5

يُطلق على الشكل ذي الخمسة أضلاع اسم خماسي الأضلاع . يُعدّ الخماسي متساوي الأضلاع أول مضلع منتظم لا يُغطي المستوى بنسخٍ منه. يمتلك الخماسي أكبر وجه بين جميع المجسمات الأفلاطونية المنتظمة الخمسة ثلاثية الأبعاد .

يُحدد القطع المخروطي باستخدام خمس نقاط، تمامًا كما تُستخدم نقطتان لتحديد الخط المستقيم . ^{[ 8 ]} النجمة الخماسية ، أو المضلع ذو الخمسة رؤوس ، هي مضلع نجمي يُنشأ بربط بعض الرؤوس غير المتجاورة لخماسي منتظم كحواف متقاطعة ذاتيًا . [ ^{9 ] يظهر} الشكل الهندسي الداخلي للخماسي والنجمة الخماسية (المُمثل برمز شلافلي {5/2} ) بشكل بارز في تبليطات بنروز . تُعد النجوم الخماسية أوجهًا داخل متعددات السطوح النجمية لكبلر-بوانسو ومتعددات السطوح النجمية لشلافلي-هيس .

هناك خمسة أجسام أفلاطونية منتظمة هي رباعي الأوجه ، والمكعب ، وثماني الأوجه ، واثنا عشري الأوجه ، وعشروني الأوجه . ^{[ 10 ]}

يحتوي المستوى على خمس شبكات برافي ، أو مصفوفات من النقاط تُحدد بواسطة عمليات إزاحة منفصلة. يتم توليد تبليطات منتظمة للمستوى من تركيبات لخمسة مضلعات منتظمة فقط. ^{[ 11 ]}

يرتبط التناظر الخماسي بالنسبة الذهبية${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$في النجمة الخماسية المنتظمة ، تقسم تقاطعات الأقطار بعضها البعض بنسبة ذهبية. ^{[ 12 ]}

المجسم الفائق رباعي الأوجه ، أو ذو الخمس خلايا، هو النظير رباعي الأبعاد للمجسم رباعي الأوجه . له خمسة رؤوس. إسقاطه المتعامد متماثل مع المجموعة K⁵ _. ^{[ 13 ] : ص 120}

توجد خمس عائلات أساسية من مجموعات النقاط المتناظرة المرآوية في الفضاء رباعي الأبعاد . كما توجد خمس مجموعات كوكسيتر زائدية مضغوطة ، أو موشورات رباعية ، من الرتبة 5، تولد كل منها خلايا نحل منتظمة في الفضاء الزائدي رباعي الأبعاد كتباديل لحلقات مخططات كوكسيتر. ^{[ 14 ]}

5 هي قيمة الخلية المركزية لأول مربع سحري طبيعي غير تافه ، ويسمى مربع لوشو . جميع الأعداد الصحيحة${\displaystyle n\geq 34}$يمكن التعبير عنه كمجموع خمسة مربعات غير صفرية . ^{[ 15 ] [ 16 ]} توجد خمس فئات رامزي للتباديل قابلة للعد إلى ما لا نهاية . ^{[ 17 ] : ص} 4. يُفترض أن 5 هو العدد الفردي الوحيد الذي لا يمكن المساس به ؛ إذا كان هذا هو الحال، فسيكون 5 هو العدد الأولي الفردي الوحيد الذي ليس أساسًا لشجرة جزئية . ^{[ 18 ]}

يُفترض أن كل عدد فردي أكبر من خمسة يُمكن التعبير عنه كمجموع ثلاثة أعداد أولية؛ وقدّم هيلفجوت برهانًا على ذلك ^{[ 19 ]} (يُعرف أيضًا باسم حدسية غولدباخ الفردية ) وهو برهانٌ يحظى باعتراف واسع بين علماء الرياضيات، ولا يزال قيد المراجعة العلمية . من جهة أخرى، فإن كل عدد فردي أكبر من واحد هو مجموع خمسة أعداد أولية على الأكثر (كحد أدنى). ^{[ 20 ]}

في نظرية المخططات ، تُعتبر جميع المخططات التي تحتوي على أربعة رؤوس أو أقل مستوية ، إلا أن هناك مخططًا بخمسة رؤوس ليس كذلك: وهو _K₅ ، المخطط الكامل بخمسة رؤوس. وبحسب نظرية كوراتوفسكي ، يكون المخطط المحدود مستويًا إذا وفقط إذا لم يحتوِ على مخطط فرعي يُعدّ تقسيمًا للمخطط K₅ ، أو المخطط K₃ _{, ₃} ، وهو مخطط المنفعة . ^{[ 21 ]}

توجد خمسة جبر لي استثنائية معقدة. تُشكل مجموعات ماثيو الخمس الجيل الأول في عائلة المجموعات المتفرقة . وهي أيضًا أول خمس مجموعات متفرقة تم وصفها . ^{[ 22 ] : ص 54.} مُركِّز لعنصر من الرتبة 5 داخل أكبر مجموعة متفرقة .${\displaystyle \mathrm {F_{1}} }$ينشأ من ناتج التفاعل بين مجموعة هارادا-نورتون المتفرقة${\displaystyle \mathrm {HN} }$ومجموعة من الرتبة 5. ^{[ 23 ] [ 24 ]}

• ويلز، د. (1987). قاموس البطريق للأرقام الغريبة والمثيرة للاهتمام . لندن، المملكة المتحدة: مجموعة البطريق . ص 58-67 .