العدد المثلثي

الأعداد المثلثية هي سلسلة من الأعداد الصحيحة الموجبة التي يمكن تمثيلها كشبكة من النقاط مرتبة في مثلث متساوي الأضلاع. الشبكة المثلثية التي تمثل${\displaystyle n}$يحتوي العدد المثلثي رقم على${\displaystyle n}$الصفوف: يحتوي الصف الأول على نقطة واحدة، ويحتوي الصف الثاني على نقطتين، ويستمر هذا النمط حتى${\displaystyle n}$الصف رقم 1، والذي يحتوي على${\displaystyle n}$لذلك، يمكن أيضًا تمثيل الأعداد المثلثية بالصيغة التالية:

${\displaystyle T_{n}=1+2+3+\cdots +(n-1)+n=\sum _{k=1}^{n}k}$

الأعداد المثلثية هي أبسط أنواع الأعداد الشكلية - تعمم الأعداد الشكلية مفهومها ليشمل المضلعات ثنائية الأبعاد الأخرى، مثل الأعداد الخماسية ، بالإضافة إلى المجسمات متعددة الأوجه ذات الأبعاد الأعلى، مثل الأعداد الرباعية الأوجه .${\displaystyle T_{0}=0}$(انظر المجموع الفارغ )، الحدود القليلة الأولى هي

(التسلسل A000217 في OEIS )

تُعطى الأعداد المثلثية بالصيغ الصريحة التالية:

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}T_{n}&=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\dotsb +n\\&={\frac {n^{2}+n{\vphantom {(n+1)}}}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\\&={n+1 \choose 2}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}}$هي رمز لمعامل ذي الحدين . وهي تمثل عدد الأزواج المختلفة التي يمكن اختيارها من بين n + 1 عنصر، ويتم قراءتها بصوت عالٍ على النحو التالي: " n زائد واحد يختار اثنين".

حقيقة أن${\displaystyle n}$العدد المثلثي رقم 1 يساوي${\displaystyle n(n+1)/2}$يمكن توضيح ذلك باستخدام برهان مرئي . ^{[ 1 ]} لكل عدد مثلثي${\displaystyle T_{n}}$تخيل ترتيبًا لأشياء على شكل "نصف مستطيل" يتوافق مع العدد المثلثي، كما في الشكل أدناه. نسخ هذا الترتيب وتدويره لإنشاء شكل مستطيل يضاعف عدد الأشياء، مما ينتج عنه مستطيل بأبعاد${\displaystyle n\times (n+1)}$وهو أيضاً عدد العناصر في المستطيل. من الواضح أن العدد المثلثي نفسه يساوي دائماً نصف عدد العناصر في هذا الشكل، أو:${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$المثال${\displaystyle T_{4}}$يتبع:

${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}$(الأخضر بالإضافة إلى الأصفر) يعني أن${\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$(أخضر).   

يمكن إثبات هذه الصيغة رسميًا باستخدام الاستقراء الرياضي . ^{[ 2 ]} وهي صحيحة بوضوح لـ${\displaystyle 1}$:

$${\displaystyle T_{1}=\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.}$$

والآن افترض أنه، بالنسبة لعدد طبيعي ما${\displaystyle m}$،${\displaystyle T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}}$ثم يمكننا التحقق من ذلك لـ${\displaystyle m+1}$: $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{m+1}k&=\sum_{k=1}^{m}k+(m+1)\\&={\frac{m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac{m^{2}+m}{2}}+{\frac{2m+2}{2}}\\&={\frac{m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac{(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}}$$

إذا كانت الصيغة صحيحة لـ${\displaystyle m}$وهذا صحيح بالنسبة لـ${\displaystyle m+1}$بما أن هذا صحيح بوضوح بالنسبة لـ${\displaystyle 1}$لذلك، ينطبق هذا على${\displaystyle 2}$،${\displaystyle 3}$وفي النهاية جميع الأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$بالحث.

تزعم رواية غير موثقة أن عالم الرياضيات الألماني غاوس اكتشف هذه العلاقة في مطلع شبابه، بضرب n / 2 من أزواج الأعداد في المجموع بقيم n + 1 لكل زوج . ^{[ 3 ]} على أي حال، لم يكن غاوس أول من اكتشف هذه الصيغة، ويرجح البعض أن أصلها يعود إلى الفيثاغوريين في القرن الخامس قبل الميلاد. ^{[ 4 ]} وقد وصف الراهب الأيرلندي ديكويل الصيغتين حوالي عام 816 في كتابه "الحساب" . ^{[ 5 ]} وتتوفر ترجمة إنجليزية لرواية ديكويل. ^{[ 6 ]}

أحيانًا، يكون من الضروري حساب أعداد مثلثية كبيرة حيث t = n*(n+1)/2قد تُعاني الصيغة القياسية من تجاوز سعة العدد الصحيح قبل القسمة النهائية على 2. على سبيل المثال، T ₂₀ = 210 < 256، لذا سيتسع في بايت 8 بت ، ولكن ليس الناتج الوسيط 420. يمكن حل هذه المشكلة بقسمة إما n أو n+1 على 2 قبل عملية الضرب، أيهما زوجي. لا يتطلب هذا فرعًا شرطيًا إذا تم تنفيذه كـ t = (n|1) * ((n+1)/2). إذا nكان n فرديًا، فلن يكون لعملية OR الثنائيةn|1 أي تأثير، لذا فهذا مكافئ لـ t = n * ((n+1)/2)وبالتالي صحيح. إذا nكان n زوجيًا، فإن تعيين البت الأدنى بـ n|1يُعادل إضافة 1، بينما يتم اقتطاع 1 المُضاف قبل القسمة ، لذا فهذا مكافئ لـ t = (n+1) * (n/2)وهو صحيح أيضًا.

ترتبط الأعداد المثلثية بمجموعة واسعة من العلاقات مع الأعداد الشكلية الأخرى.

ببساطة، مجموع عددين مثلثيين متتاليين هو عدد مربع، وذلك لأن: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle T_{n-1}+T_{n}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n(n-1)+{\frac {1}{2}}\,n(n+1)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n{\Bigl (}(n-1)+(n+1){\Bigr )}}$

${\displaystyle =n^{2}}$

حيث يكون المجموع هو مربع الفرق بين الاثنين (وبالتالي يكون الفرق بين الاثنين هو الجذر التربيعي للمجموع): $${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1{\vphantom {\left(n-1\right)^{2}}}}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$$

تُعرف هذه الخاصية، التي تُسمى بالعامية نظرية ثيون السمرنية ، ^{[ 9 ]} ، بشكل مرئي في المجموع التالي، الذي يمثل${\displaystyle T_{4}+T_{5}=5^{2}}$كمجموع أرقام :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}&4&3&2&1&\\+&1&2&3&4&5\\\hline &5&5&5&5&5\end{array}}}$

ويمكن توضيح هذه الحقيقة بيانياً أيضاً عن طريق وضع المثلثات في اتجاهات متعاكسة لإنشاء مربع:

٦ + ١٠ = ١٦ ١٠ + ١٥ = ٢٥         

يُطلق على ضعف العدد المثلثي، كما في البرهان المرئي من القسم أعلاه §  الصيغة ، اسم العدد البروني .

يوجد عدد لا نهائي من الأعداد المثلثية التي هي أيضًا أعداد مربعة ؛ على سبيل المثال، 1، 36، 1225. يمكن توليد بعضها بواسطة صيغة تكرارية بسيطة: $${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)}$$مع${\displaystyle S_{1}=1.}$

يتم إيجاد جميع الأعداد المثلثية المربعة من خلال التكرار. $${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}$$مع${\displaystyle S_{0}=0}$و${\displaystyle S_{1}=1.}$

مربع العدد المثلثي رقم n يساوي أيضًا مجموع مكعبات الأعداد الصحيحة من 1 إلى n . ويمكن التعبير عن ذلك أيضًا على النحو التالي: $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$$

مجموع أول n عدد مثلثي هو العدد الرباعي الأوجه رقم n : $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$$

بشكل عام، الفرق بين العدد ذي m ضلعًا والعدد ذي ( m + 1 ) ضلعًا هو العدد المثلثي ( n - 1) . على سبيل المثال، العدد السباعي السادس (81) ناقص العدد السداسي السادس (66) يساوي العدد المثلثي الخامس، وهو 15. كل عدد مثلثي آخر هو عدد سداسي. بمعرفة الأعداد المثلثية، يمكن حساب أي عدد مضلعي مركزي ؛ ويُحسب العدد ذو k ضلعًا والمركزي رقم n بالصيغة التالية: $${\displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1}$$

حيث T هو عدد مثلثي.

الفرق الموجب بين عددين مثلثيين هو عدد شبه منحرف .

النمط الموجود للأعداد المثلثية${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$وبالنسبة للأعداد الرباعية الأوجه${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}},}$والتي تستخدم معاملات ذات الحدين ، يمكن تعميمها. وهذا يؤدي إلى الصيغة التالية: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {ن_{ك}+ك-1}{ك}}}$$

تتوافق الأعداد المثلثية مع حالة الدرجة الأولى من صيغة فولهاوبر .

{{{annotations}}}

برهان بدون كلمات على أن جميع الأعداد السداسية هي أعداد مثلثية ذات أضلاع فردية

الأعداد المثلثية المتناوبة (1، 6، 15، 28، ...) هي أيضًا أعداد سداسية.

كل عدد زوجي كامل يكون مثلثًا (وكذلك سداسيًا)، ويُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}$$ حيث M _p هو عدد أولي من أعداد ميرسين . لا توجد أعداد كاملة فردية معروفة؛ وبالتالي، فإن جميع الأعداد الكاملة المعروفة هي أعداد مثلثية.

على سبيل المثال، العدد المثلثي الثالث هو (3 × 2 =) 6، والعدد السابع هو (7 × 4 =) 28، والعدد الحادي والثلاثون هو (31 × 16 =) 496، والعدد 127 هو (127 × 64 =) 8128.

الرقم الأخير من العدد المثلثي هو 0 أو 1 أو 3 أو 5 أو 6 أو 8، وبالتالي فإن هذه الأعداد لا تنتهي أبدًا بالأرقام 2 أو 4 أو 7 أو 9. يجب أن يسبق الرقم 3 الأخير الرقم 0 أو 5؛ ويجب أن يسبق الرقم 8 الأخير الرقم 2 أو 7.

في النظام العشري ، يكون الجذر الرقمي لأي عدد مثلثي غير صفري دائمًا 1 أو 3 أو 6 أو 9. وبالتالي، فإن كل عدد مثلثي إما أن يكون قابلاً للقسمة على ثلاثة أو يكون باقي قسمته على 9 هو 1:

النمط الجذري الرقمي للأعداد المثلثية، الذي يتكرر كل تسعة حدود، كما هو موضح أعلاه، هو "1، 3، 6، 1، 6، 3، 1، 9، 9".

لكن عكس العبارة السابقة ليس صحيحاً دائماً. على سبيل المثال، الجذر الرقمي للعدد 12، وهو ليس عدداً مثلثياً، هو 3 ويقبل القسمة على 3.

إذا كان x عددًا مثلثيًا، و a مربعًا فرديًا، و b = a - 1 / 8 ، فإن ax + b هو أيضًا عدد مثلثي. لاحظ أن b سيكون دائمًا عددًا مثلثيًا، لأن 8Tn + 1 = ( _2n + 1) ^² ، مما ينتج عنه أن جميع المربعات الفردية تُكشف بضرب عدد مثلثي في ​​8 وإضافة 1، وعملية إيجاد b بمعلومية أن a مربع فردي هي عكس هذه العملية. الأزواج الأولى من هذا الشكل (باستثناء 1x + 0) هي: 9x + 1، 25x + 3 ، 49x + 6 ، 81x + 10 ، 121x + 15 ، 169x + 21 ، ... إلخ . إذا كانت _x تساوي _Tn ، فإن هذه _الصيغ تعطي T3n + _{1 ، T5n} + 2 _{، T7n +} 3 _، T9n + _{4 ، وهكذا} .

مجموع مقلوبات جميع الأعداد المثلثية غير الصفرية هو $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.}$$

ويمكن إثبات ذلك باستخدام المجموع الأساسي لسلسلة متداخلة : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.}$$

بالإضافة إلى ذلك، يمكن كتابة المجموع الجزئي النوني لهذه المتسلسلة على النحو التالي: $${\displaystyle 2n \over {n+1}.}$$

هناك صيغتان أخريان تتعلقان بالأعداد المثلثية وهما: $${\displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}$$ و $${\displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}$$ ويمكن إثبات كليهما إما من خلال النظر إلى أنماط النقاط (انظر أعلاه) أو باستخدام بعض العمليات الجبرية البسيطة.

في عام ١٧٩٦، اكتشف غاوس أن كل عدد صحيح موجب يمكن تمثيله كمجموع ثلاثة أعداد مثلثية، وكتب في مذكراته عبارته الشهيرة: " ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ". ليست الأعداد المثلثية الثلاثة بالضرورة مختلفة أو غير صفرية؛ على سبيل المثال، ٢٠ = ١٠ + ١٠ + ٠. هذه حالة خاصة من نظرية فيرما للأعداد المضلعة .

أكبر عدد مثلثي من الشكل 2 ^k − 1 هو 4095 (انظر معادلة رامانوجان-ناجيل ).

طرح واكلاف فرانسيسك سيربينسكي سؤالاً حول وجود أربعة أعداد مثلثية متميزة في متوالية هندسية . وقد افترض عالم الرياضيات البولندي كازيميرز شيميتشيك استحالة ذلك، ثم أثبته فانغ وتشين لاحقاً في عام 2007. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

ترتبط الصيغ التي تتضمن التعبير عن عدد صحيح كمجموع أعداد مثلثية بدوال ثيتا ، وخاصة دالة ثيتا لرامانوجان . ^{[ 14 ] [ 15 ]}

يمكن تمثيل عدد القطع المستقيمة بين أقرب أزواج النقاط في المثلث بدلالة عدد النقاط أو بعلاقة تكرارية : $${\displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};\qquad L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.}$$

في النهاية ، تكون النسبة بين العددين، والنقاط، وقطعتي الخط هي $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}.}$$

يحلّ العدد المثلثي T_{_n} مسألة المصافحة ، أي حساب عدد المصافحات إذا صافح كل شخص في غرفة بها n + 1 شخصًا كل شخص مرة واحدة. بعبارة أخرى، حلّ مسألة المصافحة لـ n شخصًا هو T _{_{n -1}} . ^{[ 16 ]}

وبالمثل، تتطلب شبكة متصلة بالكامل من n جهاز حوسبة وجود T _{n − 1} كابلات أو وصلات أخرى.

عدد مثلثي${\displaystyle T_{n}}$وهو ما يعادل عدد الدورات الرئيسية في البعد${\displaystyle n+1}$على سبيل المثال، في خمسة أبعاد، يكون عدد الدورات الرئيسية 10، وهو ما${\displaystyle T_{4}}$[ ^{17 ]​}

في نظام البطولة الذي يستخدم مرحلة المجموعات بنظام الدوري ، يكون عدد المباريات التي يجب لعبها بين n فريقًا مساويًا للعدد المثلثي T _{_{n - 1}} . على سبيل المثال، تتطلب مرحلة المجموعات التي تضم 4 فرق 6 مباريات، بينما تتطلب مرحلة المجموعات التي تضم 8 فرق 28 مباراة. وهذا يُعادل أيضًا مسألة المصافحة ومسألة الشبكة المتصلة بالكامل.

إحدى طرق حساب استهلاك الأصل هي طريقة مجموع أرقام السنوات ، والتي تتضمن إيجاد T_{_n} ، حيث n هي مدة العمر الإنتاجي للأصل بالسنوات. في كل عام، يفقد الأصل ( b - s ) × n - y / T _{_n} ، حيث b هي القيمة الابتدائية للأصل (بالوحدات النقدية)، و s هي قيمته التخريدية النهائية، وn هو إجمالي عدد السنوات التي يكون فيها الأصل قابلاً للاستخدام، و y هي السنة الحالية في جدول الاستهلاك. بموجب هذه الطريقة ، فإن عنصرًا بعمر استخدام يبلغ n = 4 سنوات سيفقد 4 / 10 من قيمته "القابلة للفقد" في السنة الأولى، و 3 / 10 في الثانية، و 2 / 10 في الثالثة، و 1 / 10 في الرابعة ، مما يؤدي إلى تراكم استهلاك إجمالي قدره 10 / 10 ( الكل ) من القيمة القابلة للفقد.

يصف مصمما ألعاب الطاولة جيفري إنجلشتاين وإسحاق شاليف الأعداد المثلثية بأنها قد بلغت "مكانة شبه مرادفة أو حكمة بين مصممي الألعاب "، واصفين إياها بأنها "بديهية للغاية" و"موجود في عدد هائل من الألعاب، [مثبتة] تنوعها المذهل في توفير مكافآت متصاعدة للمجموعات الأكبر حجماً دون تحفيز التخصص بشكل مفرط على حساب جميع الاستراتيجيات الأخرى". ^{[ 18 ]}

وبالمثل مع الجذر التربيعي لـ x ، يمكن تعريف الجذر المثلثي (الموجب) لـ x على أنه العدد n بحيث يكون T _n = x : ^{[ 19 ]}$${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}}$$

وهذا يتبع مباشرةً من القانون العام للمعادلة التربيعية . لذا ، يكون العدد الصحيح x مثلثيًا إذا وفقط إذا كان 8x + 1 مربعًا. وبصورة مكافئة، إذا كان الجذر المثلثي الموجب n للعدد x عددًا صحيحًا، فإن x هو العدد المثلثي رقم n . ^{[ 19 ]}

قياسًا على دالة المضروب ، وهي حاصل ضرب عوامله الأعداد الصحيحة من 1 إلى n ، اقترح دونالد كنوث اسم دالة الحدود ، ^{[ 20 ]} مع الرمز n² للدلالة على مجموع حدوده الأعداد الصحيحة من 1 إلى n ( العدد المثلثي رقم n ). على الرغم من أن بعض المصادر الأخرى تستخدم هذا الاسم والرمز، ^{[ 21 ]} إلا أنهما ليسا شائعين. لذا، يمكن تعريف دالة الحدود بالرمز التالي: ^{[ 20 ]}  

${\displaystyle n?=\sum _{k=1}^{n}{k}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} }$

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• العدد المثلثي المزدوج ، هو عدد مثلثي يكون موقعه في متتالية الأعداد المثلثية عددًا مثلثيًا أيضًا
• التتراكتيس ، وهو ترتيب لعشر نقاط في مثلث، مهم في الفيثاغورية
• العدد المضروب
• تسلسل شيندل

• "المتسلسلات الحسابية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• الأعداد المثلثية عند قطع العقدة
• توجد أعداد مثلثية تكون مربعة أيضًا عند قطع العقدة
• وايسشتاين، إريك دبليو. "العدد المثلثي" . عالم الرياضيات .
• الجذور متعددة الأوجه فائقة التناظر الرباعية من تأليف روب هوبارد، بما في ذلك التعميم على الجذور التكعيبية المثلثية ، وبعض الأبعاد الأعلى، وبعض الصيغ التقريبية.