رقم المربع

في الرياضيات ، العدد المربع أو المربع الكامل هو عدد صحيح يساوي مربع عدد صحيح آخر؛ ^{[ 1 ]} بعبارة أخرى، هو حاصل ضرب عدد صحيح في نفسه. على سبيل المثال، 9 عدد مربع، لأنه يساوي 3² ويمكن كتابته على الصورة 3 × ³ .

لا يُكتب مربع العدد n عادةً على شكل حاصل ضرب n × n ، بل على شكل الأس n² ^، والذي يُنطق عادةً " n² ". ويُشتق اسم " المربع " من اسم شكله. وحدة المساحة هي مساحة مربع طول ضلعه n. وبالتالي، فإن مساحة مربع طول ضلعه n تساوي n² . إذا مُثِّل عدد مربع بـ n نقطة، فيمكن ترتيب هذه النقاط في صفوف على شكل مربع، بحيث يحتوي كل ضلع من أضلاعه على نفس عدد النقاط الموجودة في الجذر التربيعي لـ n ؛ ومن الأمثلة الأخرى على الأعداد المربعة ^: الأعداد المكعبة والأعداد المثلثية .

في نظام الأعداد الحقيقية ، الأعداد المربعة غير سالبة . العدد الصحيح غير السالب يكون مربعًا عندما يكون جذره التربيعي عددًا صحيحًا أيضًا. على سبيل المثال،${\displaystyle {\sqrt {9}}=3,}$إذن، 9 هو عدد مربع.

يُطلق على العدد الصحيح الموجب الذي ليس له قواسم مربعة باستثناء 1 اسم العدد الخالي من المربعات .

بالنسبة لعدد صحيح غير سالب n ، فإن العدد المربع رقم n هو n² ^، حيث 0² = 0 هو العدد ^المربع رقم صفر . يمكن تعميم مفهوم المربع على أنظمة عددية أخرى. فإذا أُضيفت الأعداد النسبية ، فإن المربع هو نسبة عددين مربعين صحيحين، والعكس صحيح، أي نسبة عددين مربعين صحيحين هي مربع، على سبيل المثال، ${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}$.

ابتداءً من الرقم 1، هناك${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor }$الأعداد المربعة حتى m شاملةً ، حيث يكون التعبير${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$يمثل الجزء الصحيح من العدد x . 

المربعات (التسلسل A000290 في OEIS ) الأصغر من 60 ²  =  3600 هي:

يُعطى الفرق بين أي مربع كامل وسابقه بالمعادلة n² ^- ( n - 1) ^² = 2n - 1. وبصورة مكافئة، يمكن حساب الأعداد المربعة بجمع المربع الأخير، وجذر المربع الأخير، والجذر الحالي، أي ^n² = ( n - 1) ^² + ( n - 1) + n .

يكون العدد m عددًا مربعًا إذا وفقط إذا كان بالإمكان ترتيب m نقطة في مربع:

م = 1 2 = 1
م = 2 2 = 4
م = 3 2 = 9
م = 4 2 = 16
م = 5 2 = 25

صيغة العدد المربع رقم n هي n² . وهذا يساوي أيضًا مجموع أول n عددًا فرديًا ^، كما هو موضح في الصور أعلاه، حيث ينتج مربع من المربع السابق بإضافة عدد فردي من النقاط (موضحة باللون الأرجواني). الصيغة كالتالي:$${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}$$على سبيل المثال، 5 ² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 .

توجد عدة طرق تكرارية لحساب الأعداد المربعة. على سبيل المثال، يمكن حساب العدد المربع رقم n من المربع السابق باستخدام المعادلة: ^{n² = (n - 1)²} + ( n - ¹ ) + n = ( n - 1) ^² + ( 2n - 1) . أو يمكن حساب العدد المربع رقم n من المربعين السابقين بمضاعفة المربع رقم ( n - 1) ، وطرح المربع رقم ( n - 2) ، ثم إضافة 2، لأن n² = ² ( n - 1) ^² - ( n - 2) ^² + 2. على سبيل المثال،

2 × 5 ² − 4 ² + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6 ² .

مربع العدد m ناقص واحد هو دائمًا حاصل ضرب${\displaystyle m-1}$و${\displaystyle m+1;}$إنه،$${\displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1).}$$على سبيل المثال، بما أن 7 ^{÷ 2} = 49 ، فإن المرء لديه${\displaystyle 6\times 8=48}$بما أن العدد الأولي له عوامل هي 1 ونفسه فقط، وبما أن m = 2 هي القيمة الوحيدة غير الصفرية لـ m التي تعطي عامل 1 على الجانب الأيمن من المعادلة أعلاه، فإنه يترتب على ذلك أن 3 هو العدد الأولي الوحيد الأقل بواحد من مربع ( 3 = 2 ² − 1 ).

وبشكل أعم، فإن الفرق بين مربعي عددين يساوي حاصل ضرب مجموعهما في الفرق بينهما. أي أن$${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$$هذه هي صيغة الفرق بين مربعين ، وهي مفيدة في الحساب الذهني: على سبيل المثال، يمكن حساب 47 × 53 بسهولة كالتالي: 50² ^- 3² = ²⁵⁰⁰ - 9 = 2491. العدد المربع هو أيضًا مجموع عددين مثلثيين متتاليين . مجموع عددين مربعين متتاليين هو عدد مربع مركزي . كل مربع فردي هو أيضًا عدد ثماني مركزي .

من خصائص العدد المربع (باستثناء الصفر) أنه يحتوي على عدد فردي من القواسم الموجبة، بينما تحتوي الأعداد الطبيعية الأخرى على عدد زوجي من القواسم الموجبة. الجذر الصحيح هو القاسم الوحيد الذي يُقسم إلى مربع واحد، بينما تأتي القواسم الأخرى في أزواج.

تنص نظرية لاغرانج للمربعات الأربعة على أنه يمكن كتابة أي عدد صحيح موجب على صورة مجموع أربعة مربعات كاملة أو أقل. ثلاثة مربعات غير كافية للأعداد من الشكل 4k ( ^8m + 7) . يمكن تمثيل عدد صحيح موجب على صورة مجموع مربعين إذا لم يتضمن تحليله إلى عوامله الأولية أي قوى فردية لأعداد أولية من الشكل 4k + 3. وقد عُممت هذه النظرية بمسألة وارينغ .

في النظام العشري ، لا يمكن أن ينتهي العدد المربع إلا بالأرقام 0 أو 1 أو 4 أو 5 أو 6 أو 9، كما يلي:

• إذا كان الرقم الأخير من العدد هو 0، فإن مربعه ينتهي بـ 00؛
• إذا كان الرقم الأخير من العدد هو 1 أو 9، فإن مربعه ينتهي برقم زوجي متبوعًا برقم 1؛
• إذا كان الرقم الأخير من العدد هو 2 أو 8، فإن مربعه ينتهي برقم زوجي متبوعًا بالرقم 4؛
• إذا كان الرقم الأخير من العدد هو 3 أو 7، فإن مربعه ينتهي برقم زوجي متبوعًا بالرقم 9؛
• إذا كان الرقم الأخير من عدد ما هو 4 أو 6، فإن مربعه ينتهي برقم فردي متبوعًا بالرقم 6؛ و
• إذا كان الرقم الأخير من العدد هو 5، فإن مربعه ينتهي بـ 25.

في النظام العددي ذي الأساس 12 ، لا يمكن أن ينتهي العدد المربع إلا بأرقام مربعة (كما هو الحال في النظام العددي ذي الأساس 12، لا يمكن أن ينتهي العدد الأولي إلا بأرقام أولية أو 1)، أي 0 أو 1 أو 4 أو 9، على النحو التالي:

• إذا كان العدد قابلاً للقسمة على 2 وعلى 3 (أي قابلاً للقسمة على 6)، فإن مربعه ينتهي بـ 0، ويجب أن يكون الرقم السابق له 0 أو 3؛
• إذا كان العدد لا يقبل القسمة على 2 ولا على 3، فإن مربعه ينتهي بـ 1، ويجب أن يكون الرقم السابق له زوجيًا؛
• إذا كان العدد يقبل القسمة على 2، ولكنه لا يقبل القسمة على 3، فإن مربعه ينتهي بالرقم 4، ويجب أن يكون الرقم الذي يسبقه 0 أو 1 أو 4 أو 5 أو 8 أو 9؛ و
• إذا كان العدد غير قابل للقسمة على 2، ولكنه قابل للقسمة على 3، فإن مربعه ينتهي بـ 9، ويجب أن يكون الرقم السابق له 0 أو 6.

يمكن وضع قواعد مماثلة لأنظمة حسابية أخرى، أو للأرقام السابقة (مثل استخدام خانة العشرات بدلاً من خانة الآحاد). ويمكن إثبات جميع هذه القواعد بفحص عدد محدد من الحالات وباستخدام الحساب النمطي .

بشكل عام، إذا كان عدد أولي p يقسم مربعًا كاملًا m، فإن مربع p يقسم m أيضًا ؛ وإذا لم يقسم p العدد m / p ، فإن m ليس مربعًا بالتأكيد. بتكرار عمليات القسمة في الجملة السابقة، نستنتج أن كل عدد أولي يقسم مربعًا كاملًا معينًا عددًا زوجيًا من المرات (بما في ذلك احتمال عدم قسمته). وبالتالي، يكون العدد m مربعًا كاملًا إذا وفقط إذا كانت جميع أسسه زوجية في تمثيله القياسي .  

يمكن استخدام اختبار التربيع كطريقة بديلة في تحليل الأعداد الكبيرة ^إلى عواملها الأولية . فبدلاً من اختبار قابلية القسمة، يُختبر التربيع: لأي عدد m وعدد k ، إذا كان k² - m مربع عدد صحيح n، فإن k - n يقسم m . (هذا تطبيق لتحليل الفرق بين مربعين إلى عوامله الأولية ). على سبيل المثال، 100² - 9991 هو مربع 3، وبالتالي فإن ¹⁰⁰ - 3 يقسم 9991. هذا الاختبار حتمي للأعداد الفردية التي تقسم العدد 9991 في النطاق من k - n إلى k + n، حيث يغطي k نطاقًا معينًا من الأعداد الطبيعية.  ${\displaystyle k\geq {\sqrt {m}}.}$

لا يمكن أن يكون العدد المربع عددًا كاملاً .

مجموع أول n عدد مربع هو$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.}$$القيم الأولى لهذه المجاميع، وهي الأعداد الهرمية المربعة ، هي: (التسلسل A000330 في OEIS )

٠، ١، ٥، ١٤، ٣٠، ٥٥، ٩١، ١٤٠، ٢٠٤، ٢٨٥، ٣٨٥، ٥٠٦، ٦٥٠، ٨١٩، ١٠١٥، ١٢٤٠، ١٤٩٦، ١٧٨٥، ٢١٠٩، ٢٤٧٠، ٢٨٧٠، ٣٣١١، ٣٧٩٥، ٤٣٢٤، ٤٩٠٠، ٥٥٢٥، ٦٢٠١...

مجموع الأعداد الفردية الأولى، بدءًا من واحد، هو مربع كامل: 1، 1 + 3، 1 + 3 + 5، 1 + 3 + 5 + 7، وهكذا. وهذا يفسر قانون غاليليو للأعداد الفردية : إذا قطع جسم ساقط من السكون مسافة وحدة واحدة في أول فترة زمنية عشوائية، فإنه يقطع 3، 5، 7، وهكذا، وحدات من المسافة في الفترات الزمنية اللاحقة التي لها نفس الطول.${\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$، عندما تكون u = 0 و a ثابتة (التسارع الناتج عن الجاذبية بدون مقاومة الهواء)؛ لذا فإن s تتناسب مع t² ^، والمسافة من نقطة البداية هي مربعات متتالية لقيم صحيحة للوقت المنقضي. ^{[ 2 ]}

مجموع أول n مكعب هو مربع مجموع أول n عدد صحيح موجب؛ هذه هي نظرية نيكوماخوس .

جميع القوى الرابعة والسادسة والثامنة وما إلى ذلك هي مربعات كاملة.

علاقة فريدة مع الأعداد المثلثية${\displaystyle T_{n}}$يكون:$${\displaystyle (T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}}$$

مربعات الأعداد الزوجية أعداد زوجية، وتقبل القسمة على 4، لأن (2 ن ) ^² = 4 ن² ^. مربعات الأعداد الفردية أعداد فردية، وتساوي 1 بتردد 8، لأن (2 ن + 1) ^² = 4 ن ( ن + 1) + 1 ، و ن ( ن + 1) عدد زوجي دائمًا. بعبارة أخرى، جميع مربعات الأعداد الفردية يكون باقي قسمتها على 8 هو 1.

كل مربع كامل فردي هو عدد ثماني الأضلاع مركزي . الفرق بين أي مربعين كاملين فرديين هو من مضاعفات العدد 8. الفرق بين 1 وأي مربع كامل فردي أكبر منه يساوي دائمًا ثمانية أضعاف عدد مثلثي، بينما الفرق بين 9 وأي مربع كامل فردي أكبر منه يساوي ثمانية أضعاف عدد مثلثي ناقص 8. بما أن جميع الأعداد المثلثية تحتوي على عامل فردي، ولكن لا يوجد عددان من 2n يختلفان بمقدار يحتوي على عامل فردي، ^{فإن المربع الكامل الوحيد الذي يأخذ الصيغة 2n -} 1 هو 1 ، والمربع الكامل الوحيد الذي ^يأخذ الصيغة 2n + 1 هو 9.

• إذا كان العدد على الصورة m 5 حيث يمثل m الأرقام السابقة، فإن مربعه هو n 25 حيث n = m ( m + 1) ويمثل الأرقام قبل 25. على سبيل المثال، يمكن حساب مربع 65 عن طريق n = 6 × (6 + 1) = 42 مما يجعل المربع يساوي 4225.
• إذا كان العدد على الصورة m⁰ حيث يمثل m الأرقام السابقة ^، فإن مربعه هو n⁰ حيث n = m² . على سبيل المثال، مربع العدد 70 هو 4900.
• إذا كان العدد مكونًا من رقمين وكان على الصورة 5 م، ^حيث يمثل م رقم الآحاد، فإن مربعه هو aabb، حيث aa = 25 + م و bb = م² . على سبيل المثال، لحساب مربع العدد 57، م = 7 و 25 + 7 = 32 و 7² = 49 ^، لذا فإن ^57² = 3249 .
• إذا انتهى العدد بالرقم 5، فإن مربعه سينتهي بالرقم 5؛ وينطبق الأمر نفسه على الأعداد التي تنتهي بالأرقام 25، 625، 0625، 90625، ... 8212890625، إلخ. وإذا انتهى العدد بالرقم 6، فإن مربعه سينتهي بالرقم 6، وينطبق الأمر نفسه على الأعداد التي تنتهي بالأرقام 76، 376، 9376، 09376، ... 1787109376. على سبيل المثال، مربع العدد 55376 هو 3066501376، وكلاهما ينتهي بالرقم 376. (تُسمى الأعداد 5، 6، 25، 76، إلخ، بالأعداد الذاتية . وهي المتتالية A003226 في OEIS . ^{[ 3 ]} )
• في النظام العشري، يتبع الرقمان الأخيران من الأعداد المربعة نمطًا متكررًا متناظرًا حول مضاعفات العدد 25. في مثال العددين 24 و26، وكلاهما أقل بواحد من 25، فإن ^24² = 576 و26² = 676 ، ^{وكلاهما} ينتهي بالرقم 76. بشكل عام،${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$وينطبق نمط مماثل على الأرقام الثلاثة الأخيرة حول مضاعفات العدد 250، وهكذا. ونتيجة لذلك، من بين 100 رقمين أخيرين محتملين، يظهر 22 رقماً فقط منها بين الأعداد المربعة (لأن 00 و25 يتكرران).

• كونواي، جيه إتش وجاي ، آر كيه. كتاب الأعداد . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ص  30-32، 1996. ISBN 0-387-97993-X
• كيران باروليكار. خصائص مذهلة من المربعات وحساباتها . كيران أنيل باروليكار، 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC