5-simplex

هيكساتيرون (hix) ذو 5 عناصر بسيطة
يكتب	متعدد الوجوه الخماسي المنتظم
رمز شلافلي	{3 4 }
مخطط كوكسيتر
أربعة أوجه	6	6 {3,3,3}
الخلايا	15	15 {3,3}
وجوه	20	20 {3}
الحواف	15
الرؤوس	6
شكل الرأس	5 خلايا
مجموعة كوكسيتر	A 5 ، [3 4 ]، الأمر 720
مزدوج	ذاتي الازدواجية
نقطة الأساس	(0,0,0,0,0,1)
نصف القطر المحيطي	0.645497
ملكيات	محدب ، متساوي الزوايا، منتظم ، ذاتي الازدواج

في الهندسة الخماسية الأبعاد ، يُعرف المُجَسَّم الخماسي بأنه مُجَسَّم منتظم خماسي الأبعاد ذاتي التناظر . يتكون من ستة رؤوس ، ^و 15 ضلعًا ، و 20 وجهًا مثلثيًا، و 15 خلية رباعية الأوجه ، و6 أوجه خماسية الخلايا . تبلغ زاوية ثنائي السطوح فيه cos⁻¹ ( 1/5 ) ، أو ما يقارب 78.46 درجة.

يُعدّ الشكل الخماسي البسيط حلاً للمشكلة: اصنع 20 مثلثًا متساوي الأضلاع باستخدام 15 عود ثقاب، حيث يكون كل ضلع من أضلاع كل مثلث عبارة عن عود ثقاب واحد بالضبط.

يُمكن تسميته أيضًا بالهيكساتيرون ، أو الهيكسا-5-توب ، باعتباره متعدد السطوح ذو 6 أوجه في 5 أبعاد. اسم الهيكساتيرون مشتق من كلمة هيكسا- للدلالة على وجود ستة أوجه ، وكلمة تيرون (حيث أن تيرون- تحريف لكلمة تترا- ) للدلالة على وجود أربعة أوجه.

بحسب جوناثان باورز، يُطلق على الشكل السداسي الاختصار hix . ^{[ 1 ]}

تمثل مصفوفة التكوين هذه الشكل الخماسي البسيط. تتوافق الصفوف والأعمدة مع الرؤوس والحواف والوجوه والخلايا والوجوه الرباعية. تشير الأرقام القطرية إلى عدد مرات ظهور كل عنصر في الشكل الخماسي البسيط بأكمله. وتشير الأرقام غير القطرية إلى عدد مرات ظهور عنصر العمود في عنصر الصف أو عنده. مصفوفة هذا الشكل البسيط ذاتي التناظر مطابقة لدورانه بزاوية 180 درجة. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}6&5&10&10&5\\2&15&4&6&4\\3&3&20&3&3\\4&6&4&15&2\\5&10&10&5&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

يمكن إنشاء الشكل السداسي من خلية مكونة من 5 خلايا عن طريق إضافة رأس سادس بحيث يكون على مسافة متساوية من جميع الرؤوس الأخرى للخلية المكونة من 5 خلايا.

الإحداثيات الديكارتية لرؤوس سداسي منتظم مركزه نقطة الأصل وله طول ضلع  2 هي:

$\begin{aligned} \left(\tfrac{1}{\sqrt{15}},\\tfrac{1}{\sqrt{10}},\\tfrac{1}{\sqrt{6}},\\tfrac{1}{\sqrt{3}},\\pm 1\right)\\\begin{aligned} \left(\tfrac{1}{\sqrt{15}},\\tfrac{1}{\sqrt{10}},\\tfrac{1}{\sqrt{6}},\-\tfrac{2}{\sqrt{3}},\0\right)\\\begin{aligned} \left(\tfrac{1}{\sqrt{15}},\\tfrac{1}{\sqrt{10 ... {10}}},\ -{\tfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}},\ 0,\ ​​0\right)\\[5pt]&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15}}},\ -{\tfrac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0\right)\\[5pt]&\left(-{\tfrac {\sqrt {5}}{\sqrt {3}}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)\end{aligned}}}$

يمكن وضع رؤوس المجسم الخماسي البسيط على مستوى فائق في الفضاء السداسي كبدائل للنقطة (0,0,0,0,0,1) أو (0,1,1,1,1,1). ويمكن اعتبار هذه الإنشاءات أوجهًا للمجسم السداسي المتعامد أو المكعب السداسي المصحح، على التوالي.

يُعدّ الهرم ذو الخمس خلايا {3,3,3}∨( شكلاً ذا تناظر أقل ،  وله رتبة تناظر [3,3,3] تساوي 120، ويُبنى كقاعدة من خمس خلايا في مستوى فائق رباعي الأبعاد ، ورأسه فوق هذا المستوى. أما جوانب الهرم الخمسة فتتكون من خلايا من خمس خلايا. وتُرى هذه الخلايا كأشكال رأسية لمضلعات منتظمة سداسية الأبعاد مقطوعة ، مثل مكعب سداسي الأبعاد مقطوع .

هناك شكل آخر هو {3,3}∨{  }، ذو رتبة تناظر [3,3,2,1] تساوي 48، وهو عبارة عن وصل ثنائي الأضلاع متعامد وهرم رباعي الأوجه، مع إزاحة متعامدة بينهما، وجميع أزواج الرؤوس متصلة فيما بينها. وهناك شكل آخر هو {3}∨{3}، ذو رتبة تناظر [3,2,3,1] تساوي 36، وتناظر ممتد [[ 3,2,3],1] تساوي 72. وهو يمثل وصل مثلثين متعامدين، مع إزاحة متعامدة بينهما، وجميع أزواج الرؤوس متصلة فيما بينها.

الشكل {  }∨{  }∨{  } له تناظر [2,2,1,1]، من الرتبة 8، ممتد عن طريق تبديل 3 أجزاء مثل [3[2,2],1] أو [4,3,1,1]، من الرتبة 48.

تظهر هذه الظاهرة في أشكال رؤوس المضلعات السداسية المنتظمة المقطوعة ثنائياً وثلاثياً، مثل المكعب السداسي المقطوع ثنائياً والمضلع السداسي البسيط المقطوع ثلاثياً . تمثل تسميات الحواف هنا أنواع الأوجه على طول ذلك الاتجاه، وبالتالي تمثل أطوال حواف مختلفة.

الشكل الرأسي لخلية النحل الخماسية المقتطعة بالكامل ، هو شكل خماسي ذو دورة مضلعات بيتري مكونة من 5 أضلاع طويلة. تناظره متماثل مع المجموعة ثنائية السطوح Dih ₆ أو مجموعة الدوران البسيطة [6,2] ⁺ ، من الرتبة 12.

أشكال الرؤوس للمضلعات السداسية المنتظمة

ينضم	{3,3,3}∨(  ) )	{3,3}∨{  }	{3}∨{3}	{  }∨{  }∨{  }
التناظر	[3,3,3,1] الأمر 120	[3,3,2,1] الأمر 48	[[ 3,2,3],1] الأمر 72	[3[2,2],1,1]=[4,3,1,1] الترتيب 48	~[6] أو ~[6,2] + الترتيب 12
رسم بياني
متعدد الأوجه	6-simplex المقتطع	بتات مقطوعة 6-simplex	ثلاثي القطع 6-simplex	منشور 3-3-3	قرص عسل مقطوع بالكامل من 5 طبقات

يمكن رؤية مُركّب من مُركّبين من نوع 5-simplex في تكوينات ثنائية في هذا الإسقاط على مستوى كوكسيتر A6 ، برؤوس وحواف مُركّبين من نوع 5-simplex باللون الأحمر والأزرق. يتمتع هذا المُركّب بتناظر [[3,3,3,3]] ، من الرتبة 1440. تقاطع هذين المُركّبين من نوع 5-simplex هو مُركّب مُنتظم ثنائي التوجيه من نوع 5-simplex . = ∩ .

وهو أول شكل في سلسلة متعددة الأبعاد من متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل، والتي عبر عنها كوكسيتر بسلسلة 1 _3k . توجد حالة متدهورة رباعية الأبعاد على شكل تبليط ثلاثي الكرات، وهو شكل رباعي الأوجه .

1 _{3 k} أشكال ذات أبعاد

فضاء	محدود				إقليدي	القطع الزائد
ن	4	5	6	7	8	9
مجموعة كوكسيتر	أ 3 أ 1	5​	د 6	E 7	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$=E 7 +	${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$=E 7 ++
مخطط كوكسيتر
التناظر	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[3 1,3,1 ]	[3 2,3,1 ]	[[3 3,3,1 ]]	[3 4,3,1 ]
طلب	48	720	23,040	2,903,040	∞
الرسم البياني					-	-
اسم	1 3,-1	1 30	1 31	1 32	1 33	1 34

وهو أول شكل في سلسلة متعددة الأبعاد من متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل، والتي عبر عنها كوكسيتر بسلسلة 3 _k1 . وتوجد حالة متدهورة رباعية الأبعاد على شكل تبليط ثلاثي الكرات، وهو ثنائي السطوح رباعي الأوجه .

3 _آلاف شكل أحادي _البعد

فضاء	محدود				إقليدي	القطع الزائد
ن	4	5	6	7	8	9
مجموعة كوكسيتر	أ 3 أ 1	5​	د 6	E 7	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$=E 7 +	${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$=E 7 ++
مخطط كوكسيتر
التناظر	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[[3 1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 2,3,1 ]	[3 3,3,1 ]	[3 4,3,1 ]
طلب	48	720	46,080	2,903,040	∞
الرسم البياني					-	-
اسم	3 1,-1	3 10	3 11	3 21	3 31	3 41

إن المجسم الخماسي البسيط، باعتباره متعدد الوجوه 2 ₂₀ ، هو الأول في السلسلة البعدية 2 _2k .

2 × _{2 × k} شكل من n بُعد

فضاء	محدود			إقليدي	القطع الزائد
ن	4	5	6	7	8
مجموعة كوكسيتر	أ 2 أ 2	5​	E 6	${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$=E 6 +	E 6 ++
مخطط كوكسيتر
الرسم البياني				∞	∞
اسم	2 2,-1	2 20	2 21	2 22	2 23

يُعدّ الشكل الخماسي المنتظم أحد الأشكال المتعددة المنتظمة التسعة عشر المبنية على مجموعة كوكسيتر [3,3,3,3] ، والموضحة جميعها هنا في إسقاطات كوكسيتر المتعامدة على المستوى _A5 . (تُلوّن الرؤوس حسب ترتيب تداخل الإسقاط، حيث يشير اللون الأحمر إلى عدد أكبر من الرؤوس، والبرتقالي إلى الأصفر، والأخضر إلى السماوي، والأزرق إلى البنفسجي).

متعددات الوجوه A5
t 0	ت 1	t 2	t 0,1	t 0,2	t 1,2	t 0,3
t 1,3	t 0,4	t 0,1,2	t 0,1,3	t 0,2,3	t 1,2,3	t 0,1,4
t 0,2,4	t 0,1,2,3	t 0,1,2,4	t 0,1,3,4	t 0,1,2,3,4

• 11 خلية

• جوسيت، ت. (1900). "حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في فضاء ذي أبعاد ن". رسول الرياضيات . ماكميلان. ص  43–.
• كوكسيتر، إتش إس إم :
  • — (1973). "الجدول الأول (3): متعددات الوجوه المنتظمة، ثلاثة متعددات وجوه منتظمة في n بُعد ( n ≥ 5)". متعددات الوجوه المنتظمة (  الطبعة الثالثة). نيويورك: دوفر. الصفحات 294-295 . ISBN  0-486-61480-8.
  • شيرك، ف. آرثر؛ ماكمولين، بيتر؛ طومسون، أنتوني سي؛ فايس، آسيا إيفيتش، محرران. (1995). كاليدوسكوبات: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر . وايلي. ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (الورقة 22) — (1940). "المضلعات المنتظمة وشبه المنتظمة 1" . مجلة الرياضيات . 46 : 380-407 . doi : 10.1007/BF01181449 . S2CID 186237114 . 
    • (الورقة 23) — (1985). "المضلعات المنتظمة وشبه المنتظمة II" . مجلة الرياضيات . 188 (4): 559–591 . doi : 10.1007/BF01161657 . S2CID 120429557 . 
    • (الورقة 24) — (1988). "المضلعات المنتظمة وشبه المنتظمة III" . مجلة الرياضيات . 200 : 3-45 . doi : 10.1007/BF01161745 . S2CID 186237142 . 
• كونواي، جون هـ .؛ بورجيل، هايدي؛ غودمان-ستراوس، حاييم (2008). "26. أنصاف المكعبات: 1 _ن1 ". تناظرات الأشياء . ص  409. ISBN 978-1-56881-220-5.
• جونسون، نورمان (1991). "متعددات الوجوه المنتظمة" (مخطوطة). نورمان جونسون.
  • جونسون، ن. و. (1966). نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل (دكتوراه). جامعة تورنتو.

• أولشيفسكي، جورج. "سيمبلكس" . مسرد مصطلحات الفضاء الفائق . مؤرشف من الأصل في 4 فبراير 2007.
• متعددات الوجوه ذات الأبعاد المختلفة ، جوناثان باورز
• مسرد متعدد الأبعاد