه المجموعات من الأعداد الصحيحة أرقام فيبوناتشي والأعداد الكاملة . لمزيد من الأمثلة، راجع متوالية الأعداد الصحيحة .

الأعداد الجبرية هي تلك التي تمثل حلاً لمعادلة متعددة الحدود ذات معاملات صحيحة. الأعداد الحقيقية التي ليست أعدادًا نسبية تسمى الأعداد غير النسبية . الأعداد المركبة التي ليست جبرية تسمى الأعداد المتسامية . الأعداد الجبرية التي تمثل حلولاً لمعادلة متعددة الحدود أحادية المعاملات ذات معاملات صحيحة تسمى الأعداد الصحيحة الجبرية .

الفترة هي عدد مركب يمكن التعبير عنه كتكامل لدالة جبرية على مجال جبري . الفترات هي فئة من الأرقام التي تتضمن، إلى جانب الأرقام الجبرية، العديد من الثوابت الرياضية المعروفة مثل الرقم π . تشكل مجموعة الفترات حلقة قابلة للعد وتسد الفجوة بين الأرقام الجبرية والمتعالية. ^{[37] [38]}

يمكن تمديد الفترات من خلال السماح للمتكامل بأن يكون حاصل ضرب دالة جبرية وأسي دالة جبرية. وهذا يعطي حلقة أخرى قابلة للعد: الفترات الأسية. الرقم e وكذلك ثابت أويلر عبارة عن فترات أسية. ^{[37] [39]}

استناداً إلى المشاكل الكلاسيكية للإنشاءات باستخدام المسطرة والفرجار ، فإن الأعداد القابلة للإنشاء هي تلك الأعداد المركبة التي يمكن إنشاء أجزائها الحقيقية والتخيلية باستخدام المسطرة والفرجار، بدءًا من جزء معين من طول الوحدة، في عدد محدود من الخطوات.

العدد القابل للحساب ، والمعروف أيضًا باسم العدد المتكرر ، هو عدد حقيقي بحيث توجد خوارزمية تنتج ، عند إدخال عدد موجب n ، أول n رقم من التمثيل العشري للعدد القابل للحساب. يمكن إعطاء تعريفات مكافئة باستخدام الدوال المتكررة μ أو آلات تورينج أو حساب λ . الأعداد القابلة للحساب مستقرة لجميع العمليات الحسابية المعتادة، بما في ذلك حساب جذور كثيرة الحدود ، وبالتالي تشكل حقلًا مغلقًا حقيقيًا يحتوي على الأعداد الجبرية الحقيقية .

يمكن اعتبار الأرقام القابلة للحساب أرقامًا حقيقية يمكن تمثيلها بدقة في الكمبيوتر: يتم تمثيل الرقم القابل للحساب بدقة من خلال أرقامه الأولى وبرنامج لحساب الأرقام الإضافية. ومع ذلك، نادرًا ما يتم استخدام الأرقام القابلة للحساب في الممارسة العملية. أحد الأسباب هو أنه لا توجد خوارزمية لاختبار مساواة رقمين قابلين للحساب. وبصورة أكثر دقة، لا يمكن أن توجد أي خوارزمية تأخذ أي رقم قابل للحساب كمدخل، وتقرر في كل حالة ما إذا كان هذا الرقم يساوي صفرًا أم لا.

إن مجموعة الأعداد القابلة للحساب لها نفس عدد الأعداد الطبيعية. وبالتالي فإن جميع الأعداد الحقيقية تقريبًا غير قابلة للحساب. ومع ذلك، فمن الصعب جدًا إنتاج عدد حقيقي غير قابل للحساب بشكل صريح.

قد يكون للأعداد p -adic توسعات طويلة لا نهائية إلى يسار الفاصلة العشرية، بنفس الطريقة التي قد يكون للأعداد الحقيقية توسعات طويلة لا نهائية إلى اليمين. يعتمد نظام الأرقام الناتج على القاعدة المستخدمة للأرقام: أي قاعدة ممكنة، لكن قاعدة الأعداد الأولية توفر أفضل الخصائص الرياضية. تحتوي مجموعة الأعداد p -adic على الأعداد النسبية، لكنها لا توجد في الأعداد المركبة.

إن عناصر حقل الدالة الجبرية على حقل منتهٍ والأعداد الجبرية لها العديد من الخصائص المتشابهة (انظر تشبيه حقل الدالة ). لذلك، غالبًا ما يُنظر إليها على أنها أرقام من قبل منظري الأعداد. تلعب الأعداد p -adic دورًا مهمًا في هذا التشبيه.

يمكن إنشاء بعض أنظمة الأعداد غير المضمنة في الأعداد المركبة من الأعداد الحقيقية بطريقة تعمم بناء الأعداد المركبة. تسمى أحيانًا الأعداد فائقة التعقيد . وهي تشمل الرباعيات ، التي قدمها السير ويليام روان هاملتون ، والتي لا يكون فيها الضرب تبديليًا ، والثمانيات ، والتي لا يكون فيها الضرب ارتباطيًا بالإضافة إلى عدم كونه تبديليًا، والسيدينيون ، والتي لا يكون فيها الضرب بديلاً ، ولا ارتباطيًا ولا تبديليًا. تتضمن الأعداد فائقة التعقيد وحدة حقيقية واحدة مع وحدات تخيلية، حيث يكون n عددًا صحيحًا غير سالب. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الرباعيات عمومًا باستخدام الشكل ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle 2^{n}-1}$

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

حيث المعاملات a ، b ، c ، d هي أعداد حقيقية، و i ، j ، k هي 3 وحدات تخيلية مختلفة.

كل نظام أعداد فائق التعقيد هو مجموعة فرعية من نظام الأعداد فائق التعقيد التالي ذي الأبعاد المزدوجة الذي تم الحصول عليه من خلال بناء كايلي ديكسون . على سبيل المثال، تُعد الرباعيات رباعية الأبعاد مجموعة فرعية من الرباعيات ثماني الأبعاد ، والتي تعد بدورها مجموعة فرعية من الرباعيات ذات الستة عشر بعدًا ، والتي تعد بدورها مجموعة فرعية من الرباعيات ثلاثية الأبعاد ذات الـ 32 بعدًا ، وإلى ما لا نهاية بأبعاد ، حيث يكون n أي عدد صحيح غير سلبي. بما في ذلك الأعداد المركبة والحقيقية ومجموعاتها الفرعية، يمكن التعبير عن ذلك رمزيًا على النحو التالي: ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {O} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots }$

وبدلاً من ذلك، بدءًا من الأعداد الحقيقية ، التي تحتوي على وحدات معقدة صفرية، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي: ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}\subset {\mathcal {C}}_{1}\subset {\mathcal {C}}_{2}\subset {\mathcal {C}}_{3}\subset {\mathcal {C}}_{4}\subset {\mathcal {C}}_{5}\subset \cdots \subset C_{n}}$

مع أبعاد تحتوي على . ^[40]${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$

للتعامل مع المجموعات اللانهائية ، تم تعميم الأعداد الطبيعية على الأعداد الترتيبية والأعداد الأساسية . يعطي الأول ترتيب المجموعة، بينما يعطي الأخير حجمها. بالنسبة للمجموعات المحدودة، يتم تحديد كل من الأعداد الترتيبية والأعداد الأساسية بالأعداد الطبيعية. في الحالة اللانهائية، تتوافق العديد من الأعداد الترتيبية مع نفس العدد الأساسي.

تُستخدم الأعداد الحقيقية الفائقة في التحليل غير القياسي . تشير الأعداد الحقيقية الفائقة، أو الأعداد الحقيقية غير القياسية (عادةً ما يشار إليها بـ * R ) ، إلى حقل مرتب يمثل امتدادًا مناسبًا للحقل المرتب للأعداد الحقيقية R ويلبي مبدأ النقل . يسمح هذا المبدأ بإعادة تفسير العبارات الصحيحة من الدرجة الأولى حول R على أنها عبارات صحيحة من الدرجة الأولى حول * R.

توسع الأرقام الفائقة والسريالية الأرقام الحقيقية عن طريق إضافة أرقام صغيرة للغاية وأرقام كبيرة للغاية، ولكنها لا تزال تشكل حقولاً .

• توبياس دانتزيج ، العدد، لغة العلم؛ دراسة نقدية موجهة إلى غير الرياضيين المثقفين ، نيويورك، شركة ماكميلان، 1930. ^{[ رقم ISBN مفقود ]}
• إريك فريدمان، ما الذي يميز هذا العدد؟ أرشيف 2018-02-23 على موقع واي باك مشين
• ستيفن جالوفيتش، مقدمة في البنى الرياضية ، هاركورت بريس جافانوفيتش، 1989، ISBN 0-15-543468-3 . 
• بول هالموس ، نظرية المجموعة الساذجة ، سبرينغر، 1974، ISBN 0-387-90092-6 . 
• موريس كلاين ، الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى العصور الحديثة ، مطبعة جامعة أكسفورد، 1990. ISBN 978-0195061352 
• ألفريد نورث وايتهايد وبرتراند راسل ، مبادئ الرياضيات إلى *56، مطبعة جامعة كامبريدج، 1910. ^{[ رقم ISBN مفقود ]}
• ليو كوري، تاريخ موجز للأرقام ، مطبعة جامعة أكسفورد، 2015، ISBN 978-0-19-870259-7 . 

• Nechaev, VI (2001) [1994]. "العدد". موسوعة الرياضيات . EMS Press .
• تالانت، جوناثان. "هل الأرقام موجودة". محب الأرقام . برادي هاران . مؤرشف من الأصل في 8 مارس 2016. تم الاسترجاع في 6 أبريل 2013 .
• في عصرنا: أرقام سلبية. راديو بي بي سي 4. 9 مارس 2006. مؤرشف من الأصل في 31 مايو 2022.
• روبن ويلسون (7 نوفمبر 2007). "4000 عام من الأرقام". كلية جريشام . مؤرشف من الأصل في 8 أبريل 2022.
• كرولويتش، روبرت (22 يوليو 2011). "ما هو الرقم المفضل في العالم؟". NPR . مؤرشف من الأصل في 18 مايو 2021 . تم الاسترجاع في 17 سبتمبر 2011 ." العناق مع 9، التقبيل مع 8، الغمز لـ 7". NPR . 21 أغسطس 2011. مؤرشف من الأصل في 6 نوفمبر 2018. تم الاسترجاع في 17 سبتمبر 2011 .
• الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة