عشري

النظام العشري (ويُسمى أيضًا النظام العشري الأساسي أو النظام العشري ) هو نظام عددي يستخدم الرقم عشرة كأساس له . تُعد الأنظمة العشرية المعيار العالمي لتمثيل الأعداد الصحيحة وغير الصحيحة . يُشار إلى طريقة تمثيل الأعداد في النظام العشري غالبًا باسم الترميز العشري . ^{[ 1 ]} حاليًا، يُعد النظام العشري الأكثر شيوعًا هو النظام الهندوسي العربي ، وهو نظام عددي موضعي . مع ذلك، توجد أيضًا أنظمة عشرية أساسية غير موضعية، مثل الأرقام الرومانية أو الصينية .

يشير العدد العشري (ويُشار إليه أحيانًا بالعدد العشري فقط ، أو بشكل أقل دقة بالعدد العشري ) عمومًا إلى تمثيل العدد في نظام العد العشري. ويمكن تمييز الأعداد العشرية غير الصحيحة بفاصلة عشرية (عادةً ما تكون "." أو "," كما في 25.9703 أو 3.1415 ). ^{[ 2 ]} في اللغة الإنجليزية، غالبًا ما تشير كلمة " عشري" إلى الأرقام التي تلي الفاصلة العشرية، على سبيل المثال، " 3.14 هو تقريب π إلى منزلتين عشريتين " أو " منزلتين عشريتين ".

الأعداد التي يمكن تمثيلها بدقة بواسطة عدد عشري ذي طول محدود هي الكسور العشرية . أي الكسور التي تأخذ الشكل a /10n ^، حيث a عدد صحيح، و n عدد صحيح غير سالب . كما تنتج الكسور العشرية من جمع عدد صحيح وجزء كسري ؛ ويُطلق على المجموع الناتج أحيانًا اسم العدد الكسري .

تُستخدم الأعداد العشرية عادةً لتقريب الأعداد الحقيقية. بزيادة عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية، يمكن تقليل أخطاء التقريب إلى أدنى حد ممكن، شريطة توفر طريقة لحساب الأرقام الجديدة. في العلوم، يُشير عدد المنازل العشرية المُعطاة عمومًا إلى دقة معرفة الكمية؛ على سبيل المثال، إذا كانت الكتلة 1.32 ملليغرام، فهذا يعني عادةً وجود ثقة معقولة بأن الكتلة الحقيقية تقع بين 1.315 ملليغرام و1.325 ملليغرام، بينما إذا كانت 1.320 ملليغرام، فمن المرجح أن تكون بين 1.3195 ملليغرام و1.3205 ملليغرام. وينطبق الأمر نفسه في الرياضيات البحتة؛ على سبيل المثال، إذا حسبنا الجذر التربيعي للعدد 22 برقمين بعد الفاصلة العشرية، فإن الناتج هو 4.69، بينما إذا حسبناه بثلاثة أرقام، فإن الناتج هو 4.690. إن الصفر الإضافي في النهاية له معنى، على الرغم من حقيقة أن 4.69 و 4.690 هما نفس العدد الحقيقي.

من حيث المبدأ، يمكن إجراء التمثيل العشري لأي عدد حقيقي إلى ما بعد الفاصلة العشرية. إذا وصل التمثيل إلى نقطة تصبح فيها جميع الأرقام المتبقية أصفارًا، فيمكن حذف الباقي، ويُسمى هذا التمثيل عددًا عشريًا منتهيًا . أما العدد العشري الدوري فهو عدد عشري غير منتهٍ، يتكرر فيه نفس تسلسل الأرقام إلى ما لا نهاية بعد خانة معينة (مثلًا، 5.123144144144144... = 5.123144 ) . ^{[ 3 ]} يُمثل العدد العشري غير المنتهي عددًا نسبيًا ، وهو ناتج قسمة عددين صحيحين ، إذا وفقط إذا كان عددًا عشريًا دوريًا أو كان عدد أرقامه غير الصفرية محدودًا.

تستخدم العديد من أنظمة الأرقام في الحضارات القديمة الرقم عشرة وقوىه لتمثيل الأعداد، ربما لأن لكل يد عشرة أصابع، وقد بدأ الناس العد باستخدام أصابعهم. ومن الأمثلة على ذلك الأرقام المصرية ، ثم الأرقام البراهمية ، والأرقام اليونانية ، والأرقام العبرية ، والأرقام الرومانية ، والأرقام الصينية . ^{[ 4 ]} كان تمثيل الأعداد الكبيرة جدًا صعبًا في هذه الأنظمة القديمة، ولم يكن قادرًا على ضرب أو قسمة الأعداد الكبيرة إلا أفضل علماء الرياضيات. وقد حُلّت هذه الصعوبات تمامًا مع ظهور نظام الأرقام الهندي العربي لتمثيل الأعداد الصحيحة . وقد تم توسيع هذا النظام ليشمل تمثيل بعض الأعداد غير الصحيحة، والتي تُسمى الكسور العشرية أو الأعداد العشرية ، وذلك لتكوين نظام الأرقام العشرية . ^{[ 4 ]}

لكتابة الأرقام، يستخدم النظام العشري عادةً عشرة أرقام عشرية ، وعلامة عشرية ، وعلامة ناقص "−" للأعداد السالبة . الأرقام العشرية في الأرقام العربية هي 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ؛ ^{[ 5 ]} والفاصلة العشرية هي النقطة " . " في العديد من البلدان (معظمها ناطقة بالإنجليزية)، ^{[ 6 ]} والفاصلة " , " في بلدان أخرى. ^{[ 2 ]}

لتمثيل عدد غير سالب ، يتكون العدد العشري من

• إما سلسلة (محدودة) من الأرقام (مثل "2017")، حيث تمثل السلسلة بأكملها عددًا صحيحًا:

  ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}}$

• أو علامة عشرية تفصل بين سلسلتين من الأرقام (مثل "20.70828").

${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$.

إذا كانت قيمة m أكبر من الصفر ، أي إذا احتوى التسلسل الأول على رقمين على الأقل، يُفترض عمومًا أن الرقم الأول a_{_m} ليس صفرًا. في بعض الحالات، قد يكون من المفيد وجود صفر واحد أو أكثر على اليسار؛ وهذا لا يُغير القيمة التي يُمثلها الفاصل العشري: على سبيل المثال، 3.14 = 03.14 = 003.14 . وبالمثل، إذا كان الرقم الأخير على يمين الفاصلة العشرية صفرًا - أي إذا كانت b_{_n} = 0 - فيمكن حذفه؛ وعلى العكس، يمكن إضافة أصفار بعد الفاصلة العشرية دون تغيير العدد المُمثل؛ ^{[ ملاحظة 1 ]} على سبيل المثال، 15 = 15.0 = 15.00 و 5.2 = 5.20 = 5.200 .

لتمثيل عدد سالب ، يتم وضع علامة ناقص قبل الحرف _m .

الرقم${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$يمثل الرقم

${\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}}$.

الجزء الصحيح من العدد العشري هو العدد الصحيح المكتوب على يسار الفاصلة العشرية (انظر أيضًا: الاقتطاع ) . بالنسبة للعدد العشري غير السالب، فهو أكبر عدد صحيح لا يتجاوز الفاصلة العشرية. أما الجزء من الفاصلة العشرية إلى اليمين فهو الجزء الكسري ، وهو يساوي الفرق بين العدد وجزئه الصحيح.

عندما يكون الجزء الصحيح من العدد صفرًا، قد يحدث، عادةً في الحسابات ، ألا يُكتب الجزء الصحيح (على سبيل المثال، .1234 بدلًا من 0.1234 ). في الكتابة العادية، يُتجنب هذا الأمر عمومًا، نظرًا لاحتمالية الخلط بين الفاصلة العشرية وعلامات الترقيم الأخرى.

باختصار، تعتمد مساهمة كل رقم في قيمة العدد على موقعه في العدد.

الكسور العشرية (وتُسمى أحيانًا بالأعداد العشرية ، خاصةً في السياقات التي تتضمن كسورًا صريحة) هي الأعداد النسبية التي يمكن التعبير عنها ككسر مقامه قوة من قوى العدد عشرة. ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، التعبيرات العشرية${\displaystyle 0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159}$تمثل هذه الرموز الكسور ٨/١٠ ، ١٤٨٩/١٠٠ ، ٧٩/١٠٠٠٠٠ ، +١٦١٨/١٠٠٠ ، و + ٣١٤١٥٩ / ١٠٠٠٠٠ ، وبالتالي فهي تمثل كسورًا عشرية . مثال على كسر لا يمكن تمثيله بتعبير عشري (بعدد محدود من الأرقام ) هو ١/٣ ، لأن ٣ ليس قوة للعدد ١٠ .

وبشكل عام، يمثل العدد العشري الذي يحتوي على n رقمًا بعد الفاصلة (نقطة أو فاصلة) الكسر الذي مقامه 10 ⁿ ، والذي يكون بسطه هو العدد الصحيح الذي تم الحصول عليه عن طريق إزالة الفاصلة.

ويترتب على ذلك أن العدد يكون كسرًا عشريًا إذا وفقط إذا كان له تمثيل عشري محدود.

عند التعبير عنها في صورة كسور مُختزلة تمامًا ، فإن الأعداد العشرية هي تلك التي يكون مقامها حاصل ضرب قوة للعدد 2 في قوة للعدد 5. وبالتالي، فإن أصغر مقامات الأعداد العشرية هي

${\displaystyle 1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20=2^{2}\cdot 5^{1},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots }$

بالنسبة لعدد حقيقي x وعدد صحيح n ≥ 0 ، لنرمز بـ [ x ] _n إلى التمثيل العشري (المنتهي) لأكبر عدد لا يتجاوز x ويحتوي على n خانة بعد الفاصلة العشرية. ولنرمز _بـ dᵢ إلى آخر خانة في [ x ] _i . من السهل ملاحظة أنه يمكن الحصول على [ x ] _n بإضافة dᵢ إلى يمين [ x ] _{n⁻¹ .} وبهذه الطريقة نحصل _على

[ x ] _n = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _{n −1} d _n ,

والفرق بين [ x ] _{n -1} و [ x ] _n يساوي

${\displaystyle \left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}}$،

وهي إما صفر، إذا كان d _n = 0 ، أو تصبح صغيرة جدًا عندما يؤول n إلى اللانهاية. وفقًا لتعريف النهاية ، فإن x هي نهاية [ x ] _n عندما يؤول n إلى اللانهاية . ويُكتب هذا على النحو التالي:${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty [x]_{n}\;}$أو

x = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n ... ,

وهو ما يسمى بالتوسع العشري اللانهائي لـ x .

وعلى العكس من ذلك، لأي عدد صحيح [ x ] _{يساوي 0} وأي تسلسل من الأرقام${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$التعبير (اللانهائي) [x] 0 . d1 d2 ... dn ... هو توسيع عشري _{لانهائي} للعدد الحقيقي _{x .} هذا _{التوسيع} فريد إذا لم تكن جميع قيم _dn تساوي 9 ولا جميع _قيم dn تساوي 0 لـ n كبيرة بما فيه الكفاية (لكل n أكبر من عدد طبيعي N ).

إذا كانت جميع قيم d _n لـ n > N تساوي 9، وكان [ x ] _{_n} = [ x ] _₀، d_₁، d_₂، ... ، d _{_n} ، فإن نهاية المتتالية${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$هو الكسر العشري الذي يتم الحصول عليه عن طريق استبدال الرقم الأخير الذي ليس 9، أي: d _N ، بـ d _N + 1 ، واستبدال جميع الأرقام 9 اللاحقة بـ 0 (انظر 0.999... ).

يمكن تحويل أي كسر عشري من هذا القبيل، أي: d _n = 0 لـ n > N ، إلى امتداده العشري اللانهائي المكافئ عن طريق استبدال d _N بـ d _N − 1 واستبدال جميع الأصفار اللاحقة بالرقم 9 (انظر 0.999... ).

باختصار، لكل عدد حقيقي ليس كسرًا عشريًا تمثيل عشري لانهائي فريد. ولكل كسر عشري تمثيلان عشريان لانهائيان فقط، أحدهما يحتوي على أصفار فقط بعد خانة معينة، ويُستنتج من التعريف السابق لـ [ x ] _n ، والآخر يحتوي على تسعات فقط بعد خانة معينة، ويُستنتج من تعريف [ x ] _n بأنه أكبر عدد أصغر من x ، ويحتوي على n خانة بالضبط بعد الفاصلة العشرية.

تستخدم معظم أنظمة الحواسيب الحديثة، من أجهزة وبرامج، تمثيلاً ثنائياً داخلياً (مع أن العديد من الحواسيب القديمة، مثل إينياك أو آي بي إم 650 ، استخدمت تمثيلاً عشرياً داخلياً). ^{[ 8 ]} وللاستخدام الخارجي من قبل متخصصي الحاسوب، يُعرض هذا التمثيل الثنائي أحياناً في النظامين الثماني أو الست عشري .

في معظم الحالات، تُحوّل القيم الثنائية إلى القيم العشرية المكافئة أو تُحوّل منها لعرضها على المستخدمين أو لإدخالها إليهم؛ إذ تُعبّر برامج الحاسوب عن القيم الحرفية بالنظام العشري افتراضيًا. (على سبيل المثال، يُكتب العدد 123.1 بهذا الشكل في برنامج حاسوبي، على الرغم من أن العديد من لغات البرمجة لا تستطيع ترميز هذا العدد بدقة).

Both computer hardware and software also use internal representations which are effectively decimal for storing decimal values and doing arithmetic. Often this arithmetic is done on data which are encoded using some variant of binary-coded decimal,^[9][10] especially in database implementations, but there are other decimal representations in use (including decimal floating point such as in newer revisions of the IEEE 754 Standard for Floating-Point Arithmetic).^[11]

Decimal arithmetic is used in computers so that decimal fractional results of adding (or subtracting) values with a fixed length of their fractional part always are computed to this same length of precision. This is especially important for financial calculations, e.g., requiring in their results integer multiples of the smallest currency unit for book keeping purposes. This is not possible in binary, because the negative powers of ${\displaystyle 10}$ have no finite binary fractional representation; and is generally impossible for multiplication (or division).^[12][13] See Arbitrary-precision arithmetic for exact calculations.

Many ancient cultures calculated with numerals based on ten, perhaps because two human hands have ten fingers.^[14] Standardized weights used in the Indus Valley Civilisation (c.3300–1300 BCE) were based on the ratios: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, and 500, while their standardized ruler – the Mohenjo-daro ruler – was divided into ten equal parts.^[15][16][17]Egyptian hieroglyphs, in evidence since around 3000 BCE, used a purely decimal system,^[18] as did the Linear A script (c.1800–1450 BCE) of the Minoans^[19][20] and the Linear B script (c. 1400–1200 BCE) of the Mycenaeans. The Únětice culture in central Europe (2300-1600 BC) used standardised weights and a decimal system in trade.^[21] The number system of classical Greece also used powers of ten, including an intermediate base of 5, as did Roman numerals.^[22] Notably, the polymath Archimedes (c. 287–212 BCE) invented a decimal positional system in his Sand Reckoner which was based on 10⁸.^[22][23]Hittite hieroglyphs (since 15th century BCE) were also strictly decimal.^[24]

The Egyptian hieratic numerals, the Greek alphabet numerals, the Hebrew alphabet numerals, the Roman numerals, the Chinese numerals and early Indian Brahmi numerals are all non-positional decimal systems, and required large numbers of symbols. For instance, Egyptian numerals used different symbols for 10, 20 to 90, 100, 200 to 900, 1,000, 2,000, 3,000, 4,000, to 10,000.^[25] The world's earliest positional decimal system was the Chinese rod calculus.^[26]

History of decimal fractions

ابتداءً من القرن الثاني قبل الميلاد، استندت بعض وحدات الطول الصينية إلى التقسيم إلى عشرة؛ وبحلول القرن الثالث الميلادي، استُخدمت هذه الوحدات المترولوجية للتعبير عن الكسور العشرية للأطوال، دون تحديد موضعها. ^{[ 27 ]} أُجريت الحسابات باستخدام الكسور العشرية للأطوال باستخدام قضبان العد الموضعية ، كما هو موضح في كتاب سونزي سوانجينغ (Sunzi Suanjing ) الذي يعود تاريخه إلى القرنين الثالث والخامس الميلاديين . وقد حسب عالم الرياضيات زو تشونغتشي، الذي عاش في القرن الخامس الميلادي، تقريبًا مكونًا من سبعة أرقام للعدد π . ويذكر كتاب تشين جيوشاو ، "رسالة في تسعة أقسام رياضية " (1247)، صراحةً الكسر العشري الذي يمثل عددًا وليس قياسًا، باستخدام قضبان العد. ^{[ 28 ]} ويُرمز للعدد 0.96644 بـ

寸

.

وقد تكهن مؤرخو العلوم الصينية بأن فكرة الكسور العشرية ربما انتقلت من الصين إلى الشرق الأوسط. ^{[ 26 ]}

أدخل الخوارزمي الكسور إلى البلدان الإسلامية في أوائل القرن التاسع الميلادي، وكانت تُكتب بوضع البسط في الأعلى والمقام في الأسفل، دون خط أفقي. وظل هذا الشكل من الكسور مستخدمًا لقرون. ^{[ 26 ] [ 29 ]}

ظهرت الكسور العشرية الموضعية لأول مرة في كتابٍ للعالم الرياضي العربي أبو الحسن الإقليدي، الذي كُتب في القرن العاشر الميلادي. ^{[ 30 ]} استخدم العالم الرياضي اليهودي إيمانويل بونفيل الكسور العشرية حوالي عام 1350، لكنه لم يطور أي رموز لتمثيلها. ^{[ 31 ]} طوّر العالم الرياضي الفارسي جمشيد الكاشي هذه النظرية بشكلٍ ملحوظ في القرن الخامس عشر الميلادي. ففي كتابه " مفتاح الحساب "، قدّم الكاشي أول معالجة منهجية وشاملة للكسور العشرية كنظامٍ كامل، متقدمًا بذلك على التطورات الأوروبية المماثلة بنحو 175 عامًا. ^{[ 32 ]}

قدّم سيمون ستيفن في القرن السادس عشر نموذجاً أولياً للتدوين العشري الأوروبي الحديث. نُشر كتيب ستيفن المؤثر " De Thiende " ("فن الأعشار") لأول مرة باللغة الهولندية عام 1585 وتُرجم إلى الفرنسية بعنوان "La Disme" . ^{[ 33 ]}

أدخل جون نابيير استخدام النقطة (.) لفصل الجزء الصحيح من العدد العشري عن الجزء الكسري في كتابه عن إنشاء جداول اللوغاريتمات، والذي نُشر بعد وفاته عام 1620. ^{[ 34 ] : ص 8، الأرشيف ص 32}